Некоторые задачи по основам теории функций и о разложении рациональных дробей Текст научной статьи по специальности «Математика»

V. Математика в школе

УДК 510.1 ББК 22.16

© Б. Шийдэв

Монголия, г. Эрдэнэт, Технологический институт имени Ш.Отгонбилега

© Д. Буянтогтох

Монголия, Монгольский государственный университет образования

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ПО ОСНОВАМ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И О РАЗЛОЖЕНИИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

В статье рассматриваются типовые и олимпиадные задачи элементарной теории функций, а также вопросы разложения рациональных дробей.

Ключевые слова: гиперболические функции, область определения и период функции, разложение дробей.

© B. Shiydev

Mongolia, Erdenet, Technological Institute named by Sh. Otgonbileg

© D. Buyantogtokh

Mongolia, Mongolian State Education University

SOME TASKS IN THE ELEMENTARY THEORY OF FUNCTIONS AND ABOUT DECOMPOSITION OF RATIONAL FRACTIONS

The article is devoted to typical and competition tasks of the elementary theory of functions and questions about decomposition of rational fractions.

Key words: hyperbolic functions, definitional domain and period of functions, rational fractions.

Введение

В статье рассматриваются приложения теории функций в курсе анализа. Также изучаются свойства некоторых дробей.

1. Некоторые приложения гиперболических функций

X . —x

e + e

Определение 1.1. Функцию вида----------- называют гиперболическом косинусом и обо-

значают chx :

x —x

chx = . (1.1)

2

Аналогично гиперболический синус

ex - e~x

гиперболический тангенс

shx =------------, (1.2)

2

shx ex - e x

thx =-------=-------------, (1.3)

chx ex + e~x

гиперболический котангенс

Из определения гиперболических функций следует, что

chx ex + ex ^

cthx =--------=-------------. (1.4)

shx ex - e-x

D (shx)= D (chx)= D (thx) = (-¥ +¥, D (cthx)={x : e2 x -1 Ф 0}={x: x Ф 0 } . Функции, обратные к гиперболическим, называются обратными гиперболическими

функциями. Например, для функции у = shx имеем у =

ех - e~x e2x -1

2 2ex

e2x - 2yex -1 = 0 ^ ex = у + y]у2 +1 ^ x = ln (у + tJу2 +1). Обратная к функции у = shx

является функция у = ln (x + Vx2 +1).

Свойства и формулы для гиперболических и тригонометрических функций схожи.

e-x + ex

Функция у = chx четная: ch (-x) =--------- ---= chx. Из (1.1) и (1.2) следует, что

ex = chx + shx, (1.5)

e~x = chx - shx. (1.6)

Следовательно,

sh (x + у) =1 (ex+у - e~x-у) =1 (ex • ey - e~x • e~у) =

= 1 [(chx + shx) (chу + shy) - (chx - shx) (chу - shy) J = shx • chу + chx • shу.

Имеем

sh (x + у ) = shx • chy + chx • shy. (1.7)

Кроме того,

sh (x - у ) = shx • chy - chx • shy . (1.8)

Аналогично можно вывести следующие формулы:

ch (x + у ) = chx • chy - shx • shy, (1.9)

ch (x - у ) = chx • chy + shx • shy. (110)

Из формулы (1.7) следует, что

sh2x = 2shx • chx . (111)

Из (1.9) имеем

ch2x = sh2 x + ch2x . (112)

Имеем место соотношение ch2x - sh2x = (chx - shx) (chx + shx) = ex • e~x = 1. Итак,

ch2x - sh2x = 1. (1.13)

Тем же путем можно вывести следующие формулы:

2

ch2 x =

sh2 x =

f ex + e~x ^ v 2 У

v 2 У

ch2 x +1 2 :

ch2 x -1

' 2

1.14)

1.15)

Формулы (1.14) и (1.15) представляют собой аналогии с тригонометрическими формулами, называемыми формулами «понижения степени».

Далее, используя гиперболические функции, решим некоторые задачи элементарной математики.

[л/X2 + у2 -л/ X2 - у2 = у,

Пример 1.1. Рассматривается система уравнений <

I X4 - у4 = 144.

Г х = кеИф

Сделаем подстановку < . Тогда данная система принимает вид

I у = kshp

и

2 . 2 Г~2 2

х + у -Vх - У = у,

х4 - у4 = 144,

\к\у[сЙ2р-\к\ = кйр и сИ2р-1 = ± йИр,

к4 (сИ4р- sh4j) = 144, [к4 • сИ2р = 144,

12 , ■ ,

—-1 = ±^,

к~ =><

к4 • сИ2р = 144,

йИр = ±

12 - к

2

к2

к4 (сИ4р + йИ4р) = 144,

йИр = ±

12 - к2

к2

2

к4 (1 + 2йИ2р) = 144,

к4

2 (12 - к2 )2 ^

1+-4^-

= 144 =>ЗА-4 -48£2 +144 = 0 => к; =12 и к: =4.

Итак, у = 0 и х = ±2\/з при к2 = 12 ; при к22 = 4 система не имеет решения. Данная система имеет два решения: (±2^;0). □

х + у = 2,

Пример 1.2. Рассматривается система уравнений

х4 + у4 = 16.

Г х = ксИр,

Сделаем подстановку < Используя формулу (1.5), получаем

I у = кйИр.

х + у = 2,

х4 + у4 = 16,

к ( сИр+йИр) = 2, Гк • вр = 2,

к4 (сИ4р + йИр) = 16, "[к4 •(З + сИ4р) = 64,

к • вр = 2

к4 •

к • вр = 2,

V

сИ4р+йИ4р = (сИр - йИ2р) + 2сИ2рйИ2р = 1 +1 йИ2р = 1 + сИ4р—1 = 3 + сИ4р .

р = 2............. 1г4 Г96 . 256 . ., ^ = 100 16 _____ ,8 . ^,4

: 64, [к4 •(6 + в4р+ в"4р) = 128

к • вр = 2,

к4 •(в8р + 6• в4р +1) = 128в4р.

Подставляя вр = —, получаем к • I — +------— +1| = 128• — или к + 96к -12816 = 0.

к V к к

Отсюда к = ±2 .

к4

1. Если к = 2, то из уравнения вр = 1 получаем р = 0. Тогда

0 0

в . в в — в х = ксИр = 2 • сИ0 = 2 • -—= 2, у = кйИр = 2 • йИ0 = 2-------------------------= 0.

00 в + в

22 2. Если к = -2, то из уравнения вр =-1 получаем р = 0. Общее решение: (0;2),

(2;0). □

.2. -2

> 2л/2.

х - у

Пример 1.3. Пусть ху = 1 и х > у . Требуется доказать, что

Сделаем подстановку х = kchp и у = kshp. Тогда ху = 1 ^ к2 • shpchp = 1 ^ к2 • sh2p = 2 ^ к2 • (е2р - е^) = 4 ^ к2 • (е4р -1) = 4е

4е2р + к2

2р

в4р=-

к2

(*)

С другой стороны, из неравенства х > у следует, что kshp > kchp. Но это неравенство

2

выполняется тогда и только тогда, когда к > 0 .

X2 + y2 к2 (sh2j + ch2j) кекіф p ep +1 к (ep +1)

Следовательно, ---------=----- ---------- — =-------= кеф ■ - -

х - у к (shp- chp) е p 2e2p 2e2p

Учитывая (*), получим х2 + у2 = к (е^+1) = к (4е^ + 2к2) = 2e2p + к2 > 2^¡2e2p • к2 = 2^ • к = 2г п

х - у 2ep 2ep к2 k•ep к^е<е k•ep

Пример 1.4. Требуется доказать, что а + Ь < 2, если а2 + Ь2 < 2. Если сделать подстановку х = kchp и у = kshp, то

е^+1 4е^ 2eP

а2 + Ь2 < 2 ^ к2 (sh2p + ch2p)< 2 ^ ''2 ’9 ' ’ '

+ Ь2 < 2 ^ к2 (sh2p + ch2p)< 2 ^ к 2^-—< 2 ^ к2 <-—— ^ к <

1 ' 2е^ e4p+1 ^ . +1

2е^ 2e2p

Тогда а + Ь = к (chp + shp) = к^ < < —г— = 2 . □

' ' л/ë4—+1

Пример 1.5. Пусть а, Ь, c - любые действительные числа и c > 0, а + Ь > c. Докажем, что

а8 + Ь8 >----. Пусть х = kchp и у = kshp . Тогда а + Ь = к (chp + shp) = k•ep > c.

128

Отсюда к > —j. Следовательно, а8 + b8 =(а4 -b4) + 2a4b4 =(a2 -b2) (a2 + b2) + 2a4b4 =

f , . / , „ ,\2 Л

■ к81 ch 2p + ^sh42p! = к

1 ,4_ Ї ,s ch4p +1 + (ch4p-1) к8

2 32

V у

(ch24p + 14ch4p +17):

к8 f ch8p +1 1/( ^ к8 / , 0 00 , , ^ к8 f e16p 28 (e8p+1) Л

— I----------' 14ch4p +17 I = ~( ch8p + 28ch4p+ 35) = — '

-'-------------------' 35

2e8p 2e4p

V у

к (el6p + 28e12p + 70esp + 28e4p +1)>.<f ^ + 28eW + 70e" + ^ +1

128esp v ' 128 el6p

„8 f 28e12p + 70e8p + 28e4p +1 ^ -8

128

1 + -

eip

V e

> ^. □ 128

2. Нахождение области значений функции

В математике часто приходится решать задачи не только на нахождение области определения, но и на определение области значений функции.

Пусть дана функция y = f (X) и область определения этой функции D (y).

Множество значений, принимаемых функцией y = f (X) при изменениях аргумента х

из области определения D ( y) , называется областью значений функции. Область значений

функции y = f (X) обозначается E (y).

Рассмотрим некоторые приемы нахождения области значений функции.

I. Область значений функции можно найти с помощью определения функции или её

графика. Например, для функции y = х2 имеем E (х2 ) = [0; +¥), для функции y = х2 -E (X3) = (-¥; +¥), для функций y = sin X, y = cos х - E (sin) = E (cos) = [—1; 1], для функций y = tgX, y = ctgX - E (tg) = E(ctg) = (-¥>; +то), для функции y = aX (0 < a ф 1) -

E(aX ) = (0; +¥), для функции y = {х] ({х} - дробная часть х ) - E (y ) = ( ч.1) , для функции y = (-1)X - E (y ) = ±1 и т.д.

II. Используя свойства взаимно обратных функций, можно найти область значений. Если функции y = f (X) и y = g (X) взаимно обратны, то D (f ) = E (g), D (g) = E (f).

Из этого свойства следует, что для того, чтобы найти область значений функции f (х) достаточно найти область определения её обратной функции.

Пример 2.1. Для функции y = loga х область значений E (log) = D (aX) = (-¥; +¥). □ Пример 2.2. Так как функция y = sin х имеет обратную х = arcsin y на отрезке

p p

2 ; 2

то E (arcsin ) = D (sin ) =

p p

2; 2

. Аналогично E (arccos) = [0; p], E (arc tg):

= [-P P J ’ E (аГС Ctg ) = ( °P' D

2 x + 3

Пример 2.3. Чтобы найти область значений функции у =--------------, сначала найдем ее об-

x -1

2 x + 3 2 у + 3

ратную функцию. Из равенства у =----------- имеем x =--------. Отсюда

x -1 у -1

D (x ) = E (у ) = (-~;2)и( 2; +~). □

Пример 2.4. Пусть дана функция у = \j2 + x - x2 . Ясно, что у > °. Возведя обе части ра-

венства в квадратную степень, получаем х2 -х + y2 -2 = 0. Отсюда х:

1 ±д/9 - 4 y2

и

D (X):

|y > 0,

I 9 - 4y2 > 0,

^ 0 < y < — или D (X)

Это значит, что E (y)

_0;í

X

Пример 2.5. Пусть y = arcsin I lg — І. По определению функции арксинуса имеем

pp

X

— < y < —. С другой стороны, lg — = sin y или lg X = 1 + sin y. Отсюда

22

X = 101+siny = 10-10smy. Имеем D (X):

pp

---< y < —, p p

2 2 ^----< y < —. Следовательно,

i? 2 2

y є R,

E (y ) = D (X ) =

p p

2 ; 2

. □

Пример 2.6. Найдем область значений функции у = lg (1 - 2cos x). Решая уравнение у = lg (l — 2 cos х) относительно i, получаем:

y = lg(1 -2cosX) 1 -2cosX = 10y ^ cosх 1 -10y

1 - 10y 1 - 10y

í> X = arccos -

Отсюда D (X):

22 < 1 ^-1 < 10y < 3 ^ 10y < 3 »y<lg3 . D(X) = E(y) = (-¥;lg3). □

Пример 2.7. Найдем E (y) функции y = +1. Аналогично с предыдущей задачей

yJX -1

2

2

4~х +1 і~ у +1 „

имеем: у = ^^— х =-. Отсюда

4Ї -1 у -1

——- > 0, Г у <-1еёе у > 1, , ,

у -1 ^<! ^ у <-1еёе у > 1.

і [ у Ф 1,

у Ф1, 1

Это значит, что Е (у ) = (-«>; - 1]и[1; <»). □

III. Известно, что если функция /(х) определена и непрерывна на отрезке [а;Ь], то она ограничена на этом отрезке (теорема Вейерштрасса).

Пример 2.8. Для квадратной функции у = ах2 + Ьх + c имеем Б (у ) = (-¥ +го). Функция непрерывна на (-<»; +<»). Пусть а > 0. Т.к. у' = 2ах + Ь, то хтт = - — и

2а

4ас — Ъ2

утт =---------------------------^-. Следовательно, Е (у) ■■

4а

4ас - Ъ 4а

2 ^ -; +¥

. Аналогично, при а < 0 находим

г

4ас - Ь2 4а

. □

Пример 2.9. Найдем область значений функции у = х4 - х2. Очевидно, что Б (у)=( -¥; +¥) и она непрерывна. Найдем наименьшие и наибольшие значения данной

42

функции на (-¥; +<»). Имеем у' = 4х3 - 2х, то у' = 0 ^ 4х3 - 2х = 0 ^ х1 = 0, х2 3 =±^-,

42

т.е. данная функция имеет 3 критические точки. Точки экстремума: хтах = 0, хтт =±^-. Поэтому утах = 0 ё утт = Но при увеличений аргумента х значения функции тоже

увеличиваются, т.е. у ® +¥ при х ® +¥. Следовательно Е(у) =

х

Пример 2.10. Найдем Е(у) функции у = —. Имеем В (у ) = (-¥; -+»). Производная х(2 - х) 4

у ' =----х---. Находим хтт = 0, утт = 0 хтах = 2 Ятах = ~ . С друГой

в в

х2

у =------® +¥ при х ® +¥. Таким образом, Е (у) = [0; -+»). □

вх

Пример 2.11. Пусть дана у = х>/1 - х . Область определения данной функции В (у) = ( ¥; 1]. Находим наименьшие и наибольшие значения функции у = х>/1 - х на луче (—се;і). Находим производную у' = \1 — г — ^ . Функция имеет ло-

кальный максимум у______= в точке х = ^ . С другой стороны, у = хл/ 1-х —* +оо

при л: -> — се, Следовательно, областью значений данной функции является луч Пример 2.12. Найти область значений функции у = ^х — 3 + л/7 х. Т.к. область оп-

—оо

ределения В (у) = [3,7], то находим наименьшие и наибольшие значения данной функции

л г -^7—ж—їх — 3

на сегменте [3,7]. Для этого находим первую производную функции: У — ^||,_г==.

Решим уравнение \ 7 — х — \х — 3 — 0. Это уравнение имеет только один корень х — 5 Это значит, что функция имеет локальный экстремум в точке х = 5, Для решения вопроса

о наибольшем и наименьшем значении на отрезке [3,7] надо рассмотреть значения функции в точках х = 3 ,х = ^ , х = 7 Находим у(3) = у(7) = 2 ,у = 2^/2 . Сравнивая

эти значения, получаем Е(у } = [2; З’ч/З]. □

IV. На практике можно найти области значений некоторых тригонометрических функций, а именно функций вида y = a sin x + b cos x, где a, b - данные числа.

Действительно,

asin x+bcos x=4 a2 + b2 a— • sin x +—b— cos x =V a2 + b2 • sin (x+p),

U a2 + b2 л/a2 + b2 J

a b

где cos p = , sin p = —y .

\Jci2+b2 \Ja2+b2

Так как для любых х имеют |sin *| < 1, Iros г | < 1 , то

—Ja2 + b2 < sin(x + p) < -\/a2 + b2 .

Используя это замечательное неравенство, легко можно найти область значений функции вида y = a sin x + b cos x.

Пример 2.13. Найдем область значений функции y = sin x - 5 cos x . Т.к. a = 1, b = 5, то

Va2 + b2 =V26. Поэтому -V2ó < sin x - 5cos x <V26 или E (y )= -V26;V26 . □

3. О периодических функциях

Одним из важных свойств функции является ее периодичность.

Определение 3.1. Функция y = f (x) называется периодической с периодам Т, если

существует число Т > 0 , такое, что для любого значения аргумента x из ее области опре-

деление D(y) имеют место x + T е D(y), x - T е D(y) и f (x + T ) = f (x).

Пример 3.1. Докажем, что функция f (x) = sin2 x периодическая. Так как D( f)=( -¥;+¥), то для любого x и числа Т > 0 верно x ± T е D(f). Докажем, что найдется число T > 0 такое, что sin2 (x + T) = sin2 x. В самом деле,

• к • 2 • и тЛ • 2 1 - cos(2x + 2T) 1 - cos2x

sin (x + T ) = sin x ^ sin (x + T)- sin x = 0 ^------------------------------- - -= 0 ^

22

cos 2 x - cos(2 x + 2T) = 0 ^ 2 sin(2x + 2T)sin T = 0 ^ sin T = 0 ^ T = pk, где k е N. □

, . [ 1 , x - óáoéi í áeüí i á ^éñei,

Пример 3.2. Докажем, что функция Дирихле D (x) = <

[0, о - éóóáoéií áeüí i á ^éñei,

является периодической с периодом любого рационального числа. Действительно, если T > 0 - любое рациональное число, то x + T - тоже иррациональное число. Поэтому D(x + T ) = D(x). □

Свойства периодических функций 10. Если Т > 0 период функции f (x), то (- T) также является периодом.

2 0. Если Т > 0 период функции f (x) , то для любого целого числа k числа kT также

являются ее периодом. Действительно, f (x ) = f (x + T ) = f (x + 2T ) =... = f (x + kT), f (x ) = f (x - T ) = f (x - 2T) = ... = f (x - kT).

30. Если функции y = f (x) и y = g(x) периодические с периодом Т >0 , то функции

f (x)

f (x )± g( ), f( x)-g(x), —тоже являются периодическими с периодом Т.

g(x)

40. Если функции y = f (x) и y = g(x) периодические с периодами T1 и T2 соответственно, то число Т кратное T1 и T2 является периодом их суммы, разности, произведения и частного.

В самом деле, пусть T = k1T1 и T = k2T2, где k1 и k2 - натуральные числа. Тогда для функции p(x) = f (x)± g (x) имеем p(x + T ) = f (x + T )± g(x + T )= f (x + klTl )± g(x + k2T2 ) =

= f (x)± g (x) = p(x) и тд.

Определение 3.1. Наименьший положительный период периодической функции называется её основным периодом и обозначается T0.

Например, основной период функций sin x и cos x равен T0 = 2p , а для функций tgx и ctgx равен T0 = p.

T

Теорема 3.1. Если T0 основной период функции f (x), то число — является основным

w

периодом функции y = f (wx).

Доказательство. Положим f (wx) = j(x). Тогда для любого число x +1, принадлежащего области определения функции j(x) , имеем f (w(x +1)) = f (wx + wl).

T0

w

Так как Т0 основной период функции у = /(х) , то wí = Т0 . Отсюда 1 = — , это озна-

T

чает , что — есть основной период функции f (wx). Теорема доказана. w

2p . 2x

Например, основной период функций sin 2x равен T0 = —^~ = p , а функции sin — равен T0 = 2p : — = 3p и т.д.

03

Следствие. Если T1 и T2 основные периоды функции y = f (x) и y = g(x) соответственно, то T0 = HOK (Tj; T2) являются основным периодом их суммы, разности, произведения и частного.

Пример 3.3. Найдем основной период функции y = sin4 x + cos4 x. Так как

1 3 1

sin x + cos x = 1--sin 2x = — +— cos 4x и основной период функции cos 4x равен

2 4 4

2p p p T0 = —^~ = —, то основным периодом данной функции является T0 = —. □

Пример 3.4. Найдем наименьший период функции y = sin x + 2sin 2x + 3 cos3x . Основной период функции sin x равен T1 = 2p, период функций sin 2x равен T2 = p, а функ-

2p

ции sin 3x равен T3 = . Поэтому по следствию наименьший период данной функции

равен T0 = HOK№3)= HOK(2p,,p,fpJ =12p. Из этой задачи вопрос:

как найти НОК несколько рациональных чисел. □

Р

Теорема 3.2. Если —- • T (где p. , q. - натуральные числа и взаимно простые) основной Чг

период функции f.(x), то основной период функции y = f (x) + f(x)+... + fn(x) (или

y = f1(x)-f (x)-...• fn(x) итд. ) равен T0 = H°}p'l,P2,"',Pn\ •T.

НОД(Ч1; q2;...; qn)

Доказательство. Пусть T0 = Р • T. Тогда должно найдется такое целое число k., что

0 q г ТЛ ТЛ ТЛ в /у

— = — • k (i = 1,2,...,n). Отсюда k =-----L . Так как p и q , p. и q. - взаимно простые,

Ч Чг q • Рг

то для всех pi и qt имеют pM и qгM. Это значит, что p = HOK(p1,p2,...,pn) и q = HOД (q1, q2,..., qn). Т еорема доказана.

5 5 10

Пример 3.5. Найдем наименьшее общее кратное рациональных чисел ^^^2^27. По

(л\ ттглЛ 5 5 10 ^ HOK (9,12,27) 108 3

формуле (1) имеем HOK I —, —,— I =---------------------— =-----= 21—. □

w ^ 9 12 27 J НОД (5,5,10) 5 5

2x 3x 1

Пример 3.6. Найдем наименьший период функции y = sin^- + 2cos — + — cos 4x. Так 41

как T = 5p, T2 = — p, T3 = — p, то по теореме 2 имеем

, . HOK (5,4,1) 20p

T = HOK(T1,T2,T3) =-------^ ’ {•p = — = 20p.

v ^ ^ ъ) нод(1,2,3) 1

Рассмотрим вопрос о том, как установить, является данная функция периодической или нет. Для этого запишем определение периодической функции в виде формулы на логикоматематическом языке:

опр

(f (x) - периодическая ) о ("x е D (f ))($T > 0)(x ± T е D (f )a( f (x + T ) = f (x))) .

опр

Тогда (f (x) - не периодическая ) о ($xе D (f)) ($T > 0)

(x + T £ D (f) v x + T * D (f) v f (x + T )ф f (x)), т.е. функция f (x) не является периодической, если существует x из области определения D (y) , такое, что для любого значения T > 0 не выполняется хотя бы одного из условий x + T е D (f), x - T е D (f) и f (x + T) = f (x).

Пример 3.7. Докажем, что функция f (x) = cos x2 не является периодической. Будем рассуждать от противного. Предположим, что функция f ( x) = cos x2 периодическая T > 0 . Тогда по определению периодической функции должно выполняться равенство

.2 2 .2 2 (x + T)2 + x2 (x + T)2 -x2

cos (x + T) = cos x . Т.к. cos (x + T) - cos x = 0, - 2sm^-----^-------sm^-----^-----= 0, то

найдется целое число k, что x2 + 2Tx + T2 ± x2 = pk . Но это тождество не выполняется, так как слева стоит непрерывная, а справа дискретная. □

Пример 3.8. Докажем, что функция f (x) = sin— не периодическая. Имеем

D (y) = (-¥;0)и(0; +<»). Ясно, что для любого положительного числа Т имеет

-T е D (f). Но найдется значение x = T, что -T + T = 0 е D (f). Это значит, что данная функция не периодическая. □

Пример 3.9. Доказать, что функция f (x) = x3 не периодическая. Для любого числа

T > 0 имеют x± Tе D (f ) = R. Пусть x = 0. Тогда f (x + T) = f (T) = T3 > 0 и

f ( x) = f (0) = 03 = 0 получили противоречие, так как f (x + T )* f (x). □

Пример 3.10. Доказать, что функция f (x ) = x + sin x не периодическая. Предположим от противного, что данная функция периодическая с периодом T > 0 . Так как D ( f) = R , то для любого x верно, что x ± T е D (f). Теперь рассмотрим равенство

f (x + T) = f (x). f (x + T) = f (x) ^ (x + T) + sin (x + T) = x + sin x ^

sin x - sin (x - T) = T ^ -2sinT • cos| x+T | = T^cos| x+T | = T

2 I 2 і I 2 і • Т

2 ^ 2 ' ^ 2 ' 2яп-

2

Однако данное равенство не выполняется для любого х, так как справа стоит постоянное число, а слева непостоянное. Следовательно, данная функция не является периодической. □

4. Формула разложения дроби вида---------1----Ь... Ь—;------

1-2 2 • 3 п (п +1)

В курсе математики не только элементарной, но и высшей часто приходится находить

1 1 1

сумму рациональных дробей таких, как---------I---Ь... Ь—;---- .

1-2 2-3 п (п +1)

Ясно, что основным способом нахождения суммы дробей вышеуказанного вида является представление каждой дроби суммы в виде суммы простейших дробей, т.е в виде суммы А

дробей вида ------. Здесь мы будем рассматривать вопрос, как представить рациональную

х - а

дробь, в знаменателе которой стоит произведение чисел, образующих арифметическую прогрессию, в виде суммы простейших дробей.

Воспользуемся методом математической индукции.

1 1 (1 1 ^

1. Ясно, что

k (k + d) d ^ k k + d )

„ w ^ 1 ABC

2. Дробь может быть представлена в виде — -—- = —\-+ -

к (к + d)(к + 2d) к к + d к + 2d

Коэффициенты А, В и С можно определить по следующему. Правую часть равенства приводят к общему знаменателю и затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях к у многочленов в числителях обоих частей получившегося равенства.

В итоге получим систему уравнений с неизвестными коэффициентами. Этот метод нахождения коэффициентов называется методом неопределенных коэффициентов.

По этому правилу находим коэффициенты А, В и С. Из равенства

1 = А (к2 + 3dk + 2d2) + В (к2 + 2dк) + С (к2 + dk) получим

2 1

k2 A + B + C = 0 A =

2d2

к 3 Ad + 2 Bd + Cd = 0 =? В = —\

d2

к0 2Аё2=1

Таким образом,

3. Далее

С =

1

2ё2 1 (1

21 + -

к(к + ё)(к + 2ё) 2ё2 Ук к + ё к + 2ё)

А

= — + -

В

С

в

к (к + ё)(к + 2ё)(к + 3ё) к к + ё к + 2ё к + 3ё

и решая методом не-

определенных коэффициентов, получим А =

6ё3 ’

3 3

В = —^т, С = 3

6ё3

6ё3

В = —

6ё3

. По-

этому

1

33

к(к + d)(к + 2d)(к + 3d) 6d3 ^к к + d к + 2d к + 3dу

Запишем полученные результаты в виде

1.

2.

3.

1

А ^,0

С0 С

у к к + ё )

___________=

к (к + ё) 1! ё

__________1__________=________

к (к + ё )(к + 2ё) 2!ё2

1

1 Л

1

0

С0 С1

С

- + "

у к к + ё к + 2ё )

( С0 С1

к (к + d )(к + 2d )(к + 3d) 3! d3

Следовательно, в общем случае 1

С2

С

3 Л

■ + -

у к к + ё к + 2ё к + 3ё )

1

0

к (к + ё )(к + 2ё) ...(к + пё) п!ёп

С0 С1

С

—---------— +--------п-----... + (-1)

к к + ё к + 2ё

Сп

к + пё

)

Будем доказывать утверждение с помощью индукции по п, т.е. докажем при п +1, что

1

к (к + ё)(к + 2ё)...(к + (п +1) ё)

(С0

Сп+1

(п + 1)!ёп

С1 ^ „і

- + -

С2

к к + ё к + 2ё

...+(-1)

П+1

С

п+1

к + (п +1) ё

Действительно,

к( к+ё) (к+2ё)... (к+(п+1) ё)

(п+1) ё

к (к+ё)(к + 2ё)... (к+пё) к (к+ё)(к + 2ё)...(к + (п+1) ё)

(п+1) ё

х

х

1 (с а +_с_-...+(-1)п сп

к к+ё к+2ё

к+пё

)

(п+1)!ёп+1

СО С С2

Сп+1 — Сп+1 + Сп+1 _

к к+ё к+2ё

...+(-1)

/"п¥\ п+1 Сп+1

к+(п+1) ё

(

(п + 1)!ёп+1

С

п+1

к

а0+с:++а+с2 —...+(—1)Я

С

к+ё

к + 2ё

к + (п +1) ё

1

1

1

1

1

п

1

1

1

1

1

1

1

0

1

к (к + ё)(к + 2ё)... (к + (п +1) ё)

(п + 1)!ёп

С0

С1

-+-

С2

к к + ё к + 2ё

.. + (-1)

п+1

С

п+1

к + (п +1) ё

С к . /^тк+1 /^гк+1 /-

п + Сп = Сп+1, что и требовалось доказать.

Например, найдем сумму

1

- + -

1

- +... + -

1

1-5 • 8 5 • 8-11 п (п + 3)( п + 6)'

Так как по условию задачи к = 2, ё = 3 по доказанной формуле имеем

1

1

п (п + 3)( п + 6) 2!32

{ С 0

2

п

С1 С

2

(12 112 112 1

х|------+-+------+—+-----+—+... +

1 2 5 8 5 8 11 8 11 14

и 1-2 1 1-2 2. 1 -_2 2.

181 2 5 + 8 + 5 8 +11 + 8 11 +14

+

п + 3 п + 6 J

1 2 +

п-6 3 - п

1 2

+—

1 ( 1

2

- + -

1

1

п - 6 п - 3 п п - 3 п2 + 9п + 8 1 п2 + 9п + 8

18 ^ п п + 3 п + 6

1 1 V 1

--1----

п п - 3

11 + —

п

18 Х

2

-----+

п п+3

1

+------

п п+3 п+6

21 -+-

2 1 1 — +-----+ —

п п + 3 п

21 -+-

п + 3 п + 6,

6 10(п + 3)(п + 6) 60 п2 + 9п +18'

Заключение

Таким образом, рассмотрен достаточно широкий спектр задач анализа курса высшей математики. Материал данной статьи может быть полезен при изучении дисциплин математического профиля в курсах высшей математики и в средней школе.

1

1

1