CC BY
9УДК 621.929
Д.А. ПОНОМАРЕВ, В.Е. МИЗОНОВ, H. BERTHIAUX, Е.А. БАРАНЦЕВА
нелинейная математическая модель транспорта сыпучего материала
в лопастном смесителе
(Ивановский государственный энергетический университет, Россия, Ecole des Mines d'Albi, France)
Предложена математическая модель продольного транспорта сыпучего материала в лопастном смесителе непрерывного действия. Модель основана на теории цепей Маркова. Переходные вероятности цепи приняты зависящими от разности вероятностей состояния в соседних ячейках, что учитывает естественное пересыпание материала в сторону меньшего уровня. Модель позволяет прогнозировать переходные процессы в смесителе при немалых вариациях расхода смешиваемых компонентов.
Целью настоящей работы является дальнейшее развитие подходов к моделированию процессов с участием сыпучих материалов методами теории цепей Маркова. В работе [1] предложена линейная модель непрерывного смешения сыпучих материалов, в которой матрица переходных вероятностей считается независящей от вектора состояния материала, описывающего распределение его массового содержания вдоль смесителя, представленного дискретной совокупностью ячеек идеального смешения. Показано, что с помощью этой модели можно рассчитать все необходимые технологические показатели процесса и качества смеси. Однако, как и при любом линейном приближении реального нелинейного процесса, эти прогнозы достоверны только при малом изменении его параметров и в ограниченном диапазоне условий его проведения. В частности, модель движения материала была представлена только его взаимодействием с лопастями смесителя, и расчетная установившаяся форма свободной поверхности материала позволяла сколь угодно большие разницы его уровней в соседних ячейках, что не может соответствовать действительности. Кроме того, при значительных вариациях расхода смешиваемых компонентов изменяется общая загрузка смесителя, что приводит к неучитываемым в линейной модели изменениям условий взаимодействия материала с лопастями, то есть к изменению переходных вероятностей.
В рассматриваемой ниже модели процесс представлен ячеечной моделью (рис.1) с п активными ячейками и (п+1)-ой ячейкой в качестве абсорбера - коллектора для готовой смеси. Состояние материала описано вектором-столбцом 8к =[81 • • -8п 8п+1]т, где символ т означает транспонирование вектора или матрицы. Считается, что уровень материала в 1-ой ячейке прямо пропорционален
вероятности состояния Переход системы из одного состояния в другое представлен двумя после -довательными переходами, первый из которых схематически показан на рис.1.
л H о о к
H «
о л
о
m
i>
г>
......io-q
1 i i+
Номер ячейки
n+
Рис.1. Ячеечная модель смесителя и схема переходов при естественном пересыпании материала
Он соответствует естественному пересыпанию материала в сторону меньшего уровня. При произвольном векторе состояния материала в 1-ой ячейке определяется направление, в котором разность состояния и состояния в соседней ячейке положительна и наибольшая, после чего доля 1/а этой разности переводится в эту соседнюю ячейку. Очевидно, что 2<а<да. На основании этого представления строится матрица рхк к-го перехода при естественном пересыпании материала. Эта матрица имеет ненулевые элементы только на главной и одной из примыкающих к ней диагоналей: нижней, если уровень материала наклонен вправо, и верхней, если он наклонен влево. Элементы этой матрицы рассчитываются следующим образом (пример для наклона уровня материала вправо):
k sk -i(sk - sk+i) _ б_
piii = sk
(1)
n
k
Pl(i + 1),i
- sk+i)
о_
sk
(2)
Для определения вероятности выхода материала в абсорбер принято простейшее допущение о том, что в него пересыпается весь материал, уровень которого превышает некоторое фиксированное значение, например, нижний край центрального разгрузочного отверстия. Необходимо отметить, что чувствительность всех характеристик процесса к этой вероятности весьма велика, и адекватность ее описания при реальных разгрузочных устройствах имеет важное значение для достоверного моделирования процесса.
Второй переход соответствует движению материала при прохождении через него лопастей смесителя. Он описывается матрицей р2к, которая в общем случае является трехдиагональной и допускает переходы данной ячейки как по ходу, так и против хода движения материала. Ее элементы
могут быть выражены через вероятность остаться
к
в ометаемой лопастью зоне р2н и отношение вероятностей перейти назад и вперед по ходу потока к к к
г =р2цм) / Р20+1)Д • Экспериментальные исследования, описанные в работе [2], показали, что величина р2нк зависит, главным образом, от высоты слоя материала и мало зависит от угла установки лопастей, а величина гк, наоборот, зависит от этого угла, но мало зависит от высоты слоя. Таким образом, переход, описываемый матрицей р2 , также оказывается нелинейным, так как матрица перехода зависит от вектора состояния. Однако, в этой же работе было показано, что, начиная с высоты слоя материала, вдвое превышающего высоту лопасти, эти вероятности перестают зависеть от вы-
к
соты слоя, и матрица р2 может считаться постоянной.
Матрица переходных вероятностей одного полного перехода определяется как
Р1к = Р1к Р2к,
(3)
отсутствии лопастей является стационарным, а при их наличии - пульсирующим, когда каждый переход, обусловленный лопастями, компенсируется обратным переходом, вызванным пересыпанием.
Результаты численных экспериментов с разработанной моделью представлены на рис. 2-4.
а развитие процесса описывается матричным соотношением
§к+1 = рк (к) (8к+ 8ск), (4)
где матрица переходных вероятностей зависит не только от номера перехода, но и вектора состояния перед переходом, то есть цепь является нелинейной. Вектор 80к описывает распределение материала, подаваемого в смеситель на каждом переходе, то есть сумма его элементов есть расход подачи материала на один пер еход.
При стационарном 8о с ростом к в системе наступает установившееся состояние, которое при
о
§ =
н
И
4
1
0 1 2 3 4 5 6 7
состояние
Рис.2. Установившаяся форма свободной поверхности материала при различных значениях а: 1 - а=2, 2 - 3, 3 - 8, 4 - 16.
£ о.в я &
ш
Ps=1
tu
Ps=0,7 r=0,5
шт
1 2345B789 10
1 23456789 J0
1
5 o.a
о
и ч-s
§ 0.4
6
0
sh
Ps=0,7 r=1
1 2345B789 10 состояние
12345B789-0 состояние
Рис.3. Влияние ориентации лопастей на форму свободной поверхности материала (а=3).
&
и
^ С
о о
а &
1
п
2
д 7ч
j\
О 100 200 300 400 500 В00 700 В00 900 1000 условное время
Рис.4. Распределение времени пребывания материала при различной ориентации лопастей.
На рис.2 показано влияние коэффициента а на форму установившейся свободной поверхности
материала при отсутствии воздействия лопастей. Коэффициент а является аналогом коэффициента внутреннего трения сыпучего материала, и при наличии ширины ячеек профиль свободной поверхности может служить для экспериментального определения его величины.
Рис.3 иллюстрирует влияние на свободную поверхность наличия лопастей и их ориентации. График 1 показывает свободную поверхность при отсутствии влияния лопастей. В этом случае установившаяся свободная поверхность является стационарной. Во всех остальных случаях она пульсирует между отмеченными на графиках точками.
График 2 соответствует интенсивному воздействию лопастей в сторону разгрузочного отверстия, что приводит к обратному наклону свободной поверхности. Для графика 3 лопасти ориентированы параллельно оси потока и не сообщают материалу некоторого преимущественного движения. Однако, свободная поверхность наклонена более полого, чем при отсутствии лопастей (график 1), что свидетельствует о создании как бы дополнительной подвижности частиц в материале. Наконец, свободная поверхность на графике 4 соответствует воздействию лопастей, противоположному направ-
Кафедра прикладной математики
лению естественного пересыпания материала.
Рис.4 показывает распределение времени пребывания частиц трассера, импульсно инжектированного в первую ячейку. Расчеты выполнены для установившихся постоянных матриц переходных вероятностей, соответствующих условиям, показанным на рис.3.
Средние времена пребывания частиц в смесителе, выраженные в числах переходов, соответственно, составляют 250, 122, 193 и 292 единицы. Дисперсии же распределений времени пребывания существенно отличаются друг от друга и равны 0,10, 0,32, 0,47 и 0,50, соответственно.
Таким образом, разработанная нелинейная модель значительно расширяет возможности адекватного описания процессов непрерывного смешения. Полученные результаты могут найти непосредственное применение при моделировании и проектировании лопастных смесителей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Марик К. и др. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2001. Т.44. Вып.2. С.121-123.
2. Баранцева Е.А. и др. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2002. Т.45. Вып.1. С.142-144.
УДК 621.926
А.А. САРИЕВ
математическое моделирование измельчения материалов при технологических пересыпках
(Южно-Казахстанский государственный университет им. М. Ауезова)
Предложен новый подход к математическому моделированию измельчения материалов при технологических пересыпках, основанный на введении оператора преобразования функции распределения материала при переизмельчении.
Узлы транспортировки, загрузки и выгрузки измельченного сырья являются необходимой частью технологической схемы практически любого промышленного производства. Поэтому происходящее в этих процессах изменение гранулометрического состава материалов должно учитываться в технологических расчетах. Дополнительное измельчение компонентов сырья влияет на качество конечного продукта и увеличивает отходы производства. В то же время, эта проблема весьма сложна для детального описания, поскольку моде-
лирование процессов переизмельчения материала при технологических пересыпках сопряжено с необходимостью учета многих факторов как детерминированного, так и стохастического характера. Вследствие этого, принимаемые в инженерной практике конструктивные решения базируются в основном на предварительных оценках и инженерной интуиции, что существенно ограничивает возможности оптимизации технологических процессов и сокращения потерь производства.
Ранее в работе [1] была разработана веро-
