Некоторые задачи прикладной математики - небесная механика, Геодезия, картография - в работах академика М. В. Остроградского и его научной школы (к 200-летию со дня рождения ученого)

Поляхова Е. Н.; Холшевников К. В.

2007 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. Сер. 10. Вып. 1

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ

УДК 52 (091) : 52 (092)+521.1

Е. Н. Поляхова, К. В. Холшевников

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ -НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА, ГЕОДЕЗИЯ, КАРТОГРАФИЯ -В РАБОТАХ АКАДЕМИКА М. В. ОСТРОГРАДСКОГО И ЕГО НАУЧНОЙ ШКОЛЫ

(К 200-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ УЧЕНОГО) *>

Введение. Деятельность русских математиков и механиков в смежных науках редко привлекает исследователей, поскольку чаще всего внимание уделяется основному направлению их работы. Вследствие этого до сих пор отсутствует полное представление о деятельности ученых, применявших математику и механику в баллистике, небесной механике, фортификации и др. Что касается небесной механики в России, то здесь сложилась вообще специфическая ситуация: после смерти Леонарда Эйлера (1707-1783), т. е. с конца XVIII в., и до начала XX столетия небесная механика развивалась главным образом в работах математиков и механиков, а не астрономов [1]. Это определялось еще и возможностью почерпнуть из астрономии примеры для различных приложений развиваемых математических методов. В этой связи развитие механики в России в то время можно разделить условно на несколько периодов:

1. Пост-эйлеровский период, когда еще работали коллеги и ученики Эйлера, развивая его идеи.

2. «Аналитический» период в механике, т. е. период М. В. Остроградского.

3. «Школа Остроградского по механике» - его ближайшие коллеги и ученики как в Петербурге, так и в Москве.

4. Российская (главным образом - петербургская и московская) школа механики в конце XIX - начале XX вв.

Что же привнесли российские математики и механики, в частности М. В. Остроградский (1801-1862), в небесную механику XIX столетия? Попробуем осветить данный вопрос в соответствии с предложенной классификацией этапов.

Первый период (пост-эйлеровский). Здесь уместно назвать коллег и учеников Эйлера- Н. И. Фусса (1755-1826), А. И. Лекселя (1741-1784), С. Е. Гурьева (1764-1813), М. Е. Головина (1756-1790), Ф. И. Шуберта (1758-1825). Их вклад в астрономию подробно освещен в работах [1, 2]. Отдельно следует упомянуть Ф. И. Шуберта, который наряду с математическими работами написал много книг и статей по астрономии и небесной механике. Его интерес к астрономии был стимулирован служебной деятельностью в Географическом Департаменте Петербургской Академии наук, но позднее астрономия становится его основной специальностью [2-5]. С именем Шуберта теснейшим образом связано становление астрономической науки и астрономического образования в России [5].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-02-17408) и Совета по грантам президента РФ для поддержки ведущих научных школ (грант № НШ-4929.2006.2).

В 1798 г. Ф. И. Шуберт выпускает в Петербурге свой фундаментальный труд «Теоретическая астрономия» [6], в трех томах (частях), на немецком языке. Он сразу приносит ему мировую известность и на долгие годы становится основным руководством для обучения астрономов, причем не только в России. Эта книга была энциклопедией астрономической науки своего времени, поскольку многотомная «Небесная механика» П.-С. Лапласа только начала печататься во Франции (первый из девяти ее томов вышел в 1796 г.). Позднее Ф. И. Шуберт по совету П.-С. Лапласа, высоко оценившего книгу, организует ее перевод на французский язык и в переработанном виде издает заново в 1822 г. в Петербурге [7]. От имени французских математиков и астрономов С.-Д. Пуассон поблагодарил Шуберта за это издание.

Всего перу Шуберта принадлежит около сотни работ и заметок, из которых около 80 - на астрономическую и геодезическую темы, в том числе несколько работ по теории возмущений больших планет и Луны, переписка с ведущими зарубежными астрономами того времени -с П.-С. Лапласом, К.-Ф. Гауссом, Ф.-В. Весселем и др. [8]. Как писал Н. И. Идельсон в предисловии к публикации этой переписки, «в этих письмах оживает перед нами целая эпоха замечательного расцвета физико-математических наук» [9, с. 798]. «В переписке Шуберта с величайшими западно-европейскими учеными замечательно утвердились роль и значение нашей Академии наук» (там же, с. 799).

Говоря о развитии небесной механики в России, нельзя не упомянуть огромный вклад Н. И. Лобачевского (1792-1856) - современника М. В. Остроградского. Н. И. Лобачевский -фигура столь самобытная, что его творчество трудно отнести к какой-либо из существовавших в то время научных школ. Не укладывается его научное наследие и в нашу классификацию, т. е. его нельзя отнести ни к пост-эйлеровскому периоду, ни к «аналитическому» («пост-лагранжевому»), связанному в России с именем Остроградского. Отметим, что первый существенный шаг на трудном пути к созданию новой теории пространства и времени был сделан именно Н. И. Лобачевским и его можно считать основателем релятивистской небесной механики. Знаменитый доклад Н. И. Лобачевского «О началах геометрии» был им представлен на заседании Отделения физико-математических наук Казанского университета 11(23) февраля 1826 г.

В данной статье, посвященной М. В. Остроградскому и его школе, мы не затрагиваем специфического научного наследия Н. И. Лобачевского по небесной механике, отсылая читателя к работам самого ученого [9] и к очерку Н. И. Идельсона о нем как об астрономе [10], а также к работе Л. И. Брылевской [11]. Ограничимся лишь напоминанием, что Лобачевский первым попытался использовать параллаксы звезд для определения свойств пространства и выяснения, соответствует ли его геометрия реальным условиям в физическом пространстве. Доказав равноправность двух геометрий, он поставил вопрос, какая именно из них осуществляется в реальном мире, хотя в масштабах Земли наш мир с очевидностью евклидов. Однако имевшиеся в его распоряжении данные о величинах параллаксов были не точны, и он пришел к выводу, что выявить различие двух геометрий современными ему методами невозможно.

Н. И. Лобачевский обратился к астрономии, понимая, что отклонения от евклидова пространства могут быть замечены только на космических расстояниях: разрабатывая свою неевклидову геометрию, он связал ее с космологией. Астрономии посвящена и значительная часть обессмертивших его имя книг «О началах геометрии» (1829 г.) и «Воображаемая геометрия» (1835 г.) [9]. Эти исследования его как математика можно рассматривать в качестве первых шагов в релятивистской небесной механике и космологии, получивших бурное развитие лишь в XX столетии. Н. И. Лобачевский оценил радиус кривизны Вселенной из астрономической теории параллаксов - это были первое экспериментальное определение геометрии Вселенной и первый шаг в развитии релятивистской небесной механики.

Второй период (деятельность академика М. В. Остроградского). Недавно отечественная научная общественность отметила 200-летие со дня рождения Михаила Васильевича Остроградского (1801-1862) - знаменитого русского математика, механика и педагога, петербургского академика. В его творчестве нашли яркое воплощение характерные особенности механики первой половины XIX столетия [12, 13]. Биография и научное наследие М. В. Ост-

роградского хорошо изучены, однако он является настолько могучей фигурой российской и мировой науки, что вновь и вновь обращение к личности ученого позволяет ретроспективно выявить новые, иногда малоисследованные аспекты его творчества.

М. В. Остроградский родился 24 (12) сентября 1801 г. в Полтавской губернии в семье небогатого помещика, в 1816-1821 гг. учился на физико-математическом факультете Харьковского университета, после чего отправился в Париж для дальнейшего усовершенствования. Его творческий облик сложился при общении с учениками и последователями школы Лагранжа, а именно - с такими знаменитыми учеными как О. Л. Коши, П.-С. Лаплас, С. Д. Пуассон, Ж. Б. Ж. Фурье, П. Пуансо, Ж. Ш. Ф. Штурм и др. В 1826 г. он докладывает в Париже свою первую научную работу, посвященную распространению волн жидкости в цилиндрическом бассейне.

Об успехах молодого ученого стало известно в Петербурге. В 1828 г. М. В. Остроградский вернулся в Россию и сразу был избран адъюнктом Петербургской Академии наук (по представлению академиков Фусса-сына, Коллинса и Вишневского). В 1829 г. он избирается экстраординарным академиком, а в 1830 г. - ординарным академиком по кафедре прикладной математики. С этого времени вся его жизнь неразрывно связана с Петербургской Академией наук, хотя он ведет огромную преподавательскую работу еще и в Главном Педагогическом институте, и в Морском Кадетском корпусе, и в Главном Инженерном училище, и в Михайловской Артиллерийской академии, и в Институте Корпуса инженеров путей сообщения, и в целом ряде средних военных и гражданских учебных заведений.

Преподавательская деятельность М. В. Остроградского в Петербурге началась с Морского Кадетского корпуса. Приказом Петра I в 1701 г. в Москве была основана Навигацкая Школа. На базе ее старших классов после перевода в Петербург в 1715 г. была сформирована Морская академия, в 1752 г. преобразованная в Морской Кадетский корпус. Математику в нем преподавали академики Н. И. Фусс-сын, М. В. Остроградский (с 1828 г.) и В. Я. Буняков-ский, физику - Э. X. Ленц и А. Я. Купфер. Институт Корпуса путей сообщения был создан в 1809 г. по типу входившей в состав знаменитой парижской Ecole Polytechnique Школы Мостов и Дорог. Первыми профессорами здесь тоже были французы: Г. Ламэ, Б. Н. Э. Клапейрон и А. А. Бетанкур. В то время это было лучшее учебное заведение в Петербурге. М. В. Остроградский был приглашен в него для чтения аналитической механики и астрономии в офицерских классах в 1830 г., одновременно туда же был приглашен В. Я. Буняковский для чтения дифференциального и интегрального исчислений.

Третье учебное заведение в Петербурге, с которым был тесно связан Остроградский, - это Главный Педагогический институт, сыгравший славную роль в истории русской культуры. В царствование Александра I в связи с нехваткой преподавателей в ряде городов при университетах открывались педагогические институты. В Петербурге Педагогический институт был открыт в 1803 г. на базе Учительской гимназии (ранее - Учительской семинарии), существовавшей с 1783 г. в здании Двенадцати Коллегий. Поскольку Петербургский университет в составе Академии наук к тому времени фактически перестал функционировать, его студенты были в 1803 г. переведены в Педагогический институт, который получил статус института при университете - «Отделение имеющего быть в Санкт-Петербурге университета». Это был по существу уже университет, но еще без соответствующего статуса. В 1816 г. он был переименован в Главный Педагогический институт. В здании Двенадцати Коллегий институт просуществовал только три года, вплоть до своего расформирования в 1819 г. В том же году в здании Двенадцати Коллегий по указу Александра I на базе расформированного Главного Педагогического института был воссоздан Петербургский университет, а Главный Педагогический институт позднее открылся заново в 1828 г. в здании бывшего Воспитательного Дома на Мойке, где существует и поныне. В 1832 г. в него и был приглашен профессором Михаил Васильевич.

С 1840 г. М. В. Остроградский также стал преподавать математику и механику в Главном Инженерном училище (Инженерный замок), впоследствии переименованном в Николаевскую Инженерную академию, а с 1841 г. - математику, механику и баллистику в Главном

Артиллерийском училище, впоследствии переименованном в Михайловскую Артиллерийскую академию. Много внимания Остроградский уделял и чтению небесной механики как части аналитической механики в этих учебных заведениях. Долгие годы он также инспектировал преподавание математических наук во всех средних и высших военных учебных заведениях России, образцово организовав в них учебный процесс.

М. В. Остроградскнй - автор более 60 научных работ, более 30 монографий, учебных и методических пособий, не говоря уже о многочисленных отзывах, рецензиях и т. п. За более чем 30-летшою его деятельность в Петербургской Академии наук не выходило ни одного выпуска «Записок Академии наук», в котором не была бы помещена его статья или рецензия по самым различным областям математики, механики и астрономии: аналитической механики, теории притяжения, небесной механики, гидромеханики, теории упругости, баллистики, дифференциального и интегрального исчисления, вариационного исчисления и т. д. М. В. Остроградский скончался 20 декабря 1861 г. (1 января 1862 г. по н.ст.) по дороге в Петербург из своего имения в Полтавской губернии.

К настоящему времени осуществлено несколько полных или почти полных изданий трудов М. В. Острогр'адского, в которых приведены ценнейшие библиографические материалы, касающиеся его творчества, а также даются научные комментарии к его результатам. Первая попытка издания полного собрания сочинений ученого была предпринята по инициативе и под руководством акад. А. Н. Крылова, однако из-за Великой Отечественной войны, а затем смерти А. Н. Крылова в 1945 г. оно не было окончено: в 1940 г. успели издать сначала т. 2 («Лекции алгебраического и трансцендентного анализа»), а в 1946 г. - вторую часть т. 1, в которой содержались отредактированные А. Н. Крыловым «Лекции по аналитической механике» [14]. К 150-летию М. В. Остроградского было подготовлено академическое однотомное юбилейное издание его избранных трудов, предпринятое по инициативе и под редакцией акад. В. И. Смирнова [15]. В нем, кроме авторских текстов, были помещены комментарии ведущих ученых к работам Остроградского, в частности к работам по механике [16]. Третья попытка издания полных трудов М. В. Остроградского была предпринята в Киеве [17]. Кроме статей о Михаиле Васильевиче, в упомянутых изданиях весьма обширен список книг и статей, полностью или частично посвященных замечательному ученому. Ниже мы упоминаем лишь некоторые из них (см. [12, с. 81-95; 18-25]. Этот список начинается с юбилейных статей Н. Е. Жуковского и А. М. Ляпунова по поводу празднования 100-летия М. В. Остроградского в 1901 г. [18, 19].

Несмотря на существование обширных библиографических материалов и комментариев к работам Остроградского, выявляются новые, малоизученные аспекты его научного творчества, к которым относится и его немаловажное научное наследие по небесной механике. Оно не слишком велико - 6 статей, 1 рецензия и 1 книга, но тем не менее заслуживает пристального внимания. Работы М. В. Остроградского по небесной механике примыкают к его исследованиям по классической механике. Следует отметить следующие темы: вариационные принципы механики, в частности принцип Гамильтона-Остроградского, принцип возможных перемещений, решение уравнений динамики в гамильтоновой форме и развитие метода Гамильтона-Якоби, развитие теории скобок Пуассона. В работах собственно по небесной механике можно выделить три направления: аналитическое представление гравитационного потенциала тяжелого сфероида, теория вековых возмущений планет и метод вариации произвольных постоянных для интегрирования уравнений возмущенного орбитального движения.

Фундамент аналитической небесной механики был заложен в XVIII в. в трудах А. Клеро, Ж.-Л. Даламбера и Л. Эйлера. Дальнейшее ее развитие связано с именами Ж.-Л. Лагранжа и П.-С. Лапласа [26, 27]. Творец девятитомной «Небесной механики» П.-С. Лаплас (1749-1827) и другие французские математики и астрономы оказали огромное влияние на М. В. Остроградского, пробудив в нем живой интерес к этой науке. Во время своей стажировки в Париже М. В. Остроградский, несомненно, был в курсе тех проблем, которые тогда стояли перед ней, так как ее нельзя рассматривать без связи с классической механикой вообще. Будучи ярым энтузиастом и последователем школы Лагранжа, Остроградский владел в совершенстве всеми

методами, сформулированными Ж.-Л. Лагранжем (1736-1813) в его знаменитой «Mécanique Analytique» [28]. Эта книга явилась краеугольным камнем в развитии всей классической механики в последующие два столетия. Напомним, что первое ее издание было в 1788 г. в виде однотомника, второе издание, которым, по-видимому, и пользовался М. В. Остроградский, вышло уже в двух томах в 1811 и 1815 гг. соответственно, т. е. второй том вышел уже после смерти Лагранжа. В дальнейшем «Аналитическая механика» неоднократно включалась в многотомные издания собраний сочинений Лагранжа и была переведена в СССР [29].

Хотя М. В. Остроградский всецело находился под влиянием идей Лагранжа как основателя аналитической механики, он значительно дополнил и развил аналитические методы механики. Например, если Лагранж ограничился рассмотрением тех задач, в которых аналитические условия, налагаемые на координаты точек системы, выражаются равенствами, то Остроградский обобщил принцип возможных перемещений на случай так называемых неудерживающих освобождающихся связей. В этом случае точки системы могут покидать кривые или поверхности, ограничивающие их движения, а уравнения связей выражаются неравенствами. Занимаясь теорией возможных перемещений механических систем, Остроградский трактует их как возникающие от перехода данного движения к другому, весьма близкому движению той же системы, но обусловленному изменением произвольных постоянных в интегралах уравнений динамики. Мысль о таком рассмотрении метода возможных перемещений принадлежит именно М. В. Остроградскому, который доложил свои рассуждения в Петербургской Академии наук в 1829 г., а затем опубликовал их в небольшой заметке «О вариации произвольных постоянных в задачах механики» в 1831 г. Эту методику он развил затем в своем курсе небесной механики (см. ниже), базирующемся на широком и корректном использовании метода вариации произвольных постоянных.

Приход М. В. Остроградского в Петербургскую Академию наук был ознаменован публикацией его новых работ по астрономической тематике. Интерес к задачам астрономии возник у него еще в молодости, в университетские годы. Его наставник в Харьковском университете профессор Т. Ф. Осиповский успешно занимался астрономией, читал по ней лекции в университете, писал методические брошюры, подготовил перевод на русский язык четырех (из пяти вышедших к тому времени) томов «Небесной механики» Лапласа. К сожалению, этот перевод так и не был опубликован. Свои знания по астрономии Т. Ф. Осиповский передал своему ученику, поэтому частично первые сочинения М. В. Остроградского по механике оказались тесно связанными с задачами астрономии, хотя главную роль, конечно, сыграло его обучение в Париже, где небесная механика была одним из важнейших направлений исследований. Во время стажировки в Парижской Академии наук в 1822-1828 гг. М. В. Остроградский лично познакомился с Лапласом, который с удовольствием покровительствовал молодому русскому, принимая в нем живейшее участие и обсуждая с ним астрономические проблемы. И уже в своих ранних работах Остроградский, исходя из единого общего уравнения механики (принципа Даламбера) и принципа возможных перемещений при рассмотрении уравнений движения, применяет возмущенную систему уравнений с пертурбационной функцией, традиционно используемую в теории возмущенных движений небесных тел.

Зная, какие проблемы стоят перед небесной механикой того времени, М. В. Остроградский сумел очертить рамки своих научных интересов. В академическом рапорте от 1830 г. он, характеризуя состояние современной ему науки, четко формулирует свое научно-философское кредо: «Преемники Ньютона развили в самых мелких подробностях великий закон всемирного тяготения и сумели подвергнуть математическому анализу многие важные и трудные вопросы общей физики и физики невесомых веществ. Совокупность их трудов о системе мира составляет бессмертный труд небесной механики, в котором астрономы еще долго будут черпать элементы своих таблиц; но физико-математические теории не объединены еще в одно целое, они рассеяны во множестве собраний академических мемуаров, они исследуются при помощи различных методов, весьма часто смутных и неполных; есть такие теории, уже сложившиеся и, однако, нигде не опубликованные. Я ставлю своей целью объединить все эти теории, разработать их однородным методом и указать важнейшие их приложения. Я уже

собрал необходимые материалы по движению и равновесию упругих тел, по распространению тепла внутри твердых тел, в частности, внутри земного шара. Но эти теории составляют лишь необходимую часть всего труда, который должен заключить также распространение электричества и магнетизма в телах, электродинамические явления, движение и равновесие жидкостей и теорию вероятностей» [11, с. 471]. Таким образом, заявляя о своем намерении охватить единым математическим аппаратом все физические явления, Михаил Васильевич и здесь остается верен небесной механике как некой эталонной науке, а многотомный трактат Лапласа (именно он имеется в виду в приведенной выше цитате) служит ему недостижимым образцом для изложения всех остальных наук.

Итак, М. В. Остроградскому принадлежит семь научных публикаций по небесной механике [30-36].Теории притяжения посвящена первая его работа, упомянутая в протоколах Петербургской Академии наук, а именно «Заметка об одном интеграле, встречающемся при определении притяжения сфероидов» [30], доложенная на заседании в Академии наук в 1828 г. и опубликованная в 1831 г. Первоначальный вариант рукописи был передан на отзыв академику Э. Д. Коллинсу. Эту задачу решали многие ученые, в том числе Лагранж и Лаплас. Уравнение, описывающее силу притяжения сфероида для внешнего случая, было установлено Лапласом, затем Пуассон показал, как это уравнение должно быть модифицировано для точки внутри или на поверхности сфероида. М. В. Остроградский рассмотрел общий случай для произвольного положения точки относительно сфероидального небесного тела, дав наиболее совершенный вывод уравнения Пуассона, опирающийся на новую для того времени концепцию интеграла по Коши в случае, когда подынтегральная функция обращается в бесконечность. Эта рукопись и доклад 1828 г. сыграли определяющую роль в приглашении М. В. Остроградского в Петербургскую Академию наук. С идеей своего метода он познакомил Коши, который в 1831 г. опубликовал доказательство теоремы Пуассона, сославшись на то, что возможность подобного доказательства ему была указана Остроградским. Позднее в других своих заметках, опубликованных в 1838 и 1843 гг. соответственно, М. В. Остроградский дал простое аналитическое доказательство теоремы о взаимном притяжении сфероидов [33, 34].

Второй работой по небесной механике была упомянутая выше «Заметка о вариации произвольных постоянных в задачах механики» [31], опубликованная в 1831 г. Она фактически положила начало созданию им курса небесной механики. К этой тематике Остроградский вернулся в 1849 г. [35].

Ряд работ ученого по астрономии и геофизике оказался связанным с визитом в Петербург знаменитого немецкого астронома и геофизика Александра Гумбольдта. На академической конференции 16 ноября 1829 г., посвященной его приезду, М. В. Остроградский прочитал доклад о влиянии солнечного тепла на температуру земного шара, с сожалению, оставшийся, по-видимому, неопубликованным, который был высоко оценен Гумбольдтом. После посещения Гумбольдта в России начался бум метеорологических исследований, открылась метеорологическая обсерватория, велись наблюдения за погодой, климатом и явлениями земного магнетизма. Тогда же, в 1829 г., М. В. Остроградский был включен в Комиссию по составлению проекта постройки института магнетизма и метеорологии. Позднее, в 1849 г., этот проект был осуществлен: открылась Геофизическая обсерватория. В 1830 г. М. В. Остроградский был приглашен в Комиссию по вопросу введения григорианского календаря и в Комиссию по совместной работе Академии наук и Генерального Штаба Армии для астрономических определений географических положений различных пунктов в России.

В 1830 г. Михаил Васильевич обратился в Академию наук с просьбой предоставить ему командировку с сохранением содержания в Париж на 8 месяцев для изучения рукописей в академической библиотеке Французского института. Он получает разрешение с одновременной рекомендацией направить во Французский институт свою рукопись «О теории вековых неравенств в движениях планетных орбит», которая была еще раньше успешно доложена в Петербургской Академии наук. Эта рукопись осталась неопубликованной [2]. Другое исследование Остроградского по теории возмущений «О вековых неравенствах в средних движениях

планет», присланное им в Петербург в 1830 г. из Парижа, планировалось к изданию в так называемом «Журнале Крелля», выходившем в Германии (Journal fuer die Reine und Angewandte Mathematik). Однако он послал его в Петербургскую Академию наук и опубликовал в 1833 г. [32], причем содержание доклада о планетных возмущениях предварительно было кратко сообщено в академическом отчете. Как указано в [2], в Архиве Академии наук сохранилась рукопись еще одной неопубликованной статьи «О возмущении планет» объемом 92 страницы, помеченная 1854 г.

К решению задач небесной механики М. В. Остроградский старался привлечь молодежь. Он принимал деятельное участие в организации академических конкурсов на Демидовские премии. Последние были учреждены правнуком основателя Уральских заводов П. Н. Демидовым и присуждались ежегодно Петербургской Академией наук за лучшие работы, «способствующие преуспеванию русской науки, литературы и промышленности». Для первого же конкурса М. В. Остроградский заранее позаботился предложить конкурсные темы, причем прислал их письмом из Парижа, в котором, в частности, говорилось [15, с. 450]: «Имею честь предложить Академии в качестве предмета на премию по математике один из следующих вопросов:

1. Теория морских приливов и отливов (требуется вывести дифференциальные уравнения движения жидкости, рассматривая ее как состоящую из отдельных молекул, и затем исходить из этих уравнений).

2. Возмущенное движение планет, эксцентриситеты которых значительны, так же как взаимные наклонения их орбит.

3. Математическая теория света».

Комиссией была выбрана первая тема, как имеющая наибольшее прикладное значение, и М. В. Остроградский, уведомленный об этом письмом, шлет из Парижа в Петербург развернутую формулировку темы конкурса с подробным описанием истории развития теории приливов Кеплером, Ньютоном и Лапласом и с рекомендацией к составлению дифференциальных уравнений движения частиц воды в океане. При этом он предлагает сравнить полученные аналитически моменты времен наступлений приливов и отливов с наблюдениями. Он поощряет конкурсантов к развитию общетеоретических методов интегрирования: «Академия с удовольствием увидела бы, что авторы учитывают члены, разделенные на четвертую степень расстояния до Луны. Академия с еще с большим удовлетворением встретила бы методы интегрирования, превосходящие известные, с помощью которых удалось бы избежать обычного разложения в ряд функций, которые зависят от сил притяжения» [15, с. 451]. Эта заметка М. В. Остроградского с темой конкурса, написанная по французски, была напечатана в 1831 г. в Сборнике актов заседаний Академии. Срок подачи работ на конкурс был назначен на 1833 г.

Представляют интерес не только научные статьи М. В. Остроградского на астрономические и геофизические темы, но и ряд его рецензий на астрономические работы других авторов. Например, он написал обстоятельную рецензию на мемуар казанского профессора М. А. Ковальского о движении Нептуна [36], имеющую самостоятельный научный интерес. Он принимал деятельное участие в издании переводов научной и научно-популярной европейской астрономической литературы. Им был просмотрен, отредактирован и одобрен русский перевод книги директора Кембриджской университетской обсерватории, а позднее (с 1835 по 1881 г.) -Королевского Астронома (директора Гринвичской обсерватории) сэра Дж. Эйри (1801-1892) «Популярная физическая астрономия». Интерес представляет также его рецензия на книгу шотландской исследовательницы Мэри Соммервиль (1780-1872), с 1835 г. члена Лондонского Королевского астрономического общества. Он охарактеризовал автора как энтузиаста, призванного служить делу популяризации «Небесной механики» Лапласа. Действительно, Мэри Соммервиль перевела на английский язык многотомные сочинения Лапласа, а в 1831 г., т. е. уже после последовавшей в 1827 г. смерти Лапласа, опубликовала его в своем авторском переложении.

Занимаясь в Петербурге преподавательской работой, М. В. Остроградский делится своими знаниями по небесной механике не только на лекциях в тех учебных заведениях, в которых он становится профессором, но и в своих специальных выступлениях на эти темы. Чтение курса небесной механики он начал в Большом зале Петербургской Академии наук зимой 1829/1830 года и на протяжении пяти месяцев вел там публичные лекции по небесной механике. Зал Академии наук неизменно собирал значительную аудиторию слушателей. В разработанном М. В. Остроградским курсе были существенно развиты методы, созданные Эйлером, Даламбером и Лагранжем, прежде всего метод вариации произвольных постоянных. М. В. Остроградский варьирует постоянные, входящие неявно в интегралы дифференциальных уравнений орбитального движения. Он использует разложения в тригонометрические ряды и проводит доказательство сходимости. Найденные им достаточные условия сходимости позднее были обобщены П. Г. Дирихле.

Предварительный рукописный текст своего курса М. В. Остроградский представил на отзыв в Парижскую Академию наук во время своей короткой командировки в Париж в 1830 г. Парижская Академия поручила составить его Д.-Ф. Aparo (1786-1853) и С.-Д. Пуассону (1781— 1840). После изучения этой рукописи они в своей рецензии [37] восторженно отозвались о применяемой Остроградским остроумной модификации лагранжева метода вариации произвольных постоянных:

«Исходным пунктом служит автору общее уравнение движения системы тел, происходящее от соединения начала Даламбера с началом возможных скоростей. Хотя Даламбер уже дал начало (носящее его имя) для приведения вопросов о движении к простейшим вопросам статики, но никому не пришло подчас на мысль соединить его с общим началом равновесия, давно известным под названием начала возможных скоростей. Это соединение ввел Лагранж 20 лет по выходе в свет динамики Даламбера. Оно привело Лагранжа к общей формуле, на которой он основал свою аналитическую механику. Эта формула, как известно, содержит вариации координат всех точек системы, удовлетворяющие условиям связей, существующих между точками.

Остроградский относит эти вариации к произвольным постоянным, находящимся в интегралах дифференциальных уравнений движения, в каждом частном случае, и заключающимся неявно в выражениях координат. Эта замечательная мысль принадлежит автору. Основываясь на ней, он выводит непосредственно известное свойство комбинаций из дифференциалов координат и скоростей относительно произвольных постоянных, а именно, что эта комбинация представляет величину, не зависящую от времени, всякий раз как сумма действующих на точки сил, умноженных на элементы их направлений, представляет полный дифференциал. Он выводит на том же основании начало живых сил, начало центра тяжести и начало площадей, рассматривая в частности: произвольные постоянные, относящиеся к началу и к направлениям координат, как и в случае системы, способной вращаться только около начала.

После того автор полагает, что к данным силам, удовлетворяющим условию интегрируемости, прибавляются новые силы, не подлежащие этому условию. По основному началу изменения произвольных постоянных, эти возмущающие силы производят изменения в произвольных постоянных, относящихся к первым силам, таким образом, что выражения координат и дифференциалов их сохраняют прежний вид. На этом основании из дифференциальных уравнений движения, по введению в них возмущающих сил, выводятся дифференциалы произвольных постоянных. Автор приходит к той системе линейных уравнений, которую вывел таким путем Лагранж и в которой для каждого частного случая должно произвести исключения переменных. Эти общие теоремы изложены с ясностью в первых пяти лекциях Остроградского. Потом автор прилагает их в частности к движению планеты около Солнца, полагая, что планета возмущается одною или многими другими планетами. Он получает таким образом дифференциалы шести эллиптических элементов.

Прочтя внимательно лекции Остроградского, мы находим, что этот даровитый профессор глубоким изучением усвоил общие методы, которыми в последнее время обогатилась небесная механика, и упростил их изложение. Ревнители просвещения должны с удовольствием видеть,

что он нашел в своем отечестве слушателей, достаточно сведущих для того, чтобы изучить под его руководством столь высокий и трудный предмет. Мы полагаем, что труд Остроградского заслуживает похвалу и одобрение Академии» [37, с. 14-15].

Этот отзыв выдающихся французских математиков лагранжевой школы о рукописи курса М. В. Остроградского по небесной механике был позднее опубликован в различных изданиях, в том числе и в России в «Записхах Академии наук» в русском переводе.

На базе этой рукописи и в результате чтения публичных лекций по небесной механике создается напечатанный в 1831 г. «Курс небесной механики» - литографированный курс из 12 лекций, прочитанных М. В. Остроградским с ноября 1829 г. по март 1830 г. и записанный одним его из слушателей, коллегой по Корпусу инженеров путей сообщения капитаном Я. Янушевским. Курс был опубликован в Петербурге на французском языке в академическом издании [38]. В нем дан простой вывод классических формул Лагранжа из его «Mécanique Analytique» [28, т. 1, с. 412-437, т. 2, с. 87-119], одновременно развивается лагранжев метод вариации произвольных постоянных применительно к задачам небесной механики.

Пять первых лекций курса были посвящены изложению общих теорем динамики, относящихся к методу вариации произвольных постоянных. Принадлежащая М. В. Остроградскому идея состоит в том, что возможные перемещения движущейся системы тел рассматриваются как происходящие в результате перехода данного движения к другому, близкому движению той же системы тел, являющемуся результатом изменения произвольных постоянных в интегралах движения, полученных аналитически. Как мы уже упоминали, именно эта идея ученого о такой оригинальной интерпретации метода возможных перемещений привлекла внимание рецензентов книги Араго и Пуассона. В шестой лекции формулировались три закона Кеплера. Остальные лекции были посвящены главной цели курса - отысканию аналитических решений уравнений движения планет, их спутников, комет, а также сравнению результатов аналитического интегрирования уравнений движения с результатами астрономических наблюдений. К сожалению, издание курса не было продолжено, хотя о предполагаемом продолжении автор пишет в заключении книги. Болезнь помешала ему осуществить свое намерение: он ослеп на один глаз.

Что касается оригинального подхода М. В. Остроградского к принципу возможных перемещений и его применению к методу вариации произвольных постоянных, то первоначально он изложил его в 1831 г. в упомянутой выше небольшой «Заметке об изменении произвольных постоянных в задачах механики» [31]. В своем курсе лекций по небесной механике он прилагает этот метод к возмущенному орбитальному движению планет, считая, что каждая планета испытывает возмущения от всех остальных планет, выводит аналитически формулы для скорости изменения шести кеплеровых элементов эллиптического движения, базируясь на уравнениях Лагранжа, записанных в неособенных элементах, выполняя разложение пертурбационной функции в сходящиеся тригонометрические ряды специального вида. Применение последних для интегрирования уравнений Лагранжа оказалось заслугой М. В. Остроградского. Завершается курс изложением теоремы Ланласа-Лагранжа о малости эксцентриситетов и наклонов планетных орбит в вековом движении.

В связи с данными задачами уместно напомнить, что идея вариации произвольных постоянных принадлежит Л. Эйлеру (Ф. Тиссеран [39] предполагает, что ее можно найти еще у И. Ньютона). Лагранж довел ее до состояния общего метода решения задач механики, выражаемых дифференциальными уравнениями [28]. Это был один из замечательных успехов в истории механики и астрономии. Возмущенное движение стало рассматриваться как эллиптическое с непрерывно изменяющимися орбитальными элементами.

Идея оскулирующей орбиты была выражена еще И. Ньютоном: Третье Примечание к теореме XVII Первой книги «Principia» (1687) открывает прямой путь к очень простому выводу уравнений, определяющих изменения элементов орбиты. Кроме того, он доказал ряд теорем для возмущенного движения Луны как эллиптического с непрерывно изменяющимися оскули-рующими элементами. Впервые систематическое применение метода вариации элементов для решения уравнений движения Луны было начато Л. Эйлером в 1753 г. С помощью интегралов

энергии и площадей он получил четыре дифференциальных уравнения для производных кеп-леровых элементов (большая полуось, фокальный параметр, наклон, долгота узла), правые части которых содержали цилиндрические проекции возмущающих сил (уравнения Ньютона-Эйлера). Из уравнения орбиты Эйлер получил и пятое дифференциальное уравнение (не вполне точное) для аргумента перицентра. Последнего уравнения (для средней аномалии) не хватало.

До конца вывод уравнений для элементов ос.кулирующей орбиты был доведен Лагранжем. Как указывает М. Ф. Субботин [40], Лагранж в своих первых работах 1762-1765 гг. считает большую полуось и момент прохождения перигелия постоянными и выводит только четыре уравнения. Однако в своем мемуаре, премированным Парижской Академией наук в 1778 г., он уже выводит все шесть уравнений, причем использует в правых частях не цилиндрические эйлеровы проекции сил, а производные пертурбационной функции по координатам, т. е. прямоугольные проекции сил. Ему же принадлежит идея потенциальной пертурбационной функции. Позднее Лагранж отказался от производных по координатам и перешел к производным по элементам. Это было сделано после того, как на практике координатная форма оказалась менее удобной для вычисления возмущений планет и комет. Переход к производным по элементам позволил ему доказать сформулированную им еще в 1773 г. теорему (теорема Лапласа-Лагранжа) о том, что большие полуоси планетных орбит не имеют вековых возмущений первого порядка. Свою окончательную форму уравнения возмущенного движения с производными пертурбационной функции по элементам в правых частях (форма Лагранжа) приобрели позднее, в 1808 г., когда Лагранж и Лаплас одновременно уточнили последнее из

В процессе вывода Лагранжем данных уравнений и была создана общая форма метода вариации произвольных постоянных, опубликованная в 1815 г. во втором томе второго (двухтомного) издания «Аналитической механики» [28] (первое издание 1788 г. эти результаты еще не содержало). В пятой главе под названием «Общий приближенный метод решения задач динамики, основанный на вариациях произвольных постоянных» Лагранж излагает его применительно к теории возмущений больших планет, однако он быстро приобретает общее значение в задачах математики и механики. В седьмой главе Лагранж выводит уравнения для изменения элементов орбиты в случае потенциальной возмущающей функции. Метод Лагранжа неоднократно излагался в XIX в. в различных курсах небесной механики. Курс М. В. Остроградского оказался первым (1831 г.), а вторым - четырехтомный курс Ф. Тиссе-рана (1889-1896 гг.). В XX столетии метод излагался М. Ф. Субботиным (1937 г.), Д. Брауэром и Дж. Клеменсом (1961 г.), Г. Н. Дубошиным (1963 г.). Таким образом, работы М. В. Остроградского по небесной механике удачно вписываются в классическую цепочку исторического развития методов небесной механики: Ньютон-Эйлер-Лагранж-Лаплас-Остроградский.

Чтобы лучше уяснить значимость курса М. В. Остроградского, следует напомнить, каким было состояние небесной механики в России на рубеже XVIII и XIX столетий. Современную координатную форму и язык аналитических функций (вместо языка треугольников, параллелограммов и окружностей) небесная механика приняла в работах Л. Эйлера. Без преувеличения можно сказать, что в сущности почти все разделы небесной механики (кроме релятивистской астрономии) покоятся на возведенном Эйлером фундаменте. В XVIII столетии актуальной задачей теоретической астрономии оставалось описание движения в задаче двух точечных масс, уравнения которой вывел и проинтегрировал Ньютон. Однако применяемые им геометрические построения, которые скорее следовало бы считать доведенными до совершенства методами античной математики, в более сложных задачах (как, например, в задаче многих тел) уже стали неприемлемыми. Поэтому столь существенными и явились заслуги Эйлера, создавшего прозрачный аналитический метод записи и интегрирования уравнений задачи двух тел. В результате координаты и скорости планет оказались представленными простыми функциями от масс обоих тел, от 12 постоянных интегрирования (6 координат и 6 скоростей) и от кеплеровой эксцентрической аномалии, трансцендентным образом связанной со временем. Таким образом, к началу XIX в. фундаментальная задача небесной механики -

описание движения небесных тел на основе закона всемирного тяготения - все еще уверенно существовала в эйлеровой форме, так и не претерпев сколько-нибудь значительных изменений.

С конца XVIII в. центром небесной механики в России была Петербургская Академия наук, в которой сначала работал Жозеф Никола Делиль (1688-1768) - основатель и глава астрономической науки в России и учитель Эйлера, приобщивший последнего к астрономическим наблюдениям и заинтересовавший его теоретической астрономией, в том числе кометными задачами, затем сам Эйлер (1707-1783), позднее - его ученики и коллеги в области астрономии: академики А. И. Лексель (1740-1787), Ф. И. Шуберт (1758-1825), Н. И. Фусс (1755-1825), Л. Ю. Крафт (1743-1814) и др. О вкладе Шуберта в дело астрономического образования мы уже упоминали выше: он издал в 1798 г. в Петербурге трехтомный учебник по теоретической астрономии, выдержавший два издания (на немецком [6] и французском [7] языках).

В начале XIX столетия Петербург постепенно теряет позиции центра небесной механики. Эйлерова школа, получив блестящее продолжение в России в области математики, в областях как классической, так и небесной механики ослабила свои позиции, уступив первенство Парижской Академии, в которой небесная механика успешно развивалась в традициях аналитической механики Клеро-Мопертюи-Даламбера-Лагранжа-Лапласа. Эта мощная аналитическая школа, последователем которой и стал М. В. Остроградский, на многие десятилетия определила развитие небесной механики в России в XIX столетии, осуществленное в работах механиков и математиков. Небесная механика выступила в роли поставщика труднейших математических задач, а математики успешно находили в ней приложения своим методам решений дифференциальных уравнений определенного типа. Хотя с середины XIX в. о центре небесной механики в европейском масштабе уже говорить не приходится, так как важные работы появлялись в разных странах, влияние классической лагранжевой механики явно прослеживается в работах русских ученых, внесших существенный вклад в небесную механику.

Если в XVIII в. российская астрономия - детище Петербургской Академии - базировалась на Академической Астрономической обсерватории (в здании Кунсткамеры), то в XIX в. астрономия в Академии утрачивает главенствующее значение. Развивается она в университетах, Петербургском и Московском, в 1839 г. открывается Пулковская обсерватория. Совершенствуется преподавание астрономии, инициаторами чего стали ведущие ученые: первый профессор астрономии Петербургского университета Д. М. Перевощиков (1788-1880), основатель астрономической обсерватории Московского университета В. К. Вишневский (1781-1855), заведующий кафедрой астрономии в течение 40 лет в Петербургском университете А. Н. Савич (1810-1883). Все они прославились не только научной и педагогической, но и популяризаторской деятельностью: известны их публикации в журналах «Современник» и «Отечественные Записки». Что же касается учебников, то, кроме трехтомника Ф. И. Шуберта, их еще не было. В основу преподавания были положены французские руководства и трактаты: учебник Ж. Б. Деламбра «Краткий курс теоретической и практической астрономии» и трактат Г1. С. Лапласа «Небесная механика», издание которого было начато еще во времена французской революции и завершилось к 1825 г. Такова была в общих чертах картина развития и преподавания небесной механики в России в те годы, когда М. В. Остроградский вернулся в Россию и активно занялся научной и преподавательской деятельностью.

М. В. Остроградский не только оставил много ценных трудов, вошедших в сокровищницу российской и мировой науки. Его научные исследования были продолжены российскими учеными в самых различных направлениях. Из его непосредственного окружения (коллеги и ученики), а также из так называемой школы Остроградского, т. е. российской школы механики XIX столетия, вышла целая плеяда знаменитых ученых. Многие из них оставили научное наследие и по небесной механике. Среди них следует назвать такие известные имена как Ф. И. Слудский, П. Л. Чебышев, С. В. Ковалевская, А. М. Ляпунов, А. Н. Крылов, Н. Е. Жуковский, И. В. Мещерский. Это были ученые, представляющие главным образом петербургскую и московскую научные школы по математике и механике.

С одной стороны, их интерес к небесной механике был связан с активным развитием аналитической механики в русле школы Лагранжа и с ее преподаванием в России, с другой -

с прикладными потребностями многочисленных (в основном петербургских) военных учебных заведений, где требовались геодезия, картография, баллистика и навигация. Научное наследие М. В. Остроградского по небесной механике сформировалось в силу удачного сочетания обеих упомянутых выше причин, т. е. и как результат влияния школы Лагранжа, и как насущная потребность изложения этих вопросов в процессе обширной преподавательской деятельности ученого в петербургских высших учебных заведениях, военных и гражданских, откуда вышли его многочисленные ученики.

Третий период (школа Остроградского по механике). Чтобы охарактеризовать вклад ученых этой школы в небесную механику, очертим сначала ее структуру [41]. М. В. Остроградский не только обогатил науку рядом фундаментальных открытий, но и явился основателем обширной русской школы механиков. Отмечая активное взаимопроникновение петербургской и московской ветвей этой школы, следует напомнить, что некоторые ведущие московские ученые, получив звание академика, переезжали в столицу, где находилась Академия наук.

Непосредственно в Петербурге, кроме классической академической (и связанной с ней университетской) линией развития, следует отметить две важные прикладные научные линии, тесно связанные с именем М. В. Остроградского: военную линию Михайловской Артиллерийской академии (позднее к ней присоединятся и военно-морские корпуса и академии) и гражданскую линию Корпуса инженеров путей сообщения. Среди первых следует упомянуть петербургских баллистиков: Н. В. Маиевского (1823-1892), который был коллегой М. В. Остроградского по Михайловской академии, а также учеников ученого: А. В. Гадолина (1828-1892), И. А. Вышнеградского (1831-1895), В. Л. Кирпичева (1845-1913), Н. К. Забудс.кого (1853-1917) и Д. К. Бобылева (1842-1917). Последний, будучи выпускником Михайловской академии, относится одновременно и к классической школе Петербургского университета.

В параллельной линии «железнодорожников» прославились имена Габриэля Ламэ (1795-1870), который был современником и коллегой М. В. Остроградского, а также учеников М. В. Остроградского: А. Ф. Ястржембского (1808-1872), С. В. Кербедзя (1810-1899), Д. Н. Журавского (1821-1891), Г. Е. Паукера (1822-1889), Н. П. Петрова (1836-1920), X. С. Головина (1844-1904) и других, причем в их числе снова звучит имя Д. К. Бобылева. На нем пересеклись три главенствующие линии развития петербургской школы механики: классическая, артиллерийская и железнодорожная, основателем каждой из которых и был М. В. Остроградский. Теперь на смену школе Остроградского пришла школа Сомова-Бобылева, работавшая в том же аналитическом ключе. В частности, появление О. И. Сомова (1815-1876) -выпускника Московского университета - в Петербурге было обусловлено широкими контактами школы Остроградского с этим университетом.

Идеи М. В. Остроградского отразились и на направлении творчества многих русских ученых, не учившихся непосредственно у него и не являвшихся столь близкими к нему, как его «военные ученики». Это в первую очередь относится к ученым московской школы. Взаимопроникновение петербургской и московской ветвей школы Остроградского началось с профессора Московского университета Н. Д. Брашмана (1796-1866), на работы которого по механике определяющее влияние оказал Михаил Васильевич. К этой школе примкнула и вся школа Брашмана: его коллеги и ученики по Московскому университету. Как указывал позднее Н. Е. Жуковский в своих юбилейных статьях [42, 43], посвященных истории науки в нем, здесь интерес к астрономии, геофизике, геодезии и небесной механике всегда был очень высок, так как в Московском университете преподавали такие известные астрономы как Д. М. Пере-вощиков и Ф. А. Бредихин (1831-1904).

На определяющую роль М. В. Остроградского в развитиии московской школы указывает и Н. Д. Моисеев [44, с. 53]: «Брашман, Давидов и Слудский были москвичами, и через них Остроградский оказал воздействие на Н. Е. Жуковского и вместе с тем на всю московскую школу механики, а через Сомова, Чебышева, Бобылева - на творчество А. М. Ляпунова, Г. К. Суслова, В. А. Стеклова, И. В. Мещерского, А. Н. Крылова и других петербургских ученых». И далее: «Школа Остроградского была единственной в мировой науке научной

школой в области механики, которая, продолжая свою деятельность более столетия, нашла единственный методологически здоровый путь между Сциллой "чистой теории", оторванной от практики, и Харибдой "прикладной механики", оторванной от строгой теории. В этом заключается великая историческая роль школы Остроградского» (там же, с. 54).

Наиболее значительный вклад в небесную механику из московской ветви школы Остроградского-Брашмана принадлежит Ф. А. Слудскому (1841-1897). О нем и его работах по астрономии и геодезии (главным образом по теории потенциала Земли) подробно написал его ученик Н. Е. Жуковский, опубликовавший [43] библиографию работ своего учителя: из 46 работ 22 относятся к астрономии и геодезии. В 1864 г. Ф. А. Слудский защитил диссертацию на степень доктора астрономии на тему «Триангуляция без базиса». В его университетском курсе аналитической механики излагались в сжатой и ясной форме идеи Лагранжа, а также его собственные научные интересы: будучи выдающимся специалистом в области гравиметрии, он уделяет большое внимание закону тяготения Ньютона и аналитическому описанию силы притяжения Земли. Ф. А. Слудский читает в Московском университете специальные курсы «О вращении небесных тел» и «О фигуре Земли», а также курс по высшей геодезии. Большой интерес представляют исследования по задаче трех тел, высшей геодезии, теории фигуры Земли и природе аномалий силы тяжести на ее поверхности. По этой тематике он написал около 15 работ. За сочинение «Общая теория фигуры Земли» в 1890 г. Ф. А. Слудский был удостоен высшей награды Русского Географического общества - Золотой Констаитинов-ской медали.

Ф. А. Слудскому принадлежит важнейшая роль в споре, возникавшем неоднократно по поводу изложения М. В. Остроградским вариационного принципа наименьшего действия, который последний называл принципом Лагранжа, и его очевидного несоответствия собственно вариационному принципу Лагранжа в современном понимании. Дело было запутано тем, что сам Остроградский, чтение трудов которого иногда представляло затруднения для его современников, применял одни и те же обозначения - «круглую» дельту - и для изохронной (принцип Гамильтона), и для полной (принцип Лагранжа) вариаций функционала действия, не всегда давая при этом необходимые пояснения. По-видимому, он следовал обозначениям самого Лагранжа, который пользовался только «круглой» дельтой, хотя по смыслу его принципа нужно писать «треугольную» дельту. Слудский прояснил ситуацию, тщательно исследовав работы М. В. Остроградского, в том числе 1850 г. [45] и особенно письмо Остроградского к Брашману по поводу смысла вариационных принципов [46, письмо первое, без даты]. В последнем М. В. Остроградской выражал сомнение в справедливости принципа наименьшего действия по Лагранжу. Содержание письма, написанного им Н. Д. Брашману ориентировочно в начале 50-х годов XIX в., сразу стало известно Ф. А. Слудскому в частном порядке, и он с интересом занялся этим вопросом. Вместе с другими четырьмя письмами М. В. Остроградского, адресованными Н. Д. Брашману, это письмо было опубликовано лишь в 1866 г., т. е. уже после смерти ученого, последовавшей в 1861 г.

Вариационный принцип в формулировке Остроградского отличается от принципа Лагранжа. Все это вызвало живейшее обсуждение в русской математической литературе, причем сначала все усилия были направлены на то, чтобы доказать ложность принципа Лагранжа. Однако Ф. А. Слудский в своей работе «О начале наименьшего действия» [47], опубликованной в том же году, что и письма Ос/гроградского к Брашману, доказал, что результат Остроградского состоит в блестящем обобщении и в представлении нового доказательства теоремы Гамильтона об изохронных вариациях функционала действия. Оказалось, что принцип наименьшего действия в понимании Остроградского есть обобщение принципа Гамильтона, а не принципа Лагранжа (как полагал сам Остроградский). Путаница была вызвана еще и тем, что сам М. В. Остроградский, как уже было сказано, идейно связывал общее понятие любого вариационного интегрального принципа с именем Лагранжа как основателя аналитической механики. Ф. А. Слудский успешно устранил путаницу и показал, что М. В. Остроградским высказан новый вариационный принцип и что оба принципа - Лагранжа и Остроградского -одинаково справедливы, будучи при этом существенно различными, так как выражают два

различных свойства движения. От работы Ф. А. Слудского и пошел термин «вариационный принцип Гамильтона-Остроградского», отличающийся от вариационного принципа Лагранжа. Как известно, первый выполняется для изохронных («круглых» в современных обозначениях) вариаций функционала действия по Гамильтону, второй - для полных («треугольных»), т. е. так называемых изоэнергетических вариаций другого функционала (действия по Лагранжу).

Что касается собственно небесной механики, то Ф. А. Слудскому принадлежат работы «К задаче о многих телах» (1879), «О двух неравенствах, имеющих место при движении Солнечной системы» (1882), «О движении Земли с Луной вокруг Солнца» (1882) и другие, посвященные устойчивости орбитальных движений тел Солнечной системы [43]. В статье [48] он изложил теорию движения жидкого ядра Земли и возможные влияния ядра на движение Земли, о чем мы упомянем ниже в связи с работами H. Е. Жуковского.

Взаимопроникновение московской и петербургской ветвей школы очевидно и на примере выпускников Московского университета, которые работали в Петербурге. Среди них учениками Н. Д. Брашмана были акад. П. Л. Чебышев (1821-1894), а также профессора О. И. Сомов и Н. В. Маиевский. Все они окончили Московский университет, но потом переехали в столицу и стали петербургскими научными знаменитостями.

Что касается П. Л. Чебышева, то его интерес к астрономии возник уже после его переезда из Москвы в Петербург в 1847 г., когда он в Петербургском университете стал читать лекции но астрономии и геодезии, получив при этом ученую степень доктора математики и астрономии. Он занимался разнообразными вопросами чистой и прикладной математики, механики, математической картографии и баллистики, вопросами теории фигуры Земли, приложениями теории вероятностей к геодезическим измерениям, теорией кометных орбит. Он покровительствовал профессору астрономии из Казани М. А. Ковальскому, написавшему диссертацию о движении Нептуна, на которую, как уже упоминалось выше, дал одобрительный отзыв сам М. В. Остроградский [30]. В частности, в 1862 г. П. Л. Чебышев получил письмо от директора Пулковской обсерватории В. Я. Струве (1793-1864), который ходатайствовал о представлении для доклада в Академию наук трех работ Ковальского: о движении Нептуна, о наблюдении солнечного затмения в Казани, о работе обсерватории в Казани.

П. Л. Чебышев интересовался определением орбит планет, разложением пертурбационной функции, кольцевыми фигурами равновесия вращающейся жидкой массы, частицы которой взаимодействуют по закону Ньютона [49, 50]. Так, в 1876 г. на V Съезде естествоиспытателей он делает доклад «Об определении орбиты по многим наблюдениям». Он был одним из первых русских математиков после Эйлера, которые занялись картографией России (о возможной роли картографических интересов Чебышева в истории его влияния на работы С. В. Ковалевской мы расскажем ниже). Для торжественного акта в Петербургском университете 8 февраля 1856 г. Чебышев написал речь «Черчение географических карт», в которой изложил основы математической теории картографии и геодезии [51, с. 150-157]. Ее французский перевод был опубликован в 1860 г. в Париже в «Nouvelles Annales de Mathématiques. T. 19».

Что касается разложения пертурбационной функции, то к тому времени уже существовали методы Леверье, Ганзена, Гюльдена и др. Они были основаны на разложении корня в главной части пертурбационной функции в сходящийся ряд по степеням отношения взаимных расстояний. Вычисление коэффициентов ряда требовало весьма трудоемких выкладок. Для их упрощения М. А. Ковальский, работавший над теорией движения Нептуна (см. выше), предложил в 1854 г. другой метод разложения корня в ряд, дающий более простые выражения для коэффициентов. Хотя метод Ковальского практического применения в небесной механике так и не получил, его диссертация и рецензия на нее М. В. Остроградского [36] привлекли в свое время внимание П. Л. Чебышева к этой задаче. Занялся он ею, впрочем, значительно позднее, только в 80-е годы XIX столетия, когда обнаружил, что разложение главной части пертурбационной функции может быть просто и изящно получено по его собственным формулам для приближенного выражения квадратного корня. Находясь в 1893 г.. в Париже, он рассказал о своем открытии Шарлю Эрмиту. Позднее Эрмнт писал в Петербург П. JI. Чебы-шеву: «Я не могу, в особенности, забыть о великом и прекрасном открытии (о котором Вы

рассказали мне слишком кратко), т. е. о классическом разложении пертурбационной функции, о чем Баклунд должен будет сообщить в Петербургской Академии наук. Как бы мне хотелось основательно познакомиться с Вашими результатами, чтобы иметь возможность с полным пониманием поздравить Вас с этим новым достижением, которое в равной степени интересует и геометров и астрономов!» [50, с. 644]. Результаты П. Л. Чебышева были сообщены в Академии, но он не успел их опубликовать, а позднее на их базе О. А. Баклунд (1846-1916), директор Пулковской обсерватории с 1895 г. и профессор Высших женских Бестужевских курсов в Петербурге, оформил большую рукопись «О разложении пертурбационной функции по Чебышеву», вошедшую затем в т. 5 собрания трудов П. Л. Чебышева [51].

О. И. Сомов стал профессором Петербургского университета, Корпуса инженеров путей сообщения и Корпуса горных инженеров, причем его научные интересы концентрировались на тематике М. В. Остроградского, т. е. на аналитической механике и математической физике. Он был автором нескольких учебников по математике и механике. В этих же учебных заведениях одновременно с ним работал и Д. К. Бобылев, которому принадлежит следующий после курсов Остроградского и Сомова курс аналитической механики, изданный в 80-х годах XIX столетия. Он также был продолжателем школы Остроградского по математической физике и гидродинамике. Так, в конце XIX столетня возникла знаменитая петербургская университетская школа механики Сомова-Бобылева, воспитавшая многих талантливых ученых [41]. Однако их мы уже отнесем к следующему периоду развития в соответствии с приведенной выше схемой.

Четвертый период (российская школа механики в конце XIX — начале XX вв.).

В конце XIX столетия в Петербурге главенствовала классическая школа Сомова-Бобылева, непосредственная преемница школы Остроградского, объединившая указанные выше классическую и технические научные школы.

В Москве в это же время продолжаются классические традиции в механике, ведущие происхождение от дружбы М. В. Остроградского и Н. Д. Брашмана [42, 52]. Как отмечал Н. Е. Жуковский в речи на праздновании столетия М. В. Остроградского в 1901 г., «память юношеских лет Остроградского связана с Харьковским университетом, а расцвет его ученой деятельности протекал в С.-Петербурге, но мне приятно здесь отметить также и его связь с университетом Московским. Эта связь опиралась на дружеские отношения Михаила Васильевича к нашему известному профессору Н. Д. Брашману. Брашман был почитателем и последователем Остроградского; он переписывался с ним по разным вопросам механики и излагал на лекциях его исследования.. . Мой высокочтимый учитель Ф. А. Слудский был носителем идей Лагранжа и Остроградского. На лекциях он часто вспоминал Остроградского и с особенным удовольствием излагал в его духе статью о начале наименьшего действия» [18, с. 411].

В Москве среди преемников Брашмана было много талантливых ученых, однако в конце XIX в. особенно громко зазвучало имя Н. Е. Жуковского, создавшего собственную знаменитую школу российской науки. Николай Егорович Жуковский (1847-1921) - могучая фигура в российской и мировой механике. Его творчество многократно изучено. Что касается его вклада в небесную механику, то он относится к раннему этапу творчества ученого и мало исследован. Его увлечение астрономией было связано с огромным влиянием, которым пользовался в Московском университете его учитель - профессор Ф. А. Бредихин. Среди работ Жуковского по небесной механике [53, 56] мы видим в основном «бредихинскую» кометную тематику, а именно теорию определения орбит комет и первые постановки задач фотогравитационной небесной механики о силах светового солнечного отталкивания, действующих на частицы, образующие кометные хвосты.

Интересно отметить, что отношение Слудский-Жуковский как учитель-ученик было некоторым образом нарушено в 1885 г., когда Н. Е. Жуковский опубликовал работу о движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. В ней он доказывает одну из важнейших теорем механики вращения сложного тела (тело-полость) о том, что его вращение можно заменить вращением неизменяемого тела с постоянной угловой

скоростью. Вывод условий такой замены был сформулирован применительно к Земле, рассматриваемой как твердое тело с жидким ядром. Считалось, что центр масс твердого тела (Земли) и центр масс жидкого ядра совпадают с центром масс земного сфероида.

Вопрос о жидком ядре Земли возник не случайно: к моменту публикации этой работы данная проблема имела уже почти столетнюю историю. До конца XVIII в. ось вращения планеты считалась неподвижной в ее теле, пока Эйлер не указал на возможность ее движения. Считая Землю абсолютно твердым изолированным телом (о внутреннем строении Земли было еще ничего не известно), он доказал, что мгновенная ось вращения Земли описывает конус около наименьшей главной оси инерции земного сфероида с периодом 305 звездных суток (период Эйлера), определяемым как величина, обратная динамическому сжатию земного сфероида. Эта работа была опубликована в 1790 г., т. е. уже после смерти автора. Эйлер получил только период, а угол, составляемый мгновенной осью с главной наименьшей осью инерции, нужно было определять из астрономических наблюдений, что было сделано лишь в 1872 г. в Пулковской обсерватории. Он оказался равным 0,081 секунд дуги.

Вопросом о внутренней структуре Земли заинтересовались в конце XIX в. многие ученые: Ф. Тиссеран, А. Пуанкаре (твердая оболочка и твердое несжимаемое ядро), Дж. Дарвин, Дж. В. Скиапарелли, Г. Гюльден и др. Они вскоре пришли к единому мнению, что Земля не является абсолютно твердой: как на ее поверхности, так и внутри нее происходят перемещения масс, изменяющие величины главных моментов инерции сфероида и направления его главных осей. Медленно совершающиеся геологические процессы вызывают вековое и периодическое движение полюса (свободная нутация). Возникли предположения, что Земля внутри себя содержит полость, заполненную жидкостью, и была предложена соответствующая модель Земли с жидким ядром. Вскоре В. Томсоном было установлено, что присутствие жидкого ядра должно увеличивать амплитуду полугодовой и особенно полумесячной нутации. Соотношения между угловой скоростью Земли, положением оси и полюсов и ее главным моментом количества движения вывел В. Вольтерра, показавший, что по вращению Земли и движению ее оси в теле Земли можно уверенно судить о состоянии вещества в ее глубоких слоях.

Таково было состояние этого вопроса к моменту выхода упомянутой работы Н. Е. Жуковского. Опираясь на результаты своего бывшего ученика, задачей о вращении Земли, состоящей из абсолютно твердой оболочки и жидкого ядра, занялся Ф. А. Слудский в 90-е годы XIX столетия. Его цель - объяснить изменения широт, исходя из предположения, что земной сфероид содержит полость с однородной несжимаемой жидкостью. Для определения движения в ней жидкости при вращении Земли Слудский принимает гидродинамическую модель действующих на жидкость сил, имеющих потенциал скоростей. Затем он переходит к более сложному случаю вихревого движения жидкости внутри ядра, при котором не существует потенциала скоростей.

Разработав и применив теорию к земному сфероиду и его жидкому эллипсоидальному ядру, Ф. А. Слудский оценил периоды вращения полюсов: первый период примерно равен суткам, второй - порядка 12-14 месяцев. Однако он не довел задачу до численного результата, а в 1892 г. С. Чэндлер уже получил точное значение периода движения полюса Земли вокруг полюса инерции. Этот 14-месячный период так называемой свободной нутации (428 суток) по праву получил название периода Чэндлера. Разницу между периодами Эйлера и Чэндлера разъяснил позднее С. Ньюком, показавший, что период Эйлера - это частный случай периода Чэндлера в предположении, что Земля - абсолютно твердое тело, тогда как период Чэндлера получен для реальной Земли с учетом некоторой ее упругости, удлиняющей период. Тем не менее упомянутая работа Ф. А. Слудского, опубликованная лишь в 1896 г. [48], не потеряла своего научного значения. Н. Е. Жуковский отреагировал на нее еще одной своей статьей, в которой дал геометрическую интерпретацию теории движения полюсов Земли по ее поверхности [56].

Возвращаясь к петербургским ученым, отметим прежнюю связь классической академиче-ско-университетской линии с линиями технических вузов. Важную роль наряду с указанными

выше учреждениями приобретают военно-морские учебные заведения. Среди выдающихся механиков и инженеров, воспитанных Д. К. Бобылевым и всей сомово-бобылевской школой, ярко выделяются три фигуры: академическая - А. М. Ляпунов (1857-1918) и две университетские-И. В. Мещерский (1859-1935) и Г. К. Суслов (1857-1934). Научное наследие двух первых ученых внесло огромный вклад в небесную механику с той только разницей, что А. М. Ляпунов был больше теоретиком, а И. В. Мещерский - практиком.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В самом конце XIX столетия И. В. Мещерский, ученик Д. К. Бобылева, профессор Петербургского университета, положил начало новому направлению в механике: динамике тела переменной массы. Интерес к этой тематике возник у него в связи с астрономическими задачами, в которых ученые пытались представить вековое орбитальное ускорение Луны как результат увеличения массы Луны и Земли за счет непрерывного падения на них метеоритов. Подобные задачи были рассмотрены еще Лапласом, а позднее Гюльденом. Для их решения нужно было установить основное уравнение движения точки переменной массы, так как всякое тело переменной массы можно представить как систему точек. Мещерский вывел такое фундаментальное уравнение. Фактически он создал механику тел переменной массы, записав уравнения движения под действием реактивных сил при присоединении и/или отделении массы (уравнения Мещерского), сформулировал и решил задачу двух тел при изотропном изменении массы без реактивных сил (задача Г юльдена-Мещерского), указал три интегрируемых случая (три закона Мещерского для изменения массы). Он нашел замену переменных, сводящую задачу к классической ньютоновой. Задача Мещерского нашла применение в звездной динамике, а именно в динамике двойных звездных систем, когда одна из звезд быстро теряет вещество. Скорость потери массы пропорциональна некоторой степени текущего значения массы звезды (закон Джинса), причем оказалось, что значения показателя этой степени, равные нулю и одной второй, сводят задачу к основным интегрируемым законам Мещерского.

Все практическое значение данной тематики и установленных Мещерским законов высветилось значительно позднее, уже в космическую эру, тогда как в свое время магистерская диссертация И. В. Мещерского [57], опубликованная в 1897 г., встретила довольно холодный прием. Ценность работ по теории реактивного движения в то время не казалась значительной. XX столетие с его рывком в ракетостроении и теории космического полета принципиально изменило это представление.

Вклад А. М. Ляпунова в небесную механику, особенно в теорию фигур равновесия небесных тел, огромен, его научное наследие только по этой тематике насчитывает более десятка научных работ. Мы не считаем возможным комментировать результаты Ляпунова в рамках обзорной статьи, отсылая читателя к собранию его сочинений [58]. Следует только напомнить, что теория фигур равновесия вращающейся жидкости является одной из старейших проблем небесной механики и возникла на рубеже XVII и XVIII столетий из задачи о нахождении фигуры Земли, знание которой требовалось для многочисленных практических приложений. Задача о форме, которую принимает идеальная жидкость под влиянием сил взаимного притяжения и центробежной силы ее частиц, была поставлена еще Ньютоном в его «Principia», ею занимался также X. Гюйгенс. Позднее К. Маклорен показал (1742 г.), что однородная вращающаяся жидкость может принимать форму эллипсоида вращения, а еще через 100 лет, в 1834 г., К. Якоби доказал то же самое для трехосного эллипсоида.

В середине XIX столетия этой задачей заинтересовался П. Л. Чебышев и предлагал ее в разное время молодым ученым как перспективную: и С. В. Ковалевской, и Е. И. Золотареву, и А. М. Ляпунову. «Задача Чебышева» формулируется так: какие формы, кроме эллипсоидов, может принимать вращающаяся жидкая масса, элементы которой притягиваются по закону Ньютона. Увлеченный данной задачей Ляпунов занимается ею до конца своей жизни. Ему мы обязаны существенным продвижением в этой области. Открытие А. М. Ляпуновым [58] и А. Пуанкаре [59] неэллипсоидальных фигур равновесия и исследование их устойчивости дало толчок к появлению и развитию новых идей, понятий, методов (теория устойчивости по Ляпунову, точки бифуркации решений, нелинейные интегральные уравнения и т. д.) в математике, механике, физике и астрономии [60].

С. В. Ковалевскую (1850-1891) тоже следует отнести к петербургской научной школе, так как она постоянно находилась в контакте с П. Л. Чебышевым, который всегда живо интересовался ее жизнью, работой и научными успехами, оказывая ей посильную поддержку. В одном из своих писем коллегам он писал в 1889 г.: «Более 20 лет назад обращалась ко мне Софья Васильевна Ковалевская (не бывшая еще в замужестве) за советом о занятиях по математике, и все случившееся с ней потом мне хорошо известно» [Gl, с. 235]. Очевидно, они познакомились до ее отъезда из России в 1869 г. Чебышев много занимался в то время вопросами астрономии, геодезии и картографии. Уместно предположить, что его настольными книгами были книги математика и астронома академика Ф. И. Шуберта - прадеда Софьи Ковалевской, а практические вопросы решались с помошыо работ геодезиста и картографа генерала Ф. Ф. Шуберта (1789-1865) - ее деда. Ф. Ф. Шуберт был начальником Военно-Топографического Депо Генерального Штаба в Петербурге, организован при Генеральном Штабе Корпус военных топографов, создал первую подробную карту Западной России - знаменитую «десятиверстку Шуберта», карту десятиверстного масштаба на 59 листах, которая была высоко оценена современниками, а также «Подробный план столичного города Санкт-Петербурга» на 24 листах, известный знатокам как «план Шуберта» и поныне являющийся бесценным документом для изучения Петербурга первой половины XIX столетия. Вероятнее всего, академик П. Л. Чебышев был лично знаком с Ф. Ф. Шубертом, почетным академиком Петербургской Академии наук, который вышел в отставку и уехал в Германию лишь в 1860 г. [3, 4]. Возможно, именно астрономо-геодезическое направление интересов П. Л. Чебышева в те годы во многом определило изначально ту доброжелательную поддержку, которую он затем много лет оказывал из России С. В. Ковалевской как математику.

Можно предположить, что интерес П. Л. Чебышева к теории фигур равновесия небесных тел инициировал позднее выбор С. В. Ковалевской темы о равновесии и форме колец Сатурна [62, 64]. Эта ее единственная статья по небесной механике была послана ею еще в 1874 г. вместе с двумя другими ее математическими работами в Геттингенский университет, который присудил ей за них степень доктора философии.

В период своего обучения в Берлине в 1870-1874 гг. в качестве ученицы Карла Вейерпгг-расса (1815-1897) С. В. Ковалевская работала главным образом по его тематике. Однако, как сообщал сам К. Вейерштрасс в письме П. Дю Буа-Реймону от 15 декабря 1874 г., тему о кольцах Сатурна она выбрала и выполнила по собственной инициативе: «Diese Arbeit war ganz aus Kowalewskajas eigener Initiative hervorgegangen» [65, c. 204]. Никаких письменных свидетельств влияния идей Чебышева на выбор этой темы в переписке Чебышева и Ковалевской, однако, не найдено: их или не было, или они не сохранились (переписки Чебышева с Вейерштрассом, как известно, не было вообще). Тем не менее в пользу высказаннного нами предположения говорит следующее. П. Л. Чебышев «превосходно знал Лапласа» и «расширял его результаты» [61]. Вероятнее всего, интерес Чебышева к теории планетных колец как фигур равновесия был продиктован теориями Лапласа, в частности, его космогонической теорией. Данная тема, связанная с лапласовой теорией структуры колец Сатурна, нашла поддержку и одобрение у Вейерштрасса. Здесь речь идет не только о перспективности задачи в аспекте применения гиперэллиптических функций для ее интегрирования, но и об интересе самого ученого к развитию изящной задачи: многотомная «Небесная механика» Лапласа была настольной книгой К. Вейерштрасса в его студенческие годы в Боннском университете [61]. Так или иначе, но в своем письме С. В. Ковалевской от 9 июня 1873 г. К. Вейерштрасс ограничивается лишь краткими советами по интегрированию этой задачи, в частности, по определению потенциала тороидального гравитирующего кольца, так как у нее, по-видимому, возникли трудности при самостоятельном ее решении [66, с. 24-25].

Содержание этой астрономической работы С. В. Ковалевской и ее роль в общем ходе развития теории фигур равновесия небесных тел подробно описаны в [63, 64], где выдвинуты возможные объяснения причин, побудивших в свое время Софыо Васильевну отложить публикацию выполненной работы, несмотря на присуждение ей ученой степени. Так, в своем письме от 1 января 1875 г. в Петербург К. Вейерштрасс советует ей, уже вернувшейся к

тому времени в Россию, не откладывать подготовку мемуара о кольцах Сатурна к печати [66, с. 61-66]. Однако она отдает эту статью в печать лишь через 11 лет, в 1885 г., уже во время ее профессуры в Швеции, да и то только по дружескому настоянию своего коллеги -шведского астронома Гуго Гюльдсна (1841-1896), директора Стокгольмской астрономической обсерватории, работавшего ранее в Пулковской обсерватории.

П. Л. Чебышев всегда заботливо поддерживал С. В. Ковалевскую. Характерно письмо Ш. Эрмита П. Л. Чебышеву от 21 мая 1890 г., почти сразу после присвоения С. В. Ковалевской звания иностранного члена-корреспондента Петербургской Академии наук: «Пользуюсь Вашей добротой и выскажу пожелание, чтобы Вы смогли вызвать к себе в С.-Петербургскую Академию наук г-жу Ковалевскую, талант которой вызывает восхищение всех математиков и которая в своем стокгольмском изгнании хранит в своем сердце сожаление и любовь к своей родине - России. Я узнал от нее о том участии, которое Вы приняли в ее избрании в члены-корреспонденты Академии. В то же время она сообщила мне о своем тяжелом душевном состоянии, связанном с пребыванием заграницей, и я решаюсь просить Вас, по мере возможности, оказать ей нужную поддержку» [61, с. 231].

Что касается А. М. Ляпунова, на которого оказали огромное влияние лекции П. Л. Чебы-шева и который в 1882 г. советовался с ним по поводу своей темы для магистерской диссертации, то именно ему небесная механика обязана дальнейшими существенными продвижениями в теории фигур равновесия небесных тел. Сначала Ляпунов заинтересовался теорией равновесия вращающейся жидкости лишь как любопытной задачей механики, однако в дальнейшем он ориентировался на ее приложения к теории фигур небесных тел, имея в виду задачи небесной механики и проблемы космогонического характера. Он поставил своей целью отыскание фигур равновесия, близких к эллипсоидальным фигурам Маклорена и Якоби, а затем перешел к исследованию их устойчивости.

Для решения поставленных задач А. М. Ляпунов изобрел новый метод, с помощью которого открыл ряд новых форм фигур равновесия и смог исследовать вопрос об их устойчивости. Этот метод представлял собой по сути дела теорию нелинейных интегральных уравнений. Среди новых равновесных фигур оказалась также и так называемая грушевидная. Хотя вычисления А. Пуанкаре, К. Шварцшильда и Дж. Дарвина, относящиеся к 90-м годам XIX столетия, показывали устойчивость новой фигуры, точная теория Ляпунова позволила прекратить все споры и доказать ее неустойчивость. Однако А. М. Ляпунов опубликовал этот результат лишь в 1912 г., хотя получил еще в 1905 г. [58].

К концу XIX столетия на смену поколению Ляпунова-Мещерского пришло новое, в котором главенствующую роль играли ученики А. М. Ляпунова - В. А. Стеклов (1864-1926), А. Н. Крылов (1863-1945) и И. Г. Бубнов (1872-1919). Здесь наряду с классикой впервые зазвучала в отечественной науке тема военно-морского флота.

Что касается В. А. Стеклова, то его небесно-механические работы немногочисленны и малоизвестны, однако они находятся в плодотворном русле ляпуновской теории фигур равновесия небесных тел. Ряд из них, в частности [67], относится к исследованию движения жидкой массы, сохраняющей форму эллипсоида, частицы которой взаимодействуют по закону Ньютона. В. А. Стеклов изучил также твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки и имеющее внутри эллипсоидальную полость, заполненную несжимаемой жидкостью [68]. Здесь им были рассмотрены периодические решения и выяснена возможность таких колебаний жидкости, которые вызывают малые периодические колебания жесткой оболочки, т. е. была поставлена задача геофизики, касающаяся периодического изменения широт земной поверхности. Он получил также ряд важных численных результатов, касающихся модели Земли: толщину твердой оболочки Земли, ее плотность, периодические движения полюсов и

Хотя основная тематика работ А. Н. Крылова приходится на теорию корабля и баллистику, огромную ценность имеют его труды, посвященные наследию классиков науки. Выполненный им блестящий перевод с латыни «Математических начал натуральной философии» И. Ньютона [69] содержит обширные комментарии переводчика, представляя собой самостоятельный

труд по классической и небесной механике, помогающий глубже осмыслить гениальный замысел автора.

Сочинение Ныогона при его жизни было издано в Англии три раза: в 1687, 1713 и 1725 гг. Затем последовали еще шесть изданий на латинском языке, последнее из которых было выполнено в Глазго в 1871 г. под редакцией В. Томсона (лорда Кельвина) и Г. Блэкбурна. Первый английский перевод, выполненный Моттом, появился в 1727 г. (в год смерти Ньютона); первый французский, выполненный маркизой Эмилией дю Шатлэ с комментариями А. Клеро, - в 1759 г.; первый немецкий, выполненный Вольферсом, - в 1871 г. Русских переводов вплоть до конца XIX столетия не было вообще. Взявшись за эту работу, А. Н. Крылов, по его утверждению, «придерживался латинского текста издания 1871 г.» Перевод был опубликован в «Известиях Николаевской Морской академии» в 1915 и 1916 гг., позднее он был включен в собрание сочинений А. Н. Крылова.

Крыловские переводы работы Л. Эйлера «Theoria motum Lunae, nova methodo pertractata» (1772 г.) и лекций К. Ф. Гаусса по теоретической астрономии (1820 г.), а также ряд статей (всего их около десяти) А. Н. Крылова по небесной механике и кометпой астрономии [70-74] важны не только с исторической точки зрения, но и как пример осуществления конкретных потребностей российского флота по теории навигации. Подробный обзор работ А. Н. Крылова rio астрономии дал Н. И. Идельсон [75].

Следует отметить, что при всей специфичности условий российские ученые работали не изолированно, а в неразрывной связи с мировой наукой. На русской почве «выросли» всходы научной деятельности многих ученых иностранного происхождения. В свою очередь, иностранные специалисты высоко оценили работы российских ученых. Здесь и премия, присужденная в Париже С. В. Ковалевской в 1889 г., награждение П. Л. Чебышева в 1890 г. французским Орденом Почетного Легиона, избрание его иностранным членом Парижской Академии наук в 1874 г., высокая оценка трудов А. М. Ляпунова о фигурах равновесия, данная А. Пуанкаре, и многие другие награды, отзывы и поощрения, не говоря уже о присуждении многим российским ученым званий членов-корреспондентов и академиков зарубежных академий паук и членов различных научных обществ. Тем не менее иногда работы российских математиков и механиков были либо неизвестны, либо малоизвестны па Западе, главным образом из-за языковых барьеров. Порой это приводило к повторному открытию западноевропейскими учеными того, что уже было найдено их коллегами в России раньше. Так было с некоторыми работами М. В. Остроградского, И. В. Мещерского, А. М. Ляпунова и др.

Таковы основные этапы развития петербургской школы механики в XIX столетии, ведущая роль в которой по праву принадлежит М. В. Остроградскому. Небесная механика, как мы видим, играла в научном наследии представителей школы далеко не последнюю роль [76-78].

В заключение скажем несколько слов о развитии петербургской (ленинградской) университетской школы прикладной математики на современном этапе в аспекте специальных вопросов небесной механики. Основной толчок к развитию этих задач на современном уровне был связан с началом космической эры. Здесь следует упомянуть глубокие исследования по теории устойчивости движения, теории автоматического управления, теории оптимальных процессов и аналитической динамики в работах В. И. Зубова и его школы. Развитие динамики тел переменной массы, динамики орбитального и вращательного движений искусственных небесных тел, теории оптимальных перелетов в космосе было выполнено в работах В. С. Новоселова и его учеников. К концу XX столетия появились новые аспекты приоритетных прикладных исследований, связанные с навигационными спутниковыми системами, а также с проблемой астероидной опасности, представленные на кафедре небесной механики.

Авторы благодарят И. Е. Лопатухину и Ю. 3. Алешкова (посмертно) за внимательное прочтение рукописи и ряд полезных замечаний, касающихся научного наследия ученых петербургской школы.

Summary

Polyakhuva E. N., Kholshevnikov К. V. Several problems of applied mathematics - celestial mechanics, geodesy and cartography - in the works of the academician M. V. Ostrogradsky, and of his scientific school (to Ostrogradsky's Jubilee).

The scientific legacy of russian mathematicians in celestial mechanics, geodesy and cartography in the XIX century is discussed. It is known that in the XIX century celestial mechanics, geodesy and cartography were developed in Russia mainly by the works of scientists in mathematics and mechanics, the great importance among them has the prominent Russian academician and professor M. V. Ostrogradsky (1801-1862). It is known that he has written many scientific works in pure mathematics, classical and applied mechanics, hydrodynamics, elasticity theory, ballistics, celestial mechanics, geodesy, and cartography; his pedagogical work was also of high importance in Russia. Many of his pupils and colleagues in St.Petersburg and Moscow (so-called Ostrogradsky's scientific school) deal with celestial mechanics too. Academician M. V. Ostrogradsky's scientific legacy in celestial mechanics consists of 6 papers (attraction theory, perturbations theory) and one book (manual) in celestial mechanics, some of his papers being not published at all. His interest in celestial mechanics appeared in 1820s during his scientific education and work in Paris and fruitful contacts and collaboration with famous French scientists in mathematics and mechanics of J. L. Lagrange's school (Laplace, Fourier, Poinsot, Poisson, Cauchy, Arago). In his papers in Celestial Mechanics Ostrogradsky successfully applied Lagrange's method of arbitrary constants variation, but in his own modification for the solution of equations of celestial bodies motions. The manual of Ostrogradsky written according to his cours of lectures on celestial mechanics at St.Petersburg high schools was of great importance during the XIX century. The scientific legacy of Ostrogradsky concerning celestial mechanics, geodesy, and cartography is occasionally discussed at his recent bicentary. It is shown that many of Ostrogradsky's ideas were developed by his disciples and colleagues.

Литература

1. Холшевников К. В. Небесная механика (исторический очерк)// История астрономии в России и СССР / Под ред. акад. В. В. Соболева. М.: Изд-во Янус-К, 1999. Гл. 3. С. 78-132.

2. Ожигова Е. П. Математика в Петербургской Академии наук в конце XVIII - первой половине XIX века. Л.: Наука, 1980. 220 с. (§ 2.1. О работах академиков-математиков по астрономии. С. 68-75).

3. Козырева М. Г. Отец и сын Шуберты в Петербурге// Немцы в России (Люди и судьбы) / Отв. ред. Л. В. Славгородская. СПб.: Изд-во Науч. центра РАН, 1998. С. 224-236.

4. Козырева М. Г. Из воспоминаний Ф. Ф. Шуберта о Петербурге// Немцы в России (Петербургские немцы). Отв. ред. Г. И. Смагина. СПб.: Изд-во Научн. центра РАН, 1999. С. 408-420.

5. Шибанов Ф. А. Академик Ф. И. Шуберт. Биобиблиографический очерк// Историко-астрономические исследования. 1972. Вып. 11. С. 237-254.

6. Schubert F. Т. Theoretische Astronomie (in 3 Theile). St. Petersburg: Imprim. Acad. Imp. Sei., 1798. Erster Theil: Sphärische Astronomie. 184 S.; Zweiter Theil: Theoretische Astronomie. 367 S.; Dritter Theil: Physische Astronomie. 338 S.

7. Schubert F. T. Traite d'Astronomie Thöorique: In 3t. St. Petersburg: Imprim. Acad. Imp. Sei., 1822. 1: Astronomie Splierique. 286 p.; 2: Astronomie Rationnelle. 568 p.; 3: Astronomie Physique. 524 p.

8. Из переписки П.-С. Лапласа, К.-Ф. Гаусса, Ф.-В. Бесселя и других с академиком Ф. И. Шубертом / Публ. и вводная статья Н. И. Идельсона// Научное наследство (Естественно-научная сер.). М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1948. Т. 1. С. 797-826.

9. Лобачевский Н. И. Полн. собр. соч.: В 5 т. М.: Гос. теор.-техн. изд-во, 1946-1951.

10. Иделъсон Н. И. Лобачевский-астроном// Историко-математические исследования.

1949. Вып. 2. С. 137-167 (или: Идельсон Н. И. Этюды по истории небесной механики. М.: Физматлит, 1975. С. 412-431).

11. Брылевская Л. И. Исследования геометрии пространства Вселенной в работах Н. И. Лобачевского// Астрономия и история науки / Под ред. С. С. Григоряна. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. С. 27-31.

12. Григорьян А. Т. Очерки по истории механики в России. М.: Наука, 1978. 190 с.

13. Григорьян А. Т. Очерки по истории механики в России. 2-е изд. М.: Изд-во АН СССР, 1983. 290 с.

14. Остроградский М. В. Собр. соч. / Под ред. акад. А. Н. Крылова. М.; Л.: Изд-во АН СССР. (Издание не окончено, вышли только: Т. 2. 1940. 464 е.; Т. 1, ч. 2. 1946. 288 с.)

15. Остроградский М. В. Избр. труды / Под ред. акад. В. И. Смирнова. Сер. Классики науки (со статьей Б. В. Гнеденко и И. А. Марона «Очерк жизни, научного творчества и педагогической деятельности М. В. Остроградского», с примечаниями В. И. Антроповой, И. Б. По-гребысского, H. Н. Поляхова, Е. Я. Ремеза, В. И. Смирнова, Г. М. Фихтенгольца). М.: Изд-во АН СССР, 1958. 583 с.

16. Поляхов H. Н. Примечания к трудам М. В. Остроградского по механике // Там же. С. 512-540.

17. Остроградский М. В. Поли. собр. трудов: В 3 т. Киев: Изд-во АН УССР. Т. 1 / Под ред. И. 3. Штокало. 1959. 312 е.; Т. 2 / Под ред. А. Ю. Ишлинского, Ю. Д. Соколова. 1961. 360 е.; Т. 3 / Под ред. Б. В. Гнеденко, Е. Я. Ремеза. 1961. 396 с.

18. Жуковский H. Е. 1) М. В. Остроградский (речь, произнесенная H. Е. Жуковским 12 сентября 1901 г. в Полтаве на праздновании столетия со дня рождения Остроградского); 2) Некоторые черты из жизни М. В. Остроградского (1902 г.); 3) Ученые труды М. В. Остроградского по механике (1902 г.)// H. Е. Жуковский. Полн. собр. соч. / Под ред. проф. А. П. Котельникова. Т. 9: Математика. Астрономия. Речи. Доклады. Характеристики и биографии. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1937. С. 388-414.

19. Ляпунов А. М. О заслугах М. В. Остроградского в области механики// Празднование столетия со дня рождения М. В. Остроградского / Под ред. П. И. Трипольского. Полтава, 1902. С. 115-118 (или см.: Матем. сб. 1902. Т. 22, вып. 4. С. 540-544).

20. Жуковский H. Е. Ученые труды М. В. Остроградского по механике // Собр. соч. М.; Л.: Общесоюз. науч.-технич. изд-во, 1950. Т. 7. С. 228-246.

21. Гнеденко Б. В. Михаил Васильевич Остроградский// Успехи матем. наук. 1951. Т. 6, вып. 5. С. 23-51.

22. Геронимус Я. Л. Михаил Васильевич Остроградский // Я. Л. Геронимус. Очерки о работах корифеев русской механики. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1952. 519 с. (С. 499-509.)

23. Отрадных Ф. П. Михаил Васильевич Остроградский. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1953. 102 с.

24. Григорьян А. Т. Михаил Васильевич Остроградский. М.: Изд-во АН СССР, 1961. 90 с.

25. Гнеденко Б. В., Погребысский И. Б. Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862). Жизнь и работа. Научное и педагогическое наследие. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 290 с.

26. Дубошин Г. Н. Историко-библиографический очерк развития небесной механики // Г. Н. Дубошин. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1963. С. 525-568.

27. Дубошин Г. Н. Небесная механика (очерк истории)// Механика в СССР за 50 лет. Т. 1: Общая и прикладная механика. М.: Изд-во АН СССР, 1968. С. 321-362.

28. Lagrange J.-L. Mécanique Analytique. Paris: Desaint, 1788 (1-е изд.); Paris: Courcier-Imp. Libr, 1811. T. 1; 1815. T. 2. (2-е изд.).

29. Лагранж. Ж. Аналитическая механика: В 2 т. / Под ред. Л. Г. Лойцянского, А. И. Лурье. Сер. Классики естествознания. М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1950. Т. 1. 594 е.; Т. 2. 440 с.

30. Ostrogradski M. V. Note sur une intégral qui se rencontre dans le calcul de l'attraction

des spheroïdes// Mém. de l'Académie des Sciences de St.Petersbourg. Ser. 6. Sri.: Math., Phys. et Natur. 1831. T. 1. P. 39-53.

31. Ostrogradski M. V. Note sur la variation des constantes arbitraires dans les problèmes de mécanique// Ibid. P. 109-115.

32. Ostrogradski M. V. Sur les inégalités séculaires des moyens mouvements des planètes// Mém. de l'Académie des Sciences de St.Petersbourg. Sér. 6. Sri.: Math., Phys. et Natur. 1833. T. 2. P. 339-371, или Bull. Scient, de l'Académie des Sciences de St.Petersbourg. 1833. T. 1, N 19. Col. 140-169.

33. Ostrogradski M. V. Note sur quelque formules relatives a l'attraction mutuelle d'une sphère et d'un spheroïde// Bull. Scient, de l'Académie des Sciences de St.Petersbourg. 1838. T. 4, N 24. Col. 369-371 (русск. пер.: Заметка о некоторых формулах, относящихся к взаимному притяжению сферы и сфероида // М. В. Остроградский. Полн. собр. трудов. Т. 1 / Под ред. И. 3. Штокало. Киев: Изд-во АН УССР, 1959. С. 59-61) .

34. Ostrogradski M. V. Sur les spheroïdes dont tous les moments d'inertie sont égaux// Bull, de la Classe Phys.-Math, de l'Académie des Sciences de St.Petersbourg. 1843. T. 1, N 4. Col. 60-64.

35. Ostrogradski M. V. Sur la variation des constantes arbitraires dans les problèmes de dynamique// Bull, de la Classe Phys.-Math, de l'Académie des Sciences de St.Petersbourg. 1849. T. 7, N 10. Col. 113-125.

36. Остроградский M. В. Разбор сочинения адъюнкт-профессора при Казанском университете М. Ковальского под заглавием «Теория движения Нептуна»// Двадцать третье присуждение учрежденных П. Н. Демидовым наград. 28 мая 1854 г. СПб., 1854. С. 131-138 (краткое резюме см.: Bull, de la Classe Phys.-Math, de l'Académie des Sciences de St.Petersbourg. 1856. T. 14. Suppl. 1. Col. 8).

37. Arago D. F., Poisson C. D. Rapport sur un ouvrage manuscript de M.Ostrogradski intitulé "Cours de Mécanique Céleste"// J. fur die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal). Berlin, 1831. Bd 7. S. 97-101 или см.: Inst. de France Acad. des Sciences (Année 1828-1831). 1835. T. 9; русск. пер.: Зап. Пмпер. Академии наук. СПб., 1863. T. 3, кн. 1. С. 14-15.

38. Ostrogradski M. V. Cours de Mécanique Céleste fait par M-r M. V. Ostrogradski et rédigé par J. Janouchevski, capitain du génie des voies de communication. СПб.: Типогр. Петерб. Пмпер. Академии наук, 1831. 96 с. (русск. пер.: Курс небесной механики, читанный г-ном М. Остроградским и записанный капитаном Корпуса инженеров путей сообщения Я. Янушевским // М. В. Остроградский. Полн. собр. трудов. Т. 1 / Под ред. И. 3. Штокало. Киев: Изд-во АН УССР, 1959. С. 139-244).

39. Tisserand F. Traité de Mécanique Céleste. Paris: Gauthier-Villars, 1894. T. 3. 568 p.

40. Субботин M. Ф. Астрономические работы Лагранжа// Жозеф Луи Лагранж: Сб. ст. к 200-летию Ж. Л. Лагранжа / Под ред. Н. Д. Моисеева. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1937. С. 47-83.

41. Лопатухина И. Е., Лопатухин А. Л., Поляхов H. Н., Поляхова Е. Н. Основные этапы развития Петербургской школы механики в XIX столетии// Петербургские фрагменты научной картины мира. Сер. Петербург в европейском пространстве науки и культуры. СПб.: Изд-во Науч. центра РАН, 2002. С. 47-63 (или см.: Труды Третьих Окуневских чтений. СПб.: Изд-во Балтийск, гос. техн. ун-та «Военмех». 2003. С. 196-199).

42. Жуковский H. Е. Механика в Московском университете за последнее пятидесятилетие (речь 1911 года)// Полн. собр. соч. / Под ред проф. А. П. Котельникова. Т. 9: Математика. Астрономия. Речи. Доклады. Характеристики и биографии. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1937. С. 203-211.

43. Жуковский H. Е. Биография и ученые труды профессора Ф. А. Слудского // Там же. С. 375-386.

44. Моисеев Н. Д. Очерки развития теории устойчивости// Механика в СССР за тридцать лет / Под ред. Г. Н. Дубошина. М.; Л.: Изд-во АН СССР. 1950. С. 16-54.

45. Ostrogradski M. V. Mémoire sur les équations différentielles, relatives au problème des

isopérimetres// Mém. de l'Acacl. des Sciences de St.Petersbourg. Sér. G. Sei.: Math., Phys. et Natur. 1850. T. 4. Col. 385-517.

46. Письма академика Остроградского профессору Брашману// Матем. сб. 1866. Т. 1. вып. 1. С. 27-38.

47. Sloudsky F. A. Note sur le principe de la moindre action// Nouvelles Annales de Mathématiques. 1866 (русск. пер.: Слудский Ф. А. О начале наименьшего действия // Матем. сб. 1867. Т. 2, вып. 1. С. 45-50).

48. Слудский Ф. A. De la rotation de la Terre supposeé fluide a son intérieur// Бюл. Моск. о-ва испытателей природы. 1896. Т. 7, X8 1. С. 17-24.

49. Ахиезер Н. И. П. JI. Чебышев и его научное наследие// П. Л. Чебышев. Избр. труды. Сер. Классики науки. М.: Изд-во АН СССР, 1955. С. 480-510.

50. Прудников В. Е. К вопросу о работах П. Л. Чебышева rio астрономии// Историко-математические исследования. 1957. Вып. 10. С. 639-648.

51. Чебышев П. Л. Полн. собр. трудов: В 5 т. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1951 1955. Т. 5: Прочие сочинения. Биографические материалы. 672 с.

52. Тюлина И. А. Мехмату МГУ - семьдесят лет. Развитие механики в Московском университете с 1755 по 1932 г. // Механика в Московском университете на пороге XXI века / Под ред. И. А. Тюлиной и H. Н. Смирнова. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2002. С. 6-21 (или см. в межвуз. сб.: История и методология науки / Под ред. А. А. Яковлева. Пермь: Изд-во Пермск. гос. ун-та, 2003. Вып. 10. С. 138-155).

53. Жуковский H. Е. La réduction des formules exactes du mouvement produit par la force répulsive du Soleil// Поли. собр. соч. / Под ред. проф. А. П. Котельникова. Т. 9: Математика. Астрономия. Речи. Доклады. Характеристики и биографии. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1937. С. 53-56 (русск. пер.: Вывод точных формул движения, произведенного отталкивающей силой Солнца // Там же. С. 57-60).

54. Жуковский H. Е. Упрощенное изложение Гауссова способа определения планетных орбит // Там же. С. 61-103.

55. Жуковский H. Е. Решение одной задачи из теории комет // Там же. С. 104-109 (или см.: Annales de l'Observatoire de Moscou. 1884. T. 3, N 1. P. 1-6; Bull, de la Société Impériale des Naturalistes de Moscou. 1884. T. 5, N 2. P. 25-30).

56. Жуковский H. E. Геометрическая интерпретация теории движения полюсов вращения Земли по ее поверхности// Собр. соч. М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1948. Т. 1. С. 418— 440.

57. Мещерский И. В. Динамика точки переменной массы. СПб: Типогр. Рос. Академии наук, 1897. 160 с. (или: Работы по механике тел переменной массы / С предисл. и под ред. проф. А. А. Космодемьянского. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1949. 258 е.).

58. Ляпунов А. М. Исследования по теории фигур небесных тел// Собр. соч.. М.: Изд-во АН СССР, 1959. Т. 3. С. 5-360; Т. 4. С. 5-645. М.: Наука, 1965. Т. 5. С. 11-126.

59. Poincaré H. Figures d'équilibre d'une masse fluide (Leçons professées à la Sorbonne en 1900). Paris.: C. Naud., 1902. 211 p. (русск. пер.: A. Пуанкаре. Фигуры равновесия жидкой массы. Москва; Ижевск: РХД, 2000. 208 е.).

60. Питъев П. П., Титов В. В., Холшевников К. В. Фигуры равновесия небесных тел. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 107 с.

61. Прудников В. Е. Пафнутий Львович Чебышев. М.: Наука, 1976. 280 с. (Гл. 12. П. Л. Чебышев и С. В. Ковалевская. С. 224-237.)

62. Kowalewsky Sophie. Zusätze und Bemerkungen zu Laplace's Untersuchung über die Gestalt der Saturnringe// Astronomische Nachrichten. Kiel, 1885. Bd 111(3). S. 37-48.

63. Поляхова E. H., Холшевников К. В. К 150-летию со дня рождения Софьи Ковалевской (1850-1891): ее научное наследие по классической и небесной механике// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2001. Вып. 2 (№ 9). С. 3-26.

64. Polyakhova Е. N. То Recent 150th Anniversary of Sofia Kowalewskaya (1850 1891): Her scientific legacy in celestial mechanics of equilibrium figures of fluid mass in axial rotation// As-

tronomical Society of Pacific (ASP) Conference Series / Eds. G. Bird et al. St.Petersburg, 2004. Vol. 316. P. 303-312.

65. Weierstrass K. Briefe an Paul du Bois-Reymond // Acta Mathematica. 1923. Vol. 39. P. 199-225.

66. Письма Карла Вейерштрасса к Софье Ковалевской / Под ред. акад. П. Я. Кочиной. М.: Наука, 1973. 311 с.

67. Stekloff W. (V. Steklov). Problème du mouvement d'une masse fluide incompressible de la forme ellipsoïdale dont les parties s'attirent suivant la loi de Newton// Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure (AEN). 3-ième Série. Paris, 1908. Pt 1. T. 25. P. 469-528; 1909. Pt 2. T. 26. P. 275-336.

68. Stekloff W. (V. Steklov). Sur le mouvement d'un corps solide ayant une cavité de forme ellipsoïdale rempli par un liquide incompressible et sur les variations des latitudes// Annales de la Faculté des Sciences de l'Université de Toulouse (AFT). 3-ième Série. Paris, 1909. T. 1. P. 145-256.

69. Ньютон И. Математические начала натуральной философии / Пер. с латинского с примечаниями и пояснениями флота генерал-лейтенанта А. Н. Крылова // Изв. Николаевск. Морской академии. Пб., 1915. Вып. 4. 276 е.; 1916. Вып. 5. 344 с. (или см.: А. Н. Крылов. 1) Собр. трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1936. Т. 7. 696 е.; 2) Избр. труды. Сер. Классики науки. М.: Изд-во АН СССР, 1989. 687 е.).

70. Крылов А. Н. Беседы о способах определения орбит комет и планет по малому числу наблюдений // Изв. Николаевск. Морской академии. СПб., 1911. Вып. 1. 161 с. (или см.: А. Н. Крылов. Собр. трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1936. Т. 6. С. 1-149).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

71. Крылов А. Н. Карл Фридрих Гаусс: Теоретическая Астрономия (Рукописи лекций К. Ф. Гаусса, читанных им в Геттингене в 1820-1821 гг. и записанных Купфером) / Пер. с нем. А. Н. Крылова, Действит. члена Российской академии наук, Заслуженного профессора и Начальника Морской академии. Пт.: Типогр. Гл. Адмиралтейства, 1919. 187 с. (или см.: А. Н. Крылов. Собр. трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1936. Т. 6. С. 299-452).

72. Крылов А. Н. Леонард Эйлер: Новая теория движения Луны / Пер. с латинского 1-й части Первой Книги и извлечений из ее 2-й и 3-й частей с примечаниями и пояснениями переводчика акад. А. Н. Крылова. Л.: Изд-во АН СССР, 1934. 208 с. (или см.: А. Н. Крылов. Собр. трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1936. Т. 6. С. 151-225).

73. Крылов А. Н. Ньютонова теория астрономической рефракции// Архив истории науки и техники. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1935. Сер. 1. Вып. 5. С. 183-250 (или см.: А. Н. Крылов. Избр. труды. Сер. Классики науки. М.: Изд-во АН СССР, 1958. С. 625-730).

74. Гаусс К. Ф. Избранные труды по земному магнетизму / Пер. с нем. акад. А. Н. Крылова. Сер. Классики науки. М.: Изд-во АН СССР, 1952. 279 с.

75. Идельсон Н. И. Работы А. Н. Крылова по астрономии// Труды Ин-та истории естествознания и техники. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. Вып. 15. С. 24-31.

76. Поляхова Е. Н. О научном наследии М. В. Остроградского по небесной механике// Тез. докл. Междунар. конференции «Третьи Поляховские чтения». 5-9 февр. 2003 г. СПб., 2003. С. 234-236.

77. Лопатухина И. Е., Лопатухин А. Л., Поляхов H. Н., Поляхова Е. Н. Роль М. В. Остроградского в развитии петербургской школы механики XIX столетия// Методология и история математики / Под ред. H. М. Матвеева. СПб.: Изд-во Ленингр. обл. пед. ун-та им. А. С. Пушкина, 2003. Т. 4. С. 130-143.

78. Алешков Ю. 3. Замечательные работы по прикладной математике. СПб.: Изд-во С.-Пе-терб. ун-та, 2006. 369 с.

Статья рекомендована к публикации членом редколлегии Л. А. Петросяном.

Статья принята к печати 18 сентября 2006 г.

Аннотация научной статьи по истории и археологии, автор научной работы — Поляхова Е. Н., Холшевников К. В.

Похожие темы научных работ по истории и археологии , автор научной работы — Поляхова Е. Н., Холшевников К. В.

Several problems of applied mathematics - celestial mechanics, geodesy and cartography - in the works of the academician M. V. Ostrogradsky, and of his scientific school (to Ostrogradsky''s Jubilee)