Некоторые свойства r-кратно интегрированных рядов по системе Хаара Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА r-КРАТНО ИНТЕГРИРОВАННЫХ РЯДОВ ПО СИСТЕМЕ ХААРА

И.И. Шарапудинов, Г.Н. Муратова*

Дагестанский научный центр РАН,

* Дагестанский государственный педагогический университет, кафедра информатики E-mail: mg_n@mail.ru

Изучаются аппроксимативные свойства рядов, полученных после r-кратного интегрирования ряда Фурье - Хаара. Показано, что r-кратно интегрированные ряды Фурье - Хаара могут быть полезны в задаче одновременного приближения дифференцируемой функции и ее производных.

Ключевые слова: Функции Хаара, интегрированный ряд Ха-ара, аппроксимативные свойства.

Same Properties r-fold Integration Series on Fourier - Haar System

I.I. Sharapudinov, G.N. Muratova

Approximation properties of series obtained by r-fold integration of Fourier - Haar series are research. It is shown that r-fold integrated Fourier - Haar series can be useful in the task of simultaneous approximation of differentiable function and its derivatives.

Key words: Haar function, integration Haar series, approximation properties.

1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИЯХ ХААРА И РЯДАХ ФУРЬЕ - ХААРА

Идея об интегрировании рядов Фурье по заданной ортоганальной системе встречаются в работах многих авторов. Хорошо известно, например, система Фабера - Шаудера возникает при однократном интегрировании рядов по системе Хаара. В работе [1] были рассмотрены ряды, возникающие после г-кратного интегрирования рядов Фурье - Хаара функции д(х) = /(г)(х), в которой были найдены условия равномерной сходимости полученного ряда к исходной функции /(х).

В настоящей работе продолжены исследования, начатые в работе [1]. Изучаются аппроксимативные свойства рядов, полученных после г-кратного интегрирования ряда Фурье - Хаара д(х) = /(г) (х). Система Фабера - Шаудера относится к случаю, когда г = 1. Показано, что г-кратно интегрированные ряды Фурье - Хаара могут быть полезны в задаче одновременного приближения дифференцируемой функции и ее производных. Следует отметить, что подобные задачи для рядов Фурье - Лежандра и рядов по ультрасферическим полиномам рассматривались в работах [2-5].

Следуя [5] мы введем следующие обозначения. Положим п = 2к + г, г = 1, 2,..., 2к, к = 0,1,..., Дп = Д£ = (—, ), Ап = [г—, ], (п > 2), Дх = (0,1), Д1 = [0,1],

_ г______1 2____= д2г —1 Д- = (Дг )- = _

к) \ 2к ’ 2^+1 / Дк + 1 ’ Дп (Дк) I 2^ + 1 ’ 2^ ] ^к+1-

Система Хаара — это система функций х = (%п(х)}^=1, х е [0,1], в которой %1 (х) = 1, а функция Хп (х) с 2к < п < 2к+1, к = 0,1,... определяется так:

Xn(x) = <

0, при x (/ Дn,

2k/2, при x е Д+, (1.1)

—2k/2, при x е Д-.

Значения в точках разрыва [0,1] выбирается так, чтобы выполнялись равенства:

Xn(x) = lim 1 [Xn(x + 5) + Xn(x — 5)], x е (0,1), d——0 2

Xn(0) = Hm Xn(5), Xn(1) = lim Xn(1 — 5).

d—+0 d—+0

Непосредственно из определения (1.1) следует, что система Хаара — ортонормированная система, т.е.

1

J Xn(x)Xm (x) dx = 5nm, (1.2)

0

© И.И Шарапудинов, Г.Н. Муратова, 2009

где <5пт — символ Кронекера. Если / = /(х) интегрируема на [0,1], то мы можем определить для нее коэффициенты Фурье - Хаара

1

Ск = Ск(/) = J /(£)хк(0 ^ (1.3)

о

и ряд Фурье - Хаара

ГО

/(х) ск(/)Хк(х)- (1-4)

к=1

Через £п(/, х) обозначим частную сумму ряда (1.4) вида

П

ЗД, х) = X! Ск(/)Хк(х)- (1-5)

к=1

Нам понадобятся следующие оценки [5]:

^(/)| < (2^)-1/2&> 1, / є с(0,1), (1.6)

|cfc(f)| < k1/p 1/2w^1 f , k> 1, f Є Lp(0,1) (1 < p< ^ (1.7)

где C(0,1) — пространство непрерывных функций f = f^),заданных на [0,1] с нормой ||/||с = = max |f(x)|, Lp(0,1) — пространство функций f = f(x), измеримых на [0,1], для которых норма

0<Х<1

определяется следующим образом:

/1 N 1/p

If lip = I J If wrdt

o>(5, f), o>p(5, f) — модули непрерывности функции f в пространствах C(0,1) и Lp(0,1) соответственно, т.е.

w(<5, f )= sup |f (x + h) — f (x) |, 0 <5< 1,

0<x<x + h<1, 0 < h < 5

l - h

(5, f)= suM / If (x + h) — f (x)pdx > , 0 < 5 < 1.

O<h<5 J

O

1/p

||f — Sn(f,x)||c < 3^nf , n > 1, f Є C(0, 1), (L8)

||f — Sn ||p < CpWpf1 f, n > 1, f Є Lp (0,1), (1.9)

Отметим следующие оценки [5]:

' 1 п 1 п

где Ср = 41/р(1 - 2Р)1/р.

2. СИСТЕМА ФУНКЦИЙ {хГ)п(х)}Го=1

Для каждого натурального г мы определим систему функций {хг,п(х)}ГО=1 следующим образом:

X

Хг,п (х) = (г - !(х - ^)Г—1 Хп(^) х е [0, 1], (2.1)

о

где хп(х) — функция Хаара. Нам понадобятся ниже свойства этих функций. Непосредственное вычисление интеграла (2.1), пользуясь определением функции Хаара хп(х) (см.(1.1)), дает

хг,1 (х) = ^, (2.2)

Хг,п(х) —

2^/2

0,

х —

г-Г 2к ,

(г - 1-1Ї г _ 2 (г - 2-1 ^ г

2^ ) 2 \х 2^ + 1 )

(х- 1-1 )г- 2 (х- 21-1'

2к

2к + Т .

0 < х < 1-1;

г-1 <- х < 21-1. 2к < х < 2к + 1 .

21-1 ^ х <• X. 2к + 1 < х < 2к .

+ (х — тТк) 5 тТк < х < 1.

(2.3)

Равенству (2.3) можно придать более компактный вид, если мы введем следующее обозначение:

"иг, при и > 0;

и+ =

0, при и < 0.

(2.4)

Пусть Дтф = Д™ф(£) означает оператор конечной разности порядка т с шагом Л,, т.е.

Д фсо = ф(^ +к) - ф(t), Дфсо = ф(^ + 2^) -2ф(^ +к) + Дтф(о = д1дг ф(t), m >2.

Рассмотрим функцию

ф(і) = фх(і) = (х — і)+, 0 < і < 1, 0 < х < 1.

Имеем

Д22к+ТФ(І) ,=і-1 = Ф(І) — 2^(^—1) + Ф(1—1)'

Отсюда с учетом (2.5) и (2.4) находим

Д2

-кй- Ф(і)

2к + Т

= 0, 0 < х <

і — 1 2к ’

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Д і ф(і)

2к + Т

і — 1

= їх—

,=^ I 2к

і - 1 2і - 1

< х <

Д і Ф(і)

2к + Т

і — 1

<=^ = Iх — 2к

2х

2к

2і — 1 2к+1

2Й+1 ’ 2і 1

Д2 і ф(і)

2к + Т

2х

2і — 1 2к+1

іі + 1 х — 2^ ■ 2^ < х < 1

Сопоставляя (2.7)-(2.10) с (2.3) получаем (п = 2к + г, г = 1,..., 2к, к = 0,1,...)

2к/2

хг,п(х) = —(х - г)+ |<=^ •

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

Рассмотрим некоторые свойства функций хг,п(х), вытекающие из равенства (2.11). Прежде всего заметим, что поскольку функция ф(£) = фх(£) = (х - £)+ выпуклая, то Д|фх(^) > 0 при 0 < х < 1. Стало быть в силу (2.2) и (2.11)

хг,п(х) > 0, 0 < х < 1, п = 1, 2,... (2.12)

Если г > 2, то из (2.2) и (2.11) следует, что функция хг,п(х) дифференцируема г - 1 раз и

хГП (х) = Хг-^п (х), 0 < V < г — 1, 0 < х < 1, п = 1, 2,...

(2.13)

Отсюда, в свою очередь, имеем (г > 2).

Хг-^,п(х) ---

1

(х — і)г ^ 2Х1)П (і) 0 < V < г — 2, 0 < х < 1, п = 1, 2,... (2.14)

(г — V — 2)!

Если г = 1, то из (2.1) непосредственно находим,

г

г

2

I

к

2

г

г

г

г

г

X

Xl,n(x) = J Xn(t) dt, 0 < x < 1, n > 1.

O

(2.І5)

С другой стороны, равенство

^n(x) = 2||xn||cy Xn(t) dt, n = 1, 2,..

O

(2.І6)

определяет [5] функции Фабера - Шаудера ^п(х) за исключением функции ^0(х) = 1. Сопоставляя (2.15) и (2.16), замечаем, что

Х1,п(х) =,, 1 .. ^п(х), 0 < х < 1, п = 1, 2,...

2||Хп||с

Из (2.12) и (2.13) вытекает, что функция %г,п(х) не убывает на [0,1]. Поэтому при г > 2

С другой стороны, из (2.3) имеем

Xr,n(1) = ( ( 1 —

max Xr,n(x) = Xr,n(1).

O<x<1

• 1 \ r / o- T \ r / • \ r\

i — 1 \ / 2i — 1 \ / i \ \ 2 2

2k

2І

+ 1 —

= tt (xr — 2 (x + 2^+1

2k+1 I \ 2k

A)' ).=^

r!

r2

+ x + '

2k 2 = ^A2 1 xr

r! 2k+1

x = 1--4-

где 1 — 2^ < 0 < 1 — 1-1. Отсюда выводим

2k

2k

d2

2k r V 2k+1 / dx2

r- 2

x=0

Xr,,(1) < 21 *-2) Ґ1 — , n = 2k + i.

r!

22k+2

2k

(2.І7)

(2.І8)

Из (2.18) и (2.19) вытекает следующая оценка (r > 2, n = 2k + i, i = 1, 2,..., 2k, k = 0,1,...)

ok / ‘ і \ r — 2 —3

22 / i — 1 \ n2

max xrn (x) < 7--------Mlnn, , 0 1-----гт— < -----------------f= .

0<x<l , y J (r — 2)!22k+2 ^ 2k J (r — 2)^\/2

(2.І9)

(2.2О)

x

x

r

x

3. Г-КРАТНО ИНТЕГРИРОВАННЫЕ РЯДЫ ХААРА

Пусть г — натуральное число, функция / = /(х) непрерывно дифференцируема на [0,1] г — 1 раз, причем /(г-1) абсолютно непрерывна. Тогда /(г) є Ь1 (0,1) и мы можем рассмотреть коэффициенты Фурье - Хаара функции /(г) (х):

1

/г,п = Сп(/(г)) = ^ /(г) (і)Хп(і) dі (3.1)

0

и ее ряд Фурье - Хаара

ГО

/(г) (х) = X! /г,пхп (х) (3.2)

п=1

который сходится к /(г)(х) в метрике пространства Ь1 (0,1). Более того, если

N

^ (/(г) ,х) = Х! Л^п (x), (3.3)

п=1

то в силу оценки (1.9)

|/(г)(х) — ЗД(г),х)| < С1 <*(N,/(гЛ .

Далее запишем формулу Тейлора

г-1

/(х) =

/ ^(0) х" +, /(х — і)г-1 /(г) (і) dі

V=0 V! (г — 1)!

где

п=1

^ /(V) (0)

^г-1(х) = ^г-1(/,х) = ^---------------!—;

V=0 V!

(3.4)

(3.5)

и подставим вместо /(г)(£) его значение из (3.2), тогда в силу (2.1)мы находим

ГО

/(х) = ^—1(/ х) + X! Л^хт^ (3.6)

Равенство (3.6) мы получим формально путем почленного интегрирования ряда Фурье - Хаара, умноженного на (х — і)г-1. Покажем, что эта операция законна.

Теорема 3.1. Пусть 1 < г — целое, / = /(х) г — 1 раз непрерывно дифференцируема на [0,1], причем /(г-1) (х) абсолютно непрерывна на [0,1]. Тогда имеет место равенство (3.6), причем ряд в правой части этого равенства сходится равномерно.

Доказательство. Имеем

(х — і)г 1 /(г) (і) dt — / (х — і)г 15^(/(г), і) dt

< /(х — і)г-1 /(г) (і) — ^(/(г) ,і^і

<

< У |х — і|г-11/(г) (і) — ^ (/(г),і)| <й <у |/(г) (і) — ^ (/м,«)| Л < 01^1 (-,/<г)) ^ 0, N

00

Отсюда равномерно относительно 0 < х < 1,

^(х) =

(г — 1)!

(х — і)г-1/(г)(і) dt = Ііт

N(г — 1)!

(х — і)г-1 ^(/(г),і) dі =

N 1 Х N го

= *11т XI /г,^Т-ТТГ (х - ^)Г—1хп(^) ^ = 11т V /Г)Пхг,п(х) = V /г,пхг,п(х).

N —— го ' ^ (г — 1)! / N ——го ' ^ ^

п=1 ; 0 п=1 п=1

Тем самым доказано, что ряд, фигурирующий в правой части равенства (3.6), сходится равномерно к своей сумме д(х). Поэтому справедливость равенства (3.6) при 0 < х < 1следует из (3.5). Теорема 1 доказана.

Ряд (3.6) мы будем называть г-кратно интегрированным рядом по системе Хаара. Через (/, х) мы обозначим частичную сумму ряда (3.6) вида

N

Уг^ (/,х) = Фг-1 (/,х) + X /г,пХг,п (х).

п=1

(3.7)

Заметим, что если N = 2к + і, то Уг^(/, х) представляет собой г — 1 раз непрерывно дифферен цируемый полиномиальный сплайн порядка г с узлами в точках сети ПN = {}2=0 и {§§-т}^=1-Остаточный член ряда (3.6) мы обозначим через Лг^(/,х), т.е.

1

V

X

X

X

1

X

X

1

1

ГО

Дг,м (/,х)= £ /г,п хг,п(х). (3.8)

п=М+1

Из (3.7) и (3.8) имеем

/(х) - (х) = ЯГ)м(/, х). (3.9)

Далее заметим, что для полинома Тейлора из (3.6) справедливо равенство

$-1 (/,х) = $г —V — 1 (/М ,x), (3-10)

а для коэффициентов /г,к , определенных равенством (3.1) имеем

/г,п = /Т-> . (3.11)

С другой стороны из (3.6) находим

/ (и) (х) = дГ-1(/,х) + ^ /г,п хТ^) (х). (3.12)

Сопоставляя (3.10)-(3.12) с (2.13), получаем

ГО

/ М (х) = $г —V —1(/М,х) + ^ /Г—'1,пхг — ^,п (х) = ^г —^ (/М,х) + #п(/(^),х). (3.13)

П = 1

Аналогично из (3.7) имеем

П(,Й(/,х) = $г —V—1 (/М,х) + ^ /Г—1,П хг — ^,п (х) = ^г —^ (/М,х). (3.14)

Из (3.13) и (3.14) выводим (0 < V < г - 1)

N

^(/ х) = П 1 (/(V) х) + ^ /Т^,п Хг-V,n (х) = П-^ (/(V)

п=1

го

/ М(х) - Гг^(/,х)= (/М ,х)= ^ /г,пхг —^,п(х). (3.15)

п=М+1

Рассмотрим более подробный случай V = г - 1. В этом случае равенство (3.15) с учетом (3.14) принимает вид

ГО

/(г—1)(х) - У1^(/(г—1),х)= ^ /г,пх1,п(x), (3.16)

n=N+1

где

п

(/(Г —1),х) = / (Г —1)(0) + ^ Дп Хl)n(x), (3.17)

п=1

а равенство (3.13) дает

ГО

/(г—1) (х) = /(г—1) (0) + ^ /г,пх1,п(х) (3.18)

п=1

причем ряд (3.18) сходится равномерно относительно х е [0,1]. С другой стороны, из (2.16) и (3.18) имеем (^0(х) = 1):

ГО »

/(г —1) (х) = /(г) (0)^о(х) + X 2||хГ’П| ^п(х) (3.19)

п=1 2^хп^С

где ^п(х) функции Фабера - Шаудера. Поскольку система Фабера - Шаудера является базисом в С(0,1), то из единственности /(г—1)(х) по этой системе вытекают равенства (см.[5]) /0 = А0(/(г—1)),

- /(г—11 (0) = А(/<г—1>),

211х1 Ус

го

2||Х

пІІС

= /(г-1)

2і 1

2к+1

2

?(г-1)

і — 1 2к

+/

(г-1)

2к

= Ап (/<г-1)),

где п = 2к + і, і = 1,..., 2к, к = 0,1,... В частности, из (3.17) и (3.20) следует, что

N

у1^ (/(г 1))^Х Ап (/(г 1) )^п (х)

п=0

а из (3.16) и (3.20) находим

(3.20)

(3.21)

/(Т (ж) — У1^(/(Т 1),х)= £ Ап(/(Т )^п(х’),

n=N+1

или

го

/ (г-1) (х) = ^ Ап(/(Т-1) )^п(х).

п=0

(3.22)

(3.23)

Это означает, что (г - 1)-кратное дифференцирование г-интегрированного ряда (3.6)приводит к ряду Фабера - Шаудера функции /(г—1)(х). Это, в свою очередь, означает,что если г = 1, то г-кратно интегрированный ряд функции / = /(х) по системе Хаара совпадает с ее рядом Фабера - Шаудера. Итак, если / = /(х) абсолютно непрерывная функция, заданная на [0,1], то ее ряд Фабера - Шаудера есть г-кратно интегрированный ряд по системе Хаара, соответствующий случаю г = 1.

4. АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ У^(/)

Пусть р > 1, г — натурально. Обозначим через пространство функций / = /(х), непрерывно дифференцируемых на [0,1] г — 1 раз, для которых /(г-1) (х) абсолютно непрерывна на [0,1] и

/М є (0,1).

Мы рассмотрим аппроксимативные свойства операторов УТ^ (/) на классах . Нам понадобится

следующая величина:

-2 (/,5)= эир |/(х + ^) + / (х — ^ — 2/(х)|

0< г< 5,

/г < х < 1 — г

(4.1)

представляющая модуль гладкости второго порядка / = /(х), определенной на [0,1].

Теорема 4.1. Пусть г — натурально, 0 < V < г - 1. Если / е , то имеет место оценка

|/(

">(х) — У'Й (/, х)| <

„Т-1-V

/ (т-1) _1 (г — 1 — V)!-2 V7 , N

0 х 1.

(4.2)

Доказательство. Рассмотрим сначала случай V = г - 1. Тогда имеет место следующая известная (см. [5, с. 207]) оценка:

ЛГ

/(Т 1) (х) — X Ап(/(Т 1) )^п(х)

п=0

< -2 (/«^-і) .

Сопоставляя (3.21) и (4.3), находим

/ 'Т-1» (х) — (/(Т-1) ,х)| < -2 (/(г-1), -1) , 0 < х < 1.

(4.3)

(4.4)

Утверждение теоремы 4.1, относящееся к случаю V = г - 1, доказано. Пусть 0 < V < г - 2, тогда в силу (3.15)

/ М (х) — У<Й(/,х)

n=N+1

/Т

1

(х — і)Т V 2Хl,n(і)dі

(г — V — 2)! У

n=N+1 4 ’ 0

<

<

1

(г — V — 2)!

(х — і)

Т-V-2

dt

^ ] /Т,пХ1,п (і)

n=N+1

1

Т,п

го

X

го

го

X

го

(г - V - 2)!

(х - г)’——2 /<г-1> (() - У1,„/<’—>(/,()

Если мы здесь воспользуемся оценкой (4.4), то получим

/М (х) - Уг^(/,х)

<

^2 (/(г—1>, N )

(г - V - 2)!

(г - V - 1)!

^2 /

N

Теорема 4.1 доказана.

Замечание 1. Величина <^2(/(г—1),5), определенная с помощью равенства (4.1) и фигурирующая в теореме 4.1, может быть описана с помощью г-той производной /(г) (х) функции / е , коэффициенты Фурье - Хаара которой участвуют в конструкции оператора (/). В самом деле, если

/ е ^, то

х+Н х

/(г—1>(х + Л) + /<г—1>(х - Л) - 2/(г—1)(х)= У /<:)(«)Л - У /<:)(()Л =

х х —Н

поэтому мы можем определить величину п(/(г) ,^) следующим образом:

^2 (/(г 1) ,5)= БИр

0 < Н < 5,

/г < х < 1 — Н

[/(г) (х + () - /(г) (х + ( - й)! ^

= П(/(г),«).

(4.5)

Теперь оценка (4.2) приобретает следующий вид:

/м(х) - У<«(/,х)

«Г —1 —V

<

(г - 1 - V)!П/

0 < V < г - 1, 0 < х < 1.

В качестве следствия отметим, что, если,например, /(г)(х) удовлетворяет условию Липшица

(4.6)

/(г) (х1) - /(г) (х2) < М|х1 - х2|а, 0 <а < 1, 0 < х1,х2 < 1,

то из (4.6) вытекает оценка

/(г) (х) - У‘Й(/,х)

„Г — 1— V

<

М

(г - 1 - V)! N 1+с

-, 0 < V < г - 1, 0 < х < 1.

Теорема 4.2. Пусть г > 2, / е ^(/(г))ь2 = ||/(г) - 5^(/(г))||2 — наилучшее приближение порядка N функции /(г)(х) в пространстве Ь2[0,1] полиномами по системе Хаара {хп (х)}^=1. Тогда

/ мо*) - у‘^;(/,х)

0 < х < 1, 0 < V < г - 2.

2(г - V - 2)!^

Доказательство. Воспользуемся равенством (3.15), тогда, пользуясь неравенством Коши - Буня-ковского, имеем

ГО \ 1/2 / ГО

22 Г’П

n=N+1

1/2

^ у хг — ^,п (х)

n=N+1 ,

1/2

= (/(Г))Ь2 X] х2 — „,п (х)

(4.7)

чn=N+1

Обратимся к оценке (2.19). Тогда

X

1

х

н

н

ГО

ОО 1 ОО 1

5] (х) < 2((г - V — 2)!)2N^5] П3 <

п=М+1 44 ' ' п=М+1

сю

1 Г ЙХ _ 1 (4

< 2((г — V — 2)!)2 У х3 4((г — V — 2)!)2Ж2

N

Сопоставляя (4.7) и (4.8) убеждаемся в справедливости теоремы 4.2.

Замечание 2. Пусть 1 < т — натуральное число. — т-мерное пространство ступенчатых функций вида

га

д(х) _ ^ СкХк(х)-

п=1

Через НГ обозначим линейное пространство г — 1 раз непрерывно дифференцируемых на [0,1] полиномиальных сплайнов степени г таких, что /(г) Є Н0. Тогда, если / є НГ, то /г,п = 0 при п > т. Поэтому г-кратно интегрированный ряд (3.6) для такой функции приобретает вид

/(х) = ^г-1(/, х) + V /г,пХг,п(х).

П=1

Отсюда следует, что система функций

{1,Х,... ,хг-1} и {хГ)П(х)}П=1

является базисом пространства НГ. Кроме того, оператор Уг>^(/) = Уг>^(/, х) является проектором на пространство НГ, т. е. если / є НГ, то

(/,х) = /(х), Х Є [0, 1].

Г її

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00143). Библиографический список

1. Шарапудинов И.И. Смешанные ряды по некоторым ортогональным системам и их приложения // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 12-й Сарат. зимней школы. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004. С. 205-206.

2. Шарапудинов И.И. Приближение функций с пе-

ременной гладкостью суммами Фурье - Лежандра // Мат. сб. 2000. Т. 191, № 5. С. 143-160.

3. Шарапудинов И.И. Смешанные ряды по ультрасфе-рическим полиномам и их аппроксимативные свойства // Мат. сб. 2003. Т. 194, № 3. С. 115-148.

4. Шарапудинов И.И. Аппроксимативные свойства операторов Уп+2т (/) и их дискретных аналогов // Мат. заметки. 2002. Т. 72, № 5. С. 765-795.

5. Кашин С.Б., Саакян А.А. Ортоганальные ряды. М.: АФЦ, 1999.