CC BY
5УДК 517.53
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ В ОБЛАСТЯХ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ
Н.М. Махина, В.А. Беднаж
ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»
В работе рассматриваются области, состоящие из конечного числа гладких дуг, образующих в точках стыка положительные углы заданного раствора, и изучается возможность построения ограниченного оператора, отображающего пространства аналитических функций в таких областях на соответствующие пространства Лебега измеримых функций.
Ключевые слова: область с углами, ограниченный оператор, пространства аналитических функций
Пусть пространство Харди (см. [11]) Нр, 0< р <<х>, определяется как множество функций аналитических в единичном круге S, / е Н(£), для которых
йе/
\\/\\Нр = 8Ир Мр (г, /)< ъ,
0<г<1
где для 0 < г <1
мр (г, /) =
^ ^ 2—
| /(геЮ)
V 2— 0
\Ур
йв
(0 < р < ъ);Мъ(г,/) = 8ир /(гею)
веК
Пусть П (О) (1 < р <<х)) - пространство Лебега в О (О - некоторая односвязная область на комплексной плоскости С), т.е. множество функций, измеримых в области О и удовлетворяющих условию:
П
= 1 Я/(4Рйш2(г) р <+Ъ.
Подпространство пространства П (О), состоящее из функций, аналитических в области О, обозначим через Ар (О).
Классическая теорема М. Рисса утверждает, что сингулярный интеграл с ядром Коши функции из Ьр (1 < р < +да) пространства на действительной оси является функцией класса
Харди Н р в верхней полуплоскости.
Вышеуказанной теоремой М. Рисса также определяется утверждение, что в случае, когда О - область с гладкой границей, ограниченная и односвязная, то также существует ограниченный проектор, отображающий пространство П (О) в Ар (О).
Решением задачи о построении таких линейных ограниченных операторов, которые отображают пространства измеримых функций на порождаемые пространства аналитических функций, и приложениями данных вопросов занимались многие авторы в своих исследованиях (см., например, работы [1]-[11], [12].
Так, например, в работе [9] устанавливается, что для области О, граница которой
является аналитической кривой во всех точках, кроме нуля, и образует угол раствора — в
а
нуле (прямолинейный), оператор Бергмана Р0(/)(г) = {К(г,£)отображает
О
пространство П (О) на Ар (О); ограничен при а е [1, +ъ), р е (1, , и при
— < а < 1, р е 2
1,
2
а +1
2
1 -а
, ; неограничен при остальных р и а .
В работах [1], [5], [6] также рассматриваются следующие классы функций и области с углами. Пусть Lß (G) - класс измеримых по Лебегу в области G функций f таких, что
J f (w)| ßdß(w, SG)dm2 (w) < < ß < +c, ß> -1,
G
где dm2 - плоская мера Лебега; Aß (G) - подпространство пространства Lß (G), состоящее
из аналитических функций.
Пусть (см. [9]) (С) - класс односвязных областей G на комплексной плоскости С, граница Г каждой из которых состоит из конечного числа гладких дуг Г., образующих
- К 1 ^
между собой в точках стыка w положительные внутренние углы —, — <а,- < +ю,
aj 2 j
j = 1,2,..., m, m = m(G). Доказан следующий результат:
Теорема 1 (см. [10]). Пусть G е (C); ф): S ^ G; р(0) = w0, р'(0) > 0, w0 е G,
-1
у = р . Тогда интегральный оператор вида
Pfw) = F(w) = T+1 J f f(py, (^2 dm2(p)
непрерывно отображает Lß(G) на Aß(G), 1 <ß <+c, ß>-1, tj >max{2(ß + 1);Л], Л = max(—— 1)(ß + 2) + ß, 1 <а; <+да, j = 1,2,...,m, m = m(G), причем существует
1<j<m aj 2
постоянная e(ß, p):
FAß(G) < cß pMl^{oy В нашей работе рассмотрены области вида Q = jw е C : |arg w| < ^^ - плоский угол
раствора ка при всех 0 < а < 2.
Оказывается, указанный в теореме 1 оператор можно построить не только с аналогом ядра Бергмана, но и с ядрами других видов, одно из которых мы приведем в теореме 2:
fa I I aal
w е C :\arg w\ 0 <a< 2, ß> max j 2a-2- —,
1 1 1
1 < p < +c, —- — = 1.
p q
Тогда интегральный оператор P(f)(w) = J K (w,p) f(p)dm1(ß), где
Q
ß + U, ,ß [Imh(M)]
ß 1
K(w,v) = -ß— (2i)ß-h'(M)\ ,h(w) = i
— ln w
iec
к
h(w) - h(ß)
отображает П (О) в Ap (О) и является ограниченным.
(а Л
Если при этом /(м) е Ар (О), Р> 2 - -1 , р > 0, то Р(/)(м) = /(м).
IР )
Доказательство данной теоремы следует непосредственно из оценки
}\К(/)(м)\Рат2(м)\Р <ъ(а,Р)\\/(м)\ьР
ЧО У
с использованием неравенства Гельдера, отображения рассматриваемой области в верхнюю полуплоскость П+.
Список литературы
1. Махина Н.М. Некоторые оценки конформно отображающей функции в областях с кусочно-гладкой и асимптотически конформной границей // Вестник Омского университета.
- 2018. - Т. 23:3. - С. 47-51.
2. Махина Н.М. О сопряженных пространствах к некоторым весовым пространствам аналитических функций // Вестник Брянского государственного университета. - 2015. - № 2.
- С. 420-423.
3. Махина Н.М. Оценки производных аналитических и гармонических функций в некоторых областях комплексной плоскости // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. - 2017. - № 2. - С. 16-22.
4. Соловьев А.А. Оценки в Lp интегральных операторов, связанных с пространствами аналитических и гармонических функций // Сибирский математический журнал. - 1985. -Т. 26:3. - C. 168-191.
5. Ткаченко Н.М. Весовые Lp-оценки аналитических и гармонических функций в односвязных областях комплексной плоскости: специальность 01.01.01 «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»: диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. - Брянск, 2009. - 116 с.
6. Ткаченко Н.М. Об оценках модуля производной аналитической в угловой области функции // Вестник Ижевского государственного технического университета. - 2008. -№ 1(37). - С. 96-98.
7. Шамоян Ф.А. Об ограниченности одного класса операторов в соболевых пространствах функций, связанных с делимостью аналитических функций / Ф.А. Шамоян, В.А. Беднаж // Комплексный анализ и его приложения : Материалы региональной научно-практической конференции, Брянск, 23-24 ноября 2016 года / Ф.А. Шамоян (ответственный редактор). - Брянск: Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского, 2016. - С. 44-48.
8. Шамоян Ф.А. Теплицевы операторы в Соболевых пространствах аналитических функций и их приложения / Ф. А. Шамоян, В. А. Беднаж // Сибирские электронные математические известия. - 2017. - Т. 14. - С. 163-177.
9. Шихватов А.М. О пространствах аналитических функций в области с угловой точкой // Математические заметки. - 1975. - Т. 18:3. - С. 411-420.
10. Burbea J. The Bergman projection over plane regions // Ark. for mat. - 1980. - V.18:1.
- PP. 207-221.
11. Duren P.L. Theory of Hp Spaces. New York/London: Academic Press, 1970. Reprint: Mineola, New York: Dover, 292.
12. Hedenmalm H. The dual of Bergman Space on Simply connected domains // J. d' Analyse Mathematique. - 2002. - V. 88. - PP. 311-335.
Сведения об авторах
Махина Наталья Михайловна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: mahinanm@yandex. ru.
Беднаж Вера Аркадьевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].
SOME REMARKS ON LINEAR OPERATORS IN DOMAINS WITH CORNER POINTS
N.M. Makhina, V.A. Bednazh
Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky
In this paper we consider domains consisting of a finite number of smooth arcs that form positive angles of a given opening at the junction points, and we study the possibility of constructing a bounded operator that maps the spaces of analytic functions in such domains onto the corresponding Lebesgue spaces of measurable functions.
Keywords: domain with corners, bounded operator, spaces of analytic functions.
References
1. Makhina N.M. Some estimates of a conformally mapping function in domains with a piecewise-smooth and asymptotically conformal boundary // Bulletin of Omsk University. - 2018. - V. 23:3. - PP. 47-51.
2. Makhina N.M. On conjugate spaces to some weighted spaces of analytic functions // Bulletin of Bryansk State University. - 2015. - № 2. - PP. 420-423.
3. Makhina N.M. Estimates of the derivatives of analytic and harmonic functions in some domains of the complex plane // Bulletin of the Moscow State Regional University. Series: Physics-mathematics. - 2017. - № 2. - PP. 16-22.
4. Solov'yov A.A. Estimates in Lp for integral operators associated with the space of analytic and harmonic functions // Siberian Math. Journal. - 1985. - V. 26:3. - PP. 168-191.
5. Tkachenko N.M. Weighted Lp estimates analytic and harmonic functions in a simply domains of complex plane. Ph. D. Dissertation. Bryansk, 2009. 116 p.
6. Tkachenko N.M. On estimates of the modulus of the derivative of an analytic function in domains with angles // Bulletin of the Izhevsk State Technical University. - 2008. - № 1 (37). -PP. 96-98.
7. Shamoyan F.A. On the boundedness of a class of operators in Sobolev spaces of functions related to the divisibility of analytic functions / F.A. Shamoyan, V.A. Bednazh // Complex analysis and its applications: Proceedings of the regional scientific and practical conference, Bryansk, November 23-24, 2016 / F.A. Shamoyan (responsible editor). - Bryansk: Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, 2016. - PP. 44-48.
8. Shamoyan F.A. Toeplitz operators in Sobolev spaces of analytic functions and their applications / F.A. Shamoyan, V.A. Bednazh // Siberian electronic mathematical reports. - 2017. -V. 14. - PP. 163-177.
9. Shihvatov A.M. On Lp-spaces of functions analytic in a domain with piecewise analytic boundary // Mathematical Notes. - 1975. - V. 18:3. - PP. 411-420.
10. Burbea J. The Bergman projection over plane regions // Ark. for mat. - 1980. -V.18:1. - PP. 207-221.
11. Duren P.L. Theory of Hp Spaces. New York/London: Academic Press, 1970. Reprint: Mineola, New York: Dover, 292.
12. Hedenmalm H. The dual of Bergman Space on Simply connected domains // J. d' Analyse Mathematique. - 2002. - V. 88. - PP. 311-335.
About authors
Makhina N.M. - Ph. D. in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].
Bednazh V.A. - Ph. D. in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].
