CC BY
26
УДК 512.816
Т.И. Некипелова, А.Ф. Брагин
НЕКОТОРЫЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВНЕШНЕЙ СТЕПЕНИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ п2
АЛГЕБРЫ ЛИ Ап
Статья посвящена алгоритму разложения внешних степеней простейшего представления п2 алгебры Ли Ап. Алгоритм основан на теореме Дынкина о «части» для двух линейных представлений.
Ключевые слова: алгоритм вычисления, алгебра Ли.
T.I. Nekipelova, A.F. Bragin
ONE OF THE ALGORITHMS OF THE EXTERNAL DEGREE CALCULATION OF REPRESENTATION n2 OF LIE ALGEBRA An
Decomposition of representations into irreducible is one of the most laborious tasks of representation theory. Computer application in combination with modern programming languages and subprograms libraries for high-precision numerical calculation allows getting expansions of high order powers.
This paper presents the algorithm for finding irreducible components of the external degrees of the simplest representation n2 of Lie algebra An.
Key words: calculation algorithm, Lee algebra.
Введение
Разложение представлений на неприводимые является одной из трудоемких задач теории представлений. Применение ЭВМ в сочетании с современными языками программирования и библиотеками подпрограмм для высокоточных численных расчетов позволяет получить разложения степеней высоких порядков.
В настоящей статье приводится алгоритм поиска неприводимых компонент внешних степеней простейшего представления п2 алгебры Ли Ап. Алгоритм основан на теореме Дынкина о «части» для
двух линейных представлений. В качестве контроля разложения представления Лрж2 = I Тм на
м
неприводимые компоненты Тм вычисляются размерности dim Лpn2 = I dim Т. .
м
1. Постановка задачи
Рассмотрим простейшее представление
1
п2 _ (1)
2 О-О---------О-О
алгебры Ли An . Пусть
лpn _ I Тм (2)
м
- внешняя p -степень представления п2, Тм - неприводимые компоненты. Размерности
представлений (1) и (2) равны соответственно:
dim П2 _ n(n2+ 1) , dim ЛРп2 _ Qn+1) .
2
k cm-k
mm
Согласно свойству числа сочетаний Скт = к, достаточно рассмотреть степени представления (2)
при p
<
n(n + 1) 2
. При m >
n(n + 1) 2
к v Т m n(n +1)
справедливо свойство: Лpn2 _Л п2, где p + m _----------------, знак «
~» означает, что представление Лтп2 контрагредиентно представлению Лрп2, т.е. если компонента
а а2 ап-1 ап * р ап ап-1 а2 а1 лт_о ”Ак_1^
е Л рп , то еЛ п . Зная разложения представлений Л п , к < р,
0-0------- 0 -0 2 0- 0 ---------------0-0 2 2
найдем неприводимые компоненты Тм представления (2).
п
Г^Г т, а1 а2 ап-1 ап
Обозначим через Тм = - неприводимое представление со старшим весом
0 — 0-----------О —о
М(а1,а2,...,ап). Старшие веса неприводимых компонент Тм представления (2) обладают следующими свойствами:
1) для любого представления Тм є Лрп2 алгебры Ли Ап со старшим весом М(ар а2,_, ар+1,_, ап) при і > р +1 числовые отметки аі = 0, т.е. М(а1, а2,_, ар+1,0_,0) и числовые отметки а1, а2,_, ар+1 одновременно не равны нулю;
2) если М(а1,а2,_,ак,0,...,0) - старший вес представления Тм є Лр—1п2 алгебры Ли Ар ,
то м/(а1 +1,а2,_,(ак —1),1,___,0) - старший вес представления Тм.є Лрп2 алгебры Ли Ар+1, где
к < р;
3) если для представлений Лтп2 и Лрп2 алгебры Ли Ак справедливо соотношение:
лр 7 т к (к +1)
Лрп2 = Л п2, где т + р = —-— , т < р ,
и числовые отметки представления Тм є Лтп2 алгебры Ли Ак со старшим весом м(а1,а2,_,ак) удовлетворяют условию как + (к — 1)ак—1 +------+ 2а2 + а1 = 2т , то М'(ак,ак—1,_,а1,ак+1) является старшим
2 р — X(к — і + 1)аі
весом представления Тм. є Лрп2 алгебры Ли Ак+1, где ак+1 =------------------------—-;
к +1
4) если для представлений Лтп2 и Лрп2 алгебры Ли Ак+1 справедливо соотношение:
. „ 7 т к (к +1)
Л рп2 =Л п2, где р + т =-------— , т > р ,
для представлений Лтп2 и ЛП2 алгебры Ли Ак справедливо соотношение
лш 7 * (к + 1)(к + 2)
Л п, = Л п,, где т + * =---------------, * < т,
2 2 2 и числовые отметки представления Тм є Лтп2 алгебры Ли Ак со старшим весом м(а1, а2, _, ак)
удовлетворяют условию как + (к — 1)ак—1 +---------+ 2а2 + а1 = 2т , то М'(0, ак, ак—1, _, а1, ак+2) является
к +1
2Г — X (к — + 1)аі
старшим весом представления Тм. є Лрп2 алгебры Ли Ак+2, где ак+2 =--------------------------—-;
к + 2
р( р —1)2
5) для любого веса м(а1,а2,_,ап) =м(0,р,_,0) X, где Ц - простые корни, X -і < ]р(Чг2-.
і і 2
Свойство 2) позволяет найти веса м/(а1,а2,_,ап), у которых а1 Ф 0. Свойства 3) и 4) позволяют найти такие веса м/(а1, а2, _, ап), что а1 = 0.
Запишем алгоритм поиска неприводимых компонент представления (2).
1. Преобразовать веса м представлений Тм є Лр—1п2:
м(а1,а2,_,ак,0,_,0) ^ м/(а1 +1,а2,_,ак —1,1,0,______,0).
„ тт „ п(п +1)
2. Найти минимальное п такое, что т = — --------------------р < р . Для всех таких п найти веса м
представлений Тм є Лтп2, числовые отметки которых удовлетворяют условию
как + (к — 1)ак—1 +-+ 2а2 + а1 = 2т и преобразовать: м(а1,а2,_,ап) ^ М' (ак,ак—1,_,а1,ап+1),
п
2 р—(п—і+1)а
где ап+1 =-----^-------------- .
п +1
о тт П(П + 1) - (n - 1)n тт ~
3. Для всех n таких, что m =-------------------------------------------p > p , наити s =-s < m. Наити
2 2
представления ТмёЛ mn2 = Л sn2 алгебры Ли An—1, веса М (a1, a2,..., an—1) которых удовлетворяют условию (n- 1)an-1 +-----+ 2a2 + a1 = 2m. Преобразовать веса: М(а1,а2,...,an) ^
n
2 p — (n — г +1) a,
M /(0, an—Р'. al, an+1) , an+1 =-^---------- .
n+1
4. M' - старшие веса представлений ТМ. е Лpn2 алгебры Ли Ap+1.
В качестве примера найдем неприводимые компоненты представления Л13п2 алгебры Ли An.
1. Из компонент представления Л12п2 алгебры Ли A13 (табл. 1, Л12п2) получим 15 компонент
представления Л13п2 алгебры Ли A14 (первые 15 строк табл. 1, Л13п2):
M(a1,a2,...,ak,0,...,0) ^ M/(a1 +1,a2,...,ak —1,1,0,.,0).
2. Найдем компоненты, первая числовая отметка которой a1 = 0. В алгебре А5 размерность
dimп2 = 15, m = dimn2 —13 = 2, m < p , Л13п2 =Л2п2. В алгебре А5 Л2п2 = (табл.
О—О—О—О—О
2 1 1
1, Л п2 ). Числовые отметки компоненты удовлетворяют условию:
2 О—О—О—О—О
2p — ]Г(k —i+1)a, 26—3—5
a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 = 1 + 3 = 2m, ak+1 =--------------------------------------------—-=-= 3. Компонента
k +1 6
1 13 13 13
еЛ (16-я строка табл. 1, Л п2).
О—О—О—О—О—О 2 2
3. В алгебре A6 dim п2 = 21, m = dimn2 —13 = 8, m < p , Л13п2 = Л8п2 . Числовые отметки только
^ и и/,2.
1 1 2
е Л8П2
одной компоненты е Л8п2 удовлетворяют условию
О—О—О—О—О—О 2
2p — £(k —i + 1)ai 26 — 4 — 3 — 5
a + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 + 6a6 = 2 + 4 +10 = 2m , ak+1 =----------------------—-=-= 2.
k +1 7
Представление
2 1 1 2 13 13
еЛ п2(17-я строка табл. 1, Л п2).
О—О—О—О—О—О—О 2 2
4. В алгебре A7 dimп2 = 28, m = dimп2 —13 = 15, m > p , Л13п2 = Л 15п2. В алгебре А6
Л15п = Л6п . Числовые отметки только одной компоненты е Л15п ,
2 2 О—О—О—О—О—О 2
56 контрагредиентной е Л п2, удовлетворяет условию
О—О—О—О—О—О 2
k+1
2 p — ^ (k — i +1) a,
26 — 2 • 5
kak + (k — 1)ak—1 +-+ 2a2 + a1 = 6 • 5 = 2m , ak+2 =-—-=------= 2 . Компонента
k + 2 8
52
е Л13п2 (18-я строка табл. 1, Л13п2).
О—О—О—О—О—О—О—О 2 2
Заключение
Для реализации приведённого выше алгоритма написана программа на языке С++ с использованием библиотеки GNU Multi-precision для численных расчётов с произвольной точностью. Выбор относительно низкоуровнего инструментария обусловлен необходимостью получения результата для больших размерностей за практически приемлемое время работы программы в условиях трудоёмких
Т.И. Некипелова, А.Ф. Брагин Некоторый алгоритм вычисления внешней степени представления п2 алгебры Ли
Ап
п
расчётах и необходимости оперировать большими блоками данных. Для получения семидесятой степени на настольном компьютере с процессором AMP Phenom II X4 810 программе потребовалось 27 минут. Данная реализация переносима и масштабируема, может работать на широком спектре ЭВМ.
Листинг программы
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <vector>
#include <limits>
#include <numeric>
#include <mpirxx.h>
#include "matrix.h"
#include "infinate_iterator.h"
using namespace std;
typedef unsigned short Element; typedef mpz_class Big_integer;
inline void error_bad_dim(const Big_integer& d){
cerr << "Dimension underflow! dim_rest = " << d << \n'; exit( 1);
}
inline void error_3rd_level(const Big_integer& d){
cerr << "Need in 3rd level! dim_rest = " << d << \n'; exit( 2);
}
class Row_info{ public:
static const size_t no_source = 0xFFFFFFFF;//numeric_limits<size_t>::max();
Row_info(Big_integer dim_, size_t rang_ = no_source, size_t m_ = no_source, size_t s_ = no_source) :dim(dim_), rang(rang_), m(m_), s(s_) {} const Big_integer& dimension()const {return dim;} size_t partition_source_1()const {return m;} size_t partition_source_2()const {return s;} size_t algebras_rang_source_1()const {return rang;} size_t algebras_rang_source_2()const {return rang-1;} private:
Big_integer dim; size_t rang, m, s;
};
size_t algebras_dimension(size_t rang){ return rang*(rang+1)/2;
}
Big_integer partition_dimension(size_t p){
Big_integer c;
mpz_bin_uiui( c.get_mpz_t(), algebras_dimension(p+1),p); return c;
}
class Partition:public Matrix<Element>{
public:
Partition(const size_tpow_, const vector<vector<Element> >& vv)
:pow_rep(pow_), Matrix<Element>(vv), dim_calculated(false) {}
Partition(const size_tpow_ const vector<vector<Element> >& vv, vector<Row_info>& row_info_) :pow_rep(pow_), Matrix<Element>(vv), dim_calculated(false)
{swap(row_info_rep, row_info_);}
size_t pow()const {return pow_rep;}
const Row_info& row_info(size_t i)const {return row_info_rep[i];}
Big_integer dimension() const{
if(dim_calculated) return dim; return partition_dimension(pow());
}
private:
vector<Row_info > row_info_rep; size_t pow_rep; mutable bool dim_calculated; mutable Big_integer dim;
};
inline ostream& operator<< (ostream& strm, const Row_info& ri){ if(ri.partition_source_1() != Row_info::no_source){
strm << "from Lambda " << ri.partition_source_1()
<< " in A[" << ri.algebras_rang_source_1() << "]"; if(ri.partition_source_2() != Row_info::no_source)
strm << " and Lambda " << ri.partition_source_2()
<< " in A[" << ri.algebras_rang_source_2() << "]";
strm << ", ";
}
return strm << "dimension = " << ri.dimension();
}
inline ostream& operator<< (ostream& strm, const Partition&par){
strm << "Lambda " << par.pow() << " Pi 2, dimension = " << par.dimension() << ":\n"; for(size_t i=0; i<par.rows_count(); ++i){ strm << i+1 << ":\t"; for(size_t j=0; j<par.row_size(i); + +j)
strm << setw(2) << par[i][j] << ' '; strm < < setw(2) << 0 << ' '; for(size_t j=par.row_size(i); j<par.pow()+4; ++j) strm << setw(2) << '.' << ''; strm << '\t" << par.row_info(i) << \n';
}
return strm;
}
inline Big_integer dimension(const vector<Element>& row, size_t rang){
Big_integer val=1;
for(size_t i=0; i < rang; ++i)
for(size_t j=0; j<rang-i; ++j){ size_t sum=i+1;
for(vector<Element>::const_iterator
k = min(row.end(), row.begin()+j);
п
k!= min(row.end(), row.begin()+j+i+1); ++k) sum+ = *k; val*=sum;
}
for(size_t i=2; i<=rang; ++i)
for( size_t j=i; j<=rang; + +j) val/=i;
return val;
}
size_t start_algebras_rang(size_t pow){ typedef long double Real;
return size_t( ceil( (-1+sqrt(Real(1+8*pow)) )/2 ) + 1e-4);
}
class Partitions_storage: private vector<Partition*>{ typedef vector<Partition *> Base; public:
using Base::size;
const Partition& operator[](size_t ind){return *Base::operator[](ind);} void add(const size_tpow_ const vector<vector<Element> >& vv){ if(size()==pow_) push_back(new Partition(pow_,vv));
}
void add(const size_tpow_ const vector<vector<Element> >& vv, vector<Row_info>& row_info_){ if(size()==pow_) push_back(new Partition(pow_ vv, row_info_));
}
Partitions_storage(){
vector<vector<Element> > vv0(1), vv1(1); vv0[0].push_back(0);
vv1[0].push_back(0); vv1[0].push_back(1); vector<Row_info> ri0, ri1; ri0.push_back(Row_info(dimension(vv0[0],1))); ri1.push_back(Row_info(dimension(vv1[0],2)));
Base::push_back(new Partition(0, vv0, ri0));
Base::push_back(new Partition( 1, vv1, ri1));
}
~Partitions_storage(){
for(size_t i=0; i<size(); ++i)
delete Base::operator[](i);
}
};
Partitions_storage partitions_storage; ostream& strm = cout;
template<class Inlt>
Element missing_element(size_t p, InIt first, InIt last){ return (2*p - inner_product(first, last,
infinite_progression_iterator<size_t>(1), 0) )/(last-first+1);
}
void remove_ending_zero(vector<vector<Element> >& vv){ for(size_t i=0; i<vv.size(); ++i)
while( vv[ i ]. back( )==0) vv[ i ].pop_back();
}
void calculate_partition(size_t p){ vector<vector<Element> > vv; vector<Row_info> row_info;
Big_integer dim_rest = partition_dimension(p);
//from pow-1 {
const Partition& source_partition = partitions_storage[p-1]; vv. resize( source _partition. rows_count()); row_info. reserve( source _partition. rows_count()); for(size_t i=0; i<source_partition.rows_count(); ++i){ vv[i].resize(source_partition.row_size(i)+1, 0); copy(source_partition[i],
source_partition[i]+source_partition.row_size(i), vv[i].begin()); vv[i][0]++; size_t sz=vv[ i].size(); vv[i][sz-2]--; vv[i][sz-1]++;
row_info.push_back(Row_info( dimension( vv[ i ],p+1 ),p,p-1)); dim_rest-=row_info. back(). dimension();
}
}
//from symmetric
for(size_t rang=start_algebras_rang(p); dim_rest!=0; ++rang){ size_t ad = algebras_dimension(rang), m = ad - p;
if(m < p){
const Partition& source_partition = partitions_storage[m]; for(size_t i=0; i<source_partition.rows_count(); ++i){
Element *src_row_begin_ptr = source_partition[i],
*src_row_end_ptr = src_row_begin __ptr+min(rang,
source _partition. row_size( i)); src_row_end_ptr),
infinite_row_iterator<Element>
src_row_begin(src_row_begin_ptr,
src_row_end(src_row_end_ptr, src_row_end_ptr); if(*(src_row_begin+rang-1) == 0 &&
inner_product(src_row_begin, src_row_end,
infinite _progression_iterator<size_t>(1),0) == 2*m)
{
added_row. end());
vv.push_back( vector<Element> ()); vector<Element>& added_row = vv.back(); added_row. resize( rang+1);
copy(src_row_begin, src_row_end, ++added_row.rbegin()); added_row. back() = missing_element(p, added_row. begin(), - -
Т.И. Некипелова, А.Ф. Брагин Некоторый алгоритм вычисления внешней степени представления п2 алгебры Ли
Ап
п
row_info.push_back(Row_info( dimension( added_row,p+1), rang, m));
dim_rest-=row_info. back(). dimension(); if( dim_rest==0 )break; if(dim_rest<0)
error_bad_dim(dim_rest);
}
}
else {//m > = p
size_t ad = algebras_dimension(rang-1), s = ad - m; if(s>=p)
error_3rd_level( dim_rest);
const Partition& source_partition = partitions_storage[s]; for(size_t i=0; i<source_partition.rows_count(); ++i){
Element *src_row_begin_ptr = source_partition[i],
= src_row_begin _ptr+min( rang-1,
source _partition. row_size( i)); src_row_end_ptr),
src_row_begin ),0)==2*m)
added_row. end());
*src_row_end_ptr =
infinite_row_iterator<Element> src_row_begin( src_row_begin _ptr,
src_row_end(src_row_end_ptr, src_row_end_ptr);
if(inner_product(src_row_begin, src_row_end,
infinite_progression_iterator_reverse<size_t>(src_row_end-
{
vv.push_back( vector<Element> ()); vector<Element>& added_row = vv.back(); added_row. resize( rang+1);
copy(src_row_begin, src_row_end, added_row.begin()+1); added_row. back() = missing_element(p, added_row. begin(), -
row_info.push_back(Row_info( dimension( added_row,p+1), rang, m,s));
dim_rest-=row_info. back(). dimension(); if( dim_rest==0 )break; if(dim_rest<0)
error_bad_dim( dim_rest);
}
}
//adding to storage remove_ending_zero(vv); partitions_storage. add(p, vv, row_info);
int main(){ int p; cin > > p;
}
}
}
}
strm << partitions_storage[0] << \n'
<< partitions_storage[1] << \n'; for(size_t i=2; i<=p; ++i){
calculate_partition(i);
strm << partitions_storage[i] << endl;
I
Итогом работы программы является список старших весов неприводимых компонент представления Лpn2. В качестве примера приведён результат работы программы для p = 15 .
Таблица 1. Веса неприводимых компонент представлений Лpn2, p < 15 Л0п2, dimЛ0п2 = 1:
1: 0 0 . . . dimension =1
ЛП2 , dim ЛП2 = 3 :
1: 0 1 0 . . . dimension =3
Л2п2 , dim Л2п2 = 15 :
1: 1 0 1 0 . . . dimension = 15
Л3п2, dim Л3п2 = 120 :
1:
2:
2 0 0 1 0 0 0 2 0 .
dimension = 70 dimension = 50
Л4п2 , dimЛ4п2 = 1365 :
1:
2:
3 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 .
dimension = 315 dimension = 1050
Л , dim Л = 20349:
4 0 0 0 0 1 0
2 0 1 0 1 0 .
0 1 0 2 0 . . .
dimension = 1386 dimension = 11907 dimension = 7056
Л6п2, dim Л6п2 = 376740:
5 0 0 0 0 0 1 0
3 0 1 0 0 1 0 .
1 1 0 1 1 0 . . .
0 0 0 3 0 . . . .
. dimension = 6006
. dimension = 103488
. dimension = 242550
dimension = 24696
Л7п2 , dim Л1п2 = 8347680:
6 0 0 0 0 0 0 1 0
4 0 1 0 0 0 1 0 .
2 1 0 1 0 1 0 . . . 1 0 0 2 1 0 . . . .
0 2 0 0 2 0 . . . .
dimension = 25740 dimension = 772200 dimension = 4169880 dimension = 1746360 dimension = 1633500
Л8п
, dim Л8п2 = 215553195:
7 0 0 0 20 0 0 0 1 0 .
5 0 1 0 0 0 0 1 0 . .
3 1 0 1 0 0 1 0 . . .
2 0 0 2 0 1 0 ......
1 2 0 0 1 1 0 ..........
0 1 0 1 2 0.............
dimension dimensi dimensi dimensi dimensi dimension
on
on
on
on
109395 :5212350 52026975 50965200 72837765 :34401510
I
Л9п2 , dim Л9п = 6358402050:
1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 . . . dimension = 461890
2 6 0 1 0 0 0 0 0 1 0 . . . . dimension = 32757725
3 4 1 0 1 0 0 0 1 0 . . . . dimension = 534820000
4 3 0 0 2 0 0 1 0 dimension = 973293750
5 2 2 0 0 1 0 1 0 . . . dimension = 1603201600
6 1 1 0 1 1 1 0 . . . dimension = 2479952475
7 0 0 1 0 3 0 dimension = 242934120
8 0 3 0 0 0 2 0 . . . dimension = 490980490
л Л П2 , dim Л1С П2 = 210980549208:
1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 . . . dimension = 1939938
2 7 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 . . . . dimension = 195102336
3 5 1 0 1 0 0 0 0 1 0 dimension = 4815064683
4 4 0 0 2 0 0 0 1 0 dimension = 14339861250
5 3 2 0 0 1 0 0 1 0 dimension = 25229812608
6 2 1 0 1 1 0 1 0 . . . . dimension = 80303223000
7 1 0 1 0 2 1 0 . . . . dimension = 29844456642
8 1 3 0 0 0 1 1 0 . . . . dimension = 25755433704
9 0 0 0 0 4 0 . . . . dimension = 868489479
10: 0 2 0 1 0 2 0 . . . . dimension = 29627165568
Лпп2, dim Лпп = 7778680504140:
1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 . .
2 8 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 . . .
3 6 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0
4 5 0 0 2 0 0 0 0 1 0
5 4 2 0 0 1 0 0 0 1 0
6 3 1 0 1 1 0 0 1 0
7 2 0 1 0 2 0 1 0
8 2 3 0 0 0 1 0 1 0
9 1 0 0 0 3 1 0
10:
2213916056352
11:
835153519200
12:
173689536384
dimension = dimension = dimension = dimension = dimension = dimension = dimension = dimension = dimension = 1 2 0 1 0
8112468 1114229844 39319016100 176710892358 322404468750 1752683544612 1432288285428 668537906400 162854936244
1 1 0.........
0 1 1 0 1 2 0
0 4 0 0 0 0 2 0
dimension
dimension
dimension
Л12п2 , dim Л12п2 = 315502265971620:
1 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 . .
2 9 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 . . .
3 7 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
4 6 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0
5 5 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0
6 4 1 0 1 1 0 0 0 1 0
7 3 0 1 0 2 0 0 1 0
8 3 3 0 0 0 1 0 0 1 0
9 2 0 0 0 3 0 1 0
10:
77567110590060
11:
90122555102580
dimension = dimension = dimension = dimension = dimension = dimension = dimension = dimension = dimension = 2 2 0 1 0
33801950 6151954900 297754617160 1908282914720 3560109553000 29816920542500 43083798517760 12379471854750 10939245717400
1 0 1 0.........
1 1 1 0 1 1 1 0
dimension
dimension
12: 1 4 0 0 0 0 1 1 0 . . . dimension
10186536840480
13: 0 1 0 0 2 2 0 . . . dimension
7830196934560
14: 0 0 2 0 0 3 0 . . . dimension
5915670761000
15: 0 3 0 1 0 0 2 0 . . . dimension
21888426268800
Л13п2, dim Л13п2 = 13961746143269400:
1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 . . . dimension = 140408100
2 10 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 . . . . dimension = 33034905750
3 8 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 . . . . . dimension = 2122970472000
4 7 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 . dimension = 18603511617600
5 6 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 . dimension = 35223137906880
6 5 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 . dimension = 425193593304480
7 4 0 1 0 2 0 0 0 1 0 . dimension = 965279598454080
8 4 3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 . dimension = 185325821257500
9 3 0 0 0 3 0 0 1 0 dimension = 436957842921600
10 3 2 0 1 0 1 0 0 1 0 . dimension = 1868309892318870
11 2 1 1 0 1 1 0 1 0 dimension = 4256082885600000
12 2 4 0 0 0 0 1 0 1 0 . dimension = 297617153650740
13 1 1 0 0 2 1 1 0 dimension = 1158718565604600
14 1 0 2 0 0 2 1 0 dimension = 1000544285220480
15 1 3 0 1 0 0 1 1 0 dimension = 1693511749729800
16 0 0 1 0 1 3 0 dimension = 145912708261320
17 0 2 1 0 1 0 2 0 dimension = 1403595334486800
18 0 5 0 0 0 0 0 2 0 dimension = 68713917148800
Л14 1 2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
13
14
15
16
17
18
19
20 21 22
П = 669413654240461560:
п2, dim Л 2 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 8 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 .
7 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 .
6 1 0 1 1 0 0 0 0 0
5 0 1 0 2 0 0 0 0 1
5 3 0 0 0 1 0 0 0 0
4 0 0 0 3 0 0 0 1 0
4 2 0 1 0 1 0 0 0 1
3 1 1 0 1 1 0 0 1 0
3 4 0 0 0 0 1 0 0 1
2 1 0 0 2 1 0 1 0 .
2 0 2 0 0 2
2 3 0 1 0 0
1 0 1 0 1 2
1 2 1 0 1 0
1 5 0 0 0 0
0 0 0 1 0 4
0 1 2 0 0 1
0 2 0 0 2 0
0 4 0 1 0 0 0 2 0
1 0 . . dimension = 581690700
0 . . . . dimension = 173303712000
........ dimension = 14406873975000
. . . . dimension = 167085639000000
. . . . dimension = 319640510592000
1 0........... dimension = 5305303209528000
0.......... dimension = 17562955201122240
1 0.......... dimension = 2384741035333800
............. dimension = 12544968000801600
0............. dimension = 35401410115061760
............. dimension = 132432618828870360
0............. dimension = 6217991440277760
............. dimension = 71379420856380000
0 1 0................ dimension = 65447645310927360
1 0 1 0.............. dimension = 63099735621753600
1 0.................... dimension = 33329819371305600
1 1 0................ dimension = 143622084897720000
0 1 1 0.............. dimension = 4372025231445300
0......................dimension = 1049272091318880
2 0................... dimension = 33680511915195600
2 0................... dimension = 25897295548800000
dimension = 15184548655650000
Л15п2, dim Л15п2 = 34569147570568156800: 1: 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
dimension = 2404321560
п
2 12 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 . . . . dimension = 891305269920
3 10 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 dimension = 93808561160160
4 9 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 dimension = 1402837385400000
5 8 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 dimension = 2704020413618160
6 7 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 dimension = 59563779762240000
7 6 0 1 0 2 0 0 0 0 0 1 0 dimension = 273049765054133760
8 6 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 dimension = 27340650848805840
9 5 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 dimension = 284977558805022720
10:5 2 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 dimension = 564485940806748480
11:4 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 dimension = 3148171914825000000
12: 4 4 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 dimension = 105022817546206560
13: 3 1 0 0 2 1 0 0 1 0 dimension = 2801685625001879616
14: 3 0 2 0 0 2 0 0 1 0 dimension = 2652449567537250000
15: 3 3 0 1 0 0 1 0 0 1 0 dimension = 1640042348369018880
16: 2 0 1 0 1 2 0 1 0 dimension = 2805060905855073216
17: 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 dimension = 6799190762761375968
18: 2 5 0 0 0 0 0 1 0 1 0 dimension = 139645724429571360
19: 1 0 0 1 0 3 1 0 dimension = 330633707298358464
20: 1 1 2 0 0 1 1 1 0 dimension = 4696943547797268768
21: 1 2 0 0 2 0 1 1 0 dimension = 3403408193636880000
22: 1 4 0 1 0 0 0 1 1 0 dimension = 1211212915970772000
23: 0 0 0 0 0 5 0 dimension = 3792054662892288
24: 0 1 1 0 1 1 2 0 dimension = 1593964153642224000
25: 0 0 3 0 0 0 3 0 dimension = 238907097851787456
26: 0 3 1 0 1 0 0 2 0 dimension = 1755900381141060000
27: 0 6 0 0 0 0 0 0 2 0 dimension = 29496596894817624
В таблице Лpn2 dimension - размерность представления 1 2 n : dimension =
0 — 0-----О
a + 1 $2 + 1 $n + 1 $1 + ^2 + 2 $2 + $2 + 2 йп—1 + an + 2
= 11 " 1 2 2 " 2 $1 + $2 + " ' + $n—1 + П — 1 $2 + $3 + + $n + П — 1 $1 + $2 + + $n + П
n — 1 n — 1 n
Литература
1. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. - М.: Наука, 1988. - 344 с.
2. Дынкин Е.Б. Максимальные подгруппы классических групп // Тр. Московского математического общества.
- 1952. - Т. 1. - С. 38-166.
Некипелова Татьяна Ивановна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии Бурятского государственного университета, тел. (924-6) 362019, e-mail: inltavo@mail.ru
Брагин Александр Федорович, магистр Бурятского государственного университета, тел. (924-3) 969313, e-mail: bragonavt @ mail.ru
Nekipelova Tatjyana Ivanovna, candidate of physical and mathematical sciences, docent of the department of Geometry of the Buryat State University, phone number (924-6)362019.
Bragin Alexander Fedorovich, Master student of the Buryat State University, phone number (924-3)969313.
