Некоторые задачи экономико-математического моделирования1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 ЭКОНОМИКА Вып. 2(5)

РАЗДЕЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ

УДК 517.9: 338.24

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ1

В.П. Максимов, д. физ.-мат. наук, проф. кафедры информационных систем и математических методов в экономике Д.А. Поносов, аспирант кафедры информационных систем и математических методов в экономике А.Л. Чадов, аспирант кафедры информационных систем и математических методов в экономике

ГОУВПО «Пермский государственный университет», 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 Электронный адрес: [email protected]

Рассматриваются некоторые задачи экономико-математического моделирования - задачи управления и задачи корректной разрешимости для динамических моделей в виде систем с запаздыванием - как для непрерывного, так и для дискретного времени. Для систем с непрерывным временем рассматривается влияние последействия в канале управления на общие затраты по целевому управлению системой. Для систем с дискретным временем рассматривается возможность коррекции противоречивых задач динамического планирования на основе подхода, предложенного для статических моделей акад. И.И. Ереминым.

Ключевые слова: экономико-математические модели; системы с последействием; задачи управления.

1. Введение

Исследование задач управления

конкретными социально-экономическими

системами (регион, крупное предприятие, коммерческая структура, отрасль и т.п.) предполагает наличие специального

модельного, математического и компьютерного инструментария. Подходы, использующие

адекватные экономико-математические модели и современные методы их исследования (см., например, [1,6]), дают возможность найти пути и методы достижения целей, сбалансировать цели и средства их достижения.

Напомним необходимую для дальнейшего постановку классической задачи управления для системы с непрерывным

временем. Для дифференциальной системы (Lx)(t) = x(t) + A(t)x(t) = F(t)u(t) + f (t), t e [0, T] требуется найти управление u , переводящее

систему из заданного начального состояния х(0) = а в заданное конечное состояние х(Т) = ¡3. Задачам управления для обыкновенных дифференциальных систем и систем с запаздыванием посвящена обширная литература (см., например, [2] и приводимый там библиографический список). В экономической динамике возникает более общая задача управления, в которой цель управления задается системой линейных функционалов, а динамика описывается функционально-дифференциальными уравнениями [5].

Сначала мы приводим необходимые сведения из теории функциональнодифференциальных уравнений (ФДУ) и формулируем условия разрешимости общей задачи управления. На основе этих результатов предлагаются соотношения для оценки влияния

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, РФФИ №10-01-96054, и компании «Прогноз».

© Максимов В.П., Поносов Д.А., Чадов А.Л., 2010

запаздывания в канале управления на величину ресурса управления, необходимого для решения поставленной задачи.

Для систем с дискретным временем рассматривается возможность коррекции противоречивых задач динамического планирования на основе подхода, предложенного для статистических моделей акад. И.И.Ереминым.

2. Предварительные сведения

Пусть D и B - банаховы пространства и D изоморфно прямому произведению B х Rn.

Уравнение

£х = f (1)

с линейным ограниченным оператором £: D ^ Б называется линейным абстрактным функционально-дифференциальным уравнением (АФДУ). Теория уравнения (1) систематически изложена в [1,6,7]. Зафиксируем изоморфизм 3 = {Л,Г}:БхRn ^D и

обозначим через 3 -1 = [д, г ] обратного

оператора. Здесь Л: Б ^ D, Г: Rn ^ D и

д: D ^ Б, г: D ^ Rn - соответствующие

компоненты операторов 3 и 3 1:

3{г,а} = Л + Гає D, 7 є Б, а є Яп,

3_1х = {дх, гх} є Б х Яп, х є D . Система

дх = г, гх = а (2)

называется главной краевой задачей. Таким образом, для любого {г, а} є Б х Rn

х = Лг + У а (3)

является решением системы (2). Равенство (3) дает представление оператора £ :

£х = £( Лz + Га) = Qz + Аа,

где так называемая главная часть оператора £ ,

- оператор Q: Б ^ Б и конечномерный

оператор А : Rn ^ Б определены равенства-ми Q = £Л и А = £Г . В рамках общей теории уравнения (1) оператор Q предполагается фредгольмовым (представимым в виде суммы компактного и обратимого операторов).

Рассмотрим общую краевую задачу

£х = /, £х = р (4)

с линейным ограниченным вектор-функционалом £ = : £> —. Крае-

задача (4) как объект исследования находится в центре внимания общей теории АФДУ. В случае, когда N = п и задача (4) однозначно разрешима для любого {/, р} є Б х Яп,

справедливо представление ее решения в виде

х = О/ + X р. (5)

Оператор О: Б ^ Б называется оператором Грина, оператор X: Яп ^ Б, -

фундаментальным вектором. Пусть главная краевая задача

£х = /, гх = а (6)

однозначно разрешима. В таком случае, обозначая через О оператор Грина этой задачи, имеем представление

х = О/ + Ха (7)

общего решения уравнения £х = /, считая, что а - произвольный элемент пространства Яп . Из представления (7) следует, что однозначная разрешимость задачи (4) эквивалентна однозначной разрешимости алгебраической системы £Х а = ¡3 - Юг/. Таким образом, краевая задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда обратима матрица IX.

Рассмотрим абстрактную задачу управления

£х = Уи + /, гх = а, 1х = р, (8)

где управление и принадлежит гильбертову пространству Н, У: Н ^ Б - линейный ограниченный оператор, £ = \£1,...,£м\- целевой вектор-функционал, определяющий цель управления: £х = ¡3. Приведем здесь теорему о разрешимости задачи (8).

Определим линейный ограниченный функционал Я,: Н ^ Я, і = 1,...,N, равенством Яіи = £ ¡ОгУи . Очевидно, что можно представить этот функционал в виде скалярного произведения: Яіи = (/,,и), где /і¡є Н -элемент, порождающий Я і: Н ^ Я.

ТЕОРЕМА 1 ([6]). Задача управления (8) разрешима для любых

/ є Б, а є Яп , р є Ям тогда и только тогда, когда обратима матрица

М ={^' ■ ))і,,=1 N

N

Управление и 0 =1 Г і/і, і=і

где со1{у15..., у=М~Х\Р-£Ог/~£Ха\, решает задачу (8).

В качестве основной реализации пространства Б мы будем рассматривать пространство Б = АС - пространство

абсолютно непрерывных функций

х :[0,Т] ^ Яп . В этом случае имеем:

х(7) = £ х(.\)с1\ + х(0), В = Ь -пространство суммируемых по Лебегу функций

ГТ

z :[0,Т] ^Я" ,||7||, = |0||2(^)||Л,ЙУ>

(Лг)(/) = | г(ь')сЬ', 7 =Е,дх = х,гх = х(0).

Здесь и всюду ниже Е - единичная матрица. Изоморфизм между пространством АС и

прямым произведением Ь х Я" играет основополагающую роль в теории функционально-дифференциальных уравнений и дает возможность сводить задачи в пространстве АС к задачам в пространстве Ь . Систематическое изложение теории краевых задач и задач управления в пространстве АС дано в [1].

Рассмотрим функционально-дифференциальную систему

(£х)(О = /(О, I е [0,Т], (9)

где £ : АС ^ Ь - линейный ограниченный оператор с главной частью вида

= z(t) — ¡К(/, 5)z(s)ds.

Здесь элементы к4 ($, 5) ядра К(/, 5) измеримы на множестве {(/, 5): 0 < 5 < t < Т} и таковы, что на этом множестве

| к^ (^5) | < К^), 1,]' = 1,...,",

где функция к(-) суммируема на [0,Т ]. Заметим, что системы вида (9) охватывают многие классы динамических моделей, включая дифференциальные системы с сосредоточенным и/или распределенным запаздыванием и интегро-дифференциальные системы.

Пространство всех решений однородной системы

(£х)(t) = 0, t е[0, Т], имеет размерность п . Пусть {х1,...,хп}- базис в этом пространстве. Матрица X = {х1,...,хп} называется

фундаментальной матрицей (будем для определенности считать, что гХ = Е). Главная краевая задача £х = /, гх = х(0) = а

однозначно разрешима при любых / е Ь, а е Я" , ее решение представимо в виде t

х(7) = X (t)а + ¡ C(t, 5) / (s)ds, (10)

0

где С(^ 5) - матрица Коши.

Пусть I: АС ^ Ям - линейный ограниченный вектор-функционал. Имеет место

£х = Уи + /, х(0) = а, £х = р.

представление £х =

1

£х = ^ Ф(5)х(5^ + Тх(0),

где

элементы измеримой N х п - матрицы Ф ограничены в существенном, а Т -

N х п — матрица с вещественными элементами.

Рассмотрим задачу управления

(11)

Здесь

линейный

ограниченный оператор, Ь - пространство суммируемых с квадратом функций и :[0,Т] ^ Яг , в котором скалярное

определено равенством

произведение

т

I

(и,у) = ^и1 (ґ)у(ґ) dt, где

сим-

вол

о

транспонирования. В задаче (11) цель управления задается вектор-функционалом

I: АС ^ ЯN, который на траектории системы £х = Уи + / под действием управления должен принимать заданное значение р. Критерий разрешимости такой задачи управления дает приводимая ниже теорема. Для ее формулировки введем обозначения:

Т

0(5) = Ф(5) +|Ф(#)С^ (£ S)d#,

г = | [У *©]( s)[У *©]х ^№,

о

^Ж у Ж у Ж Ч_/

: Ь ^ Ь2 - оператор, сопряженный

к У .

ТЕОРЕМА 2 ([6]). Задача управления (11) разрешима тогда и только тогда, когда линейная алгебраическая система

т

W -у = р-^ 0(5) / -Т-а (12)

о

разрешима относительно N -вектора у. Каждое решение у0 системы (12)

определяет управление, решающее задачу (11): и(0 = [У *0]Х (0 -у,. (13)

3. Зависимость управляющей программы от запаздывания

Опишем зависимость управления и расходов на него (по норме пространства Ь2) от запаздывания для случая классической задачи управления (перевод из начального состояния х(0) = 0 в конечное состояние х(Т) = р), считая запаздывание Т в цепи управления постоянным:

Ьж = Е и; х(0) = 0; х(Т) = р, (14)

где (Е и)^) = Е(0(Ти)(0,

т т) = Н-Т),t є[Т,т],

1 0, t є[0,т].

Для задачи (14) матрица 0(5) = С(Т, 5), и для построения управления (13) остается

0

найти сопряженный оператор Е : Ь ^ Ь2.

Используя равенство

Т Т

|г1 (^(і)и^ - т^ = |Х[0,т-т](5)[г1 (5 + т>Р(5 + т)]и(^,

т 0

получаем

(Е *г)(5) = ^[0,т-т] (5)^1 (5 + т)г(5 + т).

Отсюда для «матрицы управления»

Ш = Ш (т) имеем представление

т

Ш =| 4г_Г]0)С(т, 5 + Т)Р (5 + Т)^1 (5 + т)С 1 (т, 5 + Т^ =

0

т-Т

= | С(т, 5 + Т^+ т)^1 (5 + т)С 1 (т, 5 + Т^5.

0

Таким образом, задача (14) разрешима для всех таких тє[0,т ], что ёеШ(т) * 0 . Управляющая программа определяется равенством (13):

¡F1 (t + т)С 1 (т, t + т)Ш- (т)р, t є [0, т - т];

[ 0, t є (т — т,т].

«Расходы на управление» £(т) , как функцию параметра т , оцениваемые по норме пространства 32, можно вычислить:

J (s + г) J (s + r)es+

2(s+г-3)

Г (г) = f .

О ^ J(s + r)es+г e

3-г^ 0 0

0 e2( s+r-3)

-3

ds +

+ О І _ о,.,- І ds =

uT (t) =

S (г) = ||ur 11 = ^| u ^ (t)u (t )dt

Очевидно, характер этой зависимости определяется конкретными особенностями системы управления - матрицей Коши C(t, s), матрицей F (t) и целевыми значениями

компонент требуемого финального состояния

Р.

4. Иллюстрирующий пример

Рассмотрим систему управления с запаздыванием по состоянию и по управлению

xl(t) = x1(t-\y,

x2(t) =-x2(t)+u(t-т), te [0,3];

X(0) = 0; х2(0) = 0; х(3) = Р; х2(3) = Р;

х2 (£) = 0, и(£) = 0, если < 0.

Для этого случая имеем F(t) = col (0,1), r = 1, матрица Коши определяется равенством [7]

( t Л

C(ts)= 1 í^[i,3](^[0,í-i](s)exP(1 -^ + s)d%

v 0 exp(s -1) ,

Вычисляя интеграл, определяющий элемент c12 (t, s), для J(s) = c12 (3, s) получаем

Í1 -es-2, s e [0,2], 0, s e (2,3].

J (s) =

2-г

I 3

— г + 2ег 2 — e 2 2

1 -її 2г-5

— e + — e 22

-[1 - є2(г-3)]

2 у

ur (t) = (0,1)

1

J(t + г) et+T 3 у 4 \р2 Приведем точное описание S2 (г) для

Р = р = 4:

S 2(г) = 18(—10 + 14г - l0гe2'~6 + 6e~

-4e

- 3e

-28e'-2 - 9e2'-4 + 2e- + 16e2'-5 + 6e2'-6 + 4e'-5 - 4є_1г-

+8re - e4'-8 + 16e г + 4e

-4г2 + 20e’-3 + 8e -

-4e г - 12e -9 - 8

. ло 3г-8 . л 2 2

+28e +4г e

- le-2г -

-8те3г-8)/(-9 + 12г- 3lгe2'-6 + 6e~2 + He41-10 - ^e'"-12 --l4e'-2 - 10e2t-4 + 28є2г-6 - e-' - 10e2t-8 - 4г2є4г-12 --4є2г-4г - 8e3t-10 - 16e61-16 - e41-8 - 40e51-14 + 16e'-2г --4г2 + 8e3t-6 + 8e1-4 + l0e4'-12г + 4є4г-10г + 4гє2'-8 + +64e31-8 + 16гє5г-14 + 8г1є2т-6 - 4є_2г - 8e51-12 - 32гє3г-8) Вид зависимости S (г) представлен на рис. 1.

Рис. 1.

Заметим, что в точке т0 є [2,390; 2,391] detW (т0 ) = 0 и задача управления решения не имеет.

5. Система с дискретным временем

При экономико-математическом

моделиро-вании динамические модели с дискретным временем часто возникают как

2-г

22e - 2e - 2e -9 + 8те - e2t-8 - 4є2г-4г + 4e31-10

1/2

8єг-3г - He'-4 + 2є4г-12г + le4'-10г + 4e г + 4є4г-11г

результат эконометрического моделирования на базе реальной статистической информации.

Рассмотрим неавтономную систему

t

х^ + 1) = £ A(t, і)х(і) + / ^ + 1), t = 0, ...,т -1,

і=0

(15)

где x(t) є Яп, t = 0,...,т, Аі) - пхп-

матрицы.

Данная система, дополненная начальными условиями х(0) = а, имеет

единственное решение. В частном случае А(^ і) = А (і) Vt коэффициенты системы (15) могут быть результатом стандартных процедур эконометрического моделирования.

В составе экономико-математической модели система (15) учитывает лишь

динамические связи переменных, не включая в себя статические ограничения, такие, например, как балансовые ограничения.

Добавление в модель даже линейных статических ограничений вида

Бх < d, (16)

где Б - матрица размерности т х пт, d -

вектор-столбец размерности т, а

х = со/(хг (0),/ (і),...,*7(Г)), может

привести к тому, что система (15)-(16) окажется несовместной.

В этом случае возникает задача коррекции построенной модели.

Систематическая теория таких задач изложена в [3,4]. Одной из причин корректировки может служить тот факт, что коэффициентами системы (15), построенной в результате эконометрического моделирования, являются не точные фактические коэффициенты, а их оценки, полученные по статистической информации. Поэтому задачу коррекции можно поставить в форме отыскания таких поправок И к данным коэффициентам, которые приведут к совместности системы (15)-(16) в целом. При этом имеет смысл следить за тем, чтобы измененные коэффициенты попали в доверительные интервалы, построенные для фактических значений коэффициентов модели по исходным оценкам.

Коррекцию ограничений (16) можно проводить также в виде введения штрафа за их нарушение.

Приведем систему (15) к виду, удобному для коррекции, - запишем ее в виде: х = Рх + Р, (17)

где

Р =

( Е

п

А ( 0,0)

А О,0)

0

0

А (и)

0 0 ^

00

00

А(Т-1,0) Л(Г-1,1) ... А(Т-1,Т-1) 0

( \

0,...,0,/г(1(г)

V п

Введя обозначение

( Еп(т+1) Р) Е - Е п п 0 0 0 0 Л

- А (0,0) Еп 0 0 0

-А (1,0) - А(1,1) Еп 0 0

-А(Т-1,0) -А(Т-1,1) ... -А (Т-1,7-1) Е„ запишем (17) в виде

Кх = Р. (18)

В результате приходим к системе (18),(16), для которой в качестве коррекции может быть применен метод параметризации, разработанный И.И. Ереминым и

А.А. Ватолиным [3,4]. Параметризованная система, соответствующая системе (18),(16), запишется в следующем виде:

|( К + И,) х = Р — Р1

[(В + И2 ) х < d - Р2 ’

(19)

™ я,=М,™ •

Р\ ~ С°1 {р\,пТ+\ 7 7 ^иГ,иГ+1) 7

Н2 = {^,г}>7 =иГ + 1,...,иГ + да,/

Р 2 = Со1 {Ь-пТ+\,пТ+\т • ■^пТ+т,пТ+\)'

Количество параметров системы (19) составит (пТ + т)(пТ +1). Так как для системы

(16) коэффициенты матрицы В строго определены, коррекцию, как уже говорилось выше, можно проводить лишь в форме штрафов за отклонения от выполнения ограничений, т.е. корректируя параметры Р2 , при этом матрица

И будет нулевой. В силу специфического вида

матрицы К число параметров будет совпадать с

общим числом элементов матриц А ^1) .

Таким образом, вектор параметров к рассматриваемой модели будет иметь

(Т + 1)Т 2 размерность т + -—— п .

Для системы (19) ставится следующая задача аппроксимации:

inf |Ф(^)\h е М n S}, где S -

допустимое множество параметров, М -множество параметров, для которых параметризованная система (19) имеет решение, Ф^) - функция качества аппроксимации.

Решение этой задачи дает оптимальный с точки зрения критерия Ф^) вектор коррекции h.

Список литературы

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П.,

Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

2. Андреева Е.А., Колмановский В.Б.,

Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. 240c.

3. Ватолин А.А. О симметрической

аппроксимации несобственных задач линейного программирования // Несобственные задачи оптимизации. Свердловск, 1982. С. 67-74.

4. Еремин И.И. Противоречивые модели оптимального планирования. М.: Наука, 1988.

5. Максимов В.П., Румянцев А.Н. Краевые задачи и задачи импульсного управления в экономической динамике. Конструктивное исследование // Известия вузов. Математика. 1993. № 5. С. 56-71.

6. Azbelev N.V., Maksimov V.P., Rakhmatullina L.F. Introduction to the theory of functional differential equations: methods and applications. N. Y: Hindawi Publishing Corporation, 2007. 314p.

7. Azbelev N.V., Rakhmatullina L.F. Theory of linear abstract functional differential equations and applications // Memoirs on Diff. Equations and Math. Phys. 1996.V. 8. P. 1-102.

8. Maksimov V.P. Theory of functional

differential equations and some problems in economic dynamics // Proceedings of the Conference on Differential and Difference

Equations and Applications. N. Y: Hindawi Publishing Corporation. 2006. P. 74-82.

9. Maksimov V.P. On the property of

controllability with respect to a family of linear functionals // Functional Differential Equations. 2009. V. 16 (dedicated to the memory of Michael Drakhlin), № 3. P. 517-527.