CC BY
124. Касим-Заде О.М. О неявной выразимости в двузначной логике и криптоизоморфизмах двухэлементных алгебр // Докл. РАН. 1996. 348, № 3. 299-301.
5. Касим-Заде О.М. Об одной метрической характеристике неявных и параметрических представлений булевых функций // Математические вопросы кибернетики. Вып. 6. М.: Физматлит, 1996. 133-188.
6. Касим-Заде О.М. О неявной полноте в /г-значной логике // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 3. 9-13.
7. Яблонский C.B. Функциональные построения в /г-значной логике // Сборник статей по математической логике и ее приложениям к некоторым вопросам кибернетики. М.: Изд-во АН СССР, 1958.
8. Яблонский C.B., Лупанов О.Б. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Т. 1. М.: Наука, 1974.
9. Касим-Заде О.М. О сложности параметрических представлений булевых функций // Математические вопросы кибернетики. Вып. 7. М.: Физматлит, 1998. 85-160.
10. Орехова Е.А. Об одном критерии неявной полноты в трехзначной логике // Математические вопросы кибернетики. Вып. 12. М.: Физматлит, 2003. 27-74.
11. Орехова Е.А. О критерии неявной шефферовости в трехзначной логике // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 2003. 10, № 3. 82-105
12. Данильченко А.Ф. О параметрической выразимости функций трехзначной логики // Алгебра и логика. 1977. 16, № 4. 397-416.
13. Орехова Е.А. Об одном критерии неявной полноты в /г-значной логике // Математические вопросы кибернетики. Вып. 11. М.: Физматлит, 2002. 77-90.
14. Бурле Г.А. Классы /г-зпачпых функций, содержащие все функции одной переменной // Дискретн. анализ. 1967. № 10. 3-7.
Поступила в редакцию 27.10.2017
УДК 539.3
НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ТИПА МАКСВЕЛЛА ДЛЯ РЕОНОМНЫХ МАТЕРИАЛОВ: СТАБИЛЬНОСТЬ ПРИ СИММЕТРИЧНЫХ ЦИКЛИЧЕСКИХ НАГРУЖЕНИЯХ
А. В. Хохлов1
Продолжено аналитическое исследование нелинейного определяющего соотношения типа Максвелла для реономных материалов с двумя материальными функциями: комплекса моделируемых им реологических эффектов, индикаторов (не)применимости, способов идентификации и настройки. Рассмотрены свойства отклика на произвольную периодическую программу нагружения, получен критерий его периодичности (отсутствия рэтчетин-га). Найдено условие, при котором нелинейная модель Максвелла адекватно описывает эффект стабилизации и замыкания петли гистерезиса в случае симметричных циклических нагружений; показано, что оно зависит лишь от одной материальной функции и совместимо с моделированием разносопротивляемости материала.
Ключевые слова: нелинейная наследственность, скоростная чувствительность, симметричные циклические нагружения, пластическая деформация, циклическая стабильность, рэтчетинг.
The analytic study of the nonlinear Maxwell-type constitutive relation with two arbitrary-material functions is continued to reveal its capabilities, applicability scope, and techniques of identification and tuning. General properties of the model response to an arbitrary periodic loading program are considered. A criteria for periodicity of strain evolution (and for the lack of ratcheting) is obtained. A condition is derived for simulation of cyclic stability under symmetric cyclic loadings, i.e., the effect of hysteresis loops stabilization after a number of cycles and
1 Хохлов Андрей Владимирович — канд. техн. наук, ст. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: andrey-khokhlovQya.ru.
convergence to a closed one. The condition is proved to depend only on a one material fonction and to be consistent with tension compression asymmetry simulation.
Key words: nonlinear viscoelasticity, rate sensitivity, symmetric cyclic loadings, plastic strain, cyclic stability, ratcheting.
Многие материалы (упругопластические и реономные) демонстрируют циклическую стабильность при симметричных циклических нагружениях: петля гистерезиса оказывается замкнутой или стабилизируется после нескольких циклов [1-4]. В настоящей работе изучаются условия, при которых этот эффект адекватно описывается нелинейным определяющим соотношением (ОС) типа Максвелла для изотермических реологических процессов в реономных материалах:
t
e(t) = E~1F(a(t)) + rj~l J V(cf{t)) dr, t > 0, (1)
о
или e = Пег. Оно связывает (в одноосном случае) деформацию e(t) с напряжением cr(t), t > 0, и основано на представлении деформации e(t) в виде суммы упругой и вязкопластической компонент: е = ее + ev, ее = F(a)/E, èv = V(a)/r] [5]. Соотношение (1) содержит две материальные функции: F(x), V(x), х € (u)-,uj-1_), Ш- < 0, > 0, и две "постоянные": модуль упругости Е > 0 и коэффициент вязкости г] > 0; Е и г] выделены из F m V для удобства сопоставления с линейной моделью Максвелла (она получается при F(x) = х, V(x) = х) и учета зависимости от температуры, влажности, насыщенности газами, пористости, размеров зерен и других параметров структуры (Е = Е(Т,р), 7] = г)(Т,р)) при включении ОС (1) в систему уравнений более сложных моделей.
На функцию F, задающую закон упругого деформирования, налагаются следующие минимальные первичные ограничения (естественные с точки зрения математики и феноменологии [5-7]): F(x) — непрерывная (строго) возрастающая на 1_) функция с кусочно-непрерывной производ-
ной, такая, что F(0) = 0. Тогда F(x)x > 0, знаки а и ее(а) совпадают и ее(0) = 0. Из строгого возрастания F(x) следует увеличение €е(а) и энергии упругой деформации с ростом |<т|, а также существование обратной к F функции / (/ полностью определяет форму диаграммы мгновенного деформирования сг(е), т.е. предельной кривой, к которой сходится семейство диаграмм деформирования (т(е,Ь) с постоянной скоростью нагружения Ъ, когда b —>■ ±оо [7]). Функция вязкости V(x)/rj в ОС (1) регулирует наследственные свойства, скорость диссипации, релаксации, ползучести и накопления пластической деформации, чувствительность напряжения к скорости деформации, длительную прочность [5-10]. Минимальные первичные ограничения на V: V(x) — непрерывная (нестрого) возрастающая функция на интервале такая, что V(0) = 0 (тогда V{x)x > 0). Для матери-
алов с одинаковым поведением при растяжении и сжатии F и V должны быть нечетными.
Соотношение (1) нацелено на описание комплекса основных реологических эффектов, типичных для материалов, обладающих наследственностью и высокой чувствительностью к скорости деформирования (таких, как полимеры, композиты, твердые топлива, асфальтобетоны, льды, титановые и алюминиевые сплавы и др.), имеющих выраженную стадию установившейся ползучести и "площадку текучести" на диаграмме деформирования и проявляющих (в определенных термомеханических условиях) свойства как твердого тела, так и жидкости. В частности, анализ показал, что с помощью ОС (1) можно описать многие аспекты поведения материалов в состоянии сверхпластичности. Подробная библиография и обзор родственных моделей в теории ползучести, сверхпластичности и реологии полимеров приведены в [6-9].
В работах [5-10] аналитически исследованы качественные свойства порождаемых ОС (1) кривых деформирования, релаксации и ползучести и сферы влияния материальных функций, выявлены возможности модели, те эффекты, которые принципиально не могут быть описаны в ее рамках, и дополнительные ограничения на F и V, обеспечивающие адекватное описание типичных свойств кривых испытаний широкого класса вязкоупругопластичных материалов. Анализ показал, в частности, что следует различать два основных случая, в которых ОС (1) (моделируемый материал) ведет себя по-разному: 1) V(x) > 0 при х ф 0; 2) V{x) = 0 на некотором отрезке [<7_,<т+] С <т_ ^ 0, а.)- > 0, С— ф (7-1- (по определению сг_ и а+ — нижняя и верхняя грани множества нулей V(х)). Во втором случае при a(t) € [сг_, сг_|_] ОС (1) моделирует (нелинейно) упругое поведение
материала (диссипация, релаксация и ползучесть отсутствуют, кривая деформирования а(е, Ъ) не зависит от скорости нагружения b при е € [е_, е_|_], е± = F(cr±)/E), сг_, а+ играют роль пределов
упругости и ползучести материала при сжатии и растяжении, а при a(t) < <т_ (или a(t) > <7+) начинают проявляться диссипативные и вязкопластические свойства.
Рассмотрим свойства отклика ОС (1) на периодические программы нагружения и получим условия замкнутости петли гистерезиса и отсутствия рэтчетинга (т.е. неограниченного накопления пластической деформации).
Пусть Т > 0, s(t) — кусочно-непрерывная функция, носитель которой (замыкание множества {t\s(t) ф 0}) лежит в отрезке [0;Т], s(t) G a S(t) — Т-периодическое продолжение s(t) на
полуось t > 0:
m+1
S(í) = ¿ s(í - (г - 1)Т), t G (0; (m + 1)T), m = 0; 1; 2;_____(2)
i
Программе нагружения a(t) = s(t) с полной разгрузкой (cr(t) = 0 при t > Т) ОС (1) ставит в соответствие деформацию e(t) = e(t):
t
e(t) = E-lF(s(t))+r]-1 Jv(s(T))dT, í€[0;T); e(í) = p, t^T, (3)
о
где e(t) = 0 при t < 0, p — остаточная (необратимая) деформация после разгрузки:
т
р = в(Т- 0) = г?"1 J V(s(t)) (1т. (4)
о
Отклик (3) — кусочно-непрерывная функция (непрерывная, если s(t) непрерывна на [0;Т], и кусочно-гладкая, если s(t) такова), е(0+) = i?_1F(s(0+)) (е(0+) = 0 в случае s(0+) = 0). Если множество нулей [сг_,(7_|_] функции V отлично от {0} и s(t) € [сг_, сг+] при t € (0;Т) (т.е. напряжение не выходит за пределы упругости), то V(s(t)) = 0, р = 0 и деформация (3) становится нулевой после разгрузки в момент t = Т. В общем случае пластическая деформация, накопленная за цикл нагружения (4), не равна нулю. В частности, отсюда следует, что ОС не обладает свойством затухающей памяти (даже для нагружения с конечным носителем деформация не стремится к нулю при t —> оо, а остается постоянной).
Для периодической программы нагружения a(t) = S(t) с циклом произвольной формы, задаваемым функцией s(t) (см. (2)), деформация имеет вид
т+1
e(t) = J2e(t-(i-l)T) = e(t-mT)+mp, t G (mT; (m + 1)Т), m = 0; 1;... , (5) i
т.е. деформация на (m + 1)-м цикле отличается от сдвига e(t — mT) функции (3) лишь константой тр (накопленной за m циклов пластической деформации).
Лемма. Оператор П; задающий ОС (1), коммутирует с операторами сдвига по времени и аддитивен на процессах с непересекающимися носителями: П(<Т1 + 02) = П(Т\ + П<Т2, если (Ti(t) кусочно-непрерывны и (T\(t)a2{t) = 0 {за исключением конечного числа точек).
Доказательство леммы производится прямой проверкой. Формула (5) следует из представления (2) программы нагружения S(t) при t > 0 в виде суммы конечного числа сдвигов импульсов вида s(t). Формулы (5), (2) задают параметрическое представление диаграммы циклического нагружения ОС (1) для цикла произвольной формы.
Критерий периодичности отклика (5) на периодическое нагружение (2) (критерий замкнутости петли гистерезиса в осях а-е) — равенство нулю пластической деформации за цикл (4) (тогда s(0+) = 0 влечет е(0+) = 0 и e(mt) = 0).
При р ф 0 происходит накопление пластической деформации с постоянной скоростью р за цикл, а постепенная стабилизация незамкнутой петли гистерезиса невозможна. В частности, если s(t) ^ 0 на [0;Т) и s(t+) > <т_|_ в некоторый момент времени t+, то р > 0 (так как V(s(t)) ^ 0 на [0;Т)
и У(в(т)) > 0 в окрестности В силу (4) пластическая деформация р зависит от длительности и формы цикла нагружения и функции У(х)/г], но не зависит от Р (как и диссипация за цикл [5]). Скорость рэтчетинга сильно зависит от предыстории (моделируемый материал реономен), в частности, переход от зубчатого цикла к циклу с задержкой максимального напряжения на некоторое время I (и периодом Т + ¿) увеличивает р. Подобные эффекты наблюдаются, к примеру, у алюминиевых сплавов и сталей [3, 11].
Для симметричных (знакопеременных) циклов нагружения, т.е. таких, что з(0,5Т+ж) = — ,в(0,5Т— х) при х € (0;0,5Т), формула (4) дает
Если функция V нечетна, то V(s(r)) + V(—s(r)) = 0 и р = 0. Тем самым доказана
Теорема. Если функция V(x) в ОС (1) нечетна, а цикл нагружения (2) симметричен, то пластическая деформация (4), накапливаем,ая за каждый цикл, нагружения, равна, нулю, а петля гистерезиса зам,кнут,а.
Таким образом, ОС (1) моделирует строгую циклическую стабильность материалов при любых симметричных циклических нагружениях.
Замечания. 1) Нечетность F(x) не требуется для выполнения условия р = 0, и моделируемый материал может иметь разные кривые деформирования, ползучести и релаксации при растяжении и сжатии и быть разномодульным (в случае F'(0 + 0) ф F'(0 — 0)).
2) Если функция V не является нечетной (диссипативные свойства при сжатии и растяжении различны), то условие циклической стабильности (периодичности отклика на периодическое нагру-жение) р = 0 может соблюдаться для знакопеременных циклов специальных форм (в том числе несимметричных), а сжатие такого цикла вдоль оси времени сохраняет выполнение условия р = 0.
3) Условие циклической стабильности р = 0 для всех симметричных непрерывных циклических нагружений (2) с фиксированным периодом Т выполняется лишь для нечетной функции V: если бы V(—ж*) ф — У(ж*), то для ступенчатого цикла с s(t) = ж* при t € (0;Т/2) и s(t) = —ж* при t € (Т/2;Т) формула (4) дала бы pr¡ = 0,5T(F(—ж*) + V{x*)) ф 0, следовательно, р ф 0 и для непрерывного симметричного цикла с s(0) = s(0,5T) = s(T) = 0, достаточно мало отклоняющегося от s(t) = ж* по норме пространства С[0;Т/2].
4) Отдых между циклами (при нулевом напряжении) почти ничего не меняет в отклике (5) и его свойствах: приращение пластической деформации за цикл (4) и величина деформации не меняются, циклы графика e(t) лишь сдвигаются вдоль оси времени на величины mío, где ¿о — время отдыха (в силу (1) деформация постоянна, пока a(t) = 0). Отсюда следует, в частности, что в ОС (1) не заложена возможность моделирования эффекта деформационного упрочнения сплавов в результате отдыха после цикла нагрузки (до пластической деформации) и полной разгрузки [12, 13].
1. Москвитпин В.В. Циклическое нагружение элементов конструкций. М.: Наука, 1981.
2. Maxymoe Н.А., Бурак М.И., Гаденин М.М. и др. Механика малоциклового разрушения. М.: Наука, 1986.
3. Kang G. Ratchetting: recent progresses in phenomenon observation, constitutive modeling and application // Int. J. Fatigue. 2008. 30. 1448-1472.
4. Fuschi P., Pisano A. A., Weichert D. Direct Methods for Limit and Shakedown Analysis of Structures: Advanced Computational Algorithms and Material Modelling. Berlin: Springer, 2015.
5. Хохлов А.В. Свойства нелинейной модели вязкоупругопластичности типа Максвелла с двумя материальными функциями // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. № 6. 36-41.
6. Хохлов А.В. Кривые длительной прочности нелинейной модели вязкоупругопластичности типа Максвелла и правило суммирования поврежденности при ступенчатых нагружениях // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2016. № 3. 524-543.
7. Хохлов А.В. Свойства семейства кривых нагружения с постоянной скоростью, порождаемых нелинейной моделью вязкоупругопластичности типа Максвелла // Машиностроение и инженерное образование. 2017.
Т/2
0
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
№ 1. 57-71.
8. Хохлов A.B. Нелинейная модель вязкоупругопластичности типа Максвелла: моделирование влияния температуры на кривые деформирования, релаксации и ползучести // Вести. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. 21, № 1. 160-179.
9. Хохлов A.B. Нелинейная модель вязкоупругопластичности типа Максвелла: скорость накопления пластической деформации при циклических нагружениях // Деформация и разрушение материалов. 2017. № 7. 7-19.
10. Хохлов A.B. Идентификация нелинейной модели упруговязкопластичности типа Максвелла по кривым ползучести с начальной стадией нагружения. Ч. 2. Методики // Деформация и разрушение материалов. 2017. № 10. 2-9.
11. Kang G., Ding J., Liu Y. Summary on Uniaxial Ratchetting of 6061-T6 Aluminium Alloy // Aluminium Alloys, Theory and Applications / Ed. by T. Kvackaj. InTech, 2011. 199-216. DOI: 10.5772/14147.
12. Арутюнян P.A., Камепцева З.П. Упрочнение стареющих сплавов // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1976. № 4. 128-137.
13. Арутюнян P.A., Вакуленко A.A., Уманский С.Э. О циклическом нагружении пластической среды со старением // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1979. № 2. 79-83.
Поступила в редакцию 29.01.2017
УДК 531.36
О ВОЗМОЖНОСТИ ИДЕНТИФИКАЦИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРЕНИЯ В ШАРНИРЕ УПРАВЛЯЕМОГО ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ПО АМПЛИТУДАМ УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЙ
О. Э. Васюкова1
Рассматривается динамическая модель управляемого физического маятника. Показано, что с помощью метода Понтрягина поиска периодических решений систем, близких к гамильтоновым, можно построить такой программный закон колебаний управляемого маятника, что тестовые режимы колебаний будут установившимися и орбитально-устойчивыми. Предложен подход к идентификации параметров модели трения в шарнире в режиме активного мотора на основе информации об интегральных характеристиках движения. Проведено численное моделирование движения рассматриваемой системы.
Ключевые слова: идентификация трения, установившиеся движения, управление.
A dynamic model of a controlled physical pendulum is considered. The control strategy is proposed to provide the orbital stability of steady oscillations with a program amplitude. The corresponding control torque is determined using the Pontryagin method of searching for the periodic solutions of near-Hamiltonian systems. An approach to identify the parameters of a model of friction in the hinge is proposed for the case of an active motor mode. This approach is based on the information on the integral characteristics of motion. The motion of the system under consideration is numerically simulated.
Key words: identification of friction, steady motions, control.
Введение. В работе предлагается стратегия идентификации трения в шарнире маятника, основанная на наблюдениях установившихся колебаний. Управление, реализующее колебания с постоянной амплитудой, строится с помощью метода Понтрягина поиска периодических движений систем, близких к гамильтоновым [1]. В нашем случае задача решается в предположении об определенном характере трения в шарнире маятника. Широкий обзор моделей трения и методов компенсации трения в различных механизмах представлен в работе [2]. В настоящей работе трение в шарнире манипулятора имеет сухую и вязкую составляющие.
Существуют различные методы идентификации параметров трения в шарнире робота-манипулятора. Один из наиболее распространенных методов следующий: момент трения получают из
1 Васюкова Ольга Эдуардовна — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vasy ukovaolaQy andex. ru.
