Некоторые свойства опорной функции выпуклого множества на выпуклом конусе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2012. Вып. 3

УДК 539.85 Л. Н. Полякова

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОПОРНОЙ ФУНКЦИИ ВЫПУКЛОГО МНОЖЕСТВА НА ВЫПУКЛОМ КОНУСЕ*)

Понятие опорной функции выпуклого множества является одним из ключевых в выпуклом анализе. Оно было введено немецким математиком Г. Минковским в конце XIX в. В данной статье рассматриваются свойства опорных функций, заданных на замкнутом выпуклом конусе. Используемые в ней известные факты из теории выпуклых множеств и выпуклых функций можно найти в книгах по выпуклому анализу, например в [1—4]. В работе [5] рассматривались некоторые свойства опорных функций, заданных на выпуклом телесном конусе. Функция

s(g,X) = sup{x,g), g e r",

xex

где множество X С r" непусто и выпукло, называется опорной функцией множества X. Здесь символ {*, *) обозначает скалярное произведение двух векторов. Опорные функции в выпуклом анализе широко используются. Например, производная по направлению выпуклой функции есть опорная функция субдифференциала. Приведем некоторые известные свойства опорных функций:

1. Опорная функция является выпуклой замкнутой функцией.

2. Если множество X выпукло и компактно, то для каждого g e r", ||g|| = 0, неравенство

ix,g) < s(g,X)

задает замкнутое полупространство, ограниченное гиперплоскостью H(g, s(g, X)) = {x e r" | {x, g) = s(g, X)},

опорной для множества X с внешней нормалью g.

3. Замкнутое выпуклое множество X С r" полностью определяется своей опорной функцией, так как оно может быть задано как множество решений системы неравенств

X = р| {x e r" | {x, g) < s(g,X)}. (1)

g e r",

Ml = 0

Полякова Людмила Николаевна — доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической теории моделирования систем управления факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 77. Научные направления: выпуклый анализ, недифференцируемая оптимизация, численные методы. E-mail: [email protected].

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-00752). © Л. Н. Полякова, 2012

4. Пусть XI, г £ I = 1,. . . ,т, — непустые компактные выпуклые множества в м". Тогда, если X = со < и ХЛ , то

s(g,X) = max s(g,Xi) Уд £ Rn

iei

если X = J2 AiXi, J2 Ai = 1, Ai ^ 0, yi £ I, то

s(g,X) = YJ Ais(g,Xi) Уд £ Rn.

Здесь через coX обозначена выпуклая оболочка множества X.

5. Опорная функция непустого выпуклого компакта положительно однородна и субаддитивна, т. е.

s(Ag,X) = As(g, X), A> 0, yg £ rn, s(gi + g2,X) < s(g1,X) + s(g2,X) ygi,g2 £ rn .

6. Пусть X С rn - выпуклый компакт. Так как функция s(g,X) положительно однородна и выпукла, то ее субдифференциал в точке g £ rn вычисляется по формуле

ds(g, X) = {x £ X\ (x,g) = s(g,X) }.

Если g = 0n, то субдифференциал опорной функции совпадает с множеством X. В остальных точках g £ rn справедливо включение

ds(g,X) С bdX.

Здесь через bdX обозначена граница множества X.

7. Индикаторная функция замкнутого выпуклого множества ¿(-, X) является сопряженной к опорной функции от этого множества, т. е.

s(g, X) + 5(x, X) = (g, x) Ух £ ds(g, X), yg £ d6(x, X).

8. Если s - положительно однородная выпуклая замкнутая функция, то

s(g)= sup (v,g), v,g £ rn,

vedoms*

где dom s* - эффективная область функции, сопряженной к функции s.

Опорная функция на конусе. Пусть X,Y С rn - выпуклые замкнутые множества. Тогда если

s(g,X) = s(g,Y) yg £ rn,

то X = Y. Если рассматривать опорные функции этих множеств на выпуклом замкнутом конусе, отличном от rn, то последнее равенство может не выполняться.

Лемма 1. Пусть K С rn - .замкнутый выпуклый конус, тогда справедливо утверждение

sup (v, g) = { 0 g £K (2)

ve-K* \ g £ K, w

где через K* обозначен конус, сопряженный к конусу K.

Доказательство. Выберем произвольный v e —K *. Тогда {v, g) ^ 0 Vg e K. Следовательно,

sup {v,g) < 0 Vg e K.

ve-K*

Так как K* - замкнутый конус, то в нем содержится нулевой элемент, поэтому

sup {v,g) =0 Vg e K.

ve-K*

Если g e K, то существует такая точка v e —K*, что {v,g) > 0. И поскольку множество —K* - конус, то

sup {W, g) =

A>0

Лемма доказана.

Пусть K С r" - замкнутый выпуклый конус и X С r" - непустое компактное выпуклое множество. Определим множество

A(X,K) = p| {x e r" | {x, g) < s(g,X)} . geK

llgll =0

Так как множество X компактно, то множество A(X, K) замкнуто и выпукло.

Теорема 1. При сделанных предположениях справедливо равенство

A(X,K) = X — K *. (3)

Доказательство.В силу свойства (1), множество X содержится в A(X, K). Сначала докажем включение X(K) С X — K*. Выберем произвольную точку z e A(X,K). Предположим, что

z eA(X, K).

Тогда по теореме отделимости найдутся такие вектор g e r", llgll =0, и число е > 0, для которых справедливо неравенство

{x,g) + {v,g) < {z,g) — е Vx e X, Vv e—K*.

Отсюда следует

s(g,X) + {v,g) < {z,g)—e Vv e—K *. Если вектор g e K, то из (2) имеем

{z,g) —е > +<x>.

Получили противоречие.

Если вектор g e K, то из (2) находим

s(g,X) < {z,g) — е.

А это неравенство противоречит условию z e A(X, K).

Докажем включение X — K* С A(X, K). Выберем произвольный z e X — K*. Тогда его можно представить в виде

z = x + v, x e X, v e —K*.

Для любого произвольного д € К, ||д|| = 0, получаем

{г,д) = (х,д) + (и,д), х € X, V €-К*. Из этого неравенства следует (г,д) = (х,д). Отсюда

(г,д) < в(д,Х).

Поскольку последнее неравенство справедливо для любого д € К, А(Х, К). Теорема доказана.

Следствие 1. Справедливо равенство

вир {х,д) = тах(х,д) Уд € К. хеЛ(х,к) хеХ

Доказательство. Так как справедливо условие (3), то

= 0, то 2 G

(4)

sup (x, g) = sup (x, g) = max(x, g) + sup (x, g) Уд G K.

xEX(K) xEX-K * xEX xE-K *

Используя формулу (2), имеем (4).

Замечание. Множество A(X, K) является неограниченным, но тем не менее для любого g G K опорная функция s(g, A(X,K)) конечна.

Следствие 2. Пусть X С м", Y С м" - выпуклые компакты, K С м" - замкнутый выпуклый конус. Для выполнения равенства

max(x, g) = max(y, g) yg G K

xEX yEY

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

X - K * = Y - K *.

Пример 1. Пусть множество X С м2 - шар единичного радиуса с центром в начале координат, конус K С м2 - множество точек (x, y) с неотрицательными координатами (1-й квадрант):

K = {(x,y) G м2 | x > 0, y > 0}. Множество X - K* представлено на рис. 1.

Рис. 1. Множество X — K*

Образующее множество выпуклого компакта. Пусть X С м" - выпуклый компакт, K С м" - замкнутый выпуклый конус. Чтобы найти значение опорной функции s(g, X) на этом конусе, совсем не обязательно знать все элементы множества X.

Выберем g е м", ||g|| = 0. Вычислим субдифференциал опорной функции s(g,X) в точке g. Линейная функция, отличная от константы, достигает своего максимального значения в граничных точках выпуклого замкнутого множества. Найдем

llx(g)l1 = min ||x| xEds(g,X)

где через || * || обозначена евклидова норма (||ж|| = \](ж,х}). Вектор х(д) единствен и при этом x(g) е bdX. Из необходимого и достаточного условий минимума дифференцируемой функции (x,x) на выпуклом компактном множестве ds(g,X) вытекает включение

x(g) е Г*(x(g),ds(g,X)),

где через r(x(g), ds(g, X)) обозначен конус возможных направлений в точке x(g) к множеству ds(g,X). Отсюда имеем

(x, x(g)) > (x(g), x(g)) Уx е ds(g, X).

Положим

Очевидно, что

X (K) = J x(g). g е K

llgll = о

s(g,X) = s(g, X(K)) Уд е K, ЦдЦ = 0.

Множество X(K) для каждого конуса K определяется единственным образом. Оно ограничено, поскольку X ограничено. Назовем X(K) образующим множеством компактного выпуклого множества X относительно конуса K. Кроме того, в силу построения этого множества, справедливо равенство

max (x, q) = max (x, q) = max (x, q) Vg G K. xex xex(K) xeco{x(K)} '

Из следствия 2 и свойств опорной функции имеем

X — K* = X(K) — K* = co {X(K)} — K*.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих данное определение. Пример 2. Пусть X = co {(1,1), (1, —1), ( — 1, —1), ( — 1,1)} С r2.

а). Если K = r2, то

X(K) = {(1,1), (0,1), (—1,1), ( — 1, 0), ( — 1, —1), (0, —1), (1, —1), (1,0)}.

В данном случае множество X(r2) состоит из 8 точек. Они отмечены на рис. 2 темными точками.

б). Если

K = Ki + K2, Ki = {g e r2 | g = A(1,0), A > 0}с r2,

1 - ( 1

1 ¿1

1 0 1

1 *-- - ( 1

Рис. 2. Образующее множество X (К2)

К2 = {д € к2 | д = Л(0,1), Л > 0}с!2,

то X(К) = {(0,1), (1,1), (1, 0)}. в). Если

К = {д € к2 1 д = Л(1,0), Л > 0}с к2,

то X(К) = {(1, 0)}.

Пример 3. Пусть X = со {(1,1), (-1,1), (0, 2)} с к2. а). Если

К = к2,

то X(к2) = {(1,1), (-1,1), (0, 2), (0,1)} с к2.

В этом примере множество X - треугольник, множество X(к2) состоит из 4 точек. Они отмечены на рис. 3 темными точками.

Рис. 3. Образующее множество X (К2)

б). Если

К = {д € к2 | д = Л(1,1), Л € к}ск2,

то X(К) = {(1,1)}. в). Если

К = К + К2, К = {д € к2 | д = Л(1,0), Л > 0}ск2, К2 = {д € к2 | д = Л(0,1), Л < 0}ск2,

то X(К) = {(0, 2), (1,1)}.

г). Если

К = К1 + К2, К1 = {д е м2 | д = А(1,0), Л > 0}ск2

К2 = {д е м2 1 д = А( —1,-1), А > 0} с м2,

то X(К) = {(0,1), (1,1), ( —1,1)}.

Пример 4. Пусть X = со {Х\ и Х2}, где

XI = {х = (х1 ,х2) е м2 | (х1 — 1)2 + х2 — 1 < 0},

Х2 = {х = (х1 ,х2) е м2 | (х1 + 1)2 + х2 — 1 < 0}.

Пусть К = м2, тогда

х = (х1, х2) е м2

1 < х1 < 2

(х1 — 1)2 + х2 = 1

2 Л, 2_! и (0,1) и (0, —1)и

и х = (х1,х2) е м2

—2 < х1 < —1

(х1 + 1)2 + х2 = 1

В этом примере образующее множество X (м2) состоит из двух дуг окружностей и двух точек (рис. 4).

/ ---1 ^--- Ч

-ч- 1 1 V

0 )

\ ■■---« »-Г — /

Рис. 4. Образующее множество X (М2)

Нетрудно заметить, что

ехр (X) с X(м2) и X = с1 со X(м2),

где множество X с м" непусто выпукло и компактно. Из последнего примера видно, что множество X (м") может не совпадать с множеством ext(X). Здесь через extX обозначено множество экстремальных точек, а через expX - множество экспонированных точек.

Приведем пример, показывающий, что множество X(К) может не содержать крайних точек множества X (рис. 5). Пример 5. Пусть

X = со {(0, —1), (0,1)} с м2, К = {х = (х1,х2) е м2 1 х = А(0,1), А > 0}, тогда X(К) = {(0,1)}. На рис. 5 множество X обозначено пунктиром. 76

1

■---( »----

-1 1

0

Рис. 5. Образующее множество X (K)

Теорема 2. Пусть K С м" - .замкнутый выпуклый конус и замкнутое выпуклое множество Y С м" содержит нулевую точку, тогда образующее множество [Y П (—K*)](K) относительно конуса K состоит только из нулевой точки. Доказательство. Поскольку по условию 0п G [Y П (—K *)] и

{v,g) < 0 Vv G Y П (-K*), Уд G K,

то

sup (v,g) =0 Vg G K,

vEY n(-K*)

и этот супремум достигается на множестве, содержащим нулевую точку. Следовательно,

[Y П (-K*)](K) =0".

Лемма 2. Пусть K С м" - .замкнутый выпуклый конус и X С м" - непустое компактное выпуклое множество, замкнутое выпуклое множество Y С м" содержит нулевую точку, тогда справедливо равенство

max(x, д) = max (x, д) Vg G K.

xEX xEX + [Yf) (-к*)У '

Доказательство очевидно.

Следствие 3. Опорная функция множества X С м" на конусе K С м" не изменится, если к этому множеству прибавить выпуклое множество, лежащее в конусе —K* и содержащее нулевую точку.

Следствие 4. Если множество Y С м" таково, что (y(g), g) =0 Vg G K, то

max (x,g) = max(x,g) Vg G K.

xEX+Y xEX

Таким образом, любое множество Y, содержащееся в подпространстве, ортогональном линейной оболочке, натянутой на конус K, может быть прибавлено к множеству X, и при этом опорная функция суммы этих множеств равна опорной функции множества X для каждого g G K.

Теорема 3. Пусть K С м" - .замкнутый выпуклый конус и X С м" - непустое компактное выпуклое множество, замкнутое множество Y С X — K*, тогда

max (x,g) = max(x,g) Vg G K. (5)

xEXUY xEX

Доказательство. Рассмотрим множество Z = co {X U Y}. Тогда

co {X U Y} СX — K*.

Имеем

max(x, д) = max (x,g) ^ max(x,g) ^ max(x, g) Уд G K.

xEX xEX-K* xEZ xEX

Отсюда следует справедливость формулы (5). Таким образом, при сделанных предположениях на множество Y верно равенство

s(X U Y, K) = s(X,K) Уд G K.

Литература

1. Лейхтвейс К. Выпуклые множества / пер. с нем. В. А. Залгаллера, Т. В. Хачатуровой. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. 335 с. (Leichtweiss K. Yonk. Konvexe Mengen.)

2. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: Физ-матлит, 2004. 416 с.

3. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. 317 с.

4. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ / пер. с англ. А. Д. Иоффе, В. М. Тихомирова. М.: Мир, 1973. 472 с. (Rockafeliar R. Convex analysis.)

5. Caprari E., Demyanov V. F. Conically equivalent sets and their minimality // Generalized convexity and optimization for economic and financial decisions / eds.: G. Giorgi, F. Rossi. Verona: Pitagora Editrice Bologna, 1998. P. 81-95.

Статья рекомендована к печати проф. В. Ф. Демьяновым. Статья принята к печати 26 апреля 2012 г.