Некоторые задачи в модулях над коммутативными кольцами Текст научной статьи по специальности «Математика»

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ В МОДУЛЯХ НАД КОММУТАТИВНЫМИ КОЛЬЦАМИ

© Г.И. Малашоиок

В докладе рассматриваются некоторые задачи, связанные с гомоморфизмами модулей над коммутативными кольцами.

Приводится теорема о решениях системы линейных уравнений над коммутативной областью, в которой определяются условия совместности и дается алгоритмическая характеристика решений системы как в коммутативной области, так и в поле частных.

Теорема. Пусть Ах = Ь - неоднородная система линейных уравнений над коммутативной областью /?,

А є Я"*'", е = (1, 0....0) є /Г*1, А' = (Ь, А), А" = (/Г,

е’), 1) А" Р = Т, где матрица 11 и столбец Т имеют вид соответственно

і/о і/. Т\

ДГ0 X, Г,

И'о IV, О

11 - обратимая матрица, Т - верхняя зреугольная матрица, Г, - верхний треугольный блок, диагональные элементы которого не равны нулю, I - последняя ненулевая строка матрицы Т, (дг0, дг|) - строка матрицы І1,

с тем же номером, что и строка /, х0 первый элемент этой строки, Р = <1іа§(Р|,1), Р\ - матрица перестановок.

Тогда

(1) Система Ах= Ь совместна в поле частных кольца !( в том, и только в том случае, когда в строке г отличен от нуля только один последний элемент.

(2) Если система Ах = Ь совместна в поле частных, то х = -дгсГ'дгГ - ее решение, а строки маз-рицьі IV, образуют базис пространства всех решений однородной системы .іх = 0.

(3) Система Ах = Ь совместна в кольце И в том, и только к том случае, когда х0 - обратимый элемент Н. При этом х = -х0 'V - решение системы в кольце Л, а строки матрицы IV, образуют базис модуля всех решений однородной системы Ах = 0.

В докладе приводятся также два алгоритма для колец главных идеалов с делителями нуля. Это алгоритм вычисления характеристического многочлена и алгоритм вычисления присоединенной матрицы. Оба алгоритма имеют сложность О(мэ). Обсуждается применение модулярных методов для решения задач в евклидовых областях

ПРОГРАММА ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

/;-АДИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

© Г.И. Малашоиок, А.Ю. Ару попои

В докладе рассматриваются принципы построения программы точного решения системы линейных уравнений р-адическим методом. Сложность такого метода в бит-операциях оценивается как О(////^(/м - г + 1)х x(logi/- + log-. ІИІІ)2). где А - матрица коэффициентов системы, п и гп - число строк и столбцов матрицы А, г - ранг матрицы А.

Общая схема метода состоиг в следующем.

(1). С помощью масштабирования матрица коэффициентов системы приводится к целочисленному виду.

(2). Для вычисления множества m - г + 1 линейно независимых решений строится множество из m - r + 1 определенных систем с квадратными матрицами коэффициентов.

(3). Решение каждой из этих систем вычисляется с помощью р-адичеекого подъема. Для этого выбирается подходящий простой элемент р кольца Z, который не делит определитель матрицы коэффициентов Этот выбор может оказаться неудачным с вероятностью не

более \/р. Если проверка покажет, что решение неверное, то выбирается другой простой элемент р. Кольцо вычетов по простому модулю р является полем, и ре-шение в этом поле можно искать, например, методом Гаусса.

С помощью неравенства Адамара находится верхняя оценка да я числителей и знаменателей решения системы, а но ним находигся оценка для величины рк-границы подъема, решение поднимается по модулю р до рк, и затем реконструируется рациональное решение. Для решения одной определенной системы мы применяем алгоритм, использующий линейный р-адическнй подъем, который впервые приведен в работе Диксона 11).

ЛИТЕРАТУРА

I. Dixon J. Ечас! solution of linear equations using p-ailic expansions II

Nunwr Math- 1982 V 40 К 137-141