CC BY
67
УДК 530.145
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ ОТКРЫТЫМИ КВАНТОВЫМИ СИСТЕМАМИ
А. Н. Печень
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН,
119991, Москва, ул. Губкина, 8.
E-mail: apechen@gmail. com
В 'работе содержится краткий обзор некоторых вопросов неравновесной динамики и управления открытыми квантовыми системами, таких как динамика открытых квантовых систем в режимах слабой связи и малой плотности, некогерентное управление и универсальные отображения Крауса.
Ключевые слова: открытые квантовые системы, квантовое управление, некогерентное управление.
Введение. В настоящее время неравновесная динамика открытых квантовых систем является предметом активного изучения [1,2]. Точная динамика, как правило, является сложной для практических вычислений. Однако существуют физически важные режимы, в которых точная динамика аппроксимируется решениями значительно более простых уравнений. Такими режимами являются режимы слабой связи и малой плотности.
Режим слабой связи описывает квантовую систему (атом, молекулу либо наночастицу), слабо взаимодействующую с окружением (резервуаром). Формально предел слабой связи определяется как предел, при котором константа взаимодействия стремится к нулю, Л —>- 0, время стремится к бесконечности, t —> +00, притом согласованным образом, так, что A2t = const ф 0. Редуцированная (т. е. усреднённая по состоянию резервуара) динамика системы в пределе слабой связи описывается марковским мастер-уравнением [1], а динамика полной системы — квантовыми стохастическими дифференциальными уравнениями (КСДУ) [2]. Предел слабой связи, применённый к динамике полной системы, называется стохастическим пределом. В п. 2 настоящей работы обсуждаются обобщённые квантовые стохастические дифференциальные уравнения с операторами квантового мультипольного шума, описывающие поправки по Л к КСДУ в стохастическом пределе слабой связи [3,4].
Режим малой плотности в теории открытых квантовых систем описывает квантовую частицу, взаимодействующую посредством столкновений с разреженным газом малой плотности п. Формально предел малой плотности определяется как предел при п —> 0, t —> оо так, что nt = const ф 0. Марковские мастер-уравнения для редуцированной динамики были выведены с использованием иерархии уравнений Боголюбова—Борна—Грина—Кирквуда— Ивона (ББГКИ) [5], ранее применённой в методе Боголюбова к выводу кинетических уравнений для классических и квантовых газов в режимах слабой
Александр Николаевич Печень (к.ф.-м.н.), научный сотрудник, отд. математической физики.
связи и малой плотности [6]. В п. 3 настоящей работы обсуждается полная динамика системы и окружения в пределе малой плотности, которая описывается КСДУ с квантовым процессом Пуассона [7,8].
Тесно связанными с динамикой являются вопросы управления квантовыми системами [9-13]. Задачи управления открытыми квантовыми системами возникают в различных приложениях в физике и химии, таких как создание с использованием лазеров заданных атомных либо молекулярных состояний [10], лазерное охлаждение [12], управление химическими реакциями [14,15], управление электроном в квантовой точке с окружением из ядер-ных спинов [16], лазерное управление ориентацией молекул [17], квантовые вычисления с использованием смешанных состояний и неунитарной динамики [18]. В п. 4 настоящей работы обсуждается использование мастер-уравне-ний, возникающих в пределах слабой связи и малой плотности, при изучении некогерентного управления открытыми квантовыми системами [19] и создании универсальных отображений Крауса [20].
1. Открытые квантовые системы. Гильбертово пространство и гамильтониан открытой квантовой системы, взаимодействующей с окружением, имеют вид Н = Н$®Нъ и Я = Hs (8) I +1 <g> ЯЕ + Hint = Я0 + Hint, где Hs и Не — гильбертовы пространства системы и окружения, Hs и Яе — свободные гамильтонианы системы и окружения, и H[ni — гамильтониан взаимодействия системы с окружением. В данной работе начальное состояние системы и окружения предполагается имеющим вид а = ро <g> we, где ро и we — начальные состояние системы и окружения. Полный гамильтониан Я индуцирует унитарную эволюцию полной системы, которая в представлении взаимодействия определяется унитарным оператором эволюции U(t) = ег*я°е_г*я. Редуцированная динамика системы определяется как p(t) = Тге[£/(£)сг[Д(£)].
Если система не взаимодействует с окружением, то её эволюция является унитарной, p(t) = VtpoVf , где унитарный оператор V* удовлетворяет уравнению Шрёдингера Vt = —iHsVt. Описание эволюции замкнутой системы посредством уравнения Шрёдингера называется динамическим, в то время как описание её динамики как унитарного отображения — кинематическим. Эволюция открытых квантовых систем p(t) = Ф*(ро) в кинематическом описании при отсутствии начальных корреляций с окружением определяется вполне положительными сохраняющими след отображениями Ф* (отображениями Крауса) [21]. Динамическое описание открытых систем использует различные динамические мастер-уравнения для матрицы плотности [1]. Как правило, и редуцированная, и полная динамика открытой квантовой системы являются сложными для практических вычислений и не могут быть точно вычислены для реалистичных физических систем. Тем не менее существуют физически важные режимы, в которых как редуцированная, так и полная динамика приближённо описываются относительно простыми уравнениями. Два таких режима — режимы слабой связи и малой плотности обсуждаются в следующих пунктах.
2. Режим слабой связи. Режим слабой связи описывает открытые квантовые системы, слабо взаимодействующие с окружением. Типичным приме-
ром таких систем является атом, взаимодействующий с электромагнитным полем посредством гамильтониана взаимодействия вида Hmt = A[Q®a+(/) + где А — малая константа связи и а±(/) — операторы рождения и уничтожения (/ : R3 —>• С — форм-фактор, и а+(/) = //(k)a^dk, где к € М3 есть импульс фотона). Начальное состояние окружения предполагается гауссовым С двухточечной корреляционной функцией WE(flkOk) = — к'),
где Пк есть плотность фотонов с импульсом к.
Предел малой связи определяется как предел при А —> 0 и t —> +00 такой, что A2t = т = const. Редуцированная и полная динамика в пределе определяются как ро(т) = Итл-1.0 р(т/А2) и Uq{t) = Итд-^о U(t/\2), где последний предел понимается в смысле специальных корреляционных функций [2] (заметим, что оператор эволюции [/(т/А2) зависит от А не только через пере-растяжку времени, но и через наличие А в гамильтониане). Редуцированная динамика удовлетворяет мастер-уравнению вида [1]
^ ^ = ~i[HwcL, РоО")] + £wcl(poCt)), (1)
ат
где действие супероператора £wcl имеет общий вид £wcl(p) = J2i(?LipLj — — bjbip — рь\Ьг). Конкретная форма £wcl определяется гамильтонианом Н и состоянием окружения we- Полная динамика системы и окружения удовлетворяет КСДУ с квантовым белым шумом [2], которое в простейшем случае имеет вид
= VbQbUr)Uo(r) - y/bQ]Uo(T)bo(T) -loQ+QUo{r).
Здесь операторы рождения и уничтожения Ь^(т) —операторы квантового белого шума с коммутационными соотношениями
[ЬоОО^оО"')] =5(т-т'). (2)
Так как в физических приложениях константа связи А может быть мала, но отлична от нуля, то Uq{t) только приблизительно описывает точную динамику U (t). Более точная аппроксимация требует анализа старших членов (поправок А к пределу слабой связи) следующего разложения:
СО
U(t/А2) рз Uq(t) + ^ \пип(т).
71= 1
Уравнения для старших членов данного разложения получены в [3]. В эти уравнения входят операторы квантового мультипольного шума, определённые как операторнозначные обобщённые функции Ъ^{т) (к = 1,2,...) с коммутационными соотношениями
[Ыт), Ь+ (г')] = гк5к/ 5^к Т\ (3)
Особенностью данных соотношений является наличие производных дельтафункции. В результате операторы 2#г-польного квантового шума для нечётных к являются операторами в псевдогильбертовых пространствах, а именно в пространствах Фока с индефинитной метрикой [4]. Обобщённые КСДУ, описывающие поправки к стохастическому пределу, включают квантовый муль-типольный шум. В частности, уравнение для первой поправки в простейшем случае имеет вид [3]
= VbQbUr)Ui(r) - ^ГоО]и1{т)Ъо{т)-ЪО^Яи1{т) +
+ VbQbt (t)Uo(t) - у/ъЯ]и0{т)Ъ1{т).
Решением этого уравнения является
U\(т) = U0(t) [ dr'lQrtbl(V) - Ql,bi(r')\,
Jo
где QT = IJq{t){Q <g> I)U0(t).
3. Режим малой плотности. Режим малой плотности описывает системы, взаимодействующие с разреженным газом посредством столкновений. Типичный гамильтониан для этого режима имеет вид
tfi„t = Q ® a+(f)a~(g) + Q] <g> a+(g)a~(f).
Взаимодействие может быть сильным. Начальное состояние газа we предполагается гауссовым с двухточечной корреляционной функцией шЕ(а^а^,) = = £Пк^(к — к;), где е ^ 0 — малое число и en^ — плотность частиц газа с импульсом к € R3. Предел малой плотности определяется как е —> +0 и t —> +оо так, что et = т = const.
Мастер-уравнение для редуцированной матрицы плотности системы в пределе малой плотности имеет общий вид
^ ^ = -i[HLDL, Ро(т)\ + ^ldl(Po('t)) (4)
с супероператором £ldl специального вида, зависящим от матрицы рассеяния S для столкновений системы с одной частицей газа [5].
Теорема [8]. Полная динамика системы и окружения в пределе малой плотности удовлетворяет КСДУ
Щ)(т) = dNT{S - I)U0(t),
где dNT — квантовый процесс Пуассона интенсивности 5 — 1.
4. Некогерентное управление. В данном пункте рассматриваются некоторые вопросы управления открытыми квантовыми системами. В динамическом описании эволюция управляемой открытой квантовой системы в режимах слабой связи и малой плотности определяется мастер-уравнениями вида (1) и (4), где H^GL LDL и £wcl ldl зависят от управления с как от параметра. Существуют два типа управления. Когерентное управление, обозначаемое как с = u(t), влияет на гамильтоновы аспекты динамики, т. е. определяет H^CL и i?LDl> и стремится сохранить квантовую когерентность в системе. Примером когерентного управления является поле лазера. Некогерентное управление с = Пк влияет на негамильтоновы аспекты динамики, т. е. на £wcl и £ldl> и> как пРавило) стремится разрушить квантовую когерентность [19]. Физическим примером некогерентного управления является некогерентное излучение, ДЛЯ которого Пк — плотность числа фотонов с импульсом к. В кинематическом описании эволюция открытой квантовой системы под действием управления с определяется семейством отображений Крауса Ф*, так что p(t) = Ф*(ро). Два широких класса задач управления квантовыми системами формулируются как задачи минимизации функционалов видов Ji[c] = Тг[р(Т)0] и 7г[с] = ||р(Т) — ptargetll) где Т > 0 — заданное время окончания управления и р(Т) = Ф^Г(ро).
В работе [20] были построены отображения Крауса типа «все-в-одно» (т.н. универсальные отображения Крауса), переводящие все состояния системы (с любой матрицей плотности) в одно и то же конечное состояние. Универсальное отображение Крауса, переводящее все ро в одно и то же pf, обозначим как Фр{. Пусть с* — оптимальное управление, минимизирующее J\ [с] или 7г[с], и пусть р* = Ф^*(ро). Если Ф^* = Ф^* — универсальное отображение Крауса, то управление с* будет оптимальным сразу для всех ро. Данное свойство определяет важность универсальных отображений Крауса. Открытым оставался вопрос генерации произвольных универсальных отображений Крауса в реальных физических системах. Для решения этой задачи применительно к квантовым системам, слабо взаимодействующим с некогерентным излучением (в пределе слабой связи), автором разработана методика, в которой используется специальная комбинация некогерентного управления 71к, определяющего и когерентного управления u(t), определяющего
НщСЬ. При широких предположениях на H^GL и £$cl показано, что любое универсальное отображение Крауса может быть приближённо создано определённой комбинацией некогерентного п£ и когерентного u*(t) управлений. При этом построение универсального отображения Крауса ФР!, где Pf = {ФА-, происходит в два этапа. Сначала посредством некоторого
некогерентного управления п£ произвольное ро переводится в матрицу плотности pf = ^2iPi\i){i\, где |г)—собственные векторы Hs- Затем с помощью определённого когерентного управления u*(t) реализуется унитарная динамика, переводящая |г) в |ф±) и, соответственно, /5f в pf. При этом произвольное начальное состояние ро переводится в заданное конечное состояние pf.
Заключение. Таким образом, в работе рассмотрены некоторые вопросы неравновесной динамики и управления открытыми квантовыми системами.
В режиме слабой связи полная динамика системы и окружения описывается уравнениями с квантовым мультипольным шумом, в режиме малой плотности — квантовым стохастическим дифференциальным уравнением с квантовым процессом Пуассона. Рассмотрено некогерентное управление открытыми квантовыми системами и его применение к генерации универсальных отображений Крауса.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11-01-00828-а) и гранта президента РФ (НШ-7675.2010.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Breuer Н.-Р., Petruccione F. The theory of open quantum systems. Oxford: Oxford University Press, 2002. 648 pp.; русск. пер.: Бройер Х.-П., Петруччионе Ф. Теория открытых квантовых систем. Ижевск: РХД, 2010. 824 с.
2. Accardi L., Lu Y. С., Volovich I. V. Quantum theory and its stochastic limit. Berlin: Sprin-ger-Verlag, 2002. 473 pp.
3. Pechen A. N., Volovich I. V. Quantum multipole noise and generalized quantum stochastic equations// Infin. Dimens. Anal. Quantum, Probab. Relat. Top., 2002. Vol. 5, no. 4. Pp. 441-464, arXiv: math-ph/0202046.
4. Печень A. H. Об одном асимптотическом разложении в квантовой теории // Матем. заметки, 2004. Т. 75, №3. С. 459-461; англ. пер.: Pechen’ А. N. On an asymptotic expansion in quantum theory // Math. Notes, 2004. Vol. 75, no. 3. Pp. 426-429.
5. Diimcke R. The low density limit for an Ж-level system interacting with a free Bose or Fermi gas// Comm. Math. Phys., 1985. Vol. 97, no. 3. Pp. 331-359.
6. Боголюбов H. H. Собрание научных трудов в двенадцати томах. Т. 5: Неравновесная статистическая механика, 1939-1980. М.: Наука, 2006. 804 с. [Bogolyubov N. N. Collection of scientific works in twelve volumes. Vol. 5: Nonequilibrium Statistical Mechanics. Moscow: Nauka, 2006. 804 pp.]
7. Accardi L., Pechen A.N., Volovich I. V. A stochastic golden rule and quantum Langevin equation for the low density limit // Infin. Dimens. Anal. Quantum, Probab. Relat. Top., 2003. Vol. 6, no. 3. Pp. 431-453, arXiv: math-ph/0206032.
8. Pechen A. N. Quantum stochastic equation for a test particle interacting with a dilute Bose gas// J. Math. Phys., 2004. Vol. 45, no. 1. Pp. 400-417, arXiv:math-ph/0303020.
9. Бутковский А. Г., Самойленко Ю. И. Управление квантовомеханическими процессами. М.: Наука, 1984. 256 с. [Butkovskiy A. С., Samoylenko Yu. I. Control of quantum mechanical processes. Moscow: Nauka, 1984. 256 pp.]
10. Rice S. A., Zhao M. Optical control of molecular dynamics. New York: Wiley, 2000. 437 pp.
11. Brumer P. W., Shapiro M. Principles of the quantum control of molecular processes. Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 2003. 354 pp.
12. Letokhov V S. Laser control of atoms and molecules. Oxford, New York: Oxford University Press, 2007. 310 pp.
13. Brif C., Chakrabarii R., Rabitz H. Control of quantum phenomena: past, present and future// New Journal of Physics, 2010. Vol. 12, no. 7, 075008. 69 pp., arXiv: 0912.5121 [quant-ph].
14. Tannor D J., Rice S. A. Control of selectivity of chemical reaction via control of wave packet evolution// J. Chem. Phys., 1985. Vol. 83, no. 10, 5013. 6 pp.
15. Dantus М., Lozovoy V. V. Experimental coherent laser control of physicochemical processes// Chem. Rev., 2004. Vol. 104, no. 4. Pp. 1813-1860.
16. Ruskov R., Korotkov A. N. Quantum feedback control of a solid-state qubit // Phys. Rev. B, 2002. Vol. 66, no. 4, 041401 (R). 4 pp., arXiv: cond-mat/0204516 [cond-mat.mes-hall].
17. Zhdanov D. V., Zadkov V N. Laser-assisted control of molecular orientation at high temperatures // Phys. Rev. A, 2008. Vol. 77, no. 1, 011401(R). 4 pp.
18. Tarasov V. Е. Quantum computer with mixed states and four-valued logic // J. Phys. A, 2002. Vol. 35, no. 25. Pp. 5207-5235, arXiv: quant-ph/0312131.
19. Pechen A., Rabitz H. Teaching the environment to control quantum systems // Phys. Rev. A, 2006. Vol. 73, no. 6, 062102. 6 pp., arXiv: quant-ph/0609097.
20. Wu R., Pechen A., Brif C., Rabitz H. Controllability of open quantum systems with Kraus-map dynamics// J. Phys. A, 2007. Vol. 40, no. 21. Pp. 5681-5693, arXiv: quant-ph/0611215.
21. Kraus K. States, effects, and operations / Lecture Notes in Physics. Vol. 190. Berlin: Springer-Verlag, 1983. 151 pp.
Поступила в редакцию 21/XII/2010; в окончательном варианте — 13/IV/2011.
MSC: 81Q05, 81Q93
SOME TOPICS IN DYNAMICS AND CONTROL OF OPEN QUANTUM SYSTEMS
A. N. Pechen
Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences,
8, Gubkina St., Moscow, 119991, Russia.
E-mail: apechen@gmail. com
This work reviews several topics in the non-equilibrium dynamics and control of open quantum systems, including the dynamics in the weak coupling and low density regimes, incoherent control and universal Kraus maps.
Key words: open quantum systems, quantum control, incoherent control.
Original article submitted 21/XII/2010; revision submitted 13/IV/2011.
Alexander N. Pechen (Ph.D. (Phys. & Math.)), Research Fellow, Dept, of Mathematical Physics.
