Нелинейная задача о движении цилиндра под свободной поверхностью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 963-965

УДК 532.3

НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ЦИЛИНДРА ПОД СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

© 2011 г. Н.И. Макаренко, В.К. Костиков

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск

[email protected]

Поступила в редакцию 16.05.2011

С помощью аналитических методов исследована задача о генерации нелинейных нестационарных волн на поверхности глубокой идеальной жидкости погруженным эллиптическим цилиндром. Используется метод сведения исходной постановки к интегро-дифференциальной системе уравнений для функции, задающей возвышение свободной поверхности, а также нормальной и тангенциальной составляющей скорости на свободной поверхности. Для случая движения цилиндра с постоянным ускорением из состояния покоя построена начальная по времени асимптотика решения задачи.

Ключевые слова: идеальная жидкость, нелинейные волны, погруженный цилиндр, асимптотические методы.

Исходные уравнения

Задача о нестационарном волновом движении жидкости при наличии погруженных тел актуальна в связи с необходимостью моделирования поведения на волнении больших морских сооружений и элементов их конструкций. Движение идеальной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести описывается гидродинамическими уравнениями Эйлера для вектора скорости (и, V) и давления р:

Ut + UUX + VUy + px = 0,

Vt + UVx + VVy + Py =-x,

Ux + Vy = 0, Uy - Vx = 0

Интегро-дифференциальные уравнения на свободной границе

Эффективным способом аналитического исследования задачи о движении тела в идеальной жидкости является предложенный в [1] метод редукции исходных уравнений с заранее неизвестной областью определения искомых величин к системе интегро-дифференциальных уравнений на свободной границе. При наличии тела, погруженного в жидкость, указанная система имеет вид

(1)

2

с условием постоянства давления и нелинейным кинематическим условием на свободной границе у = п(х, 0- Система уравнений (1) записана в безразмерной форме с числом Фруда X = = gh0 /и02, где И0 и и0 - характерные глубина погружения и скорость тела. Для тела, полностью погруженного в жидкость и движущегося по заданной траектории, нормальная компонента вектора скорости жидкости на его поверхности должна совпадать с нормальной компонентой скорости перемещения самой твердой поверхности. Требуется определить поле скоростей жидкости и форму свободной границы, если они известны в начальный момент времени. Разрешимость данной нелинейной задачи до недавнего времени оставалась неисследованной даже в локальной по времени постановке.

+ Hx = °

nv(x) + vp I A(x,s)v(s)ds = (2)

= vp |B(x,s)u(s)ds + vcurl (x) + vdip (x),

где u и v — касательная и нормальная компоненты скорости жидкости (время t входит в интегральное уравнение для нормальной скорости только как параметр). Ядра A, B и функции vcurl, vdip, нелинейно зависящие от формы свободной поверхности n(x, t), в случае кругового цилиндра удается выписать [2] на основе теоремы Милн — Томсона. Тем самым в задаче исключается необходимость рассматривать вклад членов, содержащих интегралы по поверхности обтекаемого тела. Вывод указанного интегрального уравнения является достаточно трудоемким и

использует представление комплексной скорости жидкости F(z, 0 = U — ^ ^ = x + iy), которое содержит интегралы только по свободной границе. В случае эллиптического цилиндра такое представление получается с помощью обобщения теоремы Милн — Томсона [3] и имеет следующий вид:

2to'F ( z, t) = J

F (Z, t)dZ Z-z

+

- i-

A J ,

F(Z,t )dZ

4 JrT(Z) - (cV4r2)t*(z)

J F(Z, t)dZ -

Jx(Z ) -T*( z)

T'( z ) +1iS^+

t2( z )

t( z)

(

+ 2 ni

r 2 z1

cyl (t) 4 z cyl

(t)

T'( z)

T 2( z )■

Здесь F(Z, t) — вспомогательная аналитическая функция, дающая конформное отображение внешности эллипса с эксцентриситетом c на внешность круга радиуса г = ^ + Ь)/2, где a и Ь — полуоси эллипса. Построение в явном виде ядер интегральных операторов, описывающих взаимодействие цилиндра со свободной поверхностью, позволяет охарактеризовать структуру асимптотического ряда по степеням малого параметра заглубления цилиндра и исследовать начальную по времени асимптотику решения задачи о движении эллиптического цилиндра вблизи свободной границы.

Ряд (3) адекватно описывает начальную стадию движения, включающую в себя фазу формирования инерционного слоя жидкости в окрестности ускоряющегося тела и последующую фазу начала образования волнового следа. На рис. 1 показаны формы свободной поверхности: а — всплытие, б — погружение, в — горизонтальное движение эллиптического цилиндра.

Такая схема движения, описываемая построенным решением, хорошо согласуется с наблюдаемым в экспериментах и численных расчетах [4] процессом движения тела вблизи свободной поверхности.

Так, при вертикальном погружении цилиндр на ранней стадии движения вовлекает жидкость за собой, после чего свободная поверхность выгибается вверх с образованием струи всплеска. При медленном движении тела вблизи свободной поверхности успевают образоваться системы расходящихся волн, а при быстром выходе цилиндра из жидкости рассматриваемое решение описывает эффект инерционного выноса массы жидкости.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 09-01-00427, по Программе РАН № 20 (проект № 4) и гранту Правительства России для государственной поддержки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых в российских вузах (11.G34.31.0035).

1 1 і і 1

-1 -1 -2 - 1 -1 -1 1 —1 -1 -, -2 m

а)

б)

Рис. 1

в)

2

Начальная асимптотика волнового движения

Рассмотрим начальную стадию движения, возникающего из состояния покоя, когда в момент времени t = 0 эллиптический цилиндр находится на заданной глубине. В этом случае задача сводится к нахождению коэффициентов в разложении решения уравнений (2) по степеням t вида

П( х, t) = п2( x)t2 + п3( x)t3 + п4( x )t4 + к (3)

Список литературы

1. Овсянников Л.В. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985. 320 с.

2. Makarenko N.I. // JOMAE Transaction ofthe ASME. 2003. V. 125, No 1. P. 72-75.

3. Makarenko N.I. // Proc. 23rd Int. Conf. on Offshore Mech. and Arctic Engineering. June 20-25, 2004. Vancouver, Canada. Paper OMAE-51413.

4. Zhu X., Faltinsen O.M., Hu C. // JOMAE Transaction of the ASME. 2007. V. 129, No 4. P. 253-265.

NONLINEAR PROBLEM OF THE MOTION OF A CYLINDER UNDER A FREE SURFACE

N.I. Makarenko, V.K. Kostikov

The problem of nonlinear non-stationary surface waves in a deep ideal fluid generated by submerged elliptic cylinder is investigated. The method involves the reduction of basic equations to an integral-differential system for the free surface elevation, as well as for normal and tangential fluid velocities at the free surface. Small-time solution asymptotics is constructed for the case where the cylinder moves with constant acceleration from the state of rest.

Keywords: ideal fluid, nonlinear waves, submerged cylinder, asymptotic methods.