Нелинейная модель рыночного звена макроэкономической системы управления Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

электронное научно-техническое издание

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025. ISSN 1994-0406

Нелинейная модель рыночного звена макроэкономической системы управления

77-30569/341035

# 02, февраль 2012 Чернышев С. Л.

УДК.00000 330.4 (078.8)

МГТУ им. Н.Э.Баумана chernshv@bnstu.ru

В современной социально-экономической системе существует множество различных рынков: рынок товаров и услуг, рынок денег, рынок энергетических ресурсов, рынок трудовых ресурсов, и другие, в том числе рынок криминальных услуг. В связи с этим важное значение имеет моделирование рынка. Для аналитической оценки рыночной цены применяются различные модели рынка. Среди них известны динамическая паутинообразная модель и модель общего равновесия Л. Вальраса [1]. Известная динамическая модель имеет линейный характер, а модель общего равновесия, как следует из названия, в отличие от первой предполагает равновесие на рынке. Целью настоящей статьи является создание модели рынка, которая бы использовала преимущества обеих указанных моделей и учитывала нелинейность процесса формирования цены.

Свое название паутинообразные модели получили из-за «паутины», образующейся на графике в ходе изменения цены на рынке, который изображен на рис. 1.

70

0 0,2 0,4 РРавн 0,6 0,8 1

Р

Рис. 1. Паутинообразная траектория установления рыночной цены

Рассмотрим его смысл. На первом этапе задается начальная цена, которой соответствует какое-то значение спроса; предложение, соответствующее этому уровню спроса, существует при большем значении цены, которому соответствует другой спрос

(меньший), а его уровню - предложение при меньшем значении цены и т.д. В конце концов получившаяся спираль (паутина) приводит к равновесной цене, на которой приходят к согласию покупатель и продавец. Каждый этап этого приближения к равновесной цене может рассматриваться, как этап, соответствующий цене, сложившейся в некоторый момент времени. И этот процесс «торга» можно рассматривать, как процесс установления рыночной цены со временем.

В известной паутинообразной модели [1] учитывается, что на рынке равновесие имеет место только в идеале, а на практике в разные моменты времени может возникать и неудовлетворенный спрос (дефицит товара) и остатки товара, пополняющие остаток.

Механизм изменения рыночной цены зависит от того, как идет торговля: если есть дефицит товара, то продавец на свободном рынке повышает цену, а если товар плохо продается и возникают остатки товара, приводящие к росту остатка, то он вынужден снижать цену.

Пусть в к-ый день разница между спросом и предложением составила

А0(к) = ад - Дк).

Если А0(к) > 0 , следовательно, предложение превысило спрос и в конце дня остался

остаток товара, который вместе с новой поставкой должен быть продан на следующий день. Если предположить, что уровень спроса не изменится, для его продажи необходимо

снизить цену. Если А0(к) < 0, то товара в этот день не хватило, поэтому на

следующий день можно повысить цену. В целом этот механизм описывается уравнением

рк)=рк- 1)-гА«к-1), (1)

из которого следует, что цена в к-ый день р(к) будет определяться вчерашней ценой

р(к-1) и остатком (дефицитом) товара на вчерашний вечер АО(к-1).

Коэффициент £ называется эластичностью цены по остатку и определяется, как

р

Отметим, что (1) может определять изменение цены не только с периодичностью в один день (что было принято нами для наглядности), но и при других периодах дискретизации времени - длительных или коротких. Если же общая продолжительность рассматриваемого периода времени намного больше периода дискретизации времени

А/= /(к) - /(к-1)

, то приближенно можно считать, что цена меняется непрерывно

и А/—^ Р/. В этом случае уравнение (1) можно записать в непрерывном виде:

р_

Решая это уравнение относительно p( t), получаем:

pt) = p0) _eQ(i). (2)

Здесь Q(t) - накопленный за все рассматриваемое время от 0 до t остаток, равный площади (с учетом знака), расположенной между кривыми $( t) и D( t). Константа p0) определяется при равенстве нулю этого остатка ( Q( t) = 0), следовательно, равна равновесной цене p0) = Ррввн. На рис. 2 приведены графики, иллюстрирующие изменение цены во времени при изменении спроса и предложения.

Из (2) видно, что цена зависит от остатка линейно, что в реальности имеет место лишь при

малых отклонениях от точки равновесия Q = 0.

При большом остатке или дефиците эта зависимость отличается от линейной, что видно из рис. 3. Поэтому ее можно аппроксимировать какой-либо математической функцией. Наилучшим образом в качестве аппроксимирующей подходит экспоненциальная функция. В этом случае

pt) = РравнеХР[_ ^ Qt)/ Ррвн] . (3)

Эластичность S определяет наклон графика.

Найдем с помощью (3) дискретную модель. Из (3) сначала получаем

ьР=_

Рравн p

равн гравн

а потом рассмотрим приращения левой и правой частей при приращении времени на

At:

lnP) _ lnp(ki)=_gAQk-D

Рравн Рравн Рравн

откуда получаем

ppk) = ppk_ 1)exp[_f AQ(k_ 1)/ р^. (4)

1дни

Рис. 2. Изменение спроса, предложения, остатка и цены

О

Рис. 3. Зависимость рыночной цены от разности между спросом и предложением

Это уравнение определяет динамику изменения цен от прироста остатка (дефицита) не только вблизи точки равновесия, но и при ощутимых отклонениях от нее. Отметим, что

при AQ —^ 0 в (4) экспоненту можно аппроксимировать линейной зависимостью и это

выражение легко преобразуется в (1) при р(к — 1) = р , что говорит об

равн

аналогичности моделей (4) и (1) вблизи точки равновесия. Однако для других значений AQ расхождения моделей увеличиваются по мере удаления от равновесия - как при большом дефиците, так и при больших запасах, так как растет погрешность линейной модели.

Рассмотрим теперь модель многопродуктового рынка с учетом производителя и потребителя. Этот учет состоит в том, что в модель введены дополнительные уравнения: уравнение, описывающеее производственную функцию

Ж = SJN:¡ N:S1(KJ KS^2

1 100 > 4 1 10 уравнение, описывающее прибыль производителя

О = S.p . - рЖ- Р2К;

1 у1 1 ^2 /

а также уравнение для функции полезности

и= П Р;

П

1=\

и уравнение бюджета потребителя

Я= П РуРг-

1=\

где р. - цена на г - й продукт, р\ и р2 - цены на трудовые ресурсы и основные фонды,

соответственно,

БгО, КгО, КгО, а , а2г

- коэффициенты производственной функции, (Зк - коэффициенты функции полезности.

Если учесть при этом, что производитель стремится к максимизации своей прибыли, то есть

О. = тах, 1

то в [2] найдено, что на многопродуктовом рынке оптимальное предложение на г - й продукт будет определяться следующим выражением

а\г +а2г

\

Б. =

р\~а\ ~а21 б Х~а\1 ~а2г

руг_Бго_

а

/

р\ N

\

\г

а

гО

V а\г )

\-а\г ~а2г

Г

р2 К

\

2г

(5)

гО

V а2г )

\-а\г -а2г

где ру1 - цена на г - й продукт, рх и р2 - цены на трудовые ресурсы и основные фонды, соответственно,

БгО, МгО, КгО, аъ, а2г - коэффициенты производственной функции.

В [2] также найдено, что из условия максимизации полезности при имеющемся у потребителя бюджете R, то есть

U _ max при R _ fix ,

следует, что оптимальный спрос на / - й продукт со стороны потребителя равен величине

D _

_ R в

n

Pyi 2 Pk

k _1

(6)

где Pk - коэффициенты функции полезности. Подставляя (5) и (6) в (4), получаем

pyi (k) _ pyi (k -1)exp{-[^

pyi(k-1)

a1i +a2i 1

1-a1i -a2i о l"a1i -a2i Si0

a

f

PiN,

\

i0

V a1i J

1i

1-a1i -a2i

/

P2 Ki

\

i0

V a2i J

a2i 1-a1i -a2i

R в

]/P „„J-

py, (k-1) 2 P:'раен

(7)

k _1

Полученное выражение, несмотря на свой довольно громоздкий вид, является окончательным уравнением модели. Оно определяет динамику изменения рыночных цен на многопродуктовом рынке с учетом затрат и производственной функции производителя и его стремления к максимизации прибыли, а также бюджета и функции полезности потребителя и его стремления максимизировать полезность при покупке.

В случае изменения цен на производственные факторы (трудовые ресурсы и основные фонды) меняются, как видно из (5), и выпуски. При этом меняются и цены на товары (см.(7)).. При изменении бюджета потребителя изменяется спрос (6), и рыночные цены также изменяются, что также следует из (7).

Так, в случае, если имеет место выполнение закона убывающей отдачи

производства и эластичность производства £. = ССц + СС^^ < 1, при повышении

покупательной способности конечного потребителя, т.е. с ростом бюджета Я, как видно из (7), возрастают цены на товары, и, как следует из (5),возрастает и предложение. Так,

например, при возрастании Я в два раза, и при ССц + СС^ = 0.9, цены на товары

возрастают на 7.2%, а выпуски - на 86.6%. В случае, когда ССц + СС^ = 1 и отдача от

расширения производства постоянна, из (5) видно, что цены на товар оказываются независимыми от предложения, соответственно и прибыли производителей в этом случае

при выполнении максимальны при любых выпусках. Если же в модели применяется

эластичность £. = СС.. + > 1, то в соответствии с (5) предложение падает с ростом

рыночной цены, что противоречит рыночным законам, говорит о неправильности модели и еще раз подтверждает справедливость закона невозрастающей отдачи производства.

В заключение отметим, что данная модель рыночного звена может быть применена, как часть общей макроэкономической модели, представляющей собой замкнутую систему управления с многочисленными обратными связями. Входными переменными такого звена являются предложение, формирующееся в производственном секторе, и спрос, формирующийся в потребительском секторе, а выходной переменной является рыночная цена. Динамика ее изменения в макроэкономической модели и будет описывать инфляционный процесс.

Литература

1. Гусейнов Р.М., Семенихина В.А. Экономическая теория. Изд-во Омега-Л, 2011.

2. Чернышев С.Л. Моделирование экономических систем и прогнозирования их развития. - М: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002.

electronic scientific and technical periodical

SCIENCE and EDUCATION

_EL № KS 77 - 3Ü56'». .V;II421100025, ISSN 1994-jMOg_

Nonlinear model of market sector of macroeconomic control system 77-30569/341035

# 02, February 2012 Chernyshev S.L.

Bauman Moscow State Technical University

chernshv@bnstu.ru

The model includes the production function modeling supply and the utility function modeling consumption. This resulted in the nonlinear dynamic equation of market price subject to the factors affecting the price.

Publications with keywords: model, demand, control system, market price, supply, macroeconomics

Publications with words: model, demand, control system, market price, supply, macroeconomics

Reference

1. Guseinov R.M., Semenikhina V.A., Economic theory, Izd-vo Omega-L, 2011.

2. Chernyshev S.L., Modeling of economic systems and forecasting of their development, Moscow, Izd-vo MGTU im. N.E.Baumana - BMSTU Press, 2002.