CC BY
52
Мезо-, нано-, биомеханика и механика природных процессов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 378-379
УДК 539.3, 517.958
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМИРОВАНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ С МИКРОСТРУКТУРОЙ СЛОЖНОЙ РЕШЕТКИ
© 2011 г. Э.Л. Аэро
Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург
16aero@mail.ru
Поступила в редакцию 16.06.2011
Предлагается нелинейная теория сложной кристаллической решетки, состоящей из двух взаимопроникающих подрешеток, характерных для полупроводниковых кристаллов (алмаз, кремний, германий и др.). Основное внимание уделяется эффектам ближнего порядка, ответственным за кардинальные структурные изменения (в том числе и за возникновение дефектов и новой фазы), и так называемым реконструктивным переходам - изменениям класса симметрии решетки. Выявлены решения уравнений деформирования, описывающие движение периодических волн, а также дефектов микроструктуры типа кин-ков и солитонов. Рассмотрены их взаимные превращения при определенных напряжениях и скоростях перемещения.
Ключевые слова: кристаллическая решетка, дефекты, солитоны, кинки.
Основные уравнения
Основные уравнения, предложенные в рабо-
тах [1-4]
ри = Хи,хх -[5(1 -и)],х,
Ци = ки.хх - (Р - М,хи.
Первое уравнение (акустических колебаний) учитывает, наряду с дальнодействующими силами, зависящими от градиентов макросмещений (деформаций) и,х, также и силы, обусловленные структурными изменениями, зависящими от градиентов микросмещений и,х. Второе уравнение («оптических» колебаний) содержит нелинейные силы взаимодействия подрешеток (второе слагаемое справа), которые имеют периодический характер в силу инвариантности сложной решетки по отношению к сдвигам подрешеток на один период и = 2п. Далее, р - плотность массы, ц -микроплотность, X- макроскопическая упругось, к - микроупругость, 5 - коэффициент микрострик-ции, Р - межчастичный потенциальный барьер.
Уединенные и периодические волны
Объектами настоящего исследования будут специальные решения уравнений (1) - уединенные и периодические волны. Первые, уединенные решения, имеют вид солитонов и кинков:
^(и/2) = ±а сЬ£, ^(и/2) = ±а8^,
£ = (д -д0)/Ь = (Ь -х + Vt)/Ь.
(2)
В отличие от кинков, солитоны - это медленные дефекты, скорость которых V много ниже скорости линейного звука V= Х/р. Напротив, кин-ки могут двигаться не только со сверхзвуковой скоростью, но значительно ее превышать, выходя на уровень скоростей оптической моды Vk= к/ц. Оказывается, что в пределах предложенной нелинейной теории можно исследовать переход уединенных волн (кинков и солитонов) между собой, а также их переход в периодические делокализо-ванные волны. Переход происходит при определенном напряжении а. Но кинки и солитоны могут перерождаться в периодические волны и с убыванием напряжения растяжения (ростом эффективного потенциального барьера р1). Это наблюдается, когда напряжение преодолевает определенный порог и характерный масштаб (ширина дефекта) Ь становится мнимой величиной (I = —/Ь), а Ь2< 0 . В этом случае гиперболические функции в правых частях приведенных выше решений преобразуются в тригонометрические. Тогда решения уравнения (1) принимают вид:
\&(и /2) = ±а со8(д - д0)/1,
2 2 (3)
\%(и /2) = ±а 8т(д - д0)/1, а =-а .
Для сохранения микросмещения и в области действительных чисел необходимо взять амплитудный множитель в предыдущих формулах (2) в виде а = /а. Точка перехода фононных мод в кин-ковые (и наоборот) достигается при больших волновых периодах (I) и скорости V= V, вычисляемой по формуле К2 = V2 - - (СТ + 25)5/рр.
В таком виде критерий перехода дает прямую связь напряжения со скоростью при переходе V. Таким образом, показано, что волны микросмещений испытывают переходы типа уединенная -делокализованная волна в зависимости от величины и знака внешнего напряжения а. Это дает возможность управления формой макроскопической волны (уединенной или распределенной), ее скоростью и переносимой энергией в широких интервалах значений. Макроскопическая волна ЩС), порожденная структурным солитоном и структурным кинком, определяется соответственно соотношениями:
-.2,2
X(1 -V 2/ VS2)U,q = s
2a2ch2Z
— с________
1+a2ch2Z
22
+ a,
P(Vs - V2 )U,q = S
2a2sh2Z
— с________
1+a2sh2Z
+ a,
q = x - Vt.
(4)
Очевидно, что макроскопические деформации, порожденные микроскопическими дефектами, оказываются четными функциями анзаца q.
На рис. 1 изображены: а — сложная решетка, состоящая из двух подрешеток; б — макроскопическая деформация без сдвига подрешеток; в — микродеформации при двойниковом разделении; г - бифуркация структуры элементарной ячейки при микродеформации.
Рис. 1
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 10-01-00243-а.
Список литературы
1. Aero E.L., Bulygin A.N. Nonlinear theory of cardinal rearrangement of the solid body structure in the field of intensive pressure. In: Mechanics of Generalized Continua. Advances in Mechanics / Eds. G.A. Maugin, A.V Metrikine. 2010. Vol. 21. Part 4. P. 121-129.
2. Aero E.L., Bulygin A.N. // Continuum Mechanics and Thermodynamics. 2010. V. 22, No 9.
3. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н. // Механика твердого тела. 2010. №5. С. 19-41.
4. Aero E.L., Bulygin A.N. // Acoustical Physics. 2010. Vol. 56, No 6. P. 811-830.
NONLINEAR THEORY OF DEFORMATION OF ELASTIC BODIES WITH MICROSTRUCTURE OF COMPLEX LATTICE
E.L. Aero
A nonlinear theory of a complex crystalline lattice composed of two mutually penetrating sub-lattices typical of semiconductive crystals, such as diamond, silicon, germanium, etc., is proposed. Special attention is attracted to short-range order effects responsible for cardinal structural changes, including the generation of defects and a new phase, and to so called reconstructive transitions, i.e. changes of crystal symmetry class. Solutions of deformation equations, which describe a motion of periodical waves and kink - and soliton - like defects of microstructure, are found. Their mutual transitions for certain tensions and velocities of travel are considered.
Keywords: cristalline lattice, defects, solitons, kinks.
