Некоторые варианты интегральных представлений дифференцируемых функций весовых пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Международный научно-исследовательский журнал ■ № 8(39) ■ Сентябрь

Нейматов Н.А.

Диссертант, Институт Математики и Механики НАН Азербайджана НЕКОТОРЫЕ ВАРИАНТЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ

ФУНКЦИЙ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Аннотация

В работе построены некоторые функциональные пространства дифференцируемых функций многих переменных и построенных весовых пространств.

Ключевые слова: пространства, вес, вектор, полурога, полунорма.

Neymatov N.A.

Author of dissertation, Institute of Mathematics and Mechanics of NAN of Azerbaijan SOME OPTIONS OF INTEGRATED REPRESENTATIONS DIFFERENTIABLE FUNCTIONS OF WEIGHT SPACES

Abstract

In work some functional spaces of differentiable functions of many variables and the constructed weight spaces are constructed.

Keywords: spaces, everything, a vector, semihorns, seminorm.

§ 1. Построение усредняющей функции

Предполагаем, что функция f = f (x) (x = (xlxn) e En) достаточно гладкой в точках x е G с E„. Займемся построением усредняющей функции. Положим, что

K = K (t) (S = +1 либо S = -1)

является достаточно гладкой, финитной в E , такой что носитель этой функции подчиняется условиям:

Г supp Ks (t) с (0,1] при S = +1,

[supp Ks (t) с [-1,0) при S = -1,

при этом положим, что

J Ks (t )dt = 1.

E

Обозначим через

f-1 f

S) = 7—[77 J Ks(f)dy

(r-1)!J1

где у > 0 -является достаточно большим целым числом.

Теперь положим, что вектор S = (S ,..., SK ) с координатами

S =+1 либо S =-1 (k = 1,2,...,n).

Пусть

при этом (см. (1.4))

Пусть (см. (7), (8))

при t = (f^..^tn) .

Положим, что вектор-функция

с координатами - функциями

®sk(tk)=kk)

4st(tk )

*Ук -1 Lk

(Ук -1)!

J KsM )d£k .

-1

n

® S(t) =n®Sk (tk)

k=1

V( x, h) = (V>( x, h),..., Vn (x, h)) (x,h) (x e En,h > 0) (k = 1,2,..

, n)

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.6)

(1.7)

(1.8) (1.9)

(1.10)

(1.11)

удовлетворяет условия:

1) Vk = Vk (x, h) > 0, lim Vk (x, h) = 0 (k = 1,2,..., n) ;

A^0+

2) Vk = Vk (x, h) являются непрерывными по x e En (k = 1,2,..., n) ;

3) Vk = Vk (x, h) являются дифференцируемыми по h > 0, при этом (при всех k

(конечны) при x е E, h > 0.

Теперь обозначим через

д

fy..^ n) — V к (x, h) > 0 dh

114

Международный научно-исследовательский журнал ■ № 8(39) ■ Сентябрь

1

Ч( х, h)

-а

У

1

Ч(х, h) ) Цчk (х, h)

Г Ук Л

уЧ *(х, h).

при х, У е En, где

У _ У1

Ч( х, h)

Ук

Ч1( х, h) Ч к (х h)

Пусть вектор

f = (Уг,-,К )

является вектором с целыми неотрицательными координатами (т.е. f > 0 (к = 1,..., n) -целые). Приведено усреднение достаточно гладкой функции

Л'/М = Ц1

с помощью ядра (1.12), равенством:

Л V, Л

F(x; Ч(х,h)) = (D-f(Mtы, = f Df (х + у)—Ц-а, [—'

) E Ч (х, h) {Ч (х, h)

En 4

Заметим, что после замены переменных

Ук *„,_1 о

имеем

f Df(х+У^77

Ч к (X, h)

У

dy.

dy =J Dv f (х + у*Ч( х, h))a s(y*)dy*

где

Ч ( х, h) ,Ч ( х, h)

У*Ч( х, h) = ( УЧ^ х, h),..., упЧп (х, h) ). Из (1.18)

lim F(х;Ч(х,h)) = lim [ Dff (х + у*Ч(х,h))a>s(y*)dy* = DVf (х) [ as(yj* .

h ^0 + h ^0 + J J

En

получим

Легко убедиться (см. (1.3)) в том, что

j а(У*)йУ*

= 1.

Из двух равенств (1.19), (1.20) следует, что

lim F (х; Ч (х, h)) = Dv f (х)

hM0+

в некоторой точке х е E .

Теперь приведем вторичные усреднения функций у = Dv f (х) , равенством

F (х; Ч( х, h)) = ( F (х; Ч( х, h))

Ч( х ,h )

def

j dz jDf (х+y+z)-L

■а

f y ) 1

Г z ^

■а

E E Ч( х, h) (Ч( х, h) )Ч( х, h) (Ч( х, h)

Аналогично доказательству равенства (1.21) можно убедиться в том, что

V

lim F(х; Ч(х, h)) = Dv f (х) .

h^0+

§ 2. Основное тожество.

Из основной формулы интегрального исчисления

д

dy

до

«0

при h ^ 0 + следует основное тождество

t д V V

f —F (х; Ч( х, о))йо = F (х; Ч( х, h)) - F (х; Ч( х, h>))

« П » >

Dv f (х) = F (х; Ч( х, h)) - F (х; Ч( х, о))йо.

u до

Равенство (2.2) является основой при доказательстве интегрального представления функции f = f (х). 2.1. Заметим, что (после простых рассуждений) выражение

д V

— F (х; Ч( х, о))

до

E

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

(1.16)

(1.17)

(1.18)

(1.19)

(1.20) (1.21)

(1.22)

(1.23)

(2.1)

(2.2)

115

Международный научно-исследовательский журнал ■ № 8(39) ■ Сентябрь

из равенства (2.2) записывается (см.1.22) в виде

-^F (x; W( x,v)) = J dz J Dvf (x + у + z)

do

1

d

1

Г z >

a

W ( x,o)

-a,

Г У Л W ( x,o)

>dy + J dz J Dv f (x + у + z)

do [W(x,o) ^W(x,o)

d f 1

E„ En

1

■a.

f z ^

x<

-a,

Г У ^

do [W(x,o) ^W(x,o)

dy,

W(x,o) \W(x,o)

откуда следует, что в последнем равенстве, в правой части стоит сумма двух одинаковых выражений, т.е.

d v do

v с с 1

■F(x; W(x,0) = 2 J J D' f (x + у + z)—

Г z ''

-a

d

1

Если учесть равенства

do |W(x,o)

d f 1

■a

У Л1

VW( x ,o) J\

f

W(x,o) \W(x,o) dydz.

x

do I W(x,o)

-a

У

W( x ,o)_

■zrn

k=1 j*k 1 j

1

w, (x,o)

a

У,■

vw j (x,o)

d

1

do Wk (x,o)

a

тогда имеем

do

v n Г r 1

F(x; w(x, u)) = 2^J dz J D f(x + У + z)—~

Л Л

, Wk (x,o) j

f

W( x ,o)

a

w, (x,o)

a

У Л ld 1 Ук Л

lW j (x,o) J J do CD a Wk (x,o) * lW к (x,o) J

W( x ,o)

dy.

J ^k j

В этом равенстве (2.5), из интегральных операторов, стоящих в правой части, выделяем под множитель

j =±

J к ~

do

1

-a s

который перепишем в виде:

Jk =

1

Г У. Л

Wk(x,o) k Мк(x,o)

Ук „ Ук

-a

Ук

следовательно, имея в виду, что

Ук

llwk(x,o) ^lwk(x,o)J1dolwk(x,o)

Ук

vW k (x,o)

do

Ук

Л Ук ^Wk (x,o)

_ do

wk (x,o) J (Wk (x,o))

получим

Jk =~

do

W k (x,o)

d

Ук

(W k (x,o))

2 (

a

Г Ук Л

d

Ук

VW k(x,o) J

]JW к(x,o) * lWk(x,o)

Теперь обозначим через =

Ук

W k (x,o)

, тогда равенство (2.8) переобозначается в виде

d

W к (x,o) я

J = -М---^ —(4„)} .

(Wk(x,o)) Skk

Второй множитель, в правой части равенства (2.9), преобразуется следующим образом (см. (1.7))

116

x

x

d

d

d

x

интегральных

(2.3)

(2.4)

(2.5)

интегральный

(2.6)

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Международный научно-исследовательский журнал ■ № 8(39) ■ Сентябрь

_д_

Мз (4,)} = 4< (4,)+®Sl (4,) = 4, (uSrr\4k)) + uSrr)i4k)

=4 (< (4, ))n +r, (vSk (4,) ) * - (r, - М3) )(4,) =

: (4Лк 4))(rt} - (r,-)(4,) = D) {4Лк 4) - (r, - 4)}

(2.10)

т.е. имеет место равенство — {4kaSt 4k)} = Dn {^M ,) - 1) -1)кк )}.

дЬк

Выражение в фигурных скобках, правой части равенства (2.10), имеет следующий вид (см. (1.8)):

Ы, (4k) - (гk - Dn,, (4k)=4 \ irk,,4 ; 1 KSi (t)dt ■

zn~1

k

(r -1)! -1

(r -1)!

M (4k )j-

-(r,-1) <

4

4

(r-1) 4k

Г - 1)!-i

Из двух равенств (2.9) и (2.11) имеет:

j KSt (t)dt j

4r

bk

dif

(r -1)!

Ksk (4k ) = js, (4k ).

j, =-

_д_

до

Ч k (х,о) (

-a(n) •,2 js,

Уk

V4 k ( х,о)

(2.11)

(2.12)

(Ч k (x,o))2

где функция <J = J (4) определена равенством (2.11) является достаточно гладкой и финитной функцей в E . В равенстве (2.5), учитывая (2.12), получим

д

Ч( х,о)

j j DVf (х + У + z) >

д V n —Ч( х,о)

—F (х; Ч( х, о)) = -2 Y 9°----

до ( ’ ( ’ )) U Чк(х°)

1

-а.

( z Л 1 Jк ) ( Ук ) Ifrl 1 а У) )

1ч( х,о) ^ Чк (оSk 1ч к(х,о))_ _];ПфП1Ч} ( х,о) 3 t4 j (х,о))

\dydz. (2.13)

Этого равенство (2.13) записываем коротко в виде

д

д

до

V n Ч к(х,0)

F (х; ч(х,о)) =-2Z -

Q, (х°;f) ■

(2.14)

где

Q, (х°; f) = j j DVf (х+У+z) {-2

а

f z >

1

4 k (х,о)

г(Гк )

En En

f

Ч(х,о) V Ч(х,о)

У,

Л

V4 к(х,о)

П

1

■а

У} Л

уЧ} (х,о)

>dydz.

(2.15)

j*k Ч}(х,о)

при всех к = 1,2,..., n.

Заметим, что интегральные операторы Qk(х,о;f) (к = 1,2,...,n) из (2.15) представляются в виде

произведений интегральных операторов, точнее представляются в виде последовательного применения «одномерных интегральных операторов» в виде:

Qk(x,v;f) = Qk,i ■ ■ -Qkjdd (k = \2,...,n).

где при каждом к е{1,2,...,n}.

(2.16)

Q,jg(...,х},...) = j jD}g(...,хj + уj + zj,.. )—1

E E

1

f \

z

ч} (х ,о)

-а

V4 j ( х ,о)

Ч у(х,о) dydz

■а

( \

У,

V4 j ( х ,о)

(2.17)

в случае j Ф- к, а в случае j = к имеем

Qk,kg(.^хк,...) = j jDHlg(...^k + Ук + zk, ..)k7

Ml

El E

ч *(х ,о) 1 V4 к(х ,о)

Ук

X

X

117

Международный научно-исследовательский журнал ■ № 8(39) ■ Сентябрь

1

^k (x,^> k k (x,v)

dykdzk.

(2.18)

2.2. Преобразования интегральных операторов Q ■(x,y/)(j Ф k) и Qk(x,u; f) при всех k = 1,2,...,и (см.(2.17) и (2.18)). Напомним, что при каяедом к G {1,2,...,п)

Qk=Qk{x,vJ) = Qkl-Qknf{x).

Пусть

mk = (m,..., mk ) J

, n [ (к = 1,2,...,п) Nk = (Nk,...,Nk)J (

«целочисленные неотрицательные векторы», т.е.

(2.19)

(2.20)

\mk > 0 I Nk > 0

(j = 1,2,..., n)

являются целыми при всех k G {1,2,..., n}. Положим, что

mkk + Nkk > 0 (k = 1,2,...,n) . Пусть «целочисленный неотрицательный вектор»

V = (V1,...,Vn )

связан с векторами (2.20) условием « * -согласования» в виде

Vk < mkk + Nk,

v, > mk + Nk (j Ф k) I

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

’(k = 1,2,..., n).

j--j--j (j Ф k) J

В равенствах (2.19) фиксируем некоторое число к G {1,2,..., n} и каждый интегральный оператор из

Qk, jg (..., xj,...) (j Ф k ),j

Gk^..^ xk,...) J

преобразуем в отдельности.

1. Преобразование интегрального оператора Q kg.

2. Преобразования интегральных операторов Q g(j Ф k).

k *

3. В условиях m ~Vk > 0, производя замену переменных y + у = у, после соответствующих

преобразований.

4. При фиксированном k G у = {1,2,..., n} в случае j Ф k, в предположении Nk = 0 (j Ф k) в условиях

V ■ > mj (j Ф k), после замены переменных y + z. = у ■ (j Ф k), имеем

k

(-1 )mj-VjC *

Qk, jg (..., ,...) = ■

где ядро определяется формулой

(* j (x^))'

°k,Sj (yj) = jM

j D)jg (..., y. + yj ,..^^j

r yp

dyj

(v<-mk )

(yj- zj Mj(zj )dzj

(2.26)

(2.27)

при Nk = 0(j Ф kj (k g en = {1,2,...,n}).

5. Преобразование интегрального оператора при N\ Ф 0 (k G у = {1,2,..., n}) .

6. Преобразование интегрального выражения, при Nk Ф 0 (j Ф k) (k g{1,2,...,n}), ведется аналогичными

рассуждениями, приведенными при преобразовании интегрального оператора при Nk Ф 0.

7. Теперь окончательную форму интегральных операторов

QM»J) = QkyQky--QkJ

(2.28)

получаем применением (последовательно) интегральных операторов Q g (..., x,...) , определенных первов равенствами

X

E

E

118

Международный научно-исследовательский журнал ■ № 8(39) ■ Сентябрь

Qk,kS (, ,,-) = ■

(—1)“k —%

(V k ( x,u)/

J Dfg(-’ xk + у1--)фк л

Qk,,C,,,, =

(—1)“J—vJc *

(V. (x,u))

1-“k +Vj

J D“g(-’ x. + y* ,-')фк,

f * Л

y^

vV к( x,u).

f

y

vV . (x,v\

dy’k

dyj

в случае Nk = 0 и определенных равенствами

Qkkg xk,-) =

(— 1)“k-vk (Nk )Nk

№ (x,v) )

2—mt +vk

(J dzk JA

r z

zk

Nk V Nk

(

D?g (..., xk + yKNt ,...)ф.

k ,Sk N

yk,Nk . Zk

Vk (x,u)’ Vk (x,u)

Л

dy

k ,Nk

(—1)“j—^ (Nk )Nj

Qk.g (...>x J,...) =

(Vj(xu) )2

:J dz.i JA:

X Л

Nk у

D“g(У, xj + У,д,...)ф

-k л N

Ух

^.(x,u)’ V.(x,u)

dy

j,Nk

(2.29)

(2.30)

(2.31)

(2.32)

в случае Nk Ф- 0. После соответствующих вычислений имеем окончательную форму интегральных операторов в

E

виде:

Qk (x,u’ f) = ■

(—1)“ —X

ПХ^ирп V

1=1 J^Nk

J dZ jlA

f „ Л

V N у

D“ f (x + y) Ф

k,S

y

V (x,u)’ V (x, u)

dy.

x

(2.33)

Литература

1. С.Л.Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Из-во ЛГУ, 1950 г.

2. О.В.Бесов, В.П.Ильин, С.М.Никольский. Интегральные представления функций и теоремы вложения. Москва, из-во «Наука», 1975 г.

3. С.М.Никольский. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. Москва, из-во «Наука», 1977 г.

4. Ф.Г.Максудов, А.Дж.Джабраилов. Метод интегральных представлений в теорий пространств. Баку, из-во, «Элм», 2000 г.

5. А.Дж.Джабраилов. Теория пространств дифференцируемых функций. Труды ИММАН Азерб.Республики (вып.ХП), Баку, «Элм», 2005 г.

6. Т.И.Аманов. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смещенной производной. Алма-Ата, «Наука», 1976 г.

References

1. S.L.Sobolev. Nekotorye primenenija funkcional'nogo analiza v matematicheskoj fizike. Iz-vo LGU, 1950 g.

2. O.V.Besov, V.P.Il'in, S.M.Nikol'skij. Integral'nye predstavlenija funkcij i teoremy vlozhenija. Moskva, iz-vo «Nauka»,

1975 g.

3. S.M.Nikol'skij. Priblizhenie funkcij mnogih peremennyh i teoremy vlozhenija. Moskva, iz-vo «Nauka», 1977 g.

4. F.G.Maksudov, A.Dzh.Dzhabrailov. Metod integral'nyh predstavlenij v teorij prostranstv. Baku, iz-vo, «Jelm», 2000 g.

5. A.Dzh.Dzhabrailov. Teorija prostranstv differenciruemyh funkcij. Trudy IMMAN Azerb.Respubliki (vyp.XII), Baku, «Jelm», 2005 g.

6. T.I.Amanov. Prostranstva differenciruemyh funkcij s dominirujushhej smeshhennoj proizvodnoj. Alma-Ata, «Nauka»,

1976 g.

Пивцаев А.А.1, Разов В.И.2

1Аспирант, лаборант, 2кандидат физико-математических наук, доцент,

Дальневосточный федеральный университет ВРЕМЯ ЖИЗНИ ПОЗИТРОНИЯ В АНТИОКСИДАНТАХ И КАНЦЕРОГЕНАХ

Аннотация

119

Международный научно-исследовательский журнал ■ № 8(39) ■ Сентябрь

Метод позитронной аннигиляционной временной спектроскопии в изучении времени жизни позитрония в веществах канцерогенах и антиоксидантах. Данный метод основывается на электрофильной природе канцерогенов и полной противоположности им - антиоксидантах, и чувствительности метода ПАВС - изменение времени жизни позитрония, в зависимости от электронной плотности окружения. Рассматриваются различии аннигиляционных временных характеристик некоторых канцерогенов и антиоксидантов.

Ключевые слова: канцерогены, антиоксиданты, позитроний, позитронная аннигиляционная временная спектроскопия.

Pivtsaev A.A.1, Razov V.I.2

1 Postgraduate student, laboratorian, 2 PhD in Physics and mathematics, associate professor, Far Eastern federal university LIFETIME OF POSITRONIUM IN ANTI-OXIDANTS AND CARCINOGENS

Abstract

The method of positron annihilation lifetime spectroscopy in the study of the lifetime of positronium in the substance is carcinogenic and anti-oxidants. This method is based on the nature of the electrophilic carcinogens and a complete contrast -antioxidants, and the sensitivity of the method PAVS - change in the lifetime ofpositronium, depending on the electron density of the environment.We discuss the differences annihilation temporal characteristics of some carcinogens and antioxidants. Keywords: carcinogens, antioxidants, positronium, positron annihilation lifetime spectroscopy.

Биохимические исследования [1] показали, что канцерогенно-мутагенное действие проникших в организм самых разных химических соединений в первую очередь обусловлено их сильной электрофильностью, т. е. способностью эффективно акцептировать электроны биологически важных молекул - ДНК, ферментов. Как известно, свободные радикалы образуются в организме в результате метаболизма кислорода и представляют собой молекулы с не спаренным электроном на молекулярной или внешней атомной орбите и обладающие высокой реакционной способностью. Благодаря высокой электрофильности, свободные радикалы оказывают повреждающее действие на белки и липиды клетки и клеточных мембран, в частности, могут вызывать модификацию нуклеиновых кислот и ферментов, изменение структур и свойств гормонов и их рецепторов.

Существуют и вещества, останавливающие свободнорадикальные реакции - это вещества антиоксиданты. И нами предположено, что если все канцерогены являются сильно электрофильными, то время жизни позитрония (Ps), в таких веществах, должно быть мало по сравнению с его собственным и со временем жизни в других веществах, не относящихся к канцерогенам. В антиоксидантах время жизни Ps должно быть значительно выше его собственного времени жизни.

В нашей лаборатории была исследована и показана возможность использования метода позитронной аннигиляционной временной спектроскопии (ПАВС) для быстрого и эффективного выявления канцерогенных свойств веществ, по значению долгоживущей временной компоненты т3 атома позитрония [2]. Граничным значением между веществами канцерогены и не канцерогены является т3 = (1,005±0,005) нс. Данное значение было получено при исследовании явных канцерогенов, сильных и слабых электрофилов.

Ряд начинался (слева) с очень сильных канцерогенов [3], первым из которых стоит C21H20BrN3, с т3 = 0,590 нс, а последним из них AlF3, с т3 = 0,990 нс (очень слабый канцероген). Затем располагается группа веществ, которые не являются канцерогенами. Начинается она C2H6OS, с т3 = 1,115 нс, и завершает её - CH2Cl2, с т3 = 1,475 нс. Примерной границей (маркёром) между этими двумя группами - канцерогены и не канцерогены, является значение т3 = (1,005+-0,005) нс.

И в дальнейшем исследовании было предположено, что время жизни позитрония в антиоксидантах должно быть гораздо больше, чем в канцерогенах. Это явление должно быть схоже с предотвращением свободнорадикальных реакций, путём отдачи позитрону своего электрона, для образования позитрония.

В данной работе методом ПАВС исследовались канцерогены и антиоксиданты для того, чтобы: рассмотреть различие временных характеристик позитрония в данных веществах.

Материалы и методы.

Метод позитронной аннигиляционной временной спектроскопии (ПАВС) основан на измерении времени жизни позитрония - время между образованием позитрония и уничтожением позитрония с испусканием двух гамма квантов. Позитроний (Ps) это водородоподобный атом позитрон-электрон, который образует позитрон с электронами окружения при попадании в исследуемое вещество.

120