Некоторые вопросы использования математических моделей локального гравитационного поля Земли Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 528.34:629.783

Е.Г. Гиенко

СГГ А, Новосибирск

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЛОКАЛЬНОГО ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ

Под математической моделью локального гравитационного поля Земли (ГПЗ) подразумевается модель потенциала силы тяжести на ограниченном участке земной поверхности. Параметры этой модели определяются по результатам спутниковых и традиционных средств измерений в узлах хаотичной пространственной решетки, расположенных на локальном участке поверхности Земли. Зная аналитическую запись модели ГПЗ и ее параметры для локальной области, можно в произвольных точках этой области получать трансформанты локального ГПЗ. К ним относятся астрономические и геодезические широты, долготы и азимуты наземных пунктов, нормальные высоты, значения ускорения силы тяжести, а также их отклонения от соответствующих характеристик нормального поля в виде отклонений отвеса, аномалий высоты, аномалий ускорения силы тяжести и других величин. Идея данного метода изложена в [1], первые опыты его реализации и экспериментальное обоснование точности метода описаны в [2].

В настоящей публикации рассматриваются некоторые вопросы использования модели локального ГПЗ для получения нормальных высот пунктов, один из которых - в каком виде передавать информацию о модели ГПЗ потребителям? Здесь может быть несколько вариантов.

1. Аналитический вид математической модели локального ГПЗ, набор ее параметров с, ковариационная матрица параметров Кс. Высота квазигеоида над эллипсоидом □ будет получаться как функция от параметров с, причем в той же системе координат, в которой были заданы координаты (и особенно геодезические высоты!) пунктов при построении модели. Нормальные высоты Н в произвольных пунктах локальной области будут вычисляться, как

И = Н - □,

где Н - геодезические высоты этих пунктов, определенные по спутниковым измерениям.

При таком применении потребитель должен согласовывать свои спутниковые измерения с системой координат, в которой строилась модель.

2. Каталог нормальных высот пунктов геодезической сети, вычисленных по модели. Нормальные высоты не зависят от выбранного эллипсоида и системы координат спутниковой геодезической сети. Однако здесь нет возможности получения информации о квазигеоиде в произвольной точке.

3. Набор вычисленных по модели высот квазигеоида в узлах равномерной сетки (база данных) и программное обеспечение для интерполяции в произвольных точках. Аналитический вид модели

локального квазигеоида здесь знать необязательно. При таком подходе проблема согласования систем координат модели и потребителя остается.

4. Превышения квазигеоида между парами пунктов □□, вычисляемые с помощью модели локального ГПЗ. Здесь разности нормальных высот двух пунктов □ Н определятся, как

□ Н = □Н- □□ ,

где □Н- разности геодезических высот пунктов спутниковой сети.

При этом полагается, что разности □Н имеют более высокую точность, нежели сами их значения. Здесь нет большой необходимости согласовывать между собой системы координат спутниковой геодезической сети потребителя и модели. Данный вариант представляется наиболее оптимальным.

Вопросы оценки точности получаемых результатов.

Ковариационная матрица нормальных высот пунктов геодезической сети, полученных по модели локального ГПЗ, определяется выражением

Кш = Кн + К ,

где КИ, К - ковариационные матрицы геодезических высот и высот квазигеоида, соответственно.

Для разностей нормальных высот ковариационная матрица К^ш записывается, как

^□□= К^Н + К^о

где К^н Кш- ковариационные матрицы разностей геодезических высот и разностей высот квазигеоида, соответственно.

К сожалению, коммерческие программы обработки спутниковых геодезических определений не предоставляют полные ковариационные матрицы КИ, К^Н после уравнивания геодезических сетей. Для получения ковариационных матриц К^, Кш в качестве исходной информации служит ковариационная матрица параметров математической модели локального ГПЗ

Кс :

К = АКсАт, Коо= Р Ко Рт,

где А - матрица коэффициентов при параметрах модели локального ГПЗ, составленная для вычисления высот квазигеоида □,

Р - матрица соответствующих перестановок, составленная для набора пар пунктов.

В силу некоторой зависимости параметров модели на локальной области, апостериорная точность разностей высот квазигеоида должна быть несколько выше, чем точность получения непосредственно высот □.

Экспериментальное обоснование точности получения превышений квазигеоида с использованием математической модели локального ГПЗ

Математическая модель локального ГПЗ была построена по данным спутниковых измерений, геометрического нивелирования и гравиметрических измерений на пунктах Геодезического эталонного полигона СГГА (ПГЭ СГГА) [3]. Аналитический вид модели представлен в

[2]. Среднее квадратическое отклонение экспериментальных данных в узловых точках от построенной модели возмущающего потенциала первой степени разложения составляет в линейной мере величину 2 см.

По построенной модели были вычислены превышения квазигеоида □□ между целым рядом различно сориентированных пар пунктов, а также установлена зависимость величины апостериорной погрешности превышения т33 от расстояния между пунктами (см. рисунок). Как видно из рисунка, указанная зависимость аппроксимируется степенной функцией и особенно заметно проявляется на коротких расстояниях.

Рис. Зависимость величины апостериорной погрешности вычисления превышения А С, от расстояния между пунктами.

Для некоторых пар пунктов ПГЭ СГГА с известными из геометрического нивелирования нормальными высотами были получены разности нормальных высот по модели локального ГПЗ. Результаты приведены в таблице. Здесь содержатся следующие сведения для пар пунктов: классы нивелирования пунктов, разности нормальных высот, вычисленных по модели локального ГПЗ, Н3выч , и полученных из геометрического нивелирования Н3изм, апостериорные погрешности вычисленных высот квазигеоида т3 и нормальных высот тнз, расстояния между пунктами D, разности вычисленных и измеренных превышений нормальных высот □ Н3, апостериорные погрешности разностей высот квазигеоида т30 полученных по модели локального ГПЗ.

Таблица. Результаты оценки превышений нормальных высот, полученных с

помощью математической модели локального ГПЗ

Пункт i Пункт j п Разница )евышений ^

Класс нив-я (И3выч- ГГ3 \ И изм), мм тз, мм тИ3 мм Класс нив-я (И3выч- ГГ3 \ И измЛ мм тз, мм тИ3 мм о, км -, ч ,м ыз вы из ъъ 1 □ □ т3Д мм

IV 16 13 15 IV 10 11 14 10,6 +6 9

I 1 27 28 IV 16 13 15 12,7 -15 21

IV 12 31 32 I -23 23 25 14,2 +35 21

IV 10 11 14 IV 12 31 32 16,5 -2 22

I 1 27 28 IV 10 11 14 22,6 -9 25

IV 16 13 15 IV 12 31 32 26,9 +4 27

I 1 27 28 I -23 23 25 35,6 +22 25

I 1 27 28 IV 12 31 32 39,0 -12 27

По материалам таблицы можно сделать следующие выводы.

1. Экспериментально подтверждено, что апостериорные погрешности разностей высот квазигеоида тпп меньше соответствующих погрешностей высот тп .

2. Во всех случаях невязки (Н3выч - Ипизм) попадают в доверительный интервал 1,95тИп, задаваемый погрешностями измерений и модели, что говорит

о корректной оценке точности.

3. Вследствие того, что отсутствует информация о полной ковариационной матрице геодезических высот пунктов уравненной спутниковой сети КИ, строгая оценка точности разностей нормальных высот невозможна. Однако можно сказать, что все разности превышений нормальных высот (□Н3выч - □ нРизм) попадают в интервал 1,95тзл.

4. В большинстве случаев невязки превышений (□£Рвыч - □ £Ризм) по абсолютной величине меньше невязок собственно нормальных высот (Н3выч -И3изм), что подтверждает целесообразность представления информации потребителям в виде разностей нормальных высот □ Н3.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сурнин, Ю.В. Определение астрономических, гравиметрических и геодезических трансформант гравитационного поля на локальном участке земной поверхности по спутниковым и традиционным геодезическим измерениям/Сб. материалов науч. конгресса ГЕО-СИБИРЬ-2005. - Новосибирск, 2005. - С. 132 - 136.

2. Гиенко, Е.Г., Кузьмин, В.И., Сурнин, Ю.В. Некоторые результаты определения гравитационного поля на локальном участке земной поверхности по спутниковым, астрономо-геодезическим и гравиметрическим данным/ Сб. материалов науч. конгресса ГЕО-СИБИРЬ-2005. - Новосибирск, 2005. - С. 136 - 141.

3. Антонович, К.М. Эталонный пространственный полигон СГГА для поверок геодезической аппаратуры / К.М. Антонович, В.А. Середович, Ю.В. Сурнин // Современные проблемы геодезии и оптики: сб. науч. тр./51 научно-техн. конф. преподавателей СГГА. - Новосибирск: 2001. - С. 9.

© Е.Г. Гиенко, 2006