CC BY
7
Владикавказский математический журнал 2020, Том 22, Выпуск 4, С. 92-103
УДК 517.98
DOI 10.46698/d4799-1202-6732-b
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНО АДДИТИВНЫХ ПОЛИНОМОВ В БАНАХОВЫХ РЕШЕТКАХ
З. А. Кусраева1,2, C. Н. Сиукаев3
Региональный научно-образовательный математический центр ЮФУ, Россия, 344006, Ростов-на-Дону, Большая садовая, 105/42; 2Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, Россия, 362027, Владикавказ, Маркуса, 22; 3Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, Россия, 362025, Владикавказ, Ватутина, 44; E-mail: zali13@mail.ru
Посвящается профессору Кутателадзе Семену Самсоновичу по случаю 75-летнего юбилея
Аннотация. Пусть E и F — банаховы решетки, а Po(sE, F) и P^(sE, F) обозначают соответственно пространства непрерывных и регулярных ортогонально аддитивных s-однородных полиномов, действующих между банаховыми решетками E и F. Основные результаты статьи таковы. Теорема 3.4. Пусть s £ N and (E, || • ||) — порядково а-полная s-выпуклая банахова решетка. Равносильны следующие утверждения: (1) Po(sE,F) = РГ(sE,F) для любого AM-пространства F; (2) Po(sE,co) = РГ(sE,F) для любого AM-пространства F; (3) Po(sE,c0) = PI (sE,co); (4) Po(sE, со) = Por(sE, c0); (5) E дискретна и порядково непрерывна.
Теорема 4.3. Пусть E и F — банаховы решетки, причем E s-выпукла для некоторого натурального s £ N. Тогда равносильны следующие утверждения: (1) Pr(sE,F) —векторная решетка и регулярная норма. || • ||r on РГ (sE, F) на ней порядково непрерывна. (2) Каждый положительный s-однородный ортогонально аддитивный полином из E в F является L- и M-слабо компактным. Теорема 4.6. Пусть E и F — банаховы решетки, причем F обладает положительным свойством Шура, а E s-выпукла для некоторого s £ N. Тогда равносильны утверждения: (1) (РГ (sE, F), || • ||r) является KB-пространством. (2) Регулярная норма || • ||r пространства РГ(sE,F) порядково непрерывна. (3) E не содержит подрешеток, изоморфных Is.
Ключевые слова: банахова решетка, AM-пространство, KB-пространство, однородный полином, ортогональная аддитивность, регулярная норма, порядковая непрерывность. Mathematical Subject Classification (2010): 46A16, 46B42, 46G25, 47H60, 47L22. Образец цитирования: Кусраева З. А., Сиукаев C. Н. Некоторые свойства ортогонально аддитивных полиномов в банаховых решетках // Владикавк. мат. журн.—2020.—Т. 22, вып. 4.—С. 92-103. DOI: 10.46698/d4799-1202-6732-b.
1. Введение
В последнее десятилетие значительно возрос интерес к исследованию порядковых свойств полиномов в бесконечномерных функциональных решетках. Это связано с тем, что многие важные свойства полиномов зависят от естественного отношения порядка в пространствах, в которых они действуют. Кроме того классы полиномов между банаховыми решетками, выделяемые комбинированными метрическими и порядковыми свойствами, имеют богатую структуру и интересные взаимосвязи.
© 2020 Кусраева З. А., Сиукаев C. Н.
В то время как алгебраические и линейно-топологические свойства полиномов, как и взаимосвязи с геометрией банаховых пространств, имеют давнюю историю и хорошо освещены в литератруре (см., например, [1]), изучение порядковых свойство полиномов в векторных и банаховых решетках начато сравнительно недавно: в качестве двух стартовых точек можно указать работы Сандаресана [2] и Греку и Ряна [3] (см. также первые три диссертации на эту тему [4-6]). Последующее развитие отражено в источниках [7-13]; см. также указанную в них литературу.
Традиционной для теории линейных регулярных операторов в банаховых решетках является проблема: как влияют на строение того или иного класса линейных операторов свойства банаховых решеток, в которых действуют рассматриваемые операторы [14, 15]. В настоящей работе рассмотрены два вопроса в классе ортогонально аддитивных однородных полиномов: при каких условиях каждый ограниченный по норме полином является регулярным и является ли регулярная норма на пространстве всех таких полиномов порядково нерперывной?
Структура работы такова. Для каждой равномерно полной векторной решетки E и фиксированного натурального числа s существует s-однородный канонический полином, действующий из E в s-вогнутизацию E(s) решетки E, такой, что широкий класс ортогонально аддитивных полиномов допускает представление в виде композиции канонического полинома с линейным оператором, определенном на E(s). Этот результат вместе с необходимыми для дальнейшего определениями и обозначениями приводится во втором параграфе. В третьем параграфе обсуждается вопрос о том, когда каждый ограниченный по норме ортогонально аддитивный однородный полином является регулярным. Показано, что линеаризация с помощью канонического полинома позволяет переносить на ортогонально аддитивные полиномы реультаты, полученные для линейных операторов. В четвертом параграфе указаны условия, при которых регулярная норма в пространстве регулярных ортогонально аддитивных однородных полиномов является порядково непрерывной.
Банахова решетка E — это банахово простарнство (E, || ■ ||), являющееся одновременно векторной решеткой с монотонной нормой, т.е. для x,y € E неравенство |x| ^ |y| влечет ||x|| ^ ||y||, где |x| = x V(—x) = sup{x, —x}. Норму в банаховой решетке E (а также саму банахову решетку) называют порядково непрерывной, если для всякой убывающей сети (xa) в E из infa xa = 0 следует lima ||xa|| = 0. Банахово двойственное пространство E', снабженное двойственной нормой и двойственным порядком, также является банаховой решеткой. Используются стандартные обозначения и терминология теории банаховых решеток из книг Алипрантиса и Беркиншо [16] и Мейер-Ниберга [17], а также теории полиномов из книги Дайнина [1]. Всюду в тексте := означает «равняется по определению», а IN и К, обозначают соответственно множества натуральных и действительных чисел.
2. Предварительные сведения
В этом параграфе собраны необходимые для дальнейшего сведения об однородных полиномах и степени банаховой решетки.
Определение 2.1. Возьмем натуральне число s € N и векторные пространства E и F. Отображение P : E ^ F называют однородным полиномом степени s (или s-однородным полиномом), если существует s-линейный оператор ^ : Es ^ F такой, что P = ^ о As, где As : E ^ Es — дигональное отображение As : x ^ (x,..., x) € Es. Существует единственный симметричный s-линейный оператор для которого P = ^ о As; последний обозначается символом Р, так что P(x) = P(x,..., x) для всех ж € E. Напомним, что s-линейный оператор ^ : Es ^ F симметричен, если ^(xi,...,xs) = ^(xCT(i),..., xa(s)) для любой перестановки а множества индексов {1,..., n}.
Непрерывность s-однородного полинома P между нормированными пространствами E и F равносильна его ограниченности (на единичном шаре). Норма ограниченного полинома P определяется формулой
||PII = sup {||P(x)|| : ||x|| = 1} = inf {C > 0 : ||P(x)|| < C||x||s, x € E}, (1)
следовательно, ||P(x)|| ^ ||P||||x||s (x € E). Векторное пространство всех непрерывных s-однородных полиномов из E в F, снабженное нормой (1), обозначается символом P(sE, F). При s = 1 получаем пространство линейных непрерывных операторов L(E, F):= P(1E,F).
Определение 2.2. Однородный полином P из векторной решетки E в векторное просторанство Y называют ортогонально аддитивным, если |x| Л |y| =0 влечет P(x + y) = P(x) + P(y) для всех x, y € E. В случае, когда Y — также векторная решетка, P называют положительным, если P(xi,...,xn) ^ 0 для всех x1,...,xn € E+, и ор-торегулярным, если P представим в виде разности двух положительных ортогонально аддитивных однородных полиномов.
Обозначим через Po(sE, F) пространство непрерывных ортогонально аддитивных s-однородных полиномов, действующих между векторными решетками E и F. Пусть PQ (sE, F) — часть Po(sE, F), состоящая из регулярных полиномов. Отношение порядка в P£(sE, F) вводится, как обычно, с помощью конуса положительных полиномов: P ^ Q тогда и только тогда, когда 0 ^ Q — P. Регулярная норма || • ||r на PQ (sE, F) вводится формулой { }
||P||r := inf {||Q|| : ±P < Q € P0r(sE, F)}. (2)
Для положительного полинома Q € Pr (sE, F) имеет место равенство
||Q||r = ||Q|| = sup {||Q(x)|| : 0 < x € E, ||x|| < 1}. (3)
Возьмем банахову решетку E и вещественное число 0 < p < то. Используя однородное функциональное исчисление, можно определить новую структуру векторной решетки на E, сохранив тот же порядок и определив новые операции векторного пространства.
Определение 2.3. Введем сложение ф и умножение на скаляры © в банаховой решетке E формулами x ф y = (xp + yp)1/p и Л © x = где x, y € E и Л € R. Тогда E(p) := (E, ф, ©, — векторная решетка. Обозначим символом ip тождественное отображение на (E, рассматриваемое как оператор из E на E(p). Определим также функцию || • ||(p) : E(p) ^ R формулой ||ip(x) |(p) := ||x||p (x € E). Векторную решетку E(p) вместе с квазинормой || • |(p) называют p-вогнутизацией решетки E (см. книгу Линденштрауса и Цафрири [18]).
Если в € М, то приняты также обозначения Е50 := Е(5) и ж50 := 15(х) (см. Булабиар и Бускес [19]). При этом существует единственное симметричное в-линейное отображение
: Е5 — Е50 такое, что ©8(ж,... ,х) = 15(х) для всех х € Е+. Соответствующий в-одно-родный полином из Е в Е50 называют каноническим полиномом банаховой решетки Е и обозначают символом ]3, подробности см. в [20].
В следующем предложении собраны основные факты об операторе 1р [20].
Предложение 2.1. Нелинейное отображение 1р : Е — Ер обладает свойствами:
(1) 1Р — порядковый изоморфизм и гомеоморфизм между Е и Ер;
(2) 1Р нечетно и сохраняет модуль: 1р(—х) = —1р(х) и 1(ж)| = ¿р(|х|) для всех ж € Е;
(3) 1р ортогонально аддитивен и сохраняет дизъюнктность: 1р(х + у) = 1р(х) + 1р(х) и ж ± у влечет 1р(х) ± 1р(х) для всех ж, у € Е;
(4) 1р((хр + ур)1/р) = 1р(х) ® 1р(у) и 1р(Х1/рх) = X © 1р(х) для всех ж, у € Е и \ € М;
(5) (Е(р))(д) = (Е(я))(р) = ЕЫ и 1р 0 Ч = Ч 0 1р = Чр> в частности, Н/з = 111;
(6) если р € М, то ](х) = 1р(х+) + (—1)р 1р(х-) для всех ж € Е.
< Все утверждения следуют непосредственно из определения 1р и конструкции Ер. >
Вообще говоря, У ■ ||(р) не является нормой, так как вместо неравенства треугольнни-
ка выполняется ||ж ф уЦ(р) ^ 2|1-1/р|(||х||(р) + ||у||(р)). Чтобы гарантировать неравенство треугольника, нужно дополнительное предположение о выпуклости Е.
Определение 2.4. Банахову решетку Е называют р-выпуклой, 0 < р < то, если существует постоянная С такая, что
/ тп \ ^
для любого конечного набора {ж1,... ,хт} т Е [18].
Лемма 2.1. Пусть 0 < р, д < то. Вогнутизация Ер банаховой решетки Е будет д-выпуклой в том и только в том случае, когда Е (рд) -выпукла. В частности, Ер — банахова решетка лишь в том случае, когда Е г-выпукла для некоторого р ^ г < то.
< См. [20, следствие 3.12]. >
При довольно общих условиях для в-однородного ортогонально аддитивного полинома Р : Е — Р существует единственный линейный оператор Т : Е50 — У такой, что
Р(х) = Т(х50), х € Е. (5)
Теорема 2.1. Пусть Е — банахова решетка, У — векторное пространство и Р : Е — У — ортогонально аддитивный в-однородный полином. Тогда Р допускает представление (5) в каждом из следующих случаев:
(1) У — нормированное пространство и Р непрерывен по норме;
(2) У — нормированная решетка и Р регулярен.
Более того, отображение Т — Т о осуществляет соответственно изометрический изоморфизм нормированных пространств ^(Е50,У) и Р0(5Е,У) и порядковый и изометрический изоморфизм упорядоченных нормированных пространств ^г (Е50, У) и Р0 (5Е,У)■
< См. теорему 2.10 и следствия 2.11 и 2.12 в [20]. >
Замечание 2.1. Теорема 2.1 лежит в основе метода линеаризации изучения ортогонально аддитивных полиномов. В наиболее общем виде она предложена в [13] и уточнена в [7]. Примеры применения метода рассмотрены в [4, 20, 21].
< С Е
, к=1
(4)
р
р
3. Характеризация дискретных порядково непрерывных банаховых решеток
Дискретные порядково непрерывные банаховы решетки играют важную роль в различных вопросах теории операторов (см., например, [14] и [15]). Уолш [22, теорема 1] дал внутреннее описание этого класса пространств как класса банаховых решеток с компактными по норме порядковыми интервалами, а Ван Рой [23, теорема 10.2] установил, что банахова решетка E дискретна и поряково непрерывна тогда и только тогда, когда для любой банаховой решетки F упорядоченное пространство регулярных операторов из E в F является векторной решеткой. Внук [24] получил другую характеризацию дискретных порядково непрерывных банаховых решеток, для формулировки которой нужны следующие обозначения. Равенство PO(sE, F) = PQ(sE, F) означает, что каждый непрерывный ортогонально аддтивный s-однородный полином из E в F регулярен. Если же, сверх того, ||P|| = ||P||r для всех P € PO(sE, F), то будем писать PO(sE, F) = Pr(sE, F). При s = 1 приняты обозначения: L(E,F):= PO(1E,F) и Lr(E, F):= PQ(1E,F).
Теорема 3.1. Для порядково а-полной банаховой решетки E равносильны утверждения:
(1) E дискретна и порядково непрерывна;
(2) L(E,co) = Lr(E,co);
(3) L(E,co) = Lr(E,co).
Для того чтобы получить вариант этой теоремы для ортогонально аддитивных полиномов, нам потребуются два вспомогательных результата.
Лемма 3.1. s-выпуклая банахова решетка E дискретна (порядково непрерывна, обладает свойством Леви или Фату) тогда и только тогда, когда таковой является банахова решетка E(s).
< Доказательство следует непосредственно из определений и леммы 2.1. Нужно лишь заметить, что в силу предложения 2.1 (1) отображения is и ¿-1 сохраняют дискретные элементы, порядково ограниченные множества, точные границы, монотонные последовательности и направленнные сети, а ввиду s-однородности is (предложение 2.1 (4)), сохраняют также и ограниченность по норме. >
Теорема 3.2. Пусть E — банахова решетка, at 1(E) — множество дискретных элементов единичной нормы в E, а F — AM-пространство. Если линейная оболочка at 1(E) плотна в E, то PO(sE, F) = PQ(sE, F).
< Для s = 1 этот факт установил Хун Юнь Сюн [25, теорема 2.2]. В общем случае работают аналогичные соображения. Пусть A := at 1(E) и линейная оболочка Eo := Lin(A) плотна в E. Тогда E0 — подрешетка в E и отображение P ^ P0 := P|e0 представляет собой изометрический решеточный изоморфизмом из PO(sE, F) на PO(sE0,F), так как каждый полином из PO(sEo,F) допускает единственное продолжение на все E с сохранением нормы. Заметим, что A — базис Гамеля пространства Eo и произвольный x € Eo может быть представлен в виде x = Afcflfc, где n € N, A1,...,An € R и A(x) := {a1,..., an} С A. Таким образом, полином P € PO(E, F) однозначно определяется своими значениями на подрешетке Eo, причем для x € Eo имеем Po(x) = AkP(afc) в силу ортогональной аддитивности и s-однородности P. Если x1,...,xs € Eo, то xj = П=1 Ajfcajfc для всех j = 1,..., s, так как, добавляя в сумму нулевые члены, можно считать A(xi) = A(xj). Используя ортосимметричность Р, выводим
n
Po(xb...,xs) = A1fc ••• Asfc P (afc). fc=1
Отсюда видно, что Р ^ 0 в том и только в том случае, когда Ро ^ 0, в то время как последнее означает, что Р(а) = Р0(а) ^ 0 для всех а € А. Определим полином Qo : Ео ^ Р формулой <о(х) = А'к |Р(ак)|. Как видно, будет з-однородным
полиномом, порождающий з-линейный, полилинейный оператор которого имеет вид <0(х1,..., х3) = ^Гк=1 А1к • • • А3к|Р(ан)|. Так как различные а1,... ,ап попарно дизъюнктны, то
|х| = ^2 А|ан = ^^п(Ак)\кан = \/
£к€{-1,1}
к=1
к=1
У] £к Акак
к=1
Теперь, принимая во внимание, что Е является АМ-пространством, приходим к оценкам
|<о(х)|| <
Е1 АкР (Хк )|
к=1
V Ак Р (ак)
£к€{-1,1} к=1
V
£к €{-1,1}
Р\^2£к Ак ак
к=1
< 11Р11 ||х|
В силу сказанного выше существует единственный полином < € Ро(3Е, Р) такой, что <(х) = <0(х) для всех х = ^П=1 Акак € Е0, причем < ^ ±Р, так как <(а) ^ ±Р(а) для всех а € А. Следовательно, < € Рг(3Е,Р) и ||Р||г ^ ||<||. С другой стороны, 1КП = ||<о|| < ||Р||, поэтому ||Р||г = ||Р||. >
Теорема 3.3. Пусть в € N и (Е, || • ||) — порядково а-полная з-выпуклая банахова решетка. Равносильны следующие утверждения:
(1) Ро(3Е, Р) = р (3Е, Р) для любого АМ-пространства Р;
(2) Ро(аЕ, Р) = Р(3Е, Р) для любого АМ-пространства Р;
(3) Ро(3Е,ео) = Рг0(3Е,ео);
(4) Ро(3Е,ео) = Р(3Е,ео);
(5) Е дискретна и порядково непрерывна.
< Импликации (1) (2) (3) очевидны. Заметим, что Е30 — банахо-
ва решетка в силу леммы 2.1. Если Ро(3Е,с0) = РГ(3Е,с0), то по теореме 2.1 имеем &(Е30,со) = &г(Е30,со), следовательно, &(Е30,со) = (Е30,со) и, кроме того, Е30 дискретна и порядкво непрерывна ввиду теоремы 3.1. Повторное применение теоремы 2.1 дает Ро(3Е,с0) = Р0(3Е,с0), а на основании леммы 3.1 заключаем, что Е дискретна и порядково непрерывна. Таким образом, (3) (4) (5). Оставшаяся импликация (5) (1) следует из теоремы 3.2. >
Замечание 3.1. Импликацию (5) (1) в теореме 3.3 можно вывести из теоремы 2.1 не обращаясь к теореме 3.2. Однако, теорема 3.2 имеет самостоятельный интерес, так как она утверждает справедливость этой импилкации при более слабых предположениях. Нам неизвестно, верно ли обращение теоремы 3.2.
Рассмотрим еще два результата о регулярности ограниченных по норме полиномов, хорошо известных в линейном случае. Всякое дискретное АЬ-пространство изометрически и решеточно изоморфно 11(Г) для некоторого непустого множества Г. В то же время, дискретное АЬ-пространство является единственной с точностью до решеточного изоморфизма банаховой решетки Е, для которой выполняется равенство &(Е, Р) = (Е, Р) [15, теорема 2.4].
Теорема 3.4. Для банаховой решетки Е равносильны следующие утверждения:
(1) Е решеточно изоморфна I3 (Г) для некоторого непустого множества Г;
3
(2) РО(5Е, Р) = РГ (Е Р) для любой банаховой решетки Р;
(3) РО(5Е, Р) — векторная решетка для любой банаховой решетки Р.
< При в = 1 требуемое — это теорема 2.4 из [15]. Общий случай легко выводится по изложенному образцу с использованием теоремы 2.1. Нужно только заметить, что если Е решеточно изоморфна Р(Г) для некоторого непустого множества Г, то Е50 решеточно изоморфна ¿*(Г). >
Напомним, что ЛЬЯ-пространством называют банахову решетку (Е, У ■ У), норма которой удовлетворяет равенству ||х + у||5 = ||х||5 + ||у||5 для любой пары дизъюнктных элементов х,у € Е+.
Теорема 3.5. Для банаховой решетки Р равносильны следующие утрверждения:
(1) Р обладает свойством Леви;
(2) РО(5Е, Р) = РГ (5Е, Р) для любой банаховой решетки Е, изоморфной некоторому ЛЬЯ-пространству;
(3) РО(5Е, Р) является решеткой для любой банаховой решетки Е, изоморфной некоторому ЛЬв-пространству
< При в = 1 требуемое — это теорема 2.8 из [15]. Далее работают те же соображения, что и выше. >
4. Порядковая непрерывность регулярной нормы
В работе трех авторов Цзы Ли Чен, Ин Фэн и Джин Си Чен [26, теоремы 2 и 4] найдены необходимые и достаточные условия, при которых пространство линейных регулярных операторов между банаховыми решетками является порядково непрерывной решеткой или же КВ-пространством. В данном параграфе приводятся аналогичные результаты для пространства регулярных ортогонально аддитивных однородных полиномов. Предварительно введем несколько определений.
Определение 4.1. Полином Р : Е — Р называют М-слабо компактынм, если ||Р(хп)|| — 0 для каждой дизъюнктной последовательноси (хга)га^ в Ве, и Ь-слабо компактным , если Р(Ве) — Ь-слабо компактное множество в Р, т.е. ||уп|| — 0 для любой дизъюнктной последовательности (уга)га(=м, содержащейся в солидной оболочке множества Р(Ве). Здесь Вх обозначает единичный шар банахова пространства X, а солидная оболочка 8о1(Л) множества Л определяется формулой 8о1(Л):= и{[-|х|, |х|] : х € Л}.
Как видно, при в = 1 получаем определения Ь- и М-слабо компактных линейных операторов [17, определения 3.6.1 и 3.6.9]. Теперь сформулируем теорему о порядковой непрерывности регулярной нормы в пространстве линейных регуляных операторов.
Теорема 4.1. Для пары банаховых решеток Е и Р равносильны следующие условия:
(1) ^г (Е, Р) — векторная решетка и регулярная норма || ■ ||г на ней порядково непрерывна;
(2) каждый положительный оператор из Е в Р является Ь- и М-слабо компактным.
< Этот результат установлен в [27, теорема 2]. >
Теорема 4.2. Пусть Е и Р — банаховы решетки, причем Е в-выпукла для некоторого натурального в € N. Тогда равносильны следующие утверждения:
(1) РО(5Е, Р) — векторная решетка и регулярная норма || ■ ||г на ней порядково непрерывна;
(2) каждый положительный в-однородный ортогонально аддитивный полином из Е в Р является Ь- и М-слабо компактным.
< В силу теоремы 2.1 отображение Т — Р = Т о J осуществляет сохраняющий регулярную норму порядковый изоморфизм упорядоченных нормированных пространств
(Е50,Р) и РО(5Е, Р). Следовательно, эти пространства одновременно являются или нет векторными решетками, а также регулярные нормы в них одновременно будут или нет порядково непрерывными. Отсюда видно, что утверждения 4.2 (1) и 4.1 (1) равносильны при условии в-выпуклости Е. Далее, последовательность (хга)га^ дизъюнктна и содержится в Ве тогда и только тогда, когда последовательность (уга)пе№ где = ¿¿¡(хга), дизъюнктна и содержится в ВЕа0. Так как при этом Р(хп) = Т(уп), то Р и Т одновременно будут или нет М-слабо компактными. Аналогичное утверждение относительно Ь-слабой компактности очевидно, так как Р(Ве) = Т(ВЕа0). Таким образом, утверждения 4.2 (2) и 4.1 (2) равносильны (также при условии в-выпуклости Е) и требуемое вытекает из теоремы 4.1. >
Теорема 4.3. Пусть Е и Р — банаховы решетки, причем Е в-выпукла для некоторого в € N. Тогда равносильны следующие утверждения:
(1) РГ (5Е, Р) является К В-пространством;
(2) Р — К В-пространство и регулярная норма на РО (Е Р) порядково непрерывна;
(3) Р — К В-пространство и каждый положительный в-однородный ортогонально аддитивный полином из Е в Р является М-слабо компактным.
< Здесь работают те же соображения, что и при доказательстве теоремы 4.2. Нужно только сослаться на [27, теоремы 4] и принять во внимание, что РГ (5Е, Р) будет КВ-пространством тогда и только тогда, когда таковым является упорядоченное нормированное пространство ^г(Е50,Р). >
Определение 4.2. Говорят, что банахова решетка Е обладает положительным свойством Шура, если любая последовательность положительных элементов в Е, слабо сходящаяся к нулю, сходится к нулю по норме.
Теорема 4.4. Пусть Е и Р — банаховы решетки, причем Р обладает положительным свойством Шура, а Е в-выпукла для некоторого в € N. Тогда равносильны утверждения:
(1) (РО(5Е, Р), || ■ ||г) является КВ-пространством;
(2) регулярная норма || ■ ||г пространства РГ (5Е, Р) порядково непрерывна;
(3) Е не содержит подрешеток, изоморфных Iя.
< Импликация (1) (2) очевидна. По теореме 2.1 утверждение (2) равносильно порядковой непрерывности регулярной нормы пространства ^г(Ея0,Р). Чен установил в [27, теорема 3.3], что последнее равносильно порядковой непрерывности (Е50)'. В то же время, порядковая непрерывность сопряженного пространства (Е50)' равносильна тому, что Е50 не содержит подрешеток, решеточно изоморфных I1 [17, теорема 2.4.14]. Последнее означает, что Е не содержит подрешеток, решеточно изоморфных Iя [21]. Таким образом, утверждения (2) и (3) равносильны. Чтобы убедиться в справедливости оставшейся импликации (3) (1), достаточно применить к банаховым решеткам Е50 и Р теорему 13 из [26], утверждающую, что если Р обладает положительным свойством Шура, то ^г (Е50, Р) будет КВ-пространством тогда и только тогда, когда сопряженная банахова решетка (Е50)' порядково непрерывна. >
Определение 4.3. Пусть 1 ^ то. Говорят, что норма банаховой решетки Е р-су-пераддитивна или р-субаддитивна, если, соответственно, (||х||р + ||у||р)1/р ^ ||х + у|| или ||х + у|| ^ (||х||р + ||у||р)1/р для любых дизъюнктных х,у € Е+ (см. [17, р. 138] или [28, определение 7.7]). Точную нижнюю (верхнюю) границу чисел р ^ 1, для которых Е допускает эквивалентную р-супераддитивную (р-субаддитивную) норму, называют соот-
вественно верхним индексом (нижним индексом) E и обозначают символом d(E) (символом t(E)) [28, определение 8.7].
Известно, что 1 ^ d(E) ^ t(E) ^ то для любой банаховой решетки E; если t(E) < то, то E порядково непрерывна, а если d(E) > 1, то E' порядково нерпрерывна, см. [28, предложение 8.11], а также [29]. В упомянутой выше работе [26] установлено, что если d(E) > t(F), то (Lr(E,F), || ■ ||r) является KB-пространством. Чтобы получть аналогичный результат для пространства регулярных ортогонально аддитивных однородных полиномов, необходим следующий вспомогательный факт.
Лемма 4.1. Пусть s € N и p € R. Для произвольной банаховой решетки E выполняются равенства s ■ d(E) = d(Es0) и s ■ t(E) = t(Es0).
< Если 1 ^ p < то, то для любой пары дизъюнктрых элементов x,y € E+ равносильны неравенства |Mx) + ¿s(y)|| < (|is(x)||p + |Mx)||p)1/p и ||x + y||s < (||x||ps + ||y||ps)1/p ввиду ортогональной аддитивности is и равенства ||is(x)| = ||x||s. Отсюда вытекает s ■ t(E) = t(Es°). Аналогично выводится второе равенство. >
Теорема 4.5. Пусть E и F — банаховы решетки, причем E s-выпукла. Если d(E) > t(F), то упорядоченное нормированное пространство (РО(sE,F), || ■ ||r) является KB -пространством.
< Линейный случай s = 1 обоснован в [26, теорема 14]. Общий случай сводится к линейному с помощью теоремы 2.1: если d(Es0) > t(F s°), то (Lr (Es0,F), || ■ ||r) будет KB -пространством. В частности, при этих условиях F будет KB-пространством (см. доказательство теоремы 14 в [26]). В то же время, неравенства d(Es°) > t(Fs°) и d(E) > t(F) равносильны ввиду леммы 4.1. Следовательно, d(E) > t(F) влечет, что банахова решетка (Lr(Es0,F), || ■ ||r), а также извометрически и порядково изоморфная ей банахова решетка (РОГ(sE,F), || ■ ||r) является KB-пространством. >
Благодарность. Авторы выражают благодарность анонимному рецензенту, замечание и предложения которого позволили устранить ряд неточностей и опечаток.
Литература
1. Dineen S. Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces.—Berlin: Springer, 1999.
2. Sundaresan K. Geometry of spaces of homogeneous polynomials on Banach lattices // Appl. Geometry and Discrete Math. DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci.—Providence, R. I.: Amer. Math. Soc., 1991.—P. 571-586.
3. Grecu B. C., Ryan R. A. Polynomials on Banach spaces with unconditional bases // Proc. Amer. Math. Soc.—2005.—Vol. 133, № 4.—P. 1083-1091. DOI: 10.1090/S0002-9939-04-07738-X.
4. Kusraeva Z. A. Orthogonally additive polynomials on vector lattices // Thesis, Sobolev Inst. of Math. of the Sib. Branch of the RAS.—Novosibirsk, 2013.
5. Linares P. Orthogonal additive polynomials and applications // Thesis, Departamento de Analisis Matematico. Universidad Complutense de Madrid.—2009.
6. Loane J. Polynomials on Riesz spaces // Thesis, Department of Math. Nat. Univ. of Ireland.—Galway, 2007.
7. Ben Amor F. Orthogonally additive homogenous polynomials on vector lattices // Commun. Algebra.— 2015.—Vol. 43, № 3.—P. 1118-1134. DOI: 10.1080/00927872.2013.865038.
8. Benyamini Y., Lassalle S., Llavona J. G. Homogeneous orthogonally additive polynomials on Banach lattices // Bull. London Math. Soc.—2006.—Vol. 38, № 3.—P. 459-469. DOI: 10.1112/s0024609306018364.
9. Bu Q., Buskes G. Polynomials on Banach lattices and positive tensor products // J. Math. Anal. Appl.—2012.—Vol. 388, № 2.—P. 845-862. DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.10.001.
10. Cruickshank J., Loane J., Ryan R. A. Positive polynomials on Riesz spaces // Positivity.—2017.—Vol. 21, № 3.—P. 885-895. DOI: 10.1007/s11117-016-0439-8.
11. Ibort A., Linares P., Llavona J. G. A representation theorem for orthogonally additive polynomials on Riesz spaces // Rev. Mat. Complut.—2012.—Vol. 25.—P. 21-30. DOI: 10.1007/s13163-010-0053-4.
12. Kusraev A. G., Kusraeva Z. A. Monomial decomposition of homogeneous polynomials in vector lattices // Adv. Oper. Theory.-2019.-Vol. 4, № 2.-P. 428-446. DOI: 10.15352/aot.1807-1394.
13. Кусраева З. А. О представлении ортогонально аддитивных полиномов // Сиб. мат. журн.—2011.— T. 52, № 2.—С. 315-325.
14. Abramovich Y. A., Aliprantis C. D. Positive operators // Handbook of the Geometry of Banach Spaces. Vol. 1 / Eds. W. B. Johnson and J. Lindenstrauss.—Elsevier, 2001.—P. 85-122.
15. Wickstead A. W. Regular operators between Banach lattices // Positivity, Trends in Mathematics.— Basel: Birkhauser.—2007.—P. 255-279. DOI: 10.1007/978-3-7643-8478-4_9.
16. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators.—London etc.: Acad. Press Inc., 1985.—xvi+367 p.
17. Meyer-Nieberg P. Banach Lattices.—Berlin etc.: Springer-Verlag, 1991.
18. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces. Vol. 2. Function Spaces.—Berlin etc.: SpringerVerlag, 1979.—243 p.
19. Boulabiar K., Buskes G. Vector lattice powers: f-algebras and functional calculus // Comm. Algebra.— 2006.—Vol. 34, №4.—P. 1435-1442. DOI: 10.1080/00927870500454885.
20. Kusraeva Z. A. Powers of quasi-Banach lattices and orthogonally additive polynomials // J. Math. Anal. Appl.—2018.—Vol. 458, № 1.—P. 767-780. DOI: 10.1016/j.jmaa.2017.09.019.
21. Кусраева З. А. О компактной мажорации однородных ортогонально аддитивных полиномов // Сиб. мат. журн.—2016.—Т. 57, № 3.—P. 658-665. DOI: 10.17377/smzh.2016.57.313.
22. Walsh B. On characterising Kothe sequence spaces as vector lattices // Math. Ann.—1968.—Vol. 175.— P. 253-256. DOI: 10.1007/BF02063211.
23. Van Rooij A. C. M. When do the regular operators between two Riesz spaces form a Riesz space? // Technical Report 8410.—Nijmegen: Katholieke Universiteit, 1984.
24. Wnuk W. Characterization of discrete Banach lattices with order continuous norms // Proc. Amer. Math. Soc.—1988.—Vol. 104, № 1.—P. 197-200. DOI: 10.1090/S0002-9939-1988-0958066-0.
25. Hong-Yun Xiong. On whether or not L(E, F) = Lr(E,F) for some classical Banach lattices E and F // Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math.—1984.—Vol. 46, № 3.— P. 267-282. DOI: 10.1016/1385-7258(84)90027-1.
26. Zi li Chen, Ying Feng, Jin Xi Chen. The Order Continuity of the Regular Norm on Regular Operator Spaces // Abstract and Applied Analysis.—2013.—Vol. 2013, article ID 183786.—6 p. DOI: 10.1155/2013/183786.
27. Zi li Chen. On the order continuity of the regular norm // Proceedings Positivity IV — Theory and Applications.—Dresden, 2006.—P. 45-51.
28. Schwarz H.-V. Banach Lattices and Operators.—Leipzig: Teubner, 1984.
29. Dodds P. G., Fremlin D. H. Compact operators in Banach lattices // Israel J. Math.—1979.—Vol. 34, № 4.—P. 287-320. DOI: 10.1007/BF02760610.
Статья поступила 13 мая 2020 г. кусраева залина анатольевна
Региональный научно-образовательный математический
центр ЮФУ, ведущий научный сотрудник
РОССИЯ, 344006, Ростов-на-Дону, Большая садовая, 105/42;
Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН,
ведущий научный сотрудник
РОССИЯ, 362027, Владикавказ, Маркуса, 22
E-mail: zali13@mail.ru
https://orcid.org/0000-0002-8817-1888
Сиукаев Сергей Николаевич Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, доцент РОССИЯ, 362019, Владикавказ, Ватутина, 44
Vladikavkaz Mathematical Journal 2020, Volume 22, Issue 4, P. 92-103
SOME PROPERTIES OF ORTHOGONALLY ADDITIVE HOMOGENEOUS POLYNOMIALS ON BANACH LATTICES
Kusraeva, Z. A.1,2 and Siukaev, S. N.3
1Regional Mathematical Center of Southern Federal University, 105/42 Bolshaya Sadovaya St., Rostov-on-Don 344006, Russia; 2Southern Mathematical Institute VSC RAS, 22 Markus St., Vladikavkaz 362027, Russia;
3North-Ossetian State University after K. L. Khetagurov, 44 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia
E-mail: zali13@mail.ru
Abstract. Let E and F be Banach lattices and let Po(sE,F) stand for the space of all norm bounded orthogonally additive s-homogeneous polynomial from E to F. Denote by P0(sE,F) the part of Po(sE,F) consisting of the differences of positive polynomials. The main results of the paper read as follows. Theorem 3.4. Let s £ N and (E, || • ||) is a a-Dedekind complete s-convex Banach lattice. The following are equivalent: (1) Po(sE,F) = Pr0(sE,F) for every AM-space F. (2) Po(sE,co) = P0 (sE,F) for every AM -space F. (3) Po(sE,co) = P0(sE,co). (4) Po(sE,co) = P0(sE,co). (5) E is atomic and order continuous. Theorem 4.3. For a pair of Banach lattices E and F the following are equivalent: (1) P0(sE, F) is a vector lattice and the regular norm || • ||r on P0(sE,F) is order continuous. (2) Each positive orthogonally additive s-homogeneous polynomial from E to F is L- and M-weakly compact.
Theorem 4.6. Let E and F be Banach lattices. Assume that F has the positive Schur property and E is s-convex for some s £ N. Then the following are equivalent: (1) (P0(sE,F), || • ||r) is a KB-space. (2) The regular norm || • ||r on P0(sE, F) is order continuous. (3) E does not contain any sulattice lattice isomorphc to ls.
Key words: Banach lattice, AM-space, KB-space, homogeneous polynomial, orthogonal additivity, regular norm, order continuity.
Mathematical Subject Classification (2010): 46A16, 46B42, 46G25, 47H60, 47L22.
For citation: Kusraeva, Z. A. and Siukaev, S. N. Some Properties of Orthogonally Additive Homogeneous Polynomials on Banach Lattices, Vladikavkaz Math. J., 2020, vol. 22, no. 4, pp. 92-103 (in Russian). DOI: 10.46698/d4799-1202-6732-b.
References
1. Dineen, S. Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces, Berlin, Springer, 1999.
2. Sundaresan, K. Geometry of Spaces of Homogeneous Polynomials on Banach Lattices, Applied Geometry and Discrete Mathematics, DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci., Providence, R. I., Amer. Math. Soc., 1991, pp. 571-586.
3. Grecu, B. C. and Ryan, R. A. Polynomials on Banach Spaces with Unconditional Bases, Proceedings of the American Mathematical Society, 2005, vol. 133, no. 4, pp. 1083-1091. DOI: 10.1090/S0002-9939-04-07738-X.
4. Kusraeva, Z. A. Orthogonally Additive Polynomials on Vector Lattices, Thesis, Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of RAS, Novosibirsk, 2013.
5. Linares, P. Orthogonal Additive Polynomials and Applications Thesis, Departamento de Analisis Matematico, Universidad Complutense de Madrid, 2009.
6. Loane, J. Polynomials on Riesz Spaces, Thesis, Department of Mathematics National Univercity of Ireland, Galway, 2007.
7. Ben Amor, F. Orthogonally Additive Homogenous Polynomials on Vector Lattices, Communications in Algebra , 2015, vol. 43, no. 3, pp. 1118-1134. DOI: 10.1080/00927872.2013.865038.
8. Benyamini, Y., Lassalle, S. and Llavona, J. G. Homogeneous Orthogonally Additive Polynomials on Banach Lattices, Bulletin of the London Mathematical Society, 2006, vol. 38, no. 3, pp. 459-469. DOI: 10.1112/s0024609306018364.
9. Bu, Q. and Buskes, G. Polynomials on Banach Lattices and Positive Tensor Products, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2012, vol. 388, no. 2, pp. 845-862. DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.10.001.
10. Cruickshank, J., Loane, J. and Ryan, R. A. Positive Polynomials on Riesz Spaces, Positivity, 2017, vol. 21, no. 3, pp. 885-895. DOI: 10.1007/s11117-016-0439-8.
11. Ibort, A., Linares, P. and Llavona, J. G. A Representation Theorem for Orthogonally Additive Polynomials on Riesz Spaces, Revista Matematica Complutense, 2012, vol. 25, no. 1, pp. 21-30. DOI: 10.1007/s13163-010-0053-4.
12. Kusraev, A G. and Kusraeva, Z. A. Monomial Decomposition of Homogeneous Polynomials in Vector Lattices, Advances in Operator Theory, 2019, vol. 4, no. 2, pp. 428-446. DOI: 10.15352/aot.1807-1394.
13. Kusraeva, Z. A. Representation of Orthogonally Additive Polynomials, Siberian Mathematical Journal, 2011, vol. 52, no. 2, pp. 248-255. DOI: 10.1134/S003744661102008X.
14. Abramovich, Y. A. and Aliprantis, C. D. Positive Operators, Handbook of the Geometry of Banach Spaces, vol. 1, eds. W. B. Johnson and J. Lindenstrauss, Elsevier, 2001, pp. 85-122.
15. Wickstead, A. W. Regular Operators Between Banach Lattices, Positivity, Trends in Mathematics, Basel, Birkhauser, 2007, pp. 255-279. DOI: 10.1007/978-3-7643-8478-4_9.
16. Aliprantis, C. D. and Burkinshaw, O. Positive Operators, London etc., Academic Press Inc., 1985, xvi+367 p.
17. Meyer-Nieberg, P. Banach Lattices, Berlin etc., Springer-Verlag, 1991.
18. Lindenstrauss, J. and Tzafriri L. Classical Banach Spaces, vol. 2, Function Spaces, Berlin etc., SpringerVerlag, 1979, 243 p.
19. Boulabiar, K. and Buskes, G. Vector Lattice Powers: /-Algebras and Functional Calculus, Communications in Algebra , 2006, vol. 34, no. 4, pp. 1435-1442. DOI: 10.1080/00927870500454885.
20. Kusraeva, Z. A. Powers of Quasi-Banach Lattices and Orthogonally Additive Polynomials, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2018, vol. 458, no. 1, pp. 767-780. DOI: 10.1016/j.jmaa.2017.09.019.
21. Kusraeva, Z. A. On Compact Domination of Homogeneous Orthogonally Additive Polynomials, Siberian Mathematical Journal, 2016, vol. 57, no. 3, pp. 519-524. DOI: 10.1134/S0037446616030137.
22. Walsh, B. On Characterising Kothe Sequence Spaces as Vector Lattices, Mathematische Annalen, 1968, vol. 175, pp. 253-256. DOI: 10.1007/BF02063211.
23. Van Rooij, A. C. M. When do the Regular Operators Between Two Riesz Spaces Form a Riesz Space? Technical Report 8410, Nijmegen, Catholic University, 1984.
24. Wnuk, W. Characterization of Discrete Banach Lattices with Order Continuous Norms, Proceedings of the American Mathematical Society, 1988, vol. 104, no. 1, pp. 197-200. DOI: 10.1090/S0002-9939-1988-0958066-0.
25. Hong-Yun Xiong. On Whether or Not L(E, F) = Lr(E,F) for Some Classical Banach Lattices E and F, Indagationes Mathematicae (Proceedings), 1984, vol. 87, no. 3, pp. 267-282. DOI: 10.1016/1385-7258(84)90027-1.
26. Zi li Chen, Ying Feng and Jin Xi Chen. The Order Continuity of the Regular Norm on Regular Operator Spaces, Abstract and Applied Analysis, 2013, vol. 2013, article ID 183786, 6 p. DOI: 10.1155/2013/183786.
27. Chen, Z. L. On the Order Continuity of the Regular Norm, Proceedings Positivity IV — Theory and Applications, Dresden, 2006, pp. 45-51.
28. Schwarz, H.-V. Banach Lattices and Operators, Leipzig, Teubner, 1984.
29. Dodds, P. G. and Fremlin, D. H. Compact Operators in Banach Lattices, Israel Journal of Mathematics, 1979, vol. 34, no. 4, pp. 287-320. DOI: 10.1007/BF02760610.
Received May 13, 2020 Zalina a. Kusraeva
Regional Mathematical Center of Southern Federal University, 105/42 Bolshaya Sadovaya St., Rostov-on-Don 344006, Russia, Leading Researcher
Southern Mathematical Institute VSC RAS, 22 Markus St., Vladikavkaz 362027, Russia, Leading Researcher E-mail: zali13@mail.ru
Sergei n. Siukaev
North-Ossetian State University after K. L. Khetagurov, 44 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia, University Lecturer
