Нелинейная фильтрация для специального и степенного законов сопротивления среды Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.546

А.П. Черняев

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Нелинейная фильтрация для специального и степенного законов сопротивления среды

Рассматриваются фильтрационные течения несжимаемой жидкости общего вида. Уравнения в плоскости годографа, полученные из исходных течений в физической плоскости, линеаризуются и при специальном законе фильтрации приводятся к уравнению Лапласа, а при степенном законе фильтрации сводятся к известным. Пример течения к горизонтальной скважине показывает разрешимость исходной задачи в виде, удобном для количественных и качественных исследований.

Ключевые слова: фильтрация, фильтрационное течение, несжимаемая жидкость, физическая плоскость, годограф, горизонтальная скважина, сопротивление среды.

Система уравнений, описывающая двумерное установившееся фильтрационное движение несжимаемой жидкости в пласте, имеет вид [1]:

дH = Ф (w)

дx w '

дH = Ф (w)

дy w ’

дп dv о дx + дy

(1)

Здесь Н — обобщенный напор, ад = (и, у) — скорость фильтрации, ад = \ги|, Ф(ад) — закон сопротивления среды, для которого Ф (ад) ^ 0, Ф'(ад) ^ 0, причем в нуль левые части последних неравенств могут обращаться лишь при ад = 0.

Из третьего уравнения (1) и формулы Грина

du dv\

IT + dx dy dx су

(—v) dx + udy,

dG+

где dG+ — положительно ориентируемая граница G

(—v) dx + udy = 0.

80+

Последнее означает, что выражение йф = = (-у) йх + ийу является полным дифференциалом, криволинейный интеграл от которого по пути Г не зависит от формы этого пути, и поэтому существует потенциал

Ф

дф

( -v) dx і u dy

дф

dx ’ ду

ф

можем написать:

дф . дф 0

-т— = —v = —w sin 0, -т— = u = w cos 0,

дх ду

где 0 — угол между w и положительным направлением оси Ox. Следуя [1,2], получаем систему д0 Ф^) дw

дф

0,

дв wФ/(w) dw

_____і______і__L____ = 0 2)

dH Ф2 (w) дф . W

ад2 дН

Перейдем к переменным в и ад. Для этого положим ф = ф(т,в) и Н = Н(ад, в), продифференцируем последние равенства по ф и Н и запишем полученные равенства в виде двух линейных систем:

дН дт + дН дв = 0

дт дф + дв дф ,

дН дт + дН дв і

ШШ + ~дв дН = 1

дф дш і дф д0 =т дш дф ' дО дф , дф дш , дф дЮ = 0 дш дН + дО дН = 0

w=0

цателен, т. к.

Д

дш дО

дф дф

дш дО

дН дН

dw wФ

дф V - Ф2

dw дв

дф dH

dw дв

~Шдф =

dw f Ф^) dw

dH

wФ/(w) (dw

Ф2н \дф

По правилу Крамера

дф dw

дф ~дв =

dH _ dw

dH

~дв

Ф(w)

dH'

dw 4 2

dH

< 0.

1 ! до дф 1 дв

= Д 0 дО_ 0 дН = Д dH ’

1 дш 1 дф 1 1 dw

Д дш 0 дН 0 = - Д dH

1 0 до 0 дф 1 дв

Д -I до 1 дН = - Д дф

1 дш 0 дф 0 1 dw

= Д дш 1 дН 1 = д дф’

Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», проекты X» 2.1.1/11133 и 2.1.1/12968.

2

w

2

2

w

дф дН дф дН

dw дв дв дw

дв дw дw дв

дН дф дН дф

Из последних равенств мы имеем 1

Д

следовательно,

ду дв_

дф дф = дН дф дф = дН

^ ди = дв 1 ду дв = ди'

дН дН

Из последних равенств, с учетом (2), будем иметь

Ф2 (и) дф дН Ф (и) дф дН

wФ/ (w) дw д0 ’ w2 д0 дw

Исключив из (3) напор И, получим

д f Ф2(w) дф^ + Ф(w) д2ф

дш \ч№Ф'(то) дш) ' и2 дв2 ^

Итак, мы пришли к уравнению (4), которое линейно.

Наложим теперь условие

Ф2 (w)

w) w

(5)

wФ/ (w) Ф (w) ’

откуда сразу получаем

1 = Ф/ (w) w3 Ф3 (w)

Интегрируя это дифференциальное уравнение относительно Ф(н), имеем

11

—2 + а — ж2 I—Г, а — const, w2 Ф2 (w)

откуда

Ф (w) = w (1 + aw2) , 1/2a = const, 1 + aw2 > 0. (6) Из (6) мы получаем

w (1 , 2\l/2

— w 1 + aw

Ф (w)

(7)

и, учитывая (5) и (7) из системы (3), будем иметь ^1/2 дф = дИ

(8)

(л I 2\1/2 дф дИ

w (1 + aw) 7^ = — Иа,

дн д0

дф + 2Л1/2 дИ

до = w (1 + aw) дН'

Если теперь ввести новую переменную r(w) = ln

(1 + а/1 + aw2)

= ln w — ln(1 + \A + aw2), (9)

TO

1

If \

r (w) =--------------------, :----, :

w (1 + a/1 + aw2 )%/1 + aw2

1

w v/TT aw2

. (10)

Так как

дф дф дИ дИ

aw, = aTr (w) aw = a7r(w)-

то, подставив последнее в систему (8), получим

2Л1/2 /( ) дф дИ ',2 ‘ r (w)- =----

дО

(1 +aw2)4 Vh д. = — до,

дф (1 + дО = w (1 +

2\ 1/2 /( ) дИ aw I r (w) —— .

дг

Принимая во внимание (9) и (10), из последних равенств имеем

дф = дН дф = дН

дв дг 1 дг дв '

Таким образом, функция ф + 1Н является аналитической функцией комплексного переменного в + 1г, ибо (11) — система Коши-Римана.

Закон (6) при а = — 1^2 известен как закон Соколовского. Но тогда невозможны задачи с большими ш, которые возникают, например, при моделировании фильтрационных течений к скважинам [2]. Поэтому для таких задач возможен закон (6) при а ^ 0. При а = 0 (6) является законом Дарси. Если а > 0, то можно положить а = 1^2 и назвать этот закон модифицированным законом Соколовского [3].

Рассмотрим фильтрацию несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине в случае (6) а > 0

мой однофазной жидкости в пласте к горизонтальной скважине, расположенной в начале координат. Тогда пласт — бесконечная горизонтальная полоса в плоскости (х, у) ширины 2Ь с непроницаемой кровлей и подошвой (рис. 1). Горизонтальную скважину моделируем точечным стоком. Если рассмотреть точечный источник, то линии тока останутся прежними, лишь векторы скорости, направленные по касательным к линиям тока, получат противоположные направления. Будем предполагать наличие в начале координат источника. Заметим, что реальные скважины имеют конечный диаметр, но т. к. характерные размеры пластов значительно превосходят характерные размеры диаметров скважин, то рассмотрение такой модели вполне оправдано.

Течение является симметричным относительно осей Ох и Оу (рис. 1). Достаточно построить решение задачи в первом квадранте, а решения в остальных найдутся заменой знака при соответствующих переменных.

Если принять, что полный расход через контур, охватывающий скважину и целиком лежащий внутри пласта, равен д, то из стационарности те-

ф=0

ОВА — ф = д/4 (рис. 1).

Найдем, во что отображается рассматриваемая область при переходе к годографу. Новыми переменными будут в и ш. Линия тока ОА, на которой

ф=0

часть оси абсцисс (рис. 1) переходит в плоскости годографа в часть оси ординат ОА (рис. 2). Часть линии тока ОВ, на которой ф = д/4, в физической плоскости — это отрезок на положительной части оси ординат (рис. 1) переходит в вертикальный луч в = п/2, ш > 0 (рис. 2). Часть линии тока ВА, на которой ф = д/4, в физической плоскости это луч у = К, х > 0 (рис. 1) переходит в вертикальный отрезок ВА на оси ординат (рис. 2). Заметим, что взаимная однозначность отображения нарушается в точке В физической плоскости. Она отображается на отрезок ш = 0, 0 ^ в < п/2. Ордината точки А в плоскости годографа легко находится из равенства: д/4 = Кшд, откуда шд = = Я/(4Ь).

имеют вид (рис. 2):

Таким образом, мы получили в плоскости годографа:

п

{(в,ш) : 0 ^ в ^ 2 1 0 ^ ш < +ж}. (12)

Граничные условия, которым должна удовлетворять функция тока рассматриваемого течения,

ф (2 ,и) = "4 ’ и є [0, +то)’

Я

ф(в, 0) = |, в є "

о>2]

(із)

ф(0, їм) = 4 , и є [0, и)А], ф(0, и) = 0, и є (иа, +то).

При (9) полуполоса (12) переходит в полупо-лосу

п 1

, г) : 0 < в < — , —то < г < — - 1п а*> (14)

(рис. 3). Действительно, из (9) видно, что при ш ^ ^ +0 г ^ —ж, а при ш ^ г ^ — (1п а)/2. Кроме того, из (10) следует монотонное возрастание (9).

В

Рис. 3

В

Граничные условия на границе полупо-лосы (14) индуцируются формулами (13), за исключением граничного условия на отрезке

(15)

Граничное условие на (15) зададим таким, каким оно было бы в случае закона Дарси. Поскольку [2, с. 33] функция тока искомого течения для закона Дарси в переменных годографа имеет вид

фо = 77- агС^ 2п

' а/1 — 2в сов 2в + в2 + 1 — в сов 2в

а/1 — 2в сов 2в + в2 + в сов 2в — 1 ’

4п2и2 п

т =2Н'

в

■ф„ = Нт фв = Я arctg ,/1-С°°2й = (16)

в 2п е\/1 + со82в 2п ^ ;

На основании (13), (15) и (16) можно определить граничные условия на ф в полуполосе (14):

, (п \ Я ( 1 ,

ф \ — ,г ) = — , г € — оо,----1п а,

^\2’; 4 ’ V 2 ’

в Є

о, -V ’ 2

(17)

ф(0, г) = 0, г € ^— ^ 1п а, га

ф(0,г) = Я , г € (—ж, га, ).

В формулах (17) гд = г(тд), гДе правая часть определяется (9), т. е.

, »а

га = 1п

^1 + ^/1 + аиА^ = 1п

О.

4Л,

(18)

1 + \Д + а ( %.

В свою очередь из (11) и (14) заключаем, что

Ддг ф = ф00, + ф”г = 0

(19)

в области

, г) : 0 < в < 2 ,

Введем теперь

-то < г < — 2 1п а} . (20)

£ = — г------------1п а.

£ 2

(21)

ф

летворяет уравнению

А?,0 ф = ф£ + ф'^ = 0 (22)

в области

{(£,г):0 <е< +ж, 0 <0<П] . (23)

ф

ничным условиям (см. рис. 4):

в\

П ф = т

2 ' о в

ф = 10

о А в

ф = 0 1 т £ ф = т

Рис. 4

ф

нию (22) на (23) и условиям (24), используем формулу 7.1. 1-8 [4, с. 416]: при 0 < £ < ж 0 < в < ^ п/2:

фа, в) =

4 2

= ехР(—12з£,)ып(2зв) ! }1(п)&\п(2оп) +

5=1

+

8Іп(2пв)

1

+

ЯІп(2пв)

°Ь[2(£ — С)] — сов 2в 1

сИ[2(£ + С)] — соэ 2в 1

сИ[2(£ — С)] + соя 2в 1

сИ[2(£ + С)] + соя 2в

/э(С) <, (26)

где

ф (£ 2) = 0 ’ £ є [0, +то);

ф(0,в) = Ов, в Є

п\

ч);

ф(£, 0) = 0, £ Є (0,£а];

ф(£, 0) = 0 , £ е (£а, +то).

(24)

В формулах (24) £л = £(гл), где правая часть определяется (21), т. е.

£а = —га — 2іп а.

(25)

В свою очередь правая часть (25) определяется (18).

/і(в) = дв/(2п);

■ 0, 0 < £ < £а,

/2(£) \ ® , £а <£< то;

/з(£) = 0/4.

Последние формулы получены из условий (24). Формула (26) при (9) и (21) решает поставленную задачу. Однако (26) легко упростить. Действительно.

2 2

!/і(т)аіп(2іт) Лп = 2П Jnвіп(2іп) Лп = 0 ( —1)^.

0 0

2

Поэтому

Q ( — 1)3

Ш, 0) = T^Y] —— ехР (-2?0 sin (2j0) + 2п j

СЮ

Q sin(2n0)

+ ■

1

4n J [ch[2(£ — Z)] — cos 20

Za

1

+

Q sin(2n0) 4n

ch[2(£ + Z)] — cos 20 1

dZ+

ch[2(£ — Z)] + cos 20

1

ch[2(£ + Z)] + cos 20

dZ. (27)

Формула (27) — окончательное выражение для функции тока исходного течения при (6).

Степенной закона фильтрации в годографе имеет вид

Ф(ад) = wn, n = const > 0.

(28)

Случай п = 1 соответствует фильтрации по закону Дарси.

Уравнение (4) для степенного закона (28) будет иметь вид

w2 д2ф дф д2ф

+ wdW + = ° (29)

Обратимся в качестве примера к задаче фильтрации несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе (28). Мы рассматриваем плоское движение несжимаемой однофазной жидкости в пласте к горизонтальной скважине, которая расположена в начале координат (рис. 1). Как и ранее, течение симметрично относительно осей Ох и Оу (рис. 1), и достаточно построить решение задачи в первом квадранте, а решения в остальных найдутся заменой знака при соответствующих переменных.

Течение в первом квадранте при преобразовании годографа отображается в ту же замкнутую область (12), что и ранее (рис. 2), а граничные условия, которым должна удовлетворять функция тока, по-прежнему даются формулами (13).

В случае закона Дарси, следующего из (1) при Ф(ад) = ад, искомое решение известно и имеет вид [5]:

HD = — — ln (sh2 mx + sin2 my) 4n

фо = — arctg (cth mx tg my) . 2n

(30)

Здесь т = п/(2Н), где Н — половина толщины пласта, а, Я — расход. На основании первых двух равенств (1) при Ф(ад) = ад и первого ра-

венства (30) получается связь между (0, w) и (x, у):

h2 1 , 1 + s

sh mx =-----------------1------, =,

2 2 a/1 — 2s cos 20 + s2

2

1

sin2 my = - +

1 - s

2 2a/1 — 2s cos 20 + s2 ’

4n2w2

(31)

Q2m2

Из (30) напор и функция тока в годографе имеют вид

Q

HD = - — ln

4п

1

л/1 — 2s cos 20 + s2

фо =

(32)

Q л/1 — 2s cos 20 + s2 + 1 — s cos 20

= — arctg < . =-.

2п у a/1 — 2s cos 20 + s2 + s cos 20 — 1

Функции (32) соответствуют нашей задаче с законом Дарси в плоскости годографа.

Вводится функция

Ф = ф — фо, (33)

уравнение для которой получается из (29) и (33). Оно имеет вид w2 д2Ф дФ д2Ф

n dw2 + dw + д02

w

2 д2ф

дw2

D дфп д2фо

+ w —-----+

dw

д02

(34)

Поскольку граничные условия при обоих законах фильтрации одинаковы, то в задаче для функции Ф граничные условия нулевые:

Ф \2 ’ / =0, w е [0, +то);

П '

Ф(0,0) =0, 0 е 0, - ;

Ф(0, w) = 0, w е [0, w^j;

(35)

Ф(0, ад) = 0, ад € ^а, +ж).

Сделаем преобразование независимой переменной и неизвестной функции, полагая ад = ехр{г/п1/2} и Ф(г, 0) = ехр[(1 —

— п)г/(2п1/2)]П(г,0):

exp

Тогда исходная полуполоса 0 е [0, п/2], w е

е [0, +те) переходит в полосу 0 е [0, п/2], е (—те, +те), а уравнение (34) примет вид

д 2П д 2П (1 — n)2

dz2 + ~з02

П

4n

f n — 1

—exp \vnz + (vn — -=

д2 ф

D

д-2

+

дфо + д 2фо

дz

д02

(36)

Фундаментальное решение однородного уравнения (36) в плоскости (г, в) имеет вид [6]:

' I1 — п\

По

n

w

Здесь Ко — функция Макдональда нулевого порядка. Чтобы найти решение в полосе в € € [0,п/2], г € (—ж, +ж), нужно построить функцию Грина для однородного уравнения Гельмгольца. После этого решение неоднородного уравнения (36) может быть найдено по второй формуле Грина. Значение в некоторой точке искомой функции представляется в формуле Грина через фундаментальное решение, расположенное в этой точке. Таким образом, для построения функции источника поместим источник в произвольной точке (г, в) и методом отражений относительно линий в = 0 в = п/2 добьемся того, чтобы на этих линиях функция источника обращалась в ноль. В результате приходим к бесконечной системе источников вида [4]:

1 +то

0(ы,в,£,п) = — ^

1= — <Ж

Ко ^112—ПП1 \!п(1пт — 1пС)2 + (в — п — п/)2^ —

—К0(11 П \]п(1п т — 1п С)2 + (в + п + п/)2 2п

С = ех^ ~п),т = ех^ ^/п), (37)

п = 1

Учитывая (33), получим следующее выражение для функции тока течения жидкости при степенном законе фильтрации:

ф (в,т) = Х

х агС^ -

л/1 — 2во соя 2в + в‘0 + 1 — 5о соя 2в •\! 1 — 2во соя 2в + + 5о соя 2в — 1

+ ^ п/2

2п

0 0

С(т, в, С, п)в в1п 2п (1 — 2в соя 2п + s2)С

1+

1 — 3в2 + 2в соя 2п п(1 — 2в соя 2п + в2) 2(1 — в2)

4п2т

22

во =

1 — 2в соя 2п + в2 4п2С2

с!п Л£,

(38)

Я2т2 ’ Я2т2

Функция (38) при (37) является решением задачи (29), (13).

Итак, для (6) и (28) построены точные решения в плоскости годографа для функции тока. Най-

денная функция тока связана с напором уравнениями (3), что дает возможность найти частные производные напора по в и по т. Значит, нам известно поле градиента напора.

Полученное решение можно интерпретировать как математическую модель притока жидкости к горизонтальной скважине бесконечной длины. Она может быть использована для получения приближенного решения задачи о притоке к горизонтальной скважине большой протяженности [7]. Кроме того, полученное решение может быть применено к модели притока к цепочке вертикальных скважин, которая имеет ту же математическую постановку, тем более что вблизи вертикальных скважин скорости обычно выше, чем вблизи горизонтальных, и нелинейные эффекты более существенны. В дальнейшем разработанную технику построения решения можно применить для исследования других областей течения, в частности, рассмотреть приток к разрезу конечной длины, что может соответствовать трещине гидроразрыва.

Литература

1. Христианович С.А. Движение грунтовых вод, не следующее закону Дарси // ПММ. - 1940.

- Т. IV, вып. 1. - С. 33-52.

2. Черняев А.П., Коротеев М.В. Введение в

математическую теорию нелинейной стационарной фильтрации несжимаемой жидкости к горизонтальным скважинам. - М.: МГУП, 2003. -

104 с.

3. Шешуков Е.Г., Фомин В.М. К нелинейной теории фильтрации // Вакуумная техника: сб. -Вып. 2. - Казань: Таткнигоиздат, 1970.

4. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. - М.: Физ-матлит, 2001. - 576 с.

5. Лейбензон Л. С. Нефтепромысловая механика. Ч. 2. - М.: Госгеонефтеиздат, 1934. - 352 с.

6. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения

математической физики. - М.: Наука, 1972. -

735 с.

7. Басниев К. С., Алиев З.С., Черных В.В. Методы расчетов дебитов горизонтальных наклонных и многоствольных газовых скважин. - М.: ИРЦ Газпром, 1999. - 47 с.

Поступила в редакцию 21.01.2011

х

х

х