CC BY
16
II УДК621.316.925
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРИМЕНЕНИЯ ВРЕМЕННЫХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ ОПИСАНИИ РЕЛЕЙНЫХ СХЕМ
¡¡¡I В. А. Бороденко
Павлодарский государственный университет ¡II им. С. Торайгырова
Релетк цурылгьыарды талдау жэне жасау кезтде уакыттьщ бульдЫ 1111 функцияларды лайдаланудыц ерекшел '1ктер1 царастырылады.
Рассматриваются особенности применения временных булевых ¡II функций при анализе и синтезе релейных устройств.
Features of Timing Boolean Functions application in relay circuit de-llll sign are considered.
Все переключательные схемы делятся на два класса: комбинационные устройства, результат на выходе которых в установившемся состоянии зависит только от комбинации (набора) переменных на входе, и последовательностные (автоматы с памятью, конечные автоматы), у которых на результат влияет также последовательность формирования сигналов во времени [1].
Основными математическими моделями для комбинационных устройств являются логические формулы (зависимости), структурные схемы и таблицы истинности. При синтезе и минимизации логических устройств производят равносильные преобразования формул и схем до получения заданного результата. К основным логическим функциям относят конъюнкцию (И. логическое умножение), дизъюнкцию (ИЛИ, логическое сложение) и НЕ (логическое отрицание).
Последовательностные устройства в свою очередь можно разделить на собственно последовательностные (автоматы с памятью) и временные, включающие в себя элементы задержки. Математический аппарат для описания последовательностных устройств значительно сложнее аппарата комбинационного, используются циклограммы, тактограммы, таблицы включений, переходов, состояний. Временные логические функции, используемые для описания подобных устройств, в основном учитывают наличие собственных задержек прохождения сигнала через логический элемент [2,3].
Необходимо отметить, что из-за наличия собственных задержек или неодновременности изменения сигналов на входах и омбинационные устройства ведут себя в соответствии с теорией лишь в статическом состоянии. Во время переходного процесса из-за разной длительности прохождения сигнала по участкам схемы возможно появление недопустимого состояния, которое будет зависеть от порядка прихода заданных значений переменных в данную точку Например, выражение вида у — XX, теоретически всегда равное константе О, допускает импульсный переход в 1, если прямое значение переменной х уже изменилось до уровня 1, а инверсное значение % из-за инерционности переключения еще сохраняет значение 1 - это явление называется риском (состязанием) в едюгаце. Противоположное по результату явление для высказывания у = X + X называется риском (состязанием) в нуле.
Иными словами, в переходном процессе комбинационные устройства могут вести себя, как последовательностные, даже при отсутствии специальных элементов задержки или памяти, что обязательно следует учитывать при построении схем во избежание недопустимых последствий. Законы и аксиомы алгебры логики, справедливые для комбинационных устройств в статическом состоянии, могут нарушаться или не выполняться в переходных состояниях.
Устройства релейной защиты и противоаварийной автоматики энергосистем характеризуются тем, что, с одной стороны, имеют логическую структу ру средней или даже малой сложности, с другой стороны, содержат специальные элементы задержки. Временные интервалы, формируемые последними, существенно превышают собственные физические задержки элементов и имеют разнообразное назначение (задержка появления, исчезновения сигнала, ограничение длительности и т.п.).
Поэтому для упрощения анализа и синтеза подобных схем используются специальные временные булевы функции (ВБФ), дополняющие теорию релейных устройств (ТРУ) и наиболее полно рассмотренные в [4]. Это £)' или г -задержка сигнала на появление, £) * или f - задержка сигнала на исчезновение, - ограничение длительности сигнала (длительность сигнала на выходе равна длительности воздействия, если оно снимается раньше истечения г, и меньше ее, если время существования воздействия больше /), П - память (сигнал запоминается на неограниченное время), П' - ограниченная память (сигнал сбрасывается через время
Рассмотрение аппарата ВБФ, методов анализа и синтеза устройств с их помощью приводит к выводу, что некоторые положения ТРУ [4] в части применения временных функций нуждаются в уточнении и развитии.
а) Прежде всего, укажем на отсутствие четко сформулированного краеугольного положения: особенностью временных переменных является их неспособность существовать самостоятельно - они зависимы и обязательно привязываются к некоторой независимой (опорной) переменной, отражая ее поведение во времени. С любой временной функцией (переменной) неразрывно связаны два момента, осуществляющие отметку во времени (выделение временного отрезка) - момент начала отсчета временного интервала и момент окончания отсчета (порог времени). Порог времени может быть равен нулю, стремиться к бесконечности или находиться в диапазоне 0 < Т < □.
Второй момент неразрывно связан с самой временной функцией. Если это функция задержки сигнала на появление, исчезновение, ограничения длительности или ограниченная память, то в прилагающемся к ней описании должны укалываться длительность интервала и номер (индекс) этого интервала при количестве таких интервалов больше одного. Упомянутый номер (индекс) обязательно вводится в обозначение временной переменной (функции), например, 1р отображая эту связь.
Для временной булевой функции ПАМЯТЬ, у которой порог времени всегда одинаков и находится в бесконечности, должна также отображаться связь с некоторой переменной, осуществляющей сброс запоминания (установку на нуль). Она может представлять собой как отдельную независимую переменную, так и результирующую функцию, поскольку зависимость функции от самой себя как раз свидетельствует о наличии обратной связи и способности схемы к запоминанию состояния. Отсутствие такой переменной в формуле говорит об ошибке.
Что же касается момента начала отсчета временной переменной, то он фиксируется по изменению состояния (от 0 к 1, от 1 к 0) не временной, а некоторой другой логической переменной, которую мы назовем опорной. Только с этого момента возникает сама временная переменная и начинает реализовываться временная функция.
Отсюда следует постулат 1 временная переменная всегда зависима от определенной логической переменной или логического выражения и может существовать лишь в совокупности с ними, образуя конъюнктивную форму.
Конъюнкция (конъюнктивная форма или КФ) имеет место лишь при количестве переменных более одной.
Отсюда следует постулат 2: не могут иметь места любые унарные операции с отдельно взятой временной переменной В частности, не могут использоваться операции ПОВТОРЕНИЕ У = Г или ОТРИЦАНИЕ у = }
Поскольку в дизъюнкции (дизъюнктивной форме или ДФ) остальные переменные, помимо временной, могут и отсутствовать (равняться нулю), а, значит,
шхг гт.тствовать главная (опорная) переменная, это ведет к неопределеннее-?; момента начала отсчета и неоднозначности результата высказывания, вследствие чего высказывание лишается смысла.
Отсюда следует постулат 3: не могут иметь места любые логические выражения и соответствующие преобразования, объединяющие в дизъюнктивной форме отдельно взятую временную переменную и иные переменные. Например, недопустимы преобразования, приводимые в [4], наподобие
Y = Xt = X + t = X + Di>
поскольку в последнем (предпоследнем) высказывании отсутствует указание, относительно какой переменной и какого ее значения (0 или 1) производится отсчет интервала времени.
Если опорной для временной переменной объявлена константа 1, момент начала отсчета становится неопределенным (отодвигается к бесконечности влево по оси времени), выражение теряет смысл.
Отсюда следует постулат 4: любые логические выражения и соответствующие преобразования, связывающие конъюнктивно временную переменную с константой 1. исключают временную переменную.
(х V д) Л t -1 Л t = 1,
(XV^:)Ai=lA?=l
В итоге, из 16 типовых логических функций двух и более переменных к временным переменным приложимы лишь шесть (таблица 1).
Таблица 1
Название функции Формула Название функции Формула
Конъюнкция Xt Равнозначность xt + xt
Запрет по х xt Неравнозначность xt + xt
Запрет по t xt
Стрелка Пирса xt
В отличие от остальных ВБФ, временная булева функция ПАМЯТЬ требует включения в конъюнкцию второй обязательной (опорной) переменной, осуществляющей сброс запоминания (установку на нуль).
б) В [4] провозглашено правило, что временная переменная (функция) всегда записывается за обозначением сигнала (или комбинации сигналов), указы-
вая на производимую с ним временную операцию. Представляется, что для комбинации сигналов это правило нуждается в уточнении. Так, временной оператор не относится к переменной хр хотя она и находится слева от него
Не равносильны приводимые высказывания, в каждом из которых слева от временной функции находятся три переменные х1 х2 и х3
У = хгх2х31)' * хг (х2х?рт) * хгх2 (х3И'),
поскольку в первом из них задержка выполняется для сигнала хрс^х^ во втором задержка выполняется только для сигнала х^с3, а в третьем только для сигнала ху
Не обеспечивают одинаковое выполнение временной функции и следующие высказывания
У = х}х2х3Б * ^ х:х2х3И^ * А'^хХ)'
Отсюда следует постулат 5: временная переменная (функция) всегда зависима от логического выражения, конъюнктивно связанного с ней и находящегося слева от нее, если иное не определено использованием операции, имеюгцей более высокий приоритет, нежели конъюнкция.
К указанным операциям относятся, например, как показано выше, использование скобочной формы или логического отрицания, связывающего независимые переменные наравне со скобками.
Руководствуясь постулатом 5, можно считать, что всегда временной оператор, стоящий в выражении правее, выполняется позже указанного слева от него.
Отсюда следует постулат 6: запись логических высказывают для временных устройств производится слева направо в порядке выполнения временных операций.
Вторая опорная переменная, требующаяся в записи ВБФ ПАМЯТЬ, в отличие от первой записывается обязательно после временной функции ПАМЯТЬ -в [4] предложено разделять их вертикальной чертой, не являющейся само по себе каким-либо оператором, например, в высказывании
У = хгЩх2
первой опорной переменной, по состоянию которой начинается отсчет длительности запоминания сигнала, является хр второй опорной переменной, сбрасывающей запоминание, является ху
в) К утверждению, что основные законы и аксиомы алгебры логики, а также правила минимизации остаются справедливыми и для многотактных релейных
устройств, содержащих элементы, реализующие временные операции, следует подходить осторожно. Из сформулированных выше положений вытекает, что к записям с ВБФ должны применяться некоторые ограничения, которых нет у независимых переменных.
Переместительный (коммутативный) закон.
Нельзя в логическом высказывании менять местами простые сомножители, одним из которых является ВБФ, ибо новое выражение в силу положений 5,6 не будет равносильным предыдущему. Очевидно, что второе выражение не равносильно первому и не имеет смысла, так как слева от временного оператора нет переменной
Сочетательный (ассоциативный) закон.
Нельзя к высказыванию с ВБФ при прочих операциях одного ранга произвольно применять скобочные формы, так как новое выражение может не быть равносильным предыдущему. В частности, не равносильны приводимые высказывания, поскольку во второй конъюнкции задержка относится только к переменной у, а в первой - к переменной ху
(х А у) А Б' их Л (у А
Распределительный (дистрибутивный) закон.
Справедлив для ВБФ лишь в том случае, если она образует со скобочной формой конъюнкцию. Например, равносильны высказывания
(х V у)И] = х£>г V уИ',
и не равносильны (более того, не имеют смысла по пункту а)
Закон инверсии (де Моргана).
Поскольку в каждом из равносильных преобразований закон содержит ДФ, применяться для ВБФ он не может.
Закон повторения (идемпотентности).
Закон не выполняется для ВБФ в логическом выражении
поскольку в данной КФ отсутствует опорная переменная, выражение не имеет смысла.
Закон не выполняется для ВБФ в логическом выражении
поскольку последовательно включенные задержки не эквивалентны одной, а образуют сумму задержек г + г + / + .., что равносильно записи
однако выполняется для логического выражения
(х£>!)(х£И)(х£>!) = х1)т,
в котором все задержки связаны с одной и той же логической переменной и осуществляются одновременно.
г) Из пункта б) вытекает, что недопустимыми (нереализуемыми) являются такие преобразования логических выражений, содержащих ВБФ, которые отрывают временную переменную от связанной с ней логической опорной переменной, по состоянию которой определяется порог начала отсчета временного интервала. Те же положения определяют возможность применения к ВБФ законов алгебры логики.
Сделаем обратный вывод о том, что возможны любые стандартные преобразования переключательных схем с временными элементами, если не нарушается конъюнктивная связь временной и опорных переменных.
При преобразованиях за переменную следует принимать не саму ВБФ, а совокупность (конъюнктивную форму) временной и опорной переменных. Для функции ПАМЯТЬ неразрывную совокупность образуют первая, вторая опорная переменная и ВБФ между ними. Отсюда следует, что реле времени с мгновенными замыкающим и размыкающим, а также временными импульсным и упорным контактами отображается наборами
где задержки и равны нулю, 14 - времени замкнутого состояния импульсного контакта, а х имеет индекс переменной, возбуждающей реле времени, и поглощается последней по закону повторения при записи в виде КФ, т. е.
X А х/У = хИ -
д) Следует, на наш взгляд, уточнить и положения о возможности преобразований над временными операторами одинаковой природы, но разной длительности, связанными с разными опорными переменными. Утверждается, например, что при конъюнкции сигналов с операторами задержки £)? за скобки могут выноситься операторы с наибольшим параметром
хД/ Л уО\ = (х Л у)И2 (при*2>*р.
Очевидно, что это утверждение справедливо лишь в частном случае (рисунок 1, а), когда начало отсчета интервала по обеим опорным переменным со-
впадает - тогда большая временная переменная г, поглощает меньшую I, Однако, если изменение уровней переменных х и у от 0 к 1 происходит неодновременно (рисунок 1, б), то, начиная с момента времени 12 - I, (точка Ь), задержка после последнего перехода от 0 к 1 не превышает длительности . Если изменение уровня переменной х происходит в интервале времени 0 < г < 12 — производимая задержка будет лежать в пределах г < ? < ¿„
1 Х=1 ъ ь с г Ь с х=1
X X
У=1 Т" у=1 у!>1
У У
4- /----------------' ' V 12
Рис.1
Отсюда следует уточнение: при конъюнкции сигналов с операторами задержки £)• за скобки могут выноситься операторы с наибольшим параметром только при условии одновременного изменения одноименного состояния опорных переменных (совпадения во времени момента начала отсчета по всем опорным переменным).
Аналогичный анализ утверждения, что при конъюнкции сигналов с операторами задержки £)» за скобки могут выноситься операторы с наименьшим параметром
хВ1{ л уД1 =(х л (при*г>*7),
говорит о том, что оно относится к частному случаю, когда момент начала отсчета временного интервала по всем опорным переменным совпадает (рисунок 2, а). Если же уровень переменной х изменится от 1 к 0 через время /, - и более после аналогичного изменения уровня переменной у (рисунок 2, б), то общая задержка от момента исчезновения хотя бы одного сигнала увеличится до 12 и упомянутое утверждение становится ложным. При условии, что изменение уровня переменной х происходит в интервале времени 0 < к t2 — t1, производимая задержка исчезновения сигнала будет лежать в пределах < г <
а b с а Ъ с
х=0 X L X х=в xDj
"У 1Г xDj у—о ТГ м
У
б . W2 i
Рис.2
Отсюда следует уточнение: при конъюнкции сигналов с операторами задержки jr)J за скобки могут выноситься операторы с наименьшим параметром только при условии одновременного изменения одноименного состояния опорных переменных (совпадения во времени момента начала отсчета по всем опорным переменным).
Таким образом, аппарат временных булевых функций является мощным средством упрощения и повышения эффективности процедур анализа и синтеза релейных схем, однако его применение требует четкого соблюдения определенных правил и дополнительного анализа.
ЛИТЕРАТУРА
1 Логическое проектирование дискретных автоматов (языки, методы, алгоритмы). Гаврилов М. А., Девятков В. В., Пупырев В. И. - М.. Наука, 1977 -352 с.
2 Фридман А., Менон П. Теория и проектирование переключательных схем. - Пер. с англ. - М. Мир, 1978. - 580 с.
3 Рогинский В. Н. Основы дискретной автоматики (Статика и динамика дискретных автоматов). - М. Связь, 1975 -432 с.
4 Теоретические основы построения логической части релейной защиты и автоматики энергосистем / Поляков В. Е., Жуков С. Ф., Проскурин Г М. и др. -М. Энергия, 1979 - 240 с.
