Нелинейно-дисперсионные уравнения мелкой воды на вращающейся сфере Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии

Том 15, № 3, 2010

Нелинейно-дисперсионные уравнения мелкой воды

на вращающейся сфере*

З.И. Федотова, Г. С. Хакимзянов Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия e-mail: zf@ict.nsc.ru, khak@ict.nsc.ru

Получены нелинейно-дисперсионные уравнения мелкой воды на сфере, которые могут использоваться при моделировании распространения волн цунами на большие расстояния с учетом вращения Земли, сферичности поверхности океана и дисперсии волн.

Ключевые слова: поверхностные волны на воде, уравнения мелкой воды на сфере, нелинейно-дисперсионные уравнения.

Введение

В последние годы заметно возрос интерес к изучению задач, связанных с катастрофическими волновыми процессами в океане. В 2006-2008 гг. опубликовано несколько концептуальных работ (см., например, [1-3]), где рассматриваются перспективы применения современных математических технологий, способных описать различные стадии этого явления с требуемой для практики точностью. Аргументы, на которых основаны ВЫводы авторов указанных работ, в значительной степени опираются на анализ результатов математического моделирования крупнейших цунами двух последних десятилетий. Основное заключение относительно выбора математических (гидродинамических) моделей сводится к следующему: для адекватного описания явления на продолжительное время и в больших по широтному и долготному направлениям акваториях требуются модели, способные воспроизводить дисперсию, отражающую в определенной степени неоднородность процесса в вертикальном направлении, что особенно важно в случае цунами, вызванных и(или) сопровождающихся оползневыми процессами [4], и учитыВаТЬ эффекты, связанные со сферичностью и вращением Земли [5, 6]. В совокупности это приводит к необходимости применять учитывающие подвижность дна нелинейно-дисперсионные (НЛД) модели на сфере.

Уравнения мелкой воды, описывающие динамику длинных волн на сфере, давно используются при численном моделировании задач метеорологии. Возникающая здесь вычислительная проблема состоит в вырождении этих уравнений в точках полюсов. В [7] приведены различные формы уравнений мелкой воды в сферической геометрии (со ссылкой на монографию [8], где дан подробный вывод этих уравнении из полных уравнений гидродинамики путем интегрирования по глубине) и сформулированы тестовые задачи для оценки эффективности численных алгоритмов, разработке которых

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-05-00294) и программы Государственной поддержки научных школ РФ (№ 931.2008.9).

© ИВТ СО РАН, 2010.

посвящено много работ. В частности, успешно применяются метод конечных разностей (например, [9, 10]) и спектральные методы. В указанных публикациях уравнения мелкой воды в системе координат ОЛ—r ( Л — долгота, — — широта, r — радиальное расстояние) на вращающейся сфере записаны в виде

dH

-ж+V(H u)=0-

H + V. (Huu) = (f + R tan —) Hv - Ж- Щ,

H + V. (Hvu) = - (f + R tan —) Hu «

где u — вектор линейной скорости с компонентами u = R cos — Л; v = R — R — радиус Земли; H = n + h — полная толщина слоя жидкости (атмосферы), h — рельеф дна (земной поверхности); f = 2ш sin — — параметр Кориолиса, ш — угловая скорость вращения Земли; g — ускорение свободного падения. Дивергенцпя вектора u вычисляется следующим образом:

V-u 1

R cos —

du dvcos —

7TV +

Л —

Правая часть уравнений движения системы (1) содержит силу Кориолиса, гр&дибнт гидростатического давления и дополнительные члены относительного движения во вращающейся системе координат в направлениях широты и долготы.

В опубликованных НбДсШНО работах [11, 12] выведены более подробные по сравнению с (1) уравнения, содержащие центробежную силу, связанную с вращением Земли. В отличие от ранних публикаций на эту тему в указанных статьях обсуждаются условия применимости моделей и проведено аналитическое исследование ряда частных случаев.

В отличие от метеорологии и климатологии, где ввиду планетарных масштабов сферические координаты рассматривались всегда, во многих задачах динамики волн цунами использовались локальные декартовы координаты. Следует также отметить, что в численном моделировании волн цунами при переходе к сферическим координатам HG ВОЗНИКавТ проблем с учетом полюсов: в области решения задачи уравнения мел-кои воды остаются невырожденными ^ так как движение длинных поверхностных волн ограничено на Южном полюсе Антарктидой, а на Северном полярными льдами.

В [1] уравнения мелкой воды на сфере, аналогичные (1), приводятся в недивергентном виде и с учетом трения. Вывод этих уравнений для задач динамики поверхностных океанических волн приведен в монографии [13]. В более ранних работах (см., например, [14]) используются уравнения мелкой воды, не учитывающие члены

(r tan ^ Hv, (r tan ^ Hu.

Заметим, что в задачах цунамирайонирования эти члены могут давать пренебрежимо малый вклад.

На необходимость применения НЛД-уравнений на сфере указано в нескольких опубликованных в последнее время работах. В [6] к уравнениям мелкой воды, записанным в сферических координатах, добавлены линейные дисперсионные члены. С использованием модифицированной системы уравнений, включенной в программную систему

Т1ШАМ1-М2, авторами статьи [6] было проведено моделирование Суматранского цунами 2004 года, показавшее необходимость учета дисперсии и сферичности. В работе [5], где описано математическое моделирование этого же события с применением известной программной системы Р1Ж\¥АУЕ, основанной на полной нелинейно-дисперсионной модели без учета сферичности и разработанной в [15] с учетом идей [16], также указывается на необходимость вывода НЛД-уравнений на сфере.

В статье [171 дан единообразный вывод нелинеино-дисперсионных уравнении Грина—Нагди, Железняка—Пелиновского и Алешкова, описывающих поверхностные волны на воде без учета сферичности и вращения Земли, но с учетом подвижности донной поверхности. В настоящей работе развитый в [17] подход применяется для вывода НЛД-уравнений мелкой воды на вращающейся сфере.

1. Постановка задачи для уравнений Эйлера

Уравнения Эйлера, описывающие течение жидкости в сферической системе координат с учетом вращения Земли, приведены в [18]. Однако дл я. в ы вода приближенных НЛД-уравнений удобнее работать с другой формой записи уравнений Эйлера, представленной в данном разделе.

Введем неподвижную декартову систему координат так, чтобы ее ось Ог проходила по оси вращения Земли, Северный полюс соответствовал координате г = Я, а координатная плоскость Оху совпадала с экваториальной. Силу ньютоновского притяжения д, действующую в точке х = (х,у, г)т на частицу жидкости единичной массы, считаем направленной к центру Земли, т. е.

х х у г

ё = -0ГТ = -0ГТе1 - е2 - 9г~\ ез> 1х1 1х1 1х1 1х1

где еа (а = 1, 2, 3) — базисные векторы декартовой системы координат. Поскольку слой воды является тонким по сравнению с радиусом Земли, то величина д предполагается постоянной по всему слою. Плотность воды также считается постоянной и равной единице во всем слое жидкости.

При указанных предположениях уравнения, описывающие течение идеальной несжимаемой жидкости, можно записать в декартовой системе координат в виде

дне дхс

0, (2)

днв днв др хв

+ + ^ = -дв = 1,2,3 (з)

дг дха дхв

г

где г — время; Р — давление; г = |х| — расстояние от точки х до центра Земли; иа (а = 1, 2, 3) — декартовы компоненты вектора скорости; по повторяющемуся верхне-

а

записи введены следующие обозначения для декартовых координат! х — х, х — у,

3

х = г.

Рассмотрим сферическую систему координат О\9т, где А — долгота, отсчитываемая к востоку от некоторого меридиана (0 < А < 2^), 9 = п/2 - ф — дополнение до широты ф (-п/2 < ф < п/2), связанную с вращающейся Землей; при этом предполагается, что Земля вращается с постоянной угловой скоростью ш и вектор угловой скорости

направлен к Северному полюсу, т.е. ш = we3. Сферические и декартовы координаты связаны выражениями

x = r cos(A + wt) sin 9, y = r sin(A + wt) sin 9, z = r cos 9. (4)

В новой системе координат уравнения (2), (3) запишутся как [19]

dJva

dqc

0, (5)

J + Jvvl + jdPdqa = -JJ-, в = 1, 2, 3, (6)

dt dqa dqa dxe *r

где J = —r2 sin 9 — якобиан преобразования (4), va (a = 1, 2, 3) контравариантные компоненты скорости:

v1 = A , v2 = 9, v3 = r, (7)

q1, q2 и q3 — новые обозначения координат A, 9 r Поскольку получен-

ные ниже НЛД-уравнения предназначены для моделирования волн цунами, намеренно

9

резка [е,п — е] (е > 0), что гарантирует невырожденность преобразования (4).

Теперь уравнение неразрывности записано в той форме (5), которая удобна для вывода уравнении приближенных НЛД-моделей, а к уравнению движения (6) будут применены дополнительные преобразования. Учитывая уравнение неразрывности, (6) можно переписать в виде

^ + va due + dP dqa = —g-, в = 1, 2, 3. (8)

dt dqa dqa dxe ^r K ¡

Возьмем некоторое y (y = 1, 2, 3) и умножим каждое из уравнений (8) на соответствующую производную dxe fdq1. Просуммировав полученные уравнения по индексу в-, получим следующие три уравнения:

dvY advY dP r3 ( d2xe a d2xe \ _ „ „

-Ж + vadqY + W< = —gS3 + 4dqd, + ""dkrdkf) ■ y = 1'2'3 (9)

где по индексам а и в выполняется суммирование, — символы Кронекера, — ковариантные компоненты вектора скорости:

дхв

V = ив дкт' (10)

Выражения в правой части уравнений (9) преобразуем путем замены согласно формулам [20] декартовых компонент скорости на контравариантные:

дхв дхв ..

ив = Ж + д^ ^

В результате приходим к следующей форме уравнений движения идеальной жидкости во вращающейся сферической системе координат:

^ + ^ ^ + др __ а6з + 1 ^ + г „-12 3 СИ)

дЬ + У дда + д^ = ^ +2 дду + ^ 1 = 1 2' 3' Щ)

rY = v + о lv ) + о ) , Y = 1, 2, 3, (12)

.iд^ю + 1(i)2 dgii + 1(2)2 d^

dqY +2 [v ' dqY +2 ^ dqY goo, gao, gap {a, в = 1, 2, 3) — ковариантные компоненты метрического тензора преобразования (4), которые вычисляются по формулам [20]

goo = 1 + ш2г2 sin2 9, gio = шг2 sin2 9, g2o = g3o = 0, (13)

gil = г2 sin2 9, g22 = Г2, g33 = 1, gae = 0 при a = в- (14)

Поскольку компоненты (13), (14) не зависят от координаты А, то г1 = 0. В правых частях уравнений (11) второе слагаемое

0 при y =1,

г2ш2 sin 9 cos 9 при y = 2, (15)

1 dgoo _ J 2 2

2 dqY , 2 2

тш sin2 9 при y = 3

связано с центробежной силой, возникающей из-за вращения Земли. Эта сила приводит к отклонению градиента давления в покоящейся жидкости от радиального направления. Далее вместо давления P будем использовать величину p = P — goo/2, которая

при отсутствии вращения совпадает с давлением, а при его наличии отличается от P,

p

Земли. Принимая во внимание малость квадрата скорости вращения Земли и поря-

p = P

Таким образом, приходим к окончательному виду уравнений движения с выделенным радиальным направлением:

vt + (u • V)v + w vr + Vp = r, (16)

wt + u • Vw + wwr + pr = —g + т3, (17)

где через w обозначена "вертикальная" составляющая скорости v3; u = (v1,v2)T — вектор "горизонтальной" составляющей скорости; V = (О/ЗА, 0/09); r = (т1,т2)т;

т = 0 т = vi ддю + (v1)2 dgn т = vi dgw + (v1)2 dgn + (v2)2 dg22. ( , T1 = 0, т2 = + — тз = ~дт +"дТ + ~~дГ~' (18)

v = (v^ v2)T, при этом ковариантные компоненты скорости vY (y =1, 2, 3) выражаются

)T,

через контравариантные по известной формуле [20]

= 9i0 + 91в Vе,

которая с учетом равенств (13), (14) приводит к выражениям

Vl = gio + gilV1, V2 = g22V2, V3 = V3 = w. (19)

Система уравнений (5), (16) и (17) дополняется начальными и краевыми условиями. Будем считать, что слой жидкости ограничен снизу непроницаемым подвижным дном, з аданн ы м функцией r = R — h(A,9,t), а сверху — свободной границей, описываемой функцией r = R + п(А, 9, t). В сферической системе координат краевые условия на этих частях границы записываются как [20]

(П + u •Vn — w)|r=^ = 0, (20)

pLr+П = (21)

(ht + u •Vh + w)lr=R-h = 0. (22)

2. НЛД-уравнения мелкой воды на сфере

В моделях мелкой воды искомыми величинами являются H = п + h — полная глубина слоя жидкости и е(А, 9, t) — вектор скорости в приближенной модели, связанный каким-либо образом с вектором скорости трехмерного течения. В н ас т ояще и работе в качестве c возьмем осредненную по глубине "горизонтальную" составляющую скорости:

п

С =(ci,c2)T = 1J u ds, (23)

-h

где s = r — R. Основное предположение, используемое нами при выводе НЛД-уравнений мелкой воды на сфере, состоит в том, что в тонком по сравнению с радиусом Земли слое воды можно пренебречь изменением компонент метрического тензора по глубине, т.е. в формулах (13), (14) можно использовать приближенные величины

010 = uR2 sin2 9, g11 = R2 sin2 9, g22 = R2. (24)

Тогда и для якобиана J = —r2 sin 9 берется его приближенное значение

J = —R2 sin 9. (25)

2.1. Уравнение неразрывности приближенной модели

Проинтегрируем уравнение неразрывности (5), переписанное в новых обозначениях, по s

п

Г (dJv1 dJv2 dJw\ , -h

и преобразуем полученное соотношение к виду

п п

dí d f

— Jv1 ds + — Jv2ds — J (u • Vn — w) — J (u • Vh + w) =0. (26) дА I д9 I

в=п

s=—h

-h -h

Из интегрального соотношения (26) при учете формул (23), (25) и краевых условий (20), (22) следует уравнение неразрывности

(Ш \ + (ЗИс1]х + (ЗИС2 \ = 0. (27)

Если ввести оператор дивергенции в сферических координатах

V-с =(^)а + ; (28)

то уравнение (27) примет следующий вид:

Иг + V - (Нс) = 0. (29)

2.2. Уравнения движения в НЛД-модели на сфере

При выводе уравнений движения используем те же предположения, что и при получении НЛД-уравнений движения на плоскости [17]: будем предполагать, что "горизонтальная" составляющая вектора скорости постоянна по глубине (вектор и не зависит от координаты в), а "вертикальная" ^ здесь радиальная^ компонента зависит от з линеино!

w(\,в,s,t) = т0(\,в,г) + [з + к(\,в,г)] т1(Х,в,г), — Н < з < ц. (30)

В качестве искомого вектора с примем вектор и. Отсюда следует, что уравнение неразрывности приближенной модели имеет вид (29).

При предположении (30) относительно компоненты w из условия (22) следует, что wo = — ПН а го кинематического условия (20) — Wl = (ПИ)/И, где П — оператор полной производной

д

П = т +с'У-

Следовательно. "вертикальная" компонента скорости определяется по формуле

= —ПН + ПИ, И

которая в силу равенства

ПИ = — ИУ^ с , (31)

вытекающего из уравнения неразрывности (29), может быть записана в виде

w = —ПН — (в + Н)У • с. (32)

Тогда

Пw = —П2Н — ПНУ • с — (в + Н)П (У • с), (33)

wws = ПНУ • с + (в + Н) (У • с)2. (34)

Проинтегрируем уравнение (17) по "вертикальной" координате в от некоторого £ (—Н < ( < ц) до ц:

у (wt + с • Уw + wws + Рз) ds = J ( — д + гэ) ¿з.

С С

Подставляя в это соотношение выражения (33) и (34) и учитывая динамическое условие (21), получим формулу для вычисления давления:

п

Р = — ИЯ! + (д — Я2)И — (д — ЪЖ + + Я1 — ! гэ ¿з, —Н < £ < ц,

С

в которой использованы обозначения

Я = П (У • с) — (У • с)2 , Я2 = П2Н- (35)

п

п

Из формул (18), (24) следует, что г3 = 0 и, тем самым, давление является квадратичной функцией независимой переменной в:

Н2 (в + Ь)2

Р = —уЯг + (д - Я2)Н - (д - Я2)(в + Н) + 1 2 ; Яъ -Н < в < п- (36)

Найденное выражение для давления используется при выводе уравнений движения НЛД-модели. Из формул (19) при учете допущений (24) следует, что компоненты вектора V не зависят от "вертикальной" координаты в, вследствие чего V., = 0. Поэтому интегрируя уравнение (16) по всему слою воды

п п

J (vt + (с • У^ + Ур) йв = J г ¿в, -н -н

г

в

H(vt + (с •У)^ + У^ рйв - р УН = гН. (37)

-н

Поскольку распределение давления (36) в исходном трехмерном течении известно, то его можно использовать в полученном выражении (37) для вычисления членов с давлением:

п 3 2

У у рйв - р| _ УН = дНУп - У ^НЯг + НЯ^ + НУН^НЯг + Я^ . (38) -н

Тогда из (37) следует уравнение движения приближенной НЛД-модели:

1 í Н з Н 2 \ í Н \

vt + (с • УК + дУп = Н У ( — Яг + — ЯН - УН( у Яг + ЯП + г, (39)

ну{ з ^ 2 и

в котором

с = (сг,с2) , V =(^г,^2) , ^г = дго + дггСг, ^ = д22С2, / чт _ п ддго . с2г ддгг

г = (гг'гг) ' Гг = 0' Г2 =СгЖ + ¥Ж>

величины дго, дгг и д22 вычисляются по формулам (24), а Яг ж Я2 — по (35). 2.3. Другие формы записи уравнений НЛД-модели

Для численного решения задачи может потребоваться запись уравнения движения (39) в виде уравнения с дивергентной левой частью:

дУ дЕт д Е2

ж + + ж = З<УФ + *УН + Нг). (40)

где У = ЗНV, Еа = JHvca {а =1, 2),

Н3 Н2 Н2 Н2

Ф = —Яг + —Я2 - д—, Ф = дН--Яг - НЯ2.

3 2 2 у 2 2 г 2

По (27), (40) определяются полная глубина H и контраварпантные компоненты ca вектора скорости с. При численном решении задачи удобнее использовать линейные компоненты mw этого вектора:

u = R sin 6Х, v = Яд.

Из формул (25), (27) и (40) следует, что для зависимых переменных H, u, v уравнения НЛД-модели будут выглядеть следующим образом:

(HR sin 6)t + (Hu)A + (Hv sin 6)e = 0, (41)

(HuR sin 6)t + (Hu2) A + (Huv sin 6)e = - (uR sin 26 + u cos 6) Hv + Фа + Ф^а , (42) (HvR sin 6)t + (Huv)A + (Hv2 sin 6) e = (шЯ sin 26 + u cos 6) Hu + sin 6 (Ф# + Фк$), (43)

при этом величины Ra (а = 1, 2), входящие в дисперсионные члены, вычисляются по формулам

Ri = (V • c)t + (u (V • с)а + v sin 6 (V • c)e ) - (V • c)2 , (44)

1

V^ с Заключение

R2 = (dh)t + (u (Dh) а + v sin 6 (Dh)e) , (45)

rl~6 ('ua + (V sin 6)0 ' Dh = ht + Шъ6 (uha + V sin 6 ■

В работе выведены нелинейно-дисперсионные уравнения мелкой воды (41)—(43) на вращающейся сфере. При этом предполагалось, что долготная и широтная компоненты

г

г

выводе НЛД-уравнений на сфере использовался подход Грина—Нагди [23] для получения НЛД-уравнений на плоскости [17].

Отметим, что если при выводе НЛД-уравнений на сфере применить другой подход, основанный на разложении потенциала скорости трехмерного течения по малому параметру в (обозначение взято из [17]), то окажется, что представленная выше модель принадлежит к классу так называемых полных НЛД-моделей второго гидродинамического приближения. Из нее могут быть выведены многочисленные варианты промежуточных НЛД-моделей, лежащих между полученной полной и классической моделями мелкой воды на сфере первого приближения. В частности, пренебрегая в уравнениях (41)-(43) дисперсионными членами (44), (45) и используя вместо координаты 9 широту <р, придем к уравнению мелкой воды (1). Если рассмотреть случай модельной акватории с ровным дном, то дисперсионные слагаемые в (42), (43) существенно упрощаются и приводятся к виду, рассмотренному в работе [6].

Авторы благодарят Л.Б. Чубарова, по инициативе которого было проведено насто~ ящее исследование.

Список литературы

Murty T.S., Rao A.D., Nirupama N., Nistor I. Numerical modelling concepts for tsunami warning systems // Current Sci. 2006. Vol. 90, No. 8. P. 1073-1081.

Dalrymple R.A., Grilli S.T., Kirby J.Т., Watts P. Tsunamis and challenges for accurate modeling // Oceanography. 2006. Vol. 19, No. 1. P. 142—151.

Чубаров Л.Б., Шокин Ю.И. Математическое моделирование в задачах поддержки принятия решений в ходе кризисных ситуаций, связанных с катастрофическими волновыми процессами в океане // Тр. IX Всероссийской конф. "Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики". СПб.: Наука, 2008. С. 432-436.

Tappin D.R., Watts P., Grilli S.T. The Papua New Guinea tsunami of 17 July 1998: Anatomy of a catastrophic event // Nat. Hazards Earth Syst. Sci. 2008. Vol. 8. P. 243—266.

Grilli S.T., Ioualal en M., Asavanant J. et al. Source constraints and model simulation of the December 26, 2004 Indian Ocean tsunami //J. Waterway Port Coastal and Ocean Eng. 2007. Vol. 133, No. 6. P. 414-428.

Dao M.H., Tkalich P. Tsunami propagation modelling — a sensitivity study // Nat. Hazards Earth Syst. Sci. 2007. Vol. 7. P. 741-754.

Williamson D.L., Drake J.В., Hack J.J. et al. A standard test set for numerical approximations to the shallow water equations in spherical geometry //J. Сотр. Phys. 1992. Vol. 102. P. 211-224.

Haltiner G.J., Williams R.T. Numerical Prediction and Dynamic Meteorology. 2nd ed. N.Y.: John Wiley and Sons, 1980. 477 p.

Lanser D., Blom J.G., Verwer J.G. Spatial discretization of the shallow water equations in spherical geometry using Osher's scheme / Report MAS-R9918 July 31, 1999, ISSN 13863703. Amsterdam, Stichting Mathematisch Centrum, 1999. 34 p.

LlSKA R., Wendroff B. Shallow water conservative laws on a sphere // Intern. Series Num. Math. 2001. Vol. 141. P. 673-682.

Черевко А.А., Чупахин А.П. Уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере. 1. Вывод и общие свойства // Прикл. механика и теор. физика. 2009. Т. 50, № 2. С. 24-36.

Черевко А.А., Чупахин А.П. Уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере. 2. Простые стационарные волны и звуковые характеристики // Там же. 2009. Т. 50, № 3. С. 82-96.

Kowalik Z., Murty T.S. Numerical Modeling of Ocean Dynamics. Advanced Series on Ocean Eng. Vol. 5. World Scientific Publ. Co, 1993. 481 p.

Murty T.S. Storm Surges-Meteorological Ocean Tides. Bull. No. 212, Fisheries Res. Board of Canada, Ottawa, 1984. 897 p.

Wei G., Kirby J.T. A time-dependent numerical code for extended Boussinesq equations // J. Waterway, Port, Coastal and Ocean Eng. 1995. Vol. 120. P. 251-261.

Nwogu O. Alternative form of Boussinesq equations for near shore wave propagation // Ibid. 1993. Vol. 119. P. 618-638.

Федотова З.И., Хакимзянов Г.С. Нелинейно-дисперсионные уравнения мелкой воды на нестационарном дне // Вычисл. технологии. 2008. Т. 13, № 4. С. 114-126.

[18] Кочин Н.Е., Кивель И.А., РОЗЕ Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. М.: Физ-матлит, 1963. 583 с.

[19] Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. 304 с.

[20] Хакимзянов Г.С., Шокин Ю.И., Барахнин В.Б., Шокинд Н.Ю. Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001. 394 с.

[21] Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Л.: Гидрометео-издат, 1974. 303 с.

[22] Б елов П.Н., Борисенков Е.П., Панин Б.Д. Численные методы прогноза погоды. Л.: Гидрометеоиздат, 1989. 376 с.

[23] Ertekin R.C., Webster W.C., We нausen J.V. Waves caused by a moving disturbance in a shallow channel of finite width //J. Fluid Mech. 1986. Vol. 169. P. 275-292.

Поступила в редакцию 20 июля 2009 г., с доработки — 20 ноября 2009 г.