CC BY
34
волноводы
А.Ю. Шерман
НЕЛИНЕЙНАЯ ЭВОШЦИЯ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫХ ИМПУЛЬСОВ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ В 0ДН0М0Д0В0М ОПТИЧЕСКОМ ВОЛОКНЕ
Использование сверхкоротких импульсов позволяет существенно повысить скорость передачи информации по оптическим волокнам за счет взаимной компенсации нелинейных и дисперсионных эффектов. Первыми для системы связи были предложены солитоны [1,2]. Однако существует еще целый класс форм импульсов, слабо уширяющихся в процессе распространения по волокну на небольшие расстояния [3]. Динамика некоторых таких импульсов в нелинейных диспергирующих средах (каковой является оптическое волокно для сверхкоротких импульсов) ра ссма т рива ла с ь в ['♦.Б]. Методом численного моделирования там проанализирована эволюция импульсов кнои-дальной, гауссовской и параболической формы при отсутствии начальной модуляции частоты. Однако такая модуляция, в частности линейная (ЛЧМ), существенно влияет на характер динамики, позволяя существенно сжимать и расширять импульс на начальном участке эволюции.
Эволюция нормированной огибающей ф(л» т) интенсивного короткого импульса по продольной координате в одномодовом оптическом волокне с пренебрежимо малым затуханием описывается нелинейным уравнением Шредингера (НУШ), которое в нормированной записи имеет вид [3,5]
^ + + =0 (,)
с начальным условием ф(0, т) = ф0(т), определяемым импульсом в начале эволюции (на входе волокна).
Для начального импульса с ЛЧМ поведение решения НУШ (1) можно аналитически исследовать в рамках автомодельного подхода, при котором решение ищется в виде
.2 т2
(2)
ф(л, т) = А(л)ехр[--- + (п) + 1Ф(П)1.
I 2т*£ (л) 1 '
8 линейном случае (при и = 0) такой подход позволяет получить точное решение. Вариационный метод решения задачи (1), (2) [б] дает значения параметров модели (2) в виде обыкновенных дифференциальных уравнений:
г - -г. (.2_ г ^
- га>;
(4)
" 7
I . П. с ф = —(- ^
2/2
где
« = ^ . 2
п,
а3£
2-4 , £(0) = 1, £(0) = 2з(0) .
с1г) ' ап3
И хотя (3), СО качественно правильно отражают эволюцию пика интенсивности и ширины импульса, точность такого подхода, как видно по рис. 1а, 6, невелика. На рис. 2 показаны зависимости от параметра нелинейности к максимальной относительной погрешности (в процентах) для пика интенсивности, рассчитанного по (3), (^) , по сравнению с непосредственным численным решением (1) для входного импуль-
Рис. 1. Эволюция максимума интенсивности частотно-модулированного импульса
ф0(т) = ехр(-та/2 + 1з0т2/2) автомодельного ( — - -) непосредственного численного решения НУШ при х=2 (а) и к=4
в,
=-0.5 (1) ,
5о=°
(2) ,
зо = 0
в рамках и
(-)
(б) для 5 (3)
АО
30
20
10
Рис. 2. Зависимость максимальной относительной погрешности от
нелинейности к при расчете эволюции пика интенсивности гауссовского импульса Ф0(т) = ехр{-х /2 + 1эот2/2)
на расстояния г| = 0,5(- - -) и Г)=1 (-
для э =-0,5 (1), зо=0 (2) и
зо=0,5 (3)
-)
2 X
са гауссовской формы в процессе его эволюции на расстояние п = 0,5 и п = ' при некоторых значениях параметра ЛЧМ Э0 = в (0) . Видно, что с ростом к погрешность автомодельного подхода быстро возрастает и даже при к» 2 точность этого подхода недостаточна для получения численных оценок. Величина и знак начальной ЛЧМ существенно влияют на точность автомодельного решения (2).
Таким образом, для исследования эволюции и тем более - взаимодействия несо-литонных импульсов в рамках шредингеровской модели (1) пока остается единственный способ - численное решение непосредственно НУШ (1).
На рис. 3 изображена динамика максимума интенсивности для начального импульса Ф0(т) = ехр(- т2/2 + 1э0т2/2). зависит от начальной величины ЛЧМ э соответствующей энергии начального импульса.
В асимптотике при больших г> его значение не 0, а форма импульса приближается к солитонной,
8 отсутствие ЛЧМ (при эо = 0) с увеличением параметра к бесколебательная
эволюция сменяется колебательной при и = 4к
кр 1
КкР = 2
п 4'
Рис. 3- Динамика пика интенсивности частотно-модулированного гауссовского импульса
Ф0<*>
и=2 (•
ехр(-т2/2 + 130т2/2) при
•) , к=п (---)
к=4 (-
-)
для эо=-0,5 (1), в0=С (2) и зо=0,5 (3)
как и для импульсов с параболической огибающей [5]- Увеличение параметра к приводит к увеличению амплитуды колебаний пика интенсивности.
Рост |Б01 переводит режим эволюции в колебательный с увеличением амплитуды и периода. Кроме того, следует отметить, что уменьшение параметра ЛЧМ Бо (с учетом знака) ускоряет перестройку импульса.
Рассмотрим сравнительную эволюцию частотно-модулированных импульсов различной начальной формы: секанс - гиперболической (солитонной) , гауссовской и параболической при одинаковом значении параметра и = 5 (одинаковой пиковой мощности).
В силу особой значимости режима к = 4н начальную ширину импульса в каждом
к р
случае выберем, чтобы последнее соотношение удовлетворялось при Э0 = 0 (см. рис. к). Видно, что импульсы с большей степенью локализации энергии перестраиваются быстрее и имеют большую частоту в колебательной эволюции. Величина ЛЧМ примерно в одинаковой степени влияет на динамику импульсов, независимо от их формы.
Поскольку наличие частотной модуляции приводит к колебательной эволюции импульса относительно "положения равновесия", определяемом случаем эо = 0, то лишь отрицательная ЛЧМ может привести к увеличению различимости (соответственно
101 2 гоах
1Ф11 шах
1Ф'
Рис. к . Сравнительная эволюция частотно-модулированных импульсов разной формы
(Фс(т) = 5есЬ(УГр) ехр( 1 $0 (1),
Ф0(т) = ехр(-т*/2т* + <з0та/2) (2),
Vе' = [1 " (т/т*)2]^2 ехр(т5ота/2) ,
v=2 (3) и v=5 (4)) при х=5 и э о=-0,5 (а),
зо=0 (б) . 5о=0,5 (в) .
Начальная длительность т0 для каждого из импульсов удовлетворяет соотношению
* = 45<кр(5о = 0>
к росту дальности различимой передачи [1<] ) при передаче одинаково модулированных импульсов (и то лишь на коротких расстояниях), определяемых половиной "периода" колебаний.
Однако "встречная" модуляция соседних импульсов в случае, когда их колебательная эволюция происходит в противофазе, способна замедлить скорость взаимодействия импульсов, тем самым увеличивая дальность различимой передачи. Эта возможность иллюстрируется рис. 5, где изображены картины эволюции двух взаимодействующих импульсов гауссовской формы
фв(х, = ехр[- <т У'*' + УГ)1 +
+ ехр[_ (^аи! + 1в> (^и! ]
в отсутствии начальной ЛЧН (а), при одинаковой ЛЧМ обоих импульсов (б) и при "встречной" ЛЧМ (в), когда параметры в, и подобраны так, чтобы обеспечить противофазную эволюцию этих импульсов.
Рис. 5. Влияние начальной ЛЧМ на взаимодействие гауссовских импульсов в одномодовом оптическом волокне при к=4 и ДТ=2,5. 8л=в2=0 (а); э1=5а=-0,3 (б); 81=0,5, за=-0,3 (в)
ЛИТЕРАТУРА
1.Hasegawa A., Tappert F. Transmission of Stationary Nonlinear Optical Pulses in Dispersive Dielectric Sibers // Appl. Phys. Lett., 1973, v. 23, p. Il»2.
2, Хасэгава А., К о д а м а Ю. Передача сигналов оптическими со-литонами в одномодовом волокне // ТИИЭР, 1981, т. 60, (f 9, с. 57.
З-Сисакян И.Н., Шварцбург А.Б. Нелинейная динамика пикосе-кундных импульсов в волоконно-оптических световодах: Обзор // Квантовая электроника, 1981*, т. 11, 1Г 9, с. 1 703-
к. Кловский Д.Д., С и с а к я н И.Н., Шварцбург А.Б., Ш е р -м а н А.Ю., Широков С.М. Нелинейная эволюция импульсов различной формы в волоконном световоде. - 6 сб.: Компьютерная оптика. М.: МЦНТИ, 1987, вып. 1 , с. 10 8.
5. Сисакян И.Н., Шварцбург А.Б., Ш е р м а н А.Ю. Динамика несолитонных импульсов в нелинейном информационном канале. - В сб.: Компьютерная оптика, М.: МЦНТИ, 1986, вып. 3-
6. Anderson D. Variational Approach to Nonlinear Pulse Propagation in Optical Fibers. - Phys. Review A., 1983, v. 27, N 6, p. 3135.
