CC BY
5
2020 Математика и механика № 66
удк 517.9 msc 2020: 35l05, 35c05, 35c07
doi 10.17223/19988621/66/5
О.Н. Шабловский
НЕЛИНЕЙНЫЕ БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И «ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЁМКОСТЬ» В СРЕДЕ С КОНКУРИРУЮЩИМИ ИСТОЧНИКАМИ
Получены новые точные решения волнового уравнения с нелинейными источниками. Построены уединенные бегущие волны и кинк-решения, формирующиеся при конкуренции двух источников. Определены условия возникновения аномального температурного отклика среды на тепловое воздействие («отрицательная теплоемкость»). Дан пример физической интерпретации одного из решений: вычислена скорость роста кристалла как функция переохлаждения расплава.
Ключевые слова: волновое уравнение; нелинейный источник энергии; температурный отклик среды; переохлажденный расплав.
В современной математической физике важное место занимают волновые уравнения с нелинейными источниками (уравнения Клейна - Гордона). Такие источники позволяют моделировать сложные явления в различных областях естествознания. В данной работе для определенности будем говорить о процессах волнового теплопереноса в системе «среда - источник энергии». Волновые задачи являются важным элементом динамической теории неравновесных состояний вещества [1].
Гиперболическое уравнение теплопроводности, получаемое с помощью вариационных принципов [2, 3] и учитывающее конечную скорость распространения тепловых возмущений, имеет вид
(^ я2_ Л д2 т
= + Яи , (1)
дт д 2 т — + Y—г dt 1 dt2
v w 1 /
дг2
где t - время; г - декартова координата; т = T -T0 есть отклонение температуры Т от ее отсчетного значения T0 = const; с - объемная теплоемкость; X - коэффициент теплопроводности; у - время релаксации теплового потока; qv - мощность внутренних источников и стоков энергии; скорость распространения тепловых
возмущений равна w = (X/су)1/2. Физические аспекты обоснования уравнения (1) изложены в [4]. Частным случаем модели (1) является волновое уравнение
д2т 2 д2т , , ч _=,,,_+(
где kv = qv/(су); с,у - const. Это уравнение характеризует быстрые процессы, в которых волновой механизм переноса тепла преобладает над диффузионным: уд/дt >> 1. Основные предпосылки данной работы состоят в следующем:
1. Можно выделить два вида знакопеременных источников qv = qv(T). Пусть qD (T = T') = 0 , где Т1 - пороговая температура, при переходе через которую
функция qv(T) меняет знак. Источник технического происхождения (далее для краткости tech-источник) обладает следующими свойствами: он положителен в области «высоких» температур Т > Т1, где происходит подвод тепла, и отрицателен в области «низких» температур Т< Т1, где тепло отводится, например вследствие теплообмена между элементом технического устройства и окружающей средой. Таким образом, (dqn/dT)T=T1 > 0.
Источник, типичный для биологической ткани (далее для краткости йг'о-источник), обладает свойствами, отличающими его от объектов неживой природы
[5]. Такой источник выполняет уравновешивающую роль компенсатора: в области «высоких» температур Т> Т1 идет теплоотвод qv < 0; в области «низких» температур Т< Т1 происходит тепловыделение qv > 0 в биоткани. Значит, в этом случае наклон функции источника при пороговой температуре отрицателен: ( dqj dT )t=t 1 < 0.
2. Неклассическое явление «отрицательной теплоемкости» (ОТ) состоит в том, что подвод/отвод тепла дает снижение/рост температуры. Обзор экспериментальных и теоретических работ по этой проблеме и примеры ОТ в задачах конвекции стратифицированных двухкомпонентных жидкостей в поле силы тяжести даны в
[6]. Некоторые нелинейно-волновые аспекты явления ОТ представлены в [7]. Будем рассматривать автомодельные решения волнового уравнения, применяя
аргумент типа «бегущая волна»:
t = t(z) , Z = х'-Mt, х' = х/w ,
d2 т = К (3)
dZ2 м2 - Г ()
где M = N/w - тепловое число Маха; N - скорость перемещения волны Z = 0, х0 = Nt, N> 0; N, w - const. Процесс «дозвуковой» при M2<1, процесс «сверхзвуковой» при M2 >1. Таким образом, переход «дозвук»-^-«сверхзвук» означает инверсию знака правой части (3). Предметом исследования является случай, когда
Ux,Z) = (M2 -1)[/(т)-g(t,Z)], g = tQ2 (Z), (4)
причем Q 2(Z = 0) > 0, Q2 ^0 при Далее источник tQ 2 называем сосредото-
ченным, потому что при всех конечных t(Z) его воздействие проявляется главным образом в окрестности волны Z = 0. Кроме того, мы рассматриваем пример периодической зависимости Q 2(Z) от волновой координаты. Источник f(т) нелинеен по температуре и может быть знакопеременным.
Цель работы: 1) построить функции Q 2(Z), f(т), допускающие точное аналитическое решение волновой задачи; 2) изучить конкурентное взаимодействие сосредоточенного и нелинейного источников (4) и указать примеры существования ОТ.
Алгоритм построения решения
Возьмем за основу дифференциальное уравнение для неизвестной функции 0 = 0(C):
d^-г f 2 (z)+df (z) dz2 k j
(5)
dZ _
Здесь ^(С) - произвольная функция. Одно из частных решений этого уравнения имеет вид [8]
i = т0 exp
X
| f (zd z
0
т0 = const. (6)
Выполним преобразование F = iQ, 9 = 9j+/92 и тогда, выделяя в (5) действительную и мнимую части, получим систему уравнений
=-Q29l-02 dQ, =-Q292 +01 dQ, (7)
dz2 ^ 1 2 dz dz2 1 dz
которой удовлетворяют функции 91 = T0cos/, 92 = T0sin/, d//dZ = Q. Очевидно, что здесь 92Q = -d91/dZ, 91Q = d92/dZ. Переобозначим 91^т и запишем первое уравнение (7) в виде
^ = —tQ2 +1 ^ . (8)
dz2 Qdz dz
Аналогичным образом можно поступить с уравнением для 92; новых результатов это не дает. В уравнении (8) примем связь
1 dQ d т w ч
--—— = f (т),
Qd z d z J W
которая означает переход к источнику вида (4); см. также (3). С учетом решения
т = т0 cos /, d/¡dz = Q (9)
получаем (—т0 )sin/ (d2/¡dz2) = f (т). Теперь возьмем
f (т) = (т0 —т2 )D (т). (10)
В итоге имеем дифференциальное уравнение для функции / = J(Q:
d 2 /
—- = —■т0D sin /, D = D (т = т0^ /). (11)
dz2
Выбор отдельных частных зависимостей D(t) дает возможность получить точные решения уравнения (11). А это значит, что решение (9) будет удовлетворять уравнению (3) с источником (4), (10). Таким образом, в данном классе решений влияние сосредоточенного источника на градиент температуры описывается формулой
(dт/dz)2 = (т^ —т2)Q2. Конкуренция источников f и g наблюдается там, где эти
функции одного знака; на рисунках области конкуренции отмечены звездочкой.
При анализе ОТ-ситуаций рассматриваем температурные интервалы, где конкуренция отсутствует. Кроме того, учитываем, что dr/dt = -Ndr/dZ, N > 0. При фиксированном x имеем аномальный температурный отклик среды, если в этой точке dr/dZ > 0,т.е. dr/dt < 0 и kv > 0 либо dr/dZ < 0 и kv < 0. Области, где существует явление ОТ, отмечены на рисунках черным треугольником.
Решения на основе уравнения синус-Гордона
Обсудим варианты, когда (11) можно представить в виде уравнения синус-Гордона, определяющего автомодельное решение J = ./©:
^ = -т0 £>0яп Ш , (12)
d Z2
где Б0 - положительная постоянная; В > 1 - целое число. Далее применяем известные частные решения [9] этого уравнения: если т0 < 0, то
3(С) = (4/В)аго1мЕ, Е = ехр(с^А,В); (13)
если т0 > 0, то
3(С) = (-л/В) + (4/В)аго1мЕ, Е = ехр(сАД,В). (14)
Из этих формул легко получаем функцию б 2(0 сосредоточенного источника. Укажем отдельные примеры точных решений вида (9).
Пусть В = 1, Б(т) = Б0, т = ±т0 (1 - 6Е2 + Е4 ))(1 + Е2) ; здесь верхний и нижний знаки «±», а также выражения Е(£) соответствуют (13) и (14). Функции источников такие:
/(т) = (т2 -т2 )Б0, б2 (О = +16Т0ДЕ2/(1 + Е2 )2 > 0,
где б2 ^ 0 при £ ^ ±®. Схематическое изображение нелинейного источника показано на рис. 1, а для т0 < 0. При т0 > 0 решение обладает аналогичными свойствами. В данном случае решение имеет структуру уединенной волны: £ ^ ±®, т ^ т0, т(^ = 0) = -т0; выпуклость линии т(0 обращена вверх, рис. 1, Ь. Функция т(9 - знакопеременная: т = 0 при £ = Сь С = Сг = -Сь где Е2 = Е2 (С = С1 ) = 3 - 242, Е22 = Е2 (С = С2 ) = 3 + 2л/2. Своеобразие ситуации в том, что именно при £ = 0 достигает максимума функция б 2(£), и в этой точке обращается в ноль нелинейный источник. Конкуренция источников /> 0 и g > 0 наблюдается в интервале [0, -т0). Таким образом, формирование уединенной волны происходит под влиянием преобладающего воздействия сосредоточенного источника. После перемены знака функции т(9 конкуренция отсутствует / > 0, g < 0), и профиль волны выравнивается. Нетрудно видеть, что ОТ-ситуация наблюдается в сверхзвуковом/дозвуковом режиме слева/справа от возвышения волны, рис. 1.
(M 2-1)/ (т)
-т) b
t c2 0 z z
▲ \ a
t0
Рис. 1. Решение (9), (12) при B = 1, т0 < 0: а - функция нелинейного источника; b - уединенная волна; * - область конкуренции источников; ▲ - область существования «отрицательной теплоемкости»;---функция источника в сверхзвуковом (М 2>1) режиме;-функция источника в дозвуковом (М2 <1) режиме
Fig. 1. Solution (9), (12) for B = 1, т0 < 0: (a) nonlinear source function; (b) sole wave; (*) the region of source competition; (▲) the negative heat capacity region;
---the source function in the supersonic regime;-the source function in
the subsonic regime
т
Например, в дозвуковом режиме явление ОТ существует в фиксированной точке х = > 0 при t е Цо,^), где ^ = (х1-есть конечное время, в течение кото-
1
рого волна проходит расстояние x -Пусть
Б = 2, В = 2В0со8 J , f (т) = 2В0т(т0-т2)/т0 . (15)
При т0 < 0 решения (9), (13) имеют кинк-структуру: т(0 монотонно возрастает слева направо от т0 до (-т0), причем т(£ = 0) = 0, рис. 2. Конкуренция источников отсутствует: f > 0, g < 0 при те(т0,0); f < 0, g > 0 при те( 0, -т0), рис. 2, а. ОТ-ситуация существует при М 2>1 в области решения, соответствующей нижней (левой) части кинка; при М 2<1 аномальный отклик получаем в верхней (правой) части кинка. В дозвуковом режиме явление ОТ существует на конечном интервале времени |0,^) при каждом х = х1 е(0,да), ^ = х1№. Отметим еще, что при
М2>1 нелинейный источник имеет вид, характерный для биоткани: подвод/отвод тепла происходит в «холодной»/«горячей» температурных областях.
Рис. 2. Решение (9), (12) при B = 2, т0 < 0: а - функция нелинейного источника; b - кинк-структура. Обозначения такие же, как на рис. 1 Fig. 2. Solution (9), (12) for B = 2, т0 < 0: (a) nonlinear source function; (b) kink structure. Notations are the same as for Fig. 1
При т0 > 0 из (9), (14) получаем уединенную волну: те (0,т0], t(Z = 0) = т0. График функции f(т) (он здесь не приводится) обращен выпуклостью вверх: имеется конкуренция, f > 0, g > 0 при те(0, т0), см. (15). В заключительной части статьи будет дан пример физической интерпретации этого решения: движение фазовой границы кристаллизации переохлажденного расплава.
Пусть B = 3, D = D0 (4cos2 J -1) , f (т) = D0 (т0 - т2 ) [4 (т2 /т2 ) -1] . При т, < 0
решение имеет кинк-структуру т е (т0, -т0 /2), причем t(Z = 0) = то/2. Температурный интервал (т0/2, 0), на котором происходит конкуренция источников f < 0, g < 0, располагается между двумя интервалами (т0, т0/2) и (0,-т0/2), где конкуренция отсутствует, рис. 3. ОТ существует в сверхзвуковом и дозвуковом режимах, соответственно в левом и правом интервалах. При т0 > 0 ситуация аналогична случаю B = 2: в условиях конкуренции источников f > 0, g > 0 формируется уединенная волна при те(т0 /2, т0 ], т0/2, t(Z = 0) = т0. Такие же качественные результаты получаются для B = 4, B = 5.
(M 2-1)f (T) / \ ' \ / ' \ / / a \ / * / \ / ▲ \
t0 t
v2n * /-t0/2
\ / n /
\ / n /
v у n--
Рис. 3. Решение (9), (12) при B = 3, т0 < 0: перемежаемость областей с отсутствием и наличием конкуренции источников. Обозначения такие же, как на рис. 1 Fig. 3. Solution (9), (12) for B = 3, т0 < 0: alternating regions with and without source competition. Notations are the same as for Fig. 1
Решения на основе двойного уравнения синус-Гордона
В (11) возьмем Д = До+Дт, Д\ > 0 и получим
d2 J
d Z
т2 д
2 = -т0 D0 sin J —0—Lsrn2 J . 2 2
(16)
Воспользуемся известными частными решениями [9] этого двойного уравнения синус-Гордона. Нелинейный источник /(т) имеет вид (10).
Если т2 D2 > D02, то
(17)
т = т0 (1 2 )/(1 + £2 ) , £2 = Д22Ш2СД>, б2 = (То Д + До )/(Д - Д) > 1, Д = ^2Б2 - Б2/(Д
22 (О = (ТоД + До )/[Д (2СД + Д22®Ь2СД)
Параметры задачи оцениваются следующим образом: 1) то > о, До > о, тоД]>До, тда < о, |тш| < то ; 2) то < о, До < о, тоД:<До, тм > о, |то| > тш > о , где тм = т(^±®). Решение имеет вид уединенной волны, функция т(9 - знакопеременная; т(£ = о) = то. При то < о имеем те[то, тш), выпуклость линии /(т)<о обращена
вниз; при то > о имеем т е (тш, то ], выпуклость линии /(т)>о обращена вверх. Условия появления ОТ-ситуации такие же, как для варианта В = 1: см. (12) и рис. 1. Если в (16) Д2 > т2 Д2, то решение выглядит так:
Т = Т0 (1 - S2 )/(1 + S2 ) , S2 = D2tg2ZA , D2 = (D0 +Т0Д )/(Д -T0Д) > 1, D5 D2 -т02D2/(D Q2 (Z) = (D0 +T0D )2/ГD (cos2 ZD5 + D22 sin2 ZD5 )
Параметры задачи оцениваются следующим образом: 1) т0 > 0, D0 > 0, D0 > ТоА; 2) т0 < 0, D0 < 0, D0 < T0D1. Качественные свойства функции _Дт) такие же, как для предшествующего решения (17). Решение (18) представляет собой цуг волн. Например, для т0 > 0 имеем: т = т0 при Ср5 = пп0; т^(-т0) при CDs = nn0±(n/2), где и0 = 0, ±1, ±2,... . Функция т(0 - знакопеременная, рис. 4; т = 0 при
tg2ZD5 = (1/D42) < 1. Каждая отдельная волна располагается по отношению к аргументу ф5 на интервалах (-п/2, п/2), (п/2, 3п/2) и т.п. Явление ОТ наблюдается в течение конечного промежутка времени в «холодной» области т е (-т0,0)на восходящем/нисходящем участках отдельной волны при сверхзвуковом/дозвуковом режиме.
т
То
-п \ -п/2 / 0 \ п/2 " ф5
-то
Рис. 4. Решение (18): цуг волн при т0 > 0 Fig. 4. Solution (18): wave chain for т0 > 0
Для т0 < 0 график т(9 получается из рис. 4 переворотом на 180° вокруг горизонтальной оси. В этом случае имеем ОТ-ситуацию в «горячей» области на нисходящем/восходящем участках отдельной волны при сверхзвуковом/дозвуковом режиме.
В (11) возьмем D =[cos (J/2)-^]/[т0 cos (J/2)] и получим
d2 J
J
= 2m sin--sin J.
2 2
d С
Это уравнение имеет точное решение [10]:
3 = 4ак^и , и = [(1 - т)/m]1/2/cos (<^>/ 1 - т), 0<т<1. В результате находим
т = т
1 —
8м2
(1 + м 2 )2
; f (т) =
(т2 -т2 )
1 - m
2тп
(То + т)
1/2
е2 (0 =
16m (1 - m )2 sin2 (Z"J 1 - m )
(19)
(20)
(21)
|1 - m sin2 ((1 - m ) J
Обсудим случай т0 > 0. Периодическое решение (19), (20) дает цуг волн, примыкающих друг к другу при 1 - m = пп0 ±(п /2), м^да. Каждая отдельная волна обращена в своей центральной части выпуклостью вниз и расположена на интервале вида ZV1 - m е [-п /2, п /2]. Зависимость t(Z) может быть знакоперемен-
ной: она принимает значения от т0 до т0(1+8т2-8т). Размах колебаний функции (21) равен 16т. Зависимость /(т) в (20) примечательна тем, что именно в дозвуковом режиме она представляет нелинейный источник, характеризующий биоткань, рис. 5. Значение т = является пороговым: слева и справа от него различаются знаки величины / (т = 0) = т0 (1 - т42). При т Ф 1/л/2 имеется перемежаемость областей с наличием и отсутствием конкуренции; в отличие от рассмотренного выше случая В = 3 (см. рис. 3) здесь конкуренция отсутствует на внутреннем температурном интервале, примыкающем к т = 0. ОТ-ситуацию имеем там, где
нет конкуренции. Если т =
1/72 , то конкуренция присутствует во всей области определения решения. Полученные физические результаты нетрудно переформулировать для случая т0 < 0.
и наличием конкуренции источников. Обозначения такие же, как на рис. 1 Fig. 5. Solution (20): possible combinations of alternating regions with and without source competition. Notations are the same as for Fig. 1
Таким образом, решение (20), (21) говорит о том, что в дозвуковом режиме периодический по волновой координате источник tQ 2 действует на фоне нелинейного й/о-источника и возбуждает цуг волн.
Еще одно точное решение можно получить, выполнив преобразование Z^'Z в формулах (3) и (19) - (21). Эти результаты здесь не приводятся. Отметим только, что получаемая из (21) функция Q 2(Z) описывает дважды сосредоточенный источник, потому что она дважды достигает максимум: слева и справа от Z = 0.
Переменная скорость распространения возмущений
Для волнового уравнения (2) рассмотрим случай переменной «скорости звука»:
w2 = w02 ± w2 (т) > 0 , w2 = a2та , (22)
a, a1 - const, Z = (x/w0)-t, w0 = N, где a - положительное четное число. Здесь и далее верхний/нижний знаки соответствуют положительной (^/отрицательной (n) производной d(w2)/dT. Уравнение (2) принимает вид
d 2 т/ d Z2 = +w02 kj w2. (23)
Если ки = к^т" sin Вт ; к¿ , В - const, то (23) превращается в уравнение синус-
Гордона, определяющее бегущие «звуковые» волны т = x(Q, см. формулы (12) -(14). Отметим, что в этом случае источник к„(т) колеблется по т с нарастающей амплитудой - по резонансному типу. Возможны и другие варианты частных зависимостей к„(т), позволяющие преобразовать (23) к уравнению с известными точными аналитическими решениями. Изучим два примера, для которых (23) отличается по структуре от уравнения синус-Гордона. В соответствии со знаком производной d(w2)d будем говорить о (p) и (n) средах. Уединенная «звуковая» волна:
т = т0/(1 + В2 Z2); то, В - const, то > 0; те( 0, т0 ]; (24)
kUp),(n) =±к2т2+а [(4т/3)-Т0]т2 , к2 = 6a?BB¡2/w¡2 . Здесь aj2 - параметр среды; В2 - параметр источника. Источники kUp),(n) (т) - знакопеременные, и на периферии волны имеем т^-0, w2 ^ w0, к^^-0, (dкu/dт)^0. Возвышение волны, т.е. максимум функции т(9, формируется в точке Z = 0, где т(£ = 0) = т0 > 0. Для (^)-среды на возвышении имеем к(ир) > 0 , к p)/d т > 0 ; сам источник обладает fech-свойствами. Для (п)-среды на возвышении имеем кЦ^ < 0 , d^^/dт < 0 ; сам источник обладает й/о-свойствами, рис. 6. Таким образом, на возвышении волны для обеих сред имеем ( d^ p),(n)/d т)( d (w2)/d т) > 0, а кривизна линии т© равна
K (Z = 0) = |к(p),(n)| 4 = 2т0 В12.
1 'w2
2
В данном примере она не зависит от a1 и определяется шириной температурного интервала т0 и параметром источника В12 .
Рис. 6. Нелинейная среда (22), ^м>2)Ш < 0: объемные источники энергии, действующие в биологической ткани; - • - • - источник, возбуждающий уединенную волну (24); -источник, возбуждающий
знакопеременный кинк (25)
Fig. 6. Nonlinear medium (22), d(wL)/dx < 0: volumetric energy sources acting in the biological tissue: - • - • -the source of sole wave (24);-the source of alternating kink (25)
Знакопеременный кинк:
x = x0thBZ ; т0, B1 - const, т0 > 0; (25)
£(p),(n) =±ki2 т1+а(т0 -т2 )/т2, ki2 = 2«2 в2/w2, Х6(-Г0, Т0).
Аналогично только что рассмотренной уединенной волне, здесь для (р)-среды/(п)-среды имеем fech-источник/й/о-источник, рис. 6. В центральной точке кинка Z = 0,
т = 0, ёт/dZ = т0В1, p),(n) = 0, &Up),(n)/dт = 0. Отметим корреляцию между наклоном функции источника в невозмущенных состояниях (Z^-±®) и наклоном кинка в его центральной точке:
fkUp),(n) ^ = _ 4w2(x = x0) fdrf = _ 4В!2w2(x = x0)
т2 w02 vd dz=o w02
d т y
Здесь отношение w2 (т = т0)/wQ2 дает количественную характеристику нелинейных свойств среды в интервале температур (-т0,т0).
Фазовая граница кристаллизации
Обсудим физическую интерпретацию решения (9), (14), (15) при т0 > 0. Пусть линия Z = 0 есть фазовая граница кристаллизации однокомпонентного чистого расплава, переохлажденного до температуры T*<Tc, где Tc - равновесная температура кристаллизации. Применение волновой модели (2) оправдано тем, что по мере увеличения переохлаждения усиливается роль локально-неравновесного теп-лопереноса, см. [1], [11]. Будем рассматривать правую часть уединенной волны в дозвуковом режиме: Z^0, N > 0, М2<1,
T - T0 = т = 2т0£/(1 + E2 ), E = exp(^2т0 D0 ) , то > 0, Dq > 0, (26) 0(Z) = 2Ej2T~D0/(1 + Е2 ), те(0,т, ],
ки = ки + ки ,
k+=(1 - M 2 ) g > 0, k-=(M 2 -1) f < 0,
f = 2D,т(т0 -т2)/т, , g = т02 = 2D,т^/т, .
Возьмем T0 = T*, и тогда = 0, а переохлаждение расплава равно
т(£ = 0) = Tc-T* = т0 > 0. Параметр D0 характеризует взаимодействие сосредоточенного источника к+ (выделение теплоты фазового перехода) и теплоотвода kU-, обеспечивающего переохлажденное состояние расплава. Укажем размерность этого параметра: [D0 ] = [?u/(t2су)] = [^(t2T)], где [qD]=[q/x], q - удельный
тепловой поток. Ясно, что при таком упрощенном подходе источник к~+ «размазывает» по Z подробности взаимодействия границы кристаллизации с жидкой фазой. По отношению к координате x определим толщину слоя перехода от т = т0 к т = 0 как дробь
Ax = то/\drldx\max = М>то^т/dZ|^ ,
где знаменатель дроби есть максимальное значение модуля производной dт/dZ при ^ е [0, да). Расчеты показывают, что
Дх = (2 + 72) [(1 + ^2т0Б0 ] .
Таким образом, баланс энергии на фазовой границе можем записать в виде
?+(£ = 0) Дх = ЬЫ , (27)
где ЬЫ есть тепловой поток, обусловленный выделением кристаллизационного тепла; Ь - теплота фазового перехода единицы объема вещества. Левая часть формулы (27) - это количественная оценка теплового потока, который создается сосредоточенным источником при £ = 0; дЦ+ = &+ /(су). После аналитических преобразований, основанных на решении (26), из (27) получаем
Ы/™ = М = (л/1 + 4Г -1//(2>/Г), (28)
2 3 // 4 2 \
где Г = 4£>0X т0/ I ™ Ь ) - положительный безразмерный параметр. В физическом
отношении основной интерес представляет зависимость скорости фазовой границы от переохлаждения: N = Ы(т0). Известные в литературе (см. [11] и указанную там библиографию) данные о высокоскоростной кристаллизации глубоко переохлажденных (до 300 К) расплавов чистых металлов говорят о том, что функция Ы(т0) монотонно возрастающая, dN/dт0 > 0, и при не слишком больших переохлаждениях удовлетворяет условию выпуклости: d2 Ы^ т2 > 0 . Например, для чистого никеля оба эти свойства выполнены при 0 < т0 < 150 К. Из формулы (28) ясно, что условие монотонного роста выполняется при всех Г > 0, а из условия выпуклости следует ограничение Г < 0.06. Это означает, что для данного решения тепловое число Маха не превосходит 0.23. Числовые расчеты, проведенные на основе этой оценки, показывают, что для никеля формула (26) имеет физический смысл при т0 < 57 К.
Заключение
Для волнового уравнения с источниками построены новые решения типа бегущей волны. Результаты изложены в терминах теории теплопереноса. Рассмотрены два типа нелинейных источников, различающихся характером тепловыделе-ния/теплоотвода в «горячей» и «холодной» температурных областях. Например, источник, характерный для биологической ткани, в отличие от источника технического происхождения, выделяет тепло при низких температурах. Представлены примеры аномального температурного отклика среды: подвод/отвод тепла дает снижение/рост температуры (так называемая «отрицательная теплоемкость»). Дан пример нелинейной среды, допускающей точное аналитическое описание волновой задачи при воздействии источника, который зависит от температуры по резонансному типу: его колебания происходят с нарастающей амплитудой. Для задачи о фазовой границе кристаллизации переохлажденного расплава получена физически содержательная зависимость скорости роста кристалла от переохлаждения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon J. Extended Irreversible Thermodynamics. Springer-Verlag,
2001. 486 p.
2. Глазунов Ю. Т. Вариационный принцип явлений взаимосвязанного тепло- и массопере-носа, учитывающий конечную скорость распространения возмущений // Инженерно-физический журнал. 1981. Т. 40. № 1. С. 134-138.
3. Яворский Н.И. Вариационный принцип для вязкой теплопроводной жидкости с релаксацией // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1986. № 3. С. 3-10.
4. Никитенко Н.И. Проблемы радиационной теории тепло- и массопереноса в твердых и жидких средах // Инженерно-физический журнал. 2000. Т. 73. № 4. С. 851-859.
5. Pennes H. H. Analysis of tissue and arterial blood temperature in the resting human forearm // J. Appl. Phisiol. 1948. V. 1. P. 93-122.
6. Ингель Л.Х. «Отрицательная теплоемкость» стратифицированных жидкостей // УФН.
2002. Т. 172. № 6. С. 691-699.
7. Шабловский О.Н. «Отрицательная теплоемкость» в задачах нелинейной динамики волн // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Вып. 16. М.: Янус-К, 2014. С. 78-89.
8. Ельшин М.И. К проблеме колебаний линейного дифференциального уравнения второго порядка // Доклады АН СССР. 1938. Т. 18. № 3. С. 141-145.
9. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2002. 432 с.
10. Шабловский О.Н. Точные решения волновых уравнений с нелинейными источниками // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Вып. 14. М.: Янус-К, 2011. С. 382-391.
11. Herlach D., Galenko P., Holland-Moritz D. Metastable solids from undercooled melts. Per-gamon; Elsevier, 2007. 432 p.
Статья поступила 24.10.2018 г.
Shablovskii O.N. (2020) NONLINEAR WAVES AND "NEGATIVE HEAT CAPACITY" IN A MEDIUM WITH COMPETITIVE SOURCES. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 66. pp. 64-76
DOI 10.17223/19988621/66/5
Keywords: wave equation; nonlinear energy source; temperature response of the medium; undercooled melt.
For a wave equation with sources, new running-wave type solutions are built. The results are expressed in terms of the heat transfer theory. We study two types of alternating volume energy sources qv with a nonlinear temperature dependence T. Let q^ff = Т1) = 0 where Т1 is the temperature of the source sign change. The source is positive at Т>Т1 (heat input) and negative at Т<Т1 (heat output) when is has technical origin. A source of biological origin differs from technical ones. It serves as a compensator: at Т>Т1 it takes the heat in; at Т<Т1, it gives the heat out. Three types of analytical solutions are obtained: the sole wave, the kink structure, and the wave chain. Subsonic and supersonic wave processes are studied with respect to the rate of heat perturbations. The examples for a non-classical phenomenon of "negative heat capacity" are given when heat input/output leads to a temperature decrease/increase. We have considered a nonlinear medium liable to an exact analytical description of a wave problem with a having a resonance type of the temperature dependence: its oscillations have a crescent amplitude. As an example of physical interpretation for one solution, the rate of crystal growth is calculated as a function of the melt undercooling.
AMS 2020 Mathematical Subject Classification: 35L05, 35C05, 35C07
Oleg N. SHABLOVSKII (Doctor of Physics and Mathematics, Prof., Pavel Sukhoi State Technical University of Gomel, Republic of Belarus). E-mail: shablovsky-on@yandex.ru
76
O.H. laônoscnm
REFERENCES
1. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon J. (2001) Extended Irreversible Thermodynamics. SpringerVerlag.
2. Glazunov Yu.T. (1981) Variatsionnyy printsip yavleniy vzaimosvyazannogo teplo- i massop-erenosa uchityvayuschiy konechnuyu skorost' rasprostraneniya vozmushcheniy [Variation principle for the phenomena of interconnected heat and mass transfer with account of finite velocity of perturbation propagation]. Inzhenerno-Fizicheskiy Zhurnal - Engineering-Physical Journal. 40(1). pp. 134-138.
3. Yavorskii N.I. (1986) Variational principle for a viscous heat-conducting liquid with relaxation. Fluid Dynamics. 21(3). pp. 338-345.
4. Nikitenko N.I. (2000) Problemy radiatsionnoy teorii teplo- i massoperenosa v tverdyh i zhid-kikh sredakh [Problems of radiation theory of heat and mass transfer in solid and liquid media]. Inzhenerno-Fizicheskiy Zhurnal - Engineering-Physical Journal. 73(4). pp. 851-859.
5. Pennes H.H. (1948) Analysis of tissue and arterial blood temperature in the resting human forearm. Journal of Applied Physiology. 1(2). pp. 93-122.
6. Ingel' L.Kh. (2002) "Negative heat capacity" in stratified fluids. Physics-Uspekhi. 45(6). pp. 637-644.
7. Shablovskii O.N. (2014) "Otritsatelnaya teployemkost' " v zadachakh nelineynoy dinamiki voln ["Negative heat capacity" in problems of nonlinear wave dynamics]. Fundamental'nye Fiziko-Matematicheskie Problemy i Modelirovanie Tekhniko-Tekhnologicheskikh System -Fundamental Physical and Mathematical Problems and Modeling of Technical and Technological Systems. Vol. 16. Moscow: Janus-K. pp. 78-89.
8. Yelshin M.I. (1938) K probleme kolebaniy lineynogo-differentsialnogo uravneniya vtorogo poryadka [To the oscillation problem of a linear second-order differential equation]. Doklady ANSSSR - Proceedings of the USSR Academy of Sciences. 18(3). pp. 141-145.
9. Polyanin A.D., Zaytsev V.F. (2002) Spravochnik po nelineynym uravneniyam matematicheskoy fiziki: tochnye resheniya [Handbook on nonlinear equations of mathematical physics: exact solutions]. Moscow: Fizmatlit.
10. Shablovskii O.N. (2011) Tochnye resheniya volnovyh uravneniy s nelineynymi istochnikami [Exact solutions of wave equations with nonlinear sources]. Fundamental'nye Fiziko-Matematicheskie Problemy i Modelirovanie Tekhniko-Tekhnologicheskikh System - Fundamental Physical and Mathematical Problems and Modeling of Technical and Technological Systems. Vol. 14. Moscow: Janus-K. pp. 382-391.
11. Herlach D., Galenko P., Holland-Moritz D. (2007) Metastable Solids from Undercooled Melts. Pergamon; Elsevier.
Received: October 24, 2018
