CC BY
102
Физико-математическое моделирование
УДК 539.214; 539.375
НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ Р.Ю. Ананьев, Д.А. Гуляев, Е.Б. Кузнецов
Предлагается алгоритм численного решения статической задачи, моделирующей большие перемещения и деформации тел, изготовленных из упругопластических материалов. В основе подхода лежит метод конечных элементов с использованием метода продолжения решения по наилучшему параметру [1] и переменных Эйлера. При этом после дискретизации проблема сводится к решению начальной задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Ключевые слова: Эйлер, упругопластические, МКЭ (метод конечных элементов), МПРП (метод продолжения решения по параметру), нелинейное
ВВЕДЕНИЕ
Многие задачи, возникающие в прикладной и вычислительной математике, в частности в механике деформируемого твердого тела, а также при проектировании изделий авиационной и ракетнокосмической техники, сводится к исследованию квазистатического деформирования тел из идеального упругопластического материала [2-4]. В этом случае при некотором значении внешних сил достигаются предельные состояния - равновесные конфигурации, в которых деформации обращаются в бесконечность. Соответствующая нагрузка называется предельной. Аналитические решения некоторых задач с определением предельных нагрузок приведены в [2].
Универсальным и эффективным методом решения задач по упругопластическому деформированию тел произвольной геометрии является метод конечных элементов (МКЭ) [5-8]. После дискретизации исходной системы дифференциальный уравнений МКЭ проблема определения равновесных конфигураций тела сводится к пошаговому интегрированию начальной задачи для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которая в предельном состоянии тела из идеального упругопластического материала является сингулярной. В стандартных процедурах пошагового интегрирования системы ОДУ в качестве параметра деформирования используется внешняя нагрузка. В этом случае в окрестности предельной нагрузки для определения равновесных конфигураций необходимо применять мелкие шаги по нагрузке. При этом итерационные процессы уточнения решения сходятся очень медленно или даже расхо-
Ананьев Роман Юрьевич - ООО «ИнтерЭксперт», администратор VmWare, тел. 89067236264, e-mail: rum_cola@mail.ru
Гуляев Денис Александрович - РСК «МИГ», инженер-конструктор, тел. 89031191858, e-mail: dengul@mail.ru Кузнецов Евгений Борисович - МАИ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. 89162171999, e-mail: kuznetsov@mai.ru
дятся. Для преодоления этих трудностей при определении равновесных конфигураций в окрестности предельной нагрузки разумно применить наилучшую параметризацию [1,9], согласно которой наилучшим параметром деформирования будет длина дуги интегральной кривой задачи. Этот параметр использовался в работах [2,8,10]. Здесь обращается внимание на еще более эффективный способ применения этого параметра.
1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ
Рассмотрим модельную задачу, при решении которой покажем те трудности, которые возникают в задачах о деформировании тел из идеального упругопластического материала в предельном состоянии, и приведем алгоритм регуляризации, далее используемый для решения плоских и объемных задач.
Рассмотрим одноосное однородное деформирование стержня с площадью поперечного сечения А, растягиваемого или сжимаемого продольной силой Р(рис. 1), см. [2]. Материал стержня предполагается упругопластическим с билинейной диаграммой одноосного растяжения, представленной на рис.2 (сти епродольные напряжение и деформация, с® > 0 -начальное значение предела текуче-сти,Е> 0 - модуль Юнга, Е^ 0 - касательный модуль Юнга). При использовании теории пластического течения с изотропным упрочнением определяющее соотношение материала стержня записывается в виде
а = ЪЁ,
(1)
где
_ (Е,\а\ <оу \о\ = ау,
Z7 U I I
Et, \а\ = ау.
(2)
ае < О, ае > 0.
Здесь оу = тах0£т£{{|о'(т)|,о'у} - текущее значение предела текучести;/- монотонно возрастающий параметр деформирования (с начальным значением /= 0), точка обозначает производную величины по /.
Уравнение равновесия в скоростях записывается в виде
а = (3)
А у ’
Из (1) и (3) получаем, принимая во внимание (2) нелинейное ОДУ
кє = Р, (4)
которое дополняем начальным условием
£(0) = 0, (5)
Здесь (4) введен касательный коэффициент
жесткости (аналог касательной матрицы жесткости [3])
к(а,ё) = ЬА.
Задача (4), (5) описывает деформирование стержня из упругопластического материала. Уравнение (4) является аналогом системы уравнений, которая получается в результате дискретизации МКЭ дифференциальных уравнений, описывающих деформирование тела из упругопластического материала.
Равновесные конфигурации стержня определяются интегрированием уравнения (4), (5). При монотонном пластическом деформировании стержня равновесные конфигурации в плоскости(£, сг)со-ответствуют диаграмме одноосного деформирования приведенной на рис. 2.
Разрешимость задачи (4), (5) зависит от значения касательного модуля Е(упругопластический материал с упрочнением).
Если Е> 0 (упругопластический материал с упрочнением), то задача (4), (5) регулярна как при упругом (к=ЕЛ) так и при упругопластическом (к= Е/А) деформировании. Решение задачи единственно. Предельные состояния не достигаются.
Если Ег = 0 (идеальный упругопластический материал). Задача (4), (5) регулярна при упругом (к=ЕА) и сингулярна при упругопластическом деформировании (к=0). В последнем случае при Р Ф Орешения не существует, а при Р = 0 решение существует и не единственно. Предельное состояние стержня достигается при Рцт = аУА■
Для стержня из упругопластического материала с упрочнением задачу (4), (5) можно решать, используя в качестве параметра деформирования силу Р(Р = 1). Длястержня изидеального упругопластического материала при деформировании за пределом упругости силу Р в качестве параметра деформирования использовать нельзя, так приР = Ірешения задачи (4), (5) не существует. Таким образом, стандартная формулировка задачи о деформировании упругопластического тела вида (4), (5) с заданнойвнешней силой не позволяет получить равновесные конфигурации в предельном состоянии.
Чтобы начальную задачу (4), (5) решить каким-нибудь численным методом, уравнение (4) предварительно следует представить в нормаль-нойформе Коши, т.е. разрешить относительно производной £
і=І (б)
Видно, что в предельном состоянии правая часть уравнения (6) теряет смысл, так как к = 0.
В монографиях [1,9] показано, что параметр нагрузки Р не всегда является удачным при решении задачи и можно поставить вопрос о выборе наилучшего, в некотором смысле параметра. Доказано, что если решать задачу при помощи метода продолжения по параметру, то наилучшим параметром, доставляющим наилучшую обусловленность соответствующей линейной системе уравнений продолжения, будет длина дуги интеграль-нойкривой задачи.
Преобразуем задачу (6), (5) к наилучшему параметру - аргументу, обозначив его через!. Предварительно в уравнении (6) дифференцирование по переменной / заменим на дифференцирование по переменной X, тогда уравнение (6) примет вид
(7)
_ 1 ар
(IX к с1Л'
Учитывая смысл параметра X, как элемента длины дуги, имеем еще одно уравнение
(йе\ (йР\
(сІї) + (сїі) “ 11
(8)
Разрешая систему уравнений (7), (8) относительно производных, получаем уравнения, записанные в нормальной форме Коши с1е 1
тт = +^=. (9)
(12
' л/Т+"Р’
с1Р _ к ах ~ “VI + к2'
Если длину дуги Хотсчитывать от начальной точки задачи (6), (5) и нагружение стержня производить из недеформированного состояния, то начальные условия для системы уравнений (9) примут вид
г(0) = 0, Р(0) = 0. (10)
Таким образом, получена начальная задача (9), (10), преобразованная к наилучшему аргументу, правая часть которой уже не теряет смысл и при значении к = 0, поэтому эту задачу можно проинтегрировать любым численным методом решения начальных задач для ОДУ.
Знак плюс или минус в системе (9) выбирается в зависимости от направления движения вдоль интегральной кривой задачи.
В [1,9] отмечаются некоторые свойства преобразованной начальной задачи (9), (10). В частности доказывается, что правая часть преобразованной задачи имеет наименьшую квадратичную норму, которая, как видно из системы (9), равна единице, поэтому задача (9), (10) может быть проинтегрирована даже в сингулярном случае, когда касательный коэффициент жесткости к = 0.
2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1. Линейная задача.Предложенная выше процедура регуляризации одномерной задачи положена в основу численного алгоритма решения задач о деформировании тел из идеального упругопластического материала в предельных состояниях.
Система уравнений квазистатического деформирования упругопластического тела после дискретизации МКЭ по пространственным переменным записывается в виде [2,5-7]
Кй = Ё. (11)
Здесь К = ||Лу||, - симметричная касательная матрица жесткости; и = (и1(и2, - вектор
узловых перемещений; Я - вектор внешних сил. Остальные обозначения совпадают с принятыми в п. 1. Система (1 1) дополняется начальными условиями
У(0) = и0. (12)
В [2] приводятся определяющие соотношения, обобщающие соотношения (1), (2) для одноосного деформирования стержня на пространственные тела, в силу чего матрица К = К(и\ поэтому соотношения (11), (12) представляют собой начальную задачу для системы нелинейных ОДУ.
Пусть вектор внешний сил Язависит только от параметра Р, характеризующего интенсивность действия внешних сил:
Я = РР. (13)
Здесь вектор Р = (Р1(Р2,...,РП)Г характеризует распределение внешних сил. С учетом (13) систему (1 1) можно переписать в виде
КО = РР. (14)
Предельная нагрузка (параметр Рпринимает значение Рцт) соответствует вырождению матрицы К. Это возможно только для тела из идеального упругопластического материала. Очевидно, что стандартные алгоритмы интегрирования нелинейной начальной задачи (14), (12) в окрестности предельных нагрузок работать не будут.
Проведем регуляризацию задачи (14), (12), используя вышеприведенный алгоритм для одноосного случая. Тогда систему уравнений (1 4), преобразованную к наилучшему аргументу X, можно
записать в виде
<1й .
К— = РР. (15) сіх
Аргумент X, как элемент длины дуги интегральной кривой задачи (14), (12), должен удовлетворять равенству
(М\ТМ (йР\‘
(гіі) 1х + \0х) ~1ш (16)
<с*Р
Решение системы линейных уравнений (15), полученное при помощи (1 6), будет иметь вид
ащ 1 ар
■ж=к‘-~ <17>
Здесь кі= и - решение системы К и =1.
Принимая во внимание равенства (17), система уравнений (15), (16) может быть разрешена относительно производных и мы получаем систему уравнений, преобразованную к наилучшему аргументу
(<1Р\2 к
\сШ -±'
2 + к2 кі
(18)
+ к2
Если аргумент отсчитывать от начальной точки задачи (14), (12) и нагружение тела происходит из недеформированного состояния, то систему уравнений (18) надо интегрировать при следующих начальных условиях
1/(0) = и0, Р(0) = 0.(19)
Таким образом, в вырожденном случае определитель касательной матрицы жесткости К равен нулю, поэтому непреобразованную задачу (11), (12) невозможно преобразовать к нормальной форме Коши и, следовательно, численно проинтегрировать. Преобразованная задача (18), (19) лишена этого недостатка, так как видно, что правые части ее не теряют смысл и в том случае, когда определитель обращается в ноль.
2.2. Нелинейная задача. Изучим задачу из п. 2.1 о квазистатическом поведении прямолинейного стержня из идеального упругопластического материала в геометрически нелинейной постановке. Сохраним обозначения, принятые в п. 2.1. Поведение стержня описывается уравнением (4), которое после преобразования к наилучшему параметру X, примет вид (9). После решения начальной задачи (9), (10), полученные значения деформации е можно использовать для нахождения перемещений и точек стрежня. Для этого, согласно подхода Эйлера, можно воспользоваться нелинейным соотношением [12]
йх 2 \0х)
(20)
■к ах
Уравнение (20) является квадратичным урав-
„ &и
нением относительно производной —, решая которое получаем следующие значения
аи ,------
— = -1 ± VI + 2£. ах
Знак минус в этом равенстве не соответствует физическому смыслу задачи, поэтому окончательно получаем
йи ,------
— = -1 + VI + 2г. (21)
ах
Учитывая, что в начальный момент стержень имел нулевые перемещения, интегрируя равенство (21), получаем
и(х) = (-1 + VI + 2є)х. (22)
Если до деформирования стержень имел длину, равную I, то согласно (22), перемещение его свободного конца будет вычисляться по формуле и(х) = (—1 + VI + 2 е)1.
В общем же случае для решения данной задачи следует использовать МКЭ. С учетом нелинейного равенства (20), уравнение (7) можно записать в виде
/ йи\ с1 йи 1 с1Р
ч Ох) йХОх кйХ'
После применения к задаче (23) по пространственной переменной х МКЭ, получаем систему уравнений, которая является линейной относительно производных, но коэффициенты ее матрицы являются функциями перемещений. После преобразования к наилучшему аргументу получим начальную задачу, интегрирование которой позволит определить перемещения в физически и геометрически нелинейном случае.
3. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
При построении решения задачи о растяжении прямолинейного стержня, изготовленного из идеального упругопластического материала, воспользуемся регуляризацией, предложенной вышев п. 2.1-2.2.
В этом случае система уравнений (14), записанная в развернутом виде, может быть представлена следующим образом
Р.(24)
Здесь к, введенный ранее касательный коэффициент жесткости. Коэффициенты к-вычислялись по формулам [11]
кц кі2 ■ " ^1п Щ 1
к ^21 к22 • " к2п Щ = 1
-Кі кп2 ■ Кп- Мп- 1
Г «Щ- (х)
= J Ыь(х)—--------йх +
*1+і
Ах
/
СШ/ (Х)
ВД—*■
Х]-1 Х]
где базисные функции Ыт(х) являются кусочно-линейными и имеют вид ЭСт—1
Нт(х) = < хт+1
^т. Хт— 1
— X
1т+1
-х„
хє [хт_^, хт];
'•т>лт+1]»
хє[хгг,х„
_і и X > Хт+1.
'-т
0, х < хп
Систему ОДУ (24) следует решать при начальных условиях
м,-(0) = ыл і = 1, 2, ... , п.(25) Начальная задача (24), (25) для идеального упругопластического стержня является сингулярной при достижении усилием Р предельного значения, так как в этом случае касательный коэффициент жесткости к принимает нулевое значение. Согласно алгоритму регуляризации преобразуем систему ОДУ (24) к наилучшему аргументу. Перепишем ее в виде
/Сц ^12 ' " ^1п
к2і к22 • " к2п
кп! кп2 ■ ъ П'пп
сіщ
(IX
йи2
АХ
Их
ар
ж-(26)
Аргумент X, как элемент длины дуги интегральной кривой задачи (24), (25), должен удовлетворять равенству
V1 /^ил2 {ЛР\2
ТЫ) +Ы=1- (27)
Решение системы, линейных относительно производных уравнений (26), можно записать в виде
ащ 1 ар
7ГГ = *!-—. (28)
ах
к ах’
Здесь кі=й - решение системы К и =1.
Принимая во внимание равенства (28), система уравнений (26), (27) может быть разрешена относительно производных и мы получаем систему уравнений, преобразованную к наилучшему аргументу
(ар\2 к
\сШ -±'
(£)■-*
2 + к2 кі
^=1 кі2
(29)
+ к2
которую нужно решать при следующих начальных условиях
И;(0) = ЩаР(0) = Ра і = 1, 2, ... , п. (30) Здесь предполагается, что аргумент отсчитывается от начальной точки задачи (24), (25).
Преобразованная к наилучшему аргументу начальная задача (29), (30) отличаются в лучшую сторону от непреобразованная задача (24), (25). Ведь непреобразованная задача в вырожденном случае является сингулярной и ее невозможно преобразовать к нормальной форме Коши и, следовательно, численно проинтегрировать. Преобразованная задача лишена этого недостатка, так как из системы уравнений (29), видно, что правые части ее не теряют смысл и в том случае, когда касательный коэффициент жесткости к принимает нулевое значение, а значит эта задача может быть с успехом проинтегрирована.
В качестве тестового примера исследуем задачу, рассмотренную в [2], т.е. изучим растяжение прямолинейного стержня длиной 1м, квадратного поперечного сечения (сторона квадрата равна 0.01м). Один конец стержня защемлен, а к свободному концу приложена сила Р. Стержень изготовлен из идеального упругопластического материала с механическими константами
Е = 100000 Па, Е= 0, <7у= 6000 Па. Решение для стержневой (одномерной) модели строится при помощи формы Бубнова - Галеркина МКЭ, при этом стержень вдоль своей оси разбивается на десять элементов, т.е. п = 10. Решение линейной задачи (26) отыскивалось при помощи метода Гаусса, а начальная задача (29), (30) с однородными начальными условиями интегрировалась методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Диаграмма одноосного растяжения воспроизводится при численном решении с высокой точностью - рис. 3.
Рис. 1
о
°У E = 0
j EiO £
Рис. 2
Рис. 3
по наилучшему параметру [1,9], которым являются длина дуги интегральной кривой задачи. После преобразования исходной сингулярной задачи к наилучшему параметру, задача становится регулярной и может быть успешно проинтегрирована. При этом, в отличии от алгоритма, предложенного в работе [2], никаких дополнительных итерационных процессов организовывать не требуется.
Литература
1. Шалашилин В. И., Кузнецов Е. Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике. М.: Эди-ториал УРСС. 1999. 224 стр.
2. Аннин Б.Д., Алехин В.В., Коробейников С.Н. Определение предельных состояний упругопластических тел. Прикладная механика и техническая физика. 2000. Т.41 №5. С. 196-204
3. Аннин Б.Д., Упругопластическая задача. Б.Д. Аннин, Г.П. Черепанов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1983.
4. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1689.
5. Bathe K.-J. Finite element procedures in engineering analysis. Englewood Cliffs (New Jersey): Prentice-Hall, 1982.
6. Zienkiewicz O.C. The finite element method. O.C. Zienkiewicz, R.L., Taylor. L.: McGraw-Hill, 1991.
7. Коробейников С.Н. Решение двумерных геометрически и физически нелинейных задач методом конечных элементов. Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы Х Всесоюзной конференции. Новосибирск: Ин-т теоретич. и прикл. Механики СО АН СССР, 1988. С 134-140.
8. Голованов А. И. Математические модели нелинейной механики деформируемых сред. А.И. Голованов, Л.У. Султанов. Казань: Казанский гс. ун-т. 2009.
9. Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения и наилучшая параметризация. М.: МАИ-ПРИНТ. 2010
10. Bathe K.-J., Dvorkin E.N. On the automatic solution of nonlinear finite element equa-tions.Comput.and Structures. 1983. V. 17. № 5/6. P.871-879.
11. Формалёв В. Ф. Численные методы. / В. Ф, Формалёв, Д. Л. Ревизников. М.: Физматлит, 2004.
12. Новожилов В. В. Теория упругости. Ленинград: Судпромгиз, 1958.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе дан алгоритм регуляризации задач о деформировании тел из идеальногоупругопласти-ческого материала в предельных состояниях.В основе подхода лежит метод продолжения решения
ООО «ИнтерЭксперт», г. Москва РСК «МИГ», г. Москва
Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет)
NONLINEAR DEFORMATION OF ELASTOPLASTIC MATERIALS R.Yu. Ananjev, D.A. Gulyaev, E.B. Kuznetsov
An algorithm of a numerable solution to a static problem, modeling large scale movement and deformation of bodies, produced of elastoplastic materials, is suggested (presented). The basis of the solution lies in the method of final elements with the use of continued solving with the best parameters and Euler variables. At the same time, after discretisation the problem boils down to soling the initial problem for the system of typical differential equations
Key words: Nonlinear, elastoplastic, Finite Element Method, Euler, differential equations, best parameters
