Некоторые точные решения одномерных стационарных уравнений газовой динамики для канала постоянного сечения Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Основы практической теории горения / В.В. Померанцев, М.К. Арефьев, Д.Б. Ахметов и др. —Л.: Энергия, 1973. — 227 с.

2. Канторович Б.В. Основы теории горения и газификации твердого топлива. — М.: Изд-во АН СССР, 1958. —194 с.

3. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. — М.: Энергия, 1976. —349 с.

4. Ким Л.В. Определение коэффициента теплообмена в пористых средах // Инженерно-физический журнал. —1993. — Т. 65. — № 6. —С. 663—667.

5. Алифанов А.М., Трянин А.П., Ложкин А.Л. Экспериментальное исследование метода определения коэффициента внутреннего теплообмена в пористом теле из решения обратной зада-

чи // Инженерно-физический журнал. —1987. — Т. 52. — № 3. — С. 461—469.

6. Страхов В.Л., Гаращенко А.Н., Рудзинский В.П. Расчет нестационарного прогрева многослойных огнезащитных конструкций // Вопросы оборонной техники. — 1944. — Сер. 15. — Вып. 1 (109—110). —С. 30—36.

7. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1983. — 354 с.

8. Корчунов Ю.Н., Тюльпанов Р.С. Исследование скорости термического разложения древесины и торфа // Инженерно-физический журнал. —1960. — № 7. — С. 102—105.

9. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов. — М.: Физматгиз, 1963. —142 с.

1. Введение

При решении стационарных газодинамических задач возникает проблема апробации разработанных программ путем сравнения с точными решениями. Для нестационарных течений таких решений достаточно много [1], в то время как для стационарных — значительно меньше. Прежде всего, это уравнения, описывающие течение от источника (стока), и трансцендентное уравнение, описывающее одномерное распределение числа Маха вдоль канала переменного сечения при изоэнтальпическом, изоэнтропическом течении идеального совершенного газа [2]:

™п(А) = м Г г+1_21 , (1)

A

2 + (y-Y)M2

где: М=и!р/(уР) — число Маха; р, и, Р, А, у — плотность, скорость, давление, площадь поперечного сечения сопла, показатель адиабаты газа. Большинство других решений базируется на (1). Так, в [3] нахождение параметров двухфазного течения сводится к решению уравнения (1) путем использования гипотезы о законе отставания частиц и введением некоторого эффективного показателя адиабаты.

В данной работе предлагаются зависимости в правых частях уравнения движения и энергии, при которых дифференциальные уравнения имеют точное решение в виде трансцендентного уравнения для распределения числа Маха вдоль канала постоянного сечения, и явные выражения для ос-

тальных параметров газа. Более простые соотношения приведены в [4].

2. Исходные уравнения

Рассмотрим одномерные стационарные уравнения для идеального совершенного газа в канале постоянного сечения:

dpU _ 0 d (pU2 + P) _ C dpUH _ C

dx

dx

dx

(2)

тт 7 Р и

где: н =^-1-+^- — полная энтальпия; х — про-у — 1 р 2 ' е

дольная координата, принадлежащая рассматриваемой области [ха;х4]; С1 и С2 — правые части уравнений движения и энергии.

Полагается, что: у=сош11; заданы граничные условия на входе в сопло в виде И=И(ха), 5=^(ха), С1(ха)=С2(ха)=0; внутри рассматриваемой области число Маха монотонно возрастает от дозвуковой до сверхзвуковой величины, и существует только одна точка х., в которой М=1.

Переходя к переменным И, М, N и используя вместо уравнения неразрывности его интеграл, перепишем уравнения (2) в следующем виде:

__С2

dx I и

Y +1

2 + (у - 1)M2

M _

dx pU min( N)

N '

(3)

(4)

УДК 533.6.011

НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ КАНАЛА ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ

В.М. Галкин

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Для дифференциальных уравнений, описывающих одномерное стационарное течение с переходом через скорость звука, предлагаются зависимости в правых частях этих уравнений, позволяющие получить аналитические выражения для параметров газа в канале постоянного сечения.

Известия Томского политехнического университета. 2004. Т. 307. № 3

где:

N =

,Н0 / V

н 1 ( 5

Н 0 ) I 5 0

(5)

5 = А Но 5о / =-1

2(у-\)'

1 -у'

Старые переменные выражаются через новые с использованием формул:

и = М.\_ 2(^-1) Н „, р =

2 + (у-1) М2

и

Р = 5 рг. (6)

С учетов вышеупомянутых ограничений на число Маха можно показать [5], что для N получается необходимое и достаточное условие существования в точке х, единственного минимума:

а2 N

■ Т.Т, ч dN

шт( N) = N (х„), -

ах

= 0,

ах2

> о.

(7)

N = Ь2

+1 - Ь2

(10)

Тогда число Маха находится из трансцендентного уравнения (4), точное решение для Н получается из (5):

Н = Н о

N

1

1]Н

а остальные параметры находятся из (6). Дифференцируя (5) по "х" и, используя (3), получим соотношения для С1, С2, которые можно использовать в (2) для численного решения:

С2 =

ин р н

N -

N 5

С. = <С2 + / р75

1 и

(11)

причем N, N' , 5' в (11) берутся из (9), (10). Штрих обозначает производную по "х". Очевидно, что если в (9) положить Ъ;=0, то этому будет соответствовать случай 5=50=сош1.

Для Н=Н0=сош1 и (10) число Маха находится из (4), точное решение для 5 получается из (5):

5 = 50 N Л

остальные параметры из (6). Естественно, что в этом случае энтропийная функция на определенном участке может убывать. Правые части для ур. (2) получаются из ур. (3) и (5):

С = 0, С = Р

N

N'

(12)

Произведем обезразмеривание отнесением х - к ширине канала, и - к критической скорости К, р-к критической плотности р,, Р -к произведению р,и,2. Тогда Н(ха)=Н0 и 5(ха)=50. Подставляя последние два выражения в (5) получим граничное условие для N N (х„) = 1. (8)

3. Точные решения

Пусть заданы х,, Ъь Ъ2, причем ха<х,<хЪ, 0<Ъ1, 0<Ь2< 1. Рассматривая простейшие зависимости, представим 5 в виде линейной функции, удовлетворяющей граничным условиям и условию не убывания энтропии, а N - в виде квадратичной функции, удовлетворяющей (7, 8):

5 = х - ха) +1), (9)

где N и N берутся из (10).

Очевидно, что в предложенных соотношениях распределение числа Маха, определяемое из (4), зависит только от величин ха, х,, Ъ2 в (10).

4. Численные расчеты

На рис. 1 приведено распределение числа Маха вдоль канала, полученное из ур. (4) и (10) при значениях т=1,4, ха=-4, х,=0, хЪ=2, Ъ2={0,1; 0,5; 0,9}.

Для предложенных правых частей ур. (11, 12) был проведен ряд расчетов методом установления по явной схеме Мак-Кормака [6] для нестационарного аналога ур. (2):

др+дри = 0 дри + д(ри2 + Р) = С д/ дх ' д/ дх

д(рН - Р) дрин

= С 2

д/ дх

число точек сетки при этом равнялось 40. Начальное распределение, показанное на рис. 1, находилось из соотношений:

и = 0,18(х + 2) +1, р = II Н0-^Г1» Р = 5ор

что соответствует начальному положению точки х,=-2.

м--

Ъ 2=0,1 Ь 2=0,5 Ъ 2=0,9

Начальное распределение

О

-4 -2 О Х 2

Рис. 1. Распределение числа Маха вдоль канала

В процессе установления при использовании правых частей ур. (11, 12) и некоторого значения Ъ2, распределение числа Маха вдоль канала будет сходиться к соответствующей кривой на рис. 1, при этом положение точки х, будет сходиться к 0.

На рис. 2 и рис. 3 показано положение самой левой из точек х, в процессе установления.

х

О 400 число итерации 800

Рис. 2. Положение x. в процессе установления при Ь =0,4

ному 0, причем во всех случаях остается только одна точка х,.

Несмотря на то, что метод установления демонстрирует сходимость к точному решению и предельное распределение числа Маха вдоль канала, полученное при 2000 итераций (рис. 4) отличается от точного, изображенного на рис. 1 в третьем знаке после запятой, на промежуточных итерациях вполне возможно нарушение монотонности и появление нескольких точек х,, что демонстрирует рис. 4. На рис. 2 и рис. 3 резкие скачки при Ь2=0,9 как раз связаны с наличием нескольких точек х и сопровождающейся при этом перестройкой течения.

О 400 число итерации 800

Рис. 3. Положение x. в процессе установления при H=const

Видно, что при Ь1=0,4 и правых частях (11) амплитуда колебаний больше, чем при правых частях (12). Как видно из рисунков, во всех расчетах положение точки х, сходится к точному значению, рав-

Рис. 4. Распределение числа Маха вдоль канала для разных итераций. I — номер итерации

5. Заключение

Предложены аналитические формулы, позволяющие находить распределение параметров газа с переходом через скорость звука в канале постоянного сечения. Эти формулы целесообразно использовать при тестировании соответствующих численных методов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Комаровский Л.В., Шабловский О.Н. Аналитическое исследование внутренних задач нестационарной газовой динамики и переноса тепла. — Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1981. -208 с. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1987. —840 с.

Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах. — М.: Машиностроение, 1974. — 212 с.

Галкин В.М. О методе решения одномерных стационарных уравнений газовой динамики. // Математическое моделирование. -2003. -Т. 15. -№ 11. -С. 30-36. Галкин В.М. Итерационный метод решения одномерных уравнений газовой динамики // Известия Томского политехнического университета. -2002. - Т. 305. -№ 8. - С. 130-136. MacCormack R.W. The effect of viscosity in hyperbolicity impact cratering // AIAA Paper. -1969. -V. 69. - P. 354.