Некоторые свойства статистического распределения Шарма—Миттала Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Некоторые свойства статистического распределения Шарма—Миттала

Т.Н. Бакиев,1' * Д. В. Накашидзе,1' * А. М. Савченко,1' К. М. Семенов1'1

1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра квантовой статистики и теории поля Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2 (Поступила в редакцию 24.04.2023; после доработки 19.05.2023; принята к публикации 23.05.2023)

Статистическая теория, построенная на основе двухпараметрического функционала Шарма-Миттала, является обобщением статистик Гиббса, Реньи и Тсаллиса. В настоящей работе рассматривается формализм статистической механики, основанной на функционале энтропии Шарма-Миттала, доказывается теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы для классических статистических систем. Получено обобщённое распределение Максвелла для соответствующей статистики и рассчитаны характеристики статистических систем, описываемых распределением: средний модуль скорости, среднеквадратичная и наиболее вероятная скорости частиц газа. Также получена обобщённая формула Сакура-Тетроде.

РЛОЯ: 05.20.-y, 05.70.-a, 05.90.+Ш. УДК: 536.758.

Ключевые слова: энтропия Шарма—Миттала, теорема о равнораспределении, степенное распределение, распределение Максвелла, формула Сакура—Тетроде.

БОТ: 10.55959/М8Ш579-9392.78.2340102

ВВЕДЕНИЕ

В ряде работ [1, 2] широко используемая в теории информации и равновесной статистической физике энтропия Больцмана-Гиббса-Шеннона [3] подвергается критике в связи с ограничениями применимости и неочевидностью аксиоматики. В последнее время развитие получают параметрические энтропии, обобщающие классический подход [4, 5].

Для описания сложных аддитивных систем (многофрактальных структур [6], квантовой запутанности [7], землетрясений [8]) используется распределение, основанное на функционале энтропии Альфреда Реньи [9, 10], являющимся обобщением подхода Гиббса. Явный вид распределения Реньи зависит от значения параметра q > 0, определяемого экспериментальным путём. В работе [11] доказывается теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы для статистики Реньи.

Альтернативным обобщением статистики классического подхода Гиббса является его расширение на неаддитивные системы, которое предложил Константино Тсаллис [12, 13]. Энтропия Тсаллиса описывает поведение чёрных дыр [14], скорость вращения звёзд [15], сегментацию медицинских изображений [16]. Явный вид распределения также зависит от значения параметра q, на основе которого вводится понятие q-деформированных функций Тсаллиса.

Так как подходы Реньи и Тсаллиса являются двумя разными обобщениями одного статистического

формализма, возникает потребность в их объединении. В качестве решения этой задачи предлагается формализм Шарма-Миттала [17], который, кроме используемого в формализмах Реньи и Тсаллиса параметра q, имеет также параметр г, определяющий переход между двумя рассматриваемыми обобщениями [18]. Энтропия Шарма-Миттала находит применение в методах кластеризации текстовых документов [19], моделях тёмной энергии [20] и статистике многообразия инженерных исследований [21]. Альтернативой является формализм сверх-экстен-сивной энтропии [18].

* Б-шаИ:

^ Б-шаИ: [email protected] ^ E-mail: [email protected]

Рис. 1. Связь подходов Гиббса, Реньи, Тсаллиса, Шарма-Миттала и сверх-экстенсивной энтропии [18]

В настоящей работе исследуется формализм Шарма-Миттала как обобщение подходов Реньи и Тсаллиса с точки зрения равновесной статистической физики. Мы проверяем справедли-

вость теоремы о равнораспределении и получаем распределение по скоростям частиц идеального газа (обобщение распределения Максвелла). Также была получена обобщённая формула Сакура-Тетроде для идеального газа в формализме Шарма-Миттала. Особенностью настоящей работы является получение результатов без использования ^-деформированных функций, усложняющих понимание физического смысла.

1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ШАРМА МИТТАЛА

Рассмотрим статистическую систему с реализацией Ш микросостояний с вероятностями р®. Функционал двухпараметрической энтропии Шарма-Миттала такой системы определяется следующим образом [17]:

)(р) =

1

1 — г

( ш

Е>

1

(1)

Используя подход Джейнса [22] через максимизацию фукнционала Ьт (р) с учётом условия норми-

ровки ®=1 р® = 1 и определения средней энергии

и = £ ®С Я®р®

(р)

1 - Я

/ ш £/

V®=1

1 -г

1-9

1

ш

ш

- Р® - НгР®, (2)

получаем распределение Шарма-Миттала:

(ЯМ)

1

£ (ЯМ)

1

1 - Я

в(ЯМ)(и - Я®)

1

9-1

, (3)

где £(ЯМ) — обобщённая статистическая сумма:

р

(ЯМ)

£ (Л)

1

1 - Я

в(Л)(и - Я®)

1

9-1

=р

(Л)

(7)

где в(Л) — множитель Лагранжа при условии на определение средней энергии системы в формализме Реньи, равный обратной температуре системы [11].

При г = я же получим распределение Тсалли-са [23]:

£ (ЯМ)

(ЯМ)

ш

= £

г=9 ®=1

1 - в(т)(и - Я®)

1

9-1

£ (т),

(8)

г=д

£ (т)

1 - ^в(т)(и - Я®)

1

9-1

„(т)

(9)

В случае классических систем с непрерывным спектром энергии распределение Шарма-Миттала представимо в виде функции плотности вероятности (по аналогии с [11] и [23]):

(ЯМ)

£ (ЯМ )

1

£ (ЯМ)

1 - ^в(ЯМ)(и - Я(г,р))

1

9-1

(10)

1 - ^в(ЯМ)(и - Я(г,р))

1

9-1

¿Г,

X

(11)

где X — объём в фазовом пространстве, занимаемый системой, г = (г1, Г2,..., г^) — координаты частиц, р = (р1, р2,..., ) — импульсы частиц, N — число частиц, ¿Г — элемент интегрирования по фазовому пространству:

N

1 ГГ ¿Г®^Р®

¿Г = N11=17® ,

(12)

7® учитывает квантовые степени свободы частицы с номером г и N! — количество перестановок тождественных частиц.

ш

£ (ЯМ) = ^

1

1 - Я

в(ЯМ)(и - Я®)

1

9-1

. (4) 2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ФОРМАЛИЗМА ШАРМА МИТТАЛА

в(ЯМ) зависит от множителя Лагранжа при условии на определение средней энергии системы вь, а также связан с параметрами распределения г и я:

ш

г — 1

1-9

в(ЯМ) = в(ЯМ)(г, я) = Щ р^ вь. (5)

Заметим, что частным случаем (3) при параметрах г =1 и я =1 является распределение Реньи [11]:

£ (ЯМ)

ш

Е

1

1 - Я

в(Л)(и - Я®)

1

9-1

= £(Л), (6)

Так как формализм Шарма-Миттала является обобщением формализма Тсаллиса, я-формула, полезная для термодинамического описания энтропии, также справедлива. По аналогии с [23] получим её через определение средней энергии и, с одной стороны, и равенство, справедливое по причине нормировки распределения, с другой:

ш

и = Е р®я®:

ш

и = £ р®и.

®=1

Эти два соотношения приводят к равенству

ш

Е(Я® - и)р®

0.

(13)

(14)

1

1

1-

1-9

1

г

Домножив данное выражение на в— q)/q (полагая его отличным от 0) и прибавив Z(«м\ записанную в явном виде, к обеим частям равенства, получим q-формулу:

1 + «в(ям ^я, — и ))'_1 =

= Е (1 + 1^в(5М 5(я< — и Л (15) ¿—1 V q /

Используя (15), выразим энтропию Шарма-Митта-ла через обобщённую статистическую сумму:

^м)(р) = (я(5М)1-Г — 1) . (16)

1 — г V У

Рассмотрим физическую систему, состояние которой определяется набором параметров (и, х, N), где х = (V, а), и — средняя энергия, N — число частиц, V — объём системы, а — воздействующие на систему внешние поля. Тогда уровни энергии Я, зависят от параметров х и N. Из (4) следует, что Z(ям) = Я(«м)(и, х, N), а значит, 5(«м) = 5(«м), согласно зависимости (16). Запишем полный дифференциал энтропии

„, = (^^ ш + (^^

+ ( „ (.7)

который после ряда преобразований принимает вид:

(«м) = Я(«м)1-гв(5м)(^и + Х^х — ^). (18)

Учитывая первое начало термодинамики, мы приходим к выражению

(«м) = я («м )1-г в(«м ^

(19)

где ¿ф — количество теплоты, получаемое системой. Заметим, что согласно второму началу термодинамики, интегрирующий множитель в правой части уравнения (19), равен обратной температуре системы, поэтому

в («м)

Я («м)

г-1

в

(20)

3. ТЕОРЕМА О РАВНОРАСПРЕДЕЛЕНИИ ЭНЕРГИИ

Сформулируем и докажем теорему о равнораспределении энергии в формализме Шарма-Мит-тала для классической статистической системы с ^-мерным фазовым пространством по аналогии

с формализмом Реньи [11]. Запишем условие нормировки распределения с учётом (15):

1 = Е ) =

1

Я («м)

ж / q 1

£ (1 — ^в(«м)(Яг — и)) . (21)

Для удобства введём следующие обозначения:

А = -—-, ДЯ, = Я,- и.

(22)

Тогда

1

Я («м)

ж т

— Ав(«м)ДЯ^ А =1. (23)

Перейдём от дискретного случая к непрерывному. Тогда суммирование по состояниям системы переходит в интегрирование по объёму фазового пространства X, а Я, — к функции Я(х1,х2, ...,хд):

1

Я («м)

1 — Ав(«м)Д^ А ¿Г = 1.

(24)

X

¿Г — элемент интегрирования:

¿Г

(£/2й)

(Д/2Й)! (2пЙ)с/2

П (25)

¿—1

где 7, учитывает квантовые степени свободы частицы с номером г, (2п — объём ячейки фазового пространства и (Д/2й)! — количество перестановок тождественных частиц.

Используя формулу интегрирования по частям по выделенной переменной х^, получим

1

+

Я («м)

в(«м) Я («м)

Хк

хдт

1 — Ав(«м) ДЯ] А хй дДЯ — Ав(«м)ДЯ

Хк —Ь

¿Г +

дхь

1

¿Г = 1.

X

(26)

Рассмотрим первый интеграл. Множитель (1 — Ав(«м )ДЯ) взаимно-однозначно определяет нулевые значения вероятностей в распределении Шарма-Миттала:

р(«м)(Хо) =0 ^ (1 — Ав(«м)ДЯ(Хо)) = 0. (27)

В соответствии с физическим смыслом плотности вероятности состояний на границе области возможных значений переменных фазового пространства данная функция должна равняться нулю, поэтому в случае конечных значений а и Ь первый интеграл равен нулю. При бесконечных по модулю а или Ь мы имеем дело с неопределенностью. Однако логично

1

Хк — а

А

считать импульсы и координаты системы лабораторных размеров ограниченными величинами. Поэтому уже при конечных, но достаточно больших по модулю значениях а и Ь достигается область фазового пространства, вероятность нахождения системы в которой равна нулю. Итого

1

£ (ЯМ)

Хк

1 - Лв(ЯМ) ДяЛ * Хк

хк = Ь

¿Гк = 0.

Тогда 1

£ (ям )

■/хкдД^ (1 -Лв(ЯМ)ДЯ^*-1 ¿Г

X

или (с учётом (20))

Хк

<9Я\

джк /

(ЯМ)

в(ЯМ) £ (ЯМ)

1

(28) 1

в (ЯМ)

(29)

(30)

где (...)(ям ) — усреднение по распределению Шарма-Миттала. Данное выражение является теоремой о равнораспределении в её обобщённом понимании:

Для классической статистической системы с Б-мерным фазовым пространством X = (ж1, ж2,..., жд) и гамильтонианом Я(X), находящейся в состоянии термодинамического 'равновесия, для любого натурального к < Б выполняется соотношение (30):

Хк

<9Я\

джк /

1

(ЯМ)

в(ЯМ) •

(31)

Для распределения Тсаллиса как частного случая распределения Шарма-Миттала, теорема о равнораспределении также справедлива:

Хк

<9Я\ =

дхк / (т)

1

0

в(т) £(т)

9-1 •

(32)

£ (ЯМ )

dжldж2...dxN

1+1-9 в(ям) еN=1 ад - и

1

1-9

(35)

Следуя рассуждениям статьи [23] для обобщённого формализма Шарма-Миттала, мы получаем значения обобщённого статистического интеграла и средней энергии

£ (ям )

'Г( к)'

N

Г'. 1-9 - к

Г( 1-?) (1 - 1-9 в(ЯМ >и)

1 N 1-9 к

N

п

п=1

в(ЯМ) сп

и

N 1

к в(ЯМ)

с ограничением на параметр я:

1

к

к + N

< Я < 1.

(36)

(37)

(38)

Полученные результаты позволяют рассмотреть степенное распределение как частный случай распределения Шарма-Миттала, а также получить обобщённое распределение Максвелла для идеального газа.

5. ОБОБЩЕНИЕ СТЕПЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Используя (36) и (37), запишем распределение без явной зависимости от в(ЯМ) для гамильтониана вида Я = Сжк:

(ЯМ)

1

£ (ЯМ)

1 - ^(1 - с«Хк)

1

9-1

(39)

0

хк = а

X

1

X

X

к

1

X

1

0

4. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ЭНЕРГИИ СО СТЕПЕННЫМ ГАМИЛЬТОНИАНОМ

Рассмотрим систему с гамильтонианом вида:

N

Я = С«ХП

п=1

(33)

где Сп е М, к > 0, Хп е [0, то) Уп = 1, N.

Статистический интеграл и средняя энергия имеют вид:

и

1

Cnxndxldx2...dxN

£ (ям )

1+ в(ЯМ) £N=1 С„хП - и

1

1-9

Г(к) Г ^ - к

£ (ЯМ) = 1 к

к

Г'. 1-!

1 - Я А к 1 9

1--;--X

кя

х! ^„^

кя

(40)

где Си = ^.

Проанализируем поведение энтропии и распределения при нижнем пределе я (38):

= 1 () ят®п к + 1 . (41)

Отметим, что для гамильтониана вида Я = СХк нижний предел я соответствует максимальному значению энтропии, как наглядно продемонстрирова-(34) но на рис. 2.

0

Рис. 2. Зависимость 5(БМ) для гамильтониана Н = Сх от д и к при г = 0.61 (а); д и г при к = 1 (б)

Для анализа поведения распределения рассмот- метр, чтобы обеспечить сходимость интеграла (34). рим q = + е, где е ^ 0 — положительный пара- Тогда распределение будет иметь вид:

(«М)(х, е) = Я(С„хк)-(^) 1 — (1 — (с„хк)-1)

-ЧТ (1+-к++Т)

где Я — нормировочная функция данного распределения:

к г

1 гШг(1 + (^)2) ( (к + 1)2у1—(

к+1 4

(1+к+т2)

1е

(к + 1)2

Си

(42)

(43)

При е = 0 распределение приобретает степенную форму:

распределением Гиббса [2].

Р

(ям)

(Сихк)

к + 1

,-(к+1)

е^0

(44) 6. ОБОБЩЁННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

МАКСВЕЛЛА

Отметим, что при q = (е = 0) имеет ме-

сто расходимость (34), следовательно, распределение Шарма-Миттала только асимптотически стремится к степенной форме.

Полученное распределение (42) соответствует обобщению результатов, полученных для формализма Реньи [11], где подробно рассмотрены характеристики и применения приближения. Совместимость рассматриваемых формализмов со степенным распределением открывает путь для рассмотрения соответствующих систем, не описываемых

Рассмотрим трёхмерный идеальный одноатомный газ N частиц:

N р2

Я = Е .

^ 2т

¿—1

(45)

Используя (36), получаем для данного гамильтониана выражения статистического интеграла и средней энергии системы:

Я (ям) =( 2пт А V в(ям )(2пЙ)2 у

3Ы 2

N!

3N

1 — q 2

__

1 —д 2

Г'. 1—!

1

1 — q 3^ "

(46)

и

3N

2в(ям):

(47)

где V — объём, занимаемый системой, а 7 — число неклассических степеней свободы частицы системы. Явная связь в(ям) с температурой системы (из (46) и (20)):

в (Ям) = (СГ,д в1 + Уг )

1

в1 + Уг

(48)

Р

2

к

к

к

к

к

Г

ч

где в — обратная температура системы,

Уг =

2 1 3Ж 1 - г

1

(49)

Сг,9

1-д 3ЖУ

Я 2 У

__I 3» р I 1 3N

1-9 + 2 м 1-9 - —

Г

1

1-9

Уг 3»

Ш! Я

- я

(50)

Исходя из распределения Шарма-Миттала (10) и связи в(ЯМ) с температурой системы (46), получаем обобщённое распределение Максвелла по импульсам для трёхмерного идеального одноатомного газа N частиц:

р(ям ) =

рМр =

/ в1 + уг

2пшСг

3»

2

1-2 в1+Иг р2

1 + 1-2 (Е

®=1 Сг 9 2т

Ж 2

1

9-1

_9__Ж 1 2

1-9 2 ^

Г( 1-9 - ¥ ) Г( 1-9 )

-I 1-9 3N 1 - ~ ~

(51)

В полной аналогии с формализмом Тсаллиса одночастичное обобщённое распределение Максвелла по модулю скорости в формализме Шарма-Миттала примет вид:

рММГ) =

-гв1+Уг

2пС,

г,9

3/2

1-Я А3/2 я У

2 __, 3(»-1)

Иг т«2 3^ Л \ 9 1

2;

Г( 1-9 - )

Г( 1-9

9 2 / I 1

(N-1) ) 1 1

1-9 Ж 1 9 9 2

1__| 3^

-1 + 2

(52)

Рис. 3. Распределение по модулям скоростей идеального газа в разных формализмах при параметрах N = 10, в = 1

Ограничения на параметр я для распределения следуют из условий сходимости при получении явного вида статистического интеграла (46):

1

2

3N + 2

< Я < 1.

(53)

Запрещённое значение для г следует из расходимости функции (52):

г = 1 - —. ^ 3N

(54)

В настоящей работе мы исследуем область Я < г < 1, которая не затрагивает (54).

Рис. 4. Распределение по модулям скоростей идеального газа в разных формализмах при параметрах N = 100, в = 1. Распределения Гиббса и Реньи на таком масштабе совпадают

Полученные распределения (51) и (52) обобщают результаты для формализмов Реньи и Тсалли-са. Примерами физических систем, где применяются параметрические распределения скоростей, являются турбулентности [24], биологические клетки [25, 26], звёзды в скоплении Плеяды [15] и атомы в оптических решётках [27].

На рис. 3 и 4 продемонстрировано одночастич-ное обобщённое распределение Максвелла в формализмах Гиббса, Реньи, Тсаллиса и Шарма-Митта-

1

у

9-1

' )9

ла при разных значениях г. Видим, что распределение в формализме Шарма-Миттала является переходящим от Реньи к Тсаллису при уменьшении г с 1 до ч. При этом ч < 1 обеспечивает отклонение семейства распределений в обобщённых формализмах от классического случая Максвелла-Гибб-са. При увеличении числа частиц распределение формализма Тсаллиса отклоняется от распределения Гиббса сильнее, чем Реньи.

Также рассмотрим зависимость распределений от ч (рис. 5). Заметим, что при г = ч и г = 1 (52) не переходит в распределение Максвелла в формализме Гиббса при ч ^ 1.

Рис. 5. Распределение по модулям скоростей идеального газа в разных формализмах в зависимости от д при параметрах N = 10, в = 1

среднего значения энергии (47) с учётом её независимости от направления проекции скорости:

3

3в

= ус^.

(55)

Среднюю скорость молекул получим через одно-частичное распределение по модулю скорости (52) с использованием [28]:

сю

М = ^ ^Рм„м

о

(56)

(V) =

Г [ _ Ж _ 1

I ов - М 1 —д 2 2

' — •—^-^ х

пт у г / 1 3№

1—д

2

1 — ч

— ^ <57)

Наиболее вероятная скорость обеспечивает экстремум функции (52):

/ 2в ,_

"л/С^ Л т

д + Ж

д—1 + 2

д + —1) .

д—1 + 2

(58)

На рис. 6 представлена зависимость наиболее вероятной скорости частиц от ч. Точки пересечения кривых Тсаллиса и Шарма-Миттала находятся на г = ч. При приближении г к 1 зависимость в формализме Шарма-Миттала приближается к зависимости в формализме Реньи.

Вычислим ковариацию модулей скоростей через среднее значение произведения модулей скоростей частиц п и к:

7. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБОБЩЁННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Получим характеристики обобщённого распределения в формализме Шарма-Миттала. Среднеквадратичная скорость вычисляется через определение

) = ) — (V) ,

(59)

N 8в

(«„^ ) = «„^Р^ ¿V, = - Сг,д вУГ , (60)

] м пт

) = -Сг,д вУг

1

1 — ч

3N "2"

Г | Л__Ж _ 1

11 1 —д 2 2

Г I _1 3№

1 ' 1— — ~т

(61)

Отличная от нуля ковариация скоростей может свидетельствовать о возможности описания распределением Шарма-Миттала систем с внутренним взаимодействием.

8. ОБОБЩЁННАЯ ФОРМУЛА САКУРА ТЕТРОДЕ

Получим явный вид энтропии идеального одноатомного газа. Для этого воспользуемся связью энтропии со статистической суммой (16) и выражением для статистической суммы (46) с учётом (48):

V2 =

ч

х

V

р

о

2

ч

Рис. 6. Зависимость наиболее вероятной скорости частиц от параметра д: а — при параметрах N = 10, в = 1, б — при параметрах N =100, в = 1

£(ЯМ)

1 -ГСг9 01 + Уг 2ПШ

1г

¥ (1-г)

(2пЙ)2

(т^

N!

,1 - Я

3» -р 2 Г

2

1г

1

1-9

2

п ^

1-9

1 - я 3^ 9-1

1 Т

1г

1г

(62)

Данное выражение представляет собой обобщённую формулу Сакура-Тетроде. При г ^ 1 выражение примет вид:

5(Л) = 1п

2пш (2пЙ)2

-2 ил

(ТУУ N!

+ 1п

,1 - Я

3N "2"

3» 2

Г

1

1-9

2

г ^

1-9

1

1 - я 3N

Я 2"

1

9-1

(63)

которое при я ^ 1 перейдёт в известное уравнение Гиббса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе была доказана теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы классических статистических систем в формализме Шарма-Миттала. Рассмотрено распределение Шарма-Миттала, полученное путём максимизации одноимённого функционала энтропии. Данная теорема даёт возможность быстро получать величину средней энергии для статистических систем, описываемых рассматриваемым семейством формализмов.

Установлена связь между статистической энтропией Шарма-Миттала и термодинамической энтропией Клаузиуса. В результате получено выраже-

Сакура-Тетроде для идеального газа в формализме

ние, связывающее множитель в(ЯМ), фигурирующий в распределении Шарма-Миттала, и термодинамическую температуру 0.

В работе было получено обобщённое распределение Максвелла по скоростям в формализме Шарма-Миттала. Тем самым мы объединили результаты для формализмов Реньи и Тсаллиса. Мы продемонстрировали характеристики статистических систем, описываемых распределением: среднюю энергию системы, средний модуль скорости частиц, среднеквадратичую и наивероятнейшую скорости атомов газа.

Через связь энтропии Шарма-Миттала со статистическим интегралом системы было получено обобщённое уравнение Сакура-Тетроде для идеального газа.

Работа была поддержана фондом развития теоретической физики и математики «БАЗИС».

х

х

1

Я

х

Я

[1] Сагиво Г., ТваШв С. // РЬуБ. Иву. Е 78. 021102. [2] Башкиров А.Г. // ТМФ. 149. 299. (2006). (2008).

[3] Shannon C.E. // Bell Syst. Techn. J. 27. 379. 623. (1948). 10.1002/j.1538-7305.1948.tb00917.x

[4] Ilic V.M., Stankovic M.S. // Physica A. 411. 138. (2014).

[5] Bizet N.C., Fuentes J, Obregon O. // EPL. (2020). 128. 60004.

[6] Halsey T.C., Jensen M.H., Kadanoff L. et al. // Phys. Rev. A. 33, N 2. 1141 (1986).

[7] Zander C., Piastino A.R., Casas M., Piastino A. // Eur. Phys. J. D. 66, N 1. 14. (2012).

[8] Geilikman M.B., Golubeva T.V., Pisarenko V.F. // Earth Planet. Sci. Lett. 99, N 1-2. 127. (1990).

[9] Renyi A. et al. // Proc. Fourth Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob. 1. 547. (1961). MR: 132570 Zbl: 0106.33001

[10] Renyi A. // Probability theory. North-Holland, 1970.

[11] Бакиев Т.Н., Накашидзе Д.В., Савченко А.М. Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. № 6. 45. (2020). (Bakiev T.N., Nakashidze D.V., Savchenko A.M. // Moscow Univ. Phys. Bull. 75, N 6. 559. (2020)).

[12] Tsallis C. // J. Stat. Phys. 52. 479. (1988).

[13] Tsallis C. // Introduction to Nonextensive Statistical Mechanics. Springer, Berlin. 2009.

[14] Tsallis C, Cirto L..J.L. // Eur. Phys. J. C. 73, 2487. (2013).

[15] J.C. Carvalho et al. // EPL 84, 59001. (2008).

[16] Weili S., Yu M., Zhanfang C. Research of automatic medical image segmentation algorithm based on Tsallis entropy and improved PCNN // Proceedings of the 2009 IEEE International Conference on

Mechatronics and Automation. 2009.

[17] Sharma B.D., Mittal D.P. // J. Math. Sci. 10. 28. (1975).

[18] Masi M. // Physics Letters A. 338. 217. (2005).

[19] Koltcov S., Ignatenko V., Koltcova O. // Entropy. 21. 660. (2019).

[20] Rani S., Jawad A., Bamba K., Malik I. // Symmetry. 11. 509. (2019).

[21] Ahmed F., Ramachandran S. K., Fuge M. et al. // ASME. J. Mech. Des. 143 N.6, 61702. (2021).

[22] Kesavan H. K. Jaynes' maximum entropy principle / Encyclopedia of optimization. (2008). 7.

[23] Бакиев Т.Н., Накашидзе Д.В., Савченко А.М., Семенов К.М.

Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. № 5. 53. (2022). (Bakiev T.N., Nakashidze D.V., Savchenko A.M., Semenov KM. // Moscow Univ. Phys. Bull. № 5. 628. (2022)).

[24] Arimitsu T., Arimitsu N. // Physica A. 305, N 1-2. 218. (2002).

[25] Shao-Zhen Lin, Peng-Cheng Chen, Liu-Yuan Guan et al. // Adv. Biosys. 8, 2000065. (2020).

[26] Arpita Upadhyaya, Jean-Paul Rieu, James A. Glazier, Yasuji Sawada // Elsevier. 293. 549. (2001).

[27] Douglas P., Bergamini S., Renzoni F. // Phys. Rev. Lett. 96, N 11. 110601. (2006).

[28] Gradstein I. S., Ryzhik I. M. // Tables of Integrals, Sums, Series and Productions, 5th ed. Academic Press, 1994. MR: 1243179 ISBN: 0-12-294755-X

Some properties of the Sharma—Mittal statistical distribution

T.N. Bakiev1, D.V. Nakashidze2, A.M. Savchenko2'", K.M. Semenov26

1 Faculty of Mathematics, National Research University Higher School of Economics, Moscow 119048, Russia 2 Department of Quantum Statistics and Field Theory, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University

Moscow 119991, Russia E-mail: [email protected], [email protected]

The statistical theory based on the two-parameter Sharma-Mittal functional is a generalization of the statistics of Gibbs, Renyi and Tsallis. In this paper, the formalism of statistical mechanics based on the Sharma-Mittal entropy functional is considered, and the theorem on the equidistribution of energy for classical statistical systems by degrees of freedom is proved. A generalized Maxwell distribution for the corresponding statistics is obtained and the characteristics of statistical systems described by the distribution are calculated: the average velocity modulus, the root-mean-square and the most probable velocities of gas particles. A generalized Sakura-Tetrode formula is also obtained.

PACS: 05.20.-y, 05.70.-a, 05.90.+m.

Keywords: Sharma-Mittal entropy, equidistribution theorem, power distribution, Maxwell distribution, Sakura-Tetrode formula. Received 24 April 2022.

English version: Moscow University Physics Bulletin. 2023. 78, No. 4. Pp. 434-444.

Сведения об авторах

1. Бакиев Тимур Наилевич — аспирант; e-mail: [email protected].

2. Накашидзе Дмитрий Викторович — магистр; e-mail: [email protected].

3. Савченко Александр Максимович — доктор физ.-мат. наук, профессор; e-mail: [email protected].

4. Семенов Константин Михайлович — аспирант; e-mail: [email protected].