Некоторые свойства кэлеровых подмногообразий с рекуррентными тензорными полями Текст научной статьи по специальности «Математика»

И.И. Бодренко, 2006

УДК 514.75

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КЭЛЕРОВЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ С РЕКУРРЕНТНЫМИ ТЕНЗОРНЫМИ ПОЛЯМИ

И.И. Бодренко

В статье изучаются свойства кэлеровых подмногообразий с рекуррентной второй фундаментальной формой в пространствах постоянной голоморфной секционной кривизны.

Введение

Пусть М2т+21 — кэлерово многообразие комплексной размерности т + I (т > 1,1 > 1) с почти-комплексной структурой J и римановой метрикой g, V — риманова связность, согласованная с д, R — тензор римановой кривизны многообразия М2т+21. Пусть F2m — кэлерово подмногообразие комплексной размерности т в М2т+21 с индуцированной римановой метрикой д. Ограничение J на F2m задает индуцированную почти-комплексную структуру на F2m, которую будем обозначать той же буквой J. Пусть V — риманова связность, согласованная с д, D — нормальная связность, b — вторая фундаментальная форма, Rx — тензор нормальной кривизны подмногообразия F2m, V = V®D — связность Ван дер Вардена — Бортолотти. b называется параллельной, если V6 = 0. Тензор нормальной кривизны называется параллельным, если VR1- = 0.

В соответствии с определением рекуррентного тензорного поля (см. [1, примеч. 8]), ненулевую форму b ф 0 назовем рекуррентной, если существует 1-форма р. на F2m такая, что V6 = \л,®Ъ.

Теорема 1. Пусть F2m — кэлерово подмногообразие комплексной размерности т в кэлеровом многообразии М2т+21(с) комплексной размерности т + I постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тогда, если F2m имеет рекуррентную erhopyto фундаментальную форму Ь, то тензор нормальной кривизны R-1 ф 0 параллелен.

Известно (см. [1, примеч. 8, теорема 3]), что для риманова многообразия М с рекуррентным тензором римановой кривизны R, суженная линейная группа голономии которого неприводима, тензор римановой кривизны R необходимо параллелен (то есть S7R = 0) при условии, что dimM > 3. Риманово многообразие М называ-© ется локально симметрическим, если VR = 0.

Теорема 2. Пусть Р2т — кэлерово подмногообразие комплексной размерности т в кэлеровом многообразии М2т+21(с) комплексной размерности т + I постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тогда, если Г2т имеет рекуррентную вторую фундаментальную форму Ь, то F2m является локальносимметрическим подмногообразием.

1. Основные обозначения и формулы

Пусть Мп+Р — (п + р)-мерное (п > 2,р > 2) гладкое риманово многообразие, д — риманова метрика на Мп+Р, V — риманова связность, согласованная с д, Рп — п-мерное гладкое подмногообразие в Мп+Р, д — индуцированная риманова метрика на Fn, V — риманова связность на Fn, согласованная с д, 7\Рп и ТА-Рп — касательное и нормальное расслоения на Frl соответственно, Я и Я-^ — тензоры кривизны Римана и Риччи связности V соответственно, Ь — вторая фундаментальная форма F7\ И — нормальная связность, Ях — тензор нормальной кривизны, V — связность Ван дер Вардена — Бортолотти.

Формулы Гаусса и Вейнгартена имеют следующий вид [2]:

ЧхУ = ЧхУ + Ъ(Х,У), (1.1)

Ухе = -А^Х + (1-2)

для любых векторных полей X, У, касательных к .Р\ и векторного поля £. нормального к .Р1.

Уравнения Гаусса, Петерсона — Кодацци и Риччи имеют, соответственно, следующий вид [2]:

= мх,уг..»') + тх,7,),ыу,\¥)) -дШ.х,»•),ыу,г,), (1.3) (вду)^ = (ухь)(у,г) - фуь)(х,г), (1.4)

Я(Х, У, (, П) = Дх(Х, Г, 5, п) - д([Аь А„]Х, У), (1.5)

для любых векторных полей X, У, \У, касательных к ^п, и векторных полей 77, нормальных к .Р1”.

Для любого векторного поля £, нормального к Рп, обозначим через второй фундаментальный тензор относительно £. Для А$ выполняется соотношение

ЖХ,У),() = ЖЛ(Х,¥), (1.6)

для любых векторных полей X, У, касательных к ,РП.

Нормальное векторное поле £ называется невырожденным, если (М ф 0. Ковариантные производные VЬ, (УА)^ и VЯ-1 определяются соответственно равенствами [2]:

(УХЬ)(У, 2) = £>х(6(У, г)) - Ъ(ЧХУ, 2) - Ь(У, V*г), (1.7)

(УХА)(У = ЪХ(А{¥) - А((УХУ) - АПх(У, (1.8)

(у^ХУ г)£ = ^(^(У, г)£) - лх(уху, г)$

-Д1(У,УХ^-ДХ(У)^)^)

(1.9)

для любых векторный полей X, У, Z, касательных к Fn, и векторного поля £, нормального к Рп.

Пусть индексы в статье принимают следующие значения: г,^/с, = 1 ,,п,

а,/3,7 = 1,... ,р, и действует правило суммирования Эйнштейна.

Пусть х — произвольная точка .Р", ТХР” и ТхРп — касательное и нормальное пространства в точке х соответственно, и(х) — некоторая окрестность точки х, (и1,. ..,ип) — локальные координаты на в 11(х), {д/ди1} — локальный базис в ТРп, {па|} — поле базисов нормальных векторов в Т±Рп в 11{х). Базис {па|} всегда можно выбрать ортонормированным и считать, что д(па\, пр\) = 5а1з, где 5ад — символ Кронекера. Введем следующие обозначения:

где Н^Н и ||5а/3|| — матрицы, обратные к \\ди\\ и ||5а/?|| соответственно.

Предположим, что риманово многообразие Мп+Р является почти-эрмитовым многообразием с почти-комплексной структурой 7 (см. [3, гл. 6, п. 6.1]). Тогда Мп+Р имеет четную размерность: п+р = 2(т+1), где число т+1 называется комплексной размерностью Мп+Р; риманова метрика д является почти-эрмитовой, то есть для любых векторных полей Х,У, касательных к Мп+Р, выполняется условие:

Почти-эрмитово многообразие Мп+Р называется кэлеровым многообразием [3], если почти-комплексная структура J параллельна, то есть для любых векторных полей Х,У, касательных к Мп+Р, выполняется условие:

Подмногообразие Рп кэлерова многообразия Мп+Р называется кэлеровым подмногообразием., если для любого векторного поля X е ТТП векторное поле

д^Х,Лг) = д(Х,У).

(1.10)

(1.11)

ЗХ Е ТТП. является кэлеровым многообразием относительно индуцированной почти-комплексной структуры J и индуцированной почти-эрмитовой метрики д (см. [3, гл. 6, п. 6.7]). Кэлерово подмногообразие в кэлеровом многообразии Мп+Р имеет четные размерность п = 2т и коразмерность р = 21. Число т называется комплексной размерностью, а число I — комплексной коразмерностью кэлерова подмногообразия Рп.

Обозначим через М2т+21(с) кэлерово многообразие комплексной размерности т +1 постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тензор римановой кривизны Л пространства М2т+21(с) удовлетворяет соотношению [1]:

Щ, У)2=С- (д(У, г)Х - д(Х, Ё)? + д(1У, 7,)]Х-

-дих, г)]У + 2д(Х, 1У)Щ , (1.12)

для любых векторных полей Х,У,Е, касательных к М2тп+2г(с).

2. Свойства ковариантной производной V

Лемма 1. Пусть Рп — подмногообразие в римановом многообразии Мп+Р. Тогда справедливо следующее равенство:

д((угА)сх,у) = р((угь)(х>у),0 \/х,у,гетгп, (2.1)

Доказательство. Найдем выражение для левой и правой частей равенства (2.1) в локальных координатах. Положим

г = г‘^' у=у‘^’ «-<**■<• (2'2)

Мы имеем:

д({угА)(Х, У) = етПЧДа;,, = РХ>Ук [^д^Кь - Гв.*Г=

= РХ>Ук (г^ОьцаЩ - еГ^д^) = &РУк (г^6а№ - С°Г$Ьт) =

= г<-х>ук (гтйь?*) - гг= 2‘х*Ук (г^<!& - ет^ъ]к) =

= ?х‘ук (гм?4 - гад&) =

. = ?х‘ук (г^ (Щк - Г%щк) - гад,) =

- гх>ук - ГМ1^ - гад!») =

= (г^.ь?» - гад?» - гад;») = =

= 9((У26)(Х,У),0-

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть Р2ш — кэлерово подмногообразие в кэлеровом многообразии М2т+21. Тогда для любого X € Т_Р2т и для любого £ £ ТхР2т справедливо равенство

(УХА)]( = 7 (У*Л)£ (2.3)

Доказательство. Из (1.1), в силу (1.11), вытекают следующие равенства (см., напр., [3, гл. 6, п. 6.1, лемма 6. 26]):

V л>7У = Л7л-У, Л(Х,У) = Ь{Х,ЛГ), \/Х,У еТЕ2т. (2.4)

Из (1.2) имеем:

V* ^ = П-А^Х + £)х0-

Отсюда, в силу (1.11), получим:

-АЛ<:Х + ИХД = J(—A^X + последовательно,

-А^Х + 1АСX = JDX^ - Ох Д.

Поскольку Р2т — кэлерово подмногообразие, то отсюда следует, что

А^Х = ЩХ, Ох(Д) = ЛМ, V*, У € ТР2™ (2.5)

Из (1.7) имеем

УХА)^У = \/х(А^У) - АлфхУ) - АВМУ.

Отсюда, учитывая (2.4) и (2.5), находим:

(УхА^У = VхАА^У) - ЩфхУ) - А^)У =

= Юх{А;У) - ХУ) ~ ТАВх{У = </(УхА)?У

Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть Р2тп — кэлерово подмногообразие в кэлеровом многообразии М2т+2г(с) постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тогда для любых X, У, £ е 2Т2т и для любого £ € т^-р^т СПраведливы равенства:

(ЧмЬ)(Х,У) = J ((угЪ)(Х,У)), (2.6)

(V „А)е = -3(УгА)(, (2.7)

JA^ = -А^, (2.8)

.7(^4)* = -(У2А)^. (2.9)

Доказательство. 1. В силу (1.12), уравнение (1.4) принимает следующий вид:

(Vхь)(У, г) = {ЧуЪ){х, г), ух,у, г е тт2т. (2.10)

Используя (2.10), из (1.7) находим

(ЪгЬ)(х, У) = у) = ох(ьуг, у)) - ь(V* (,/2), у) - Ь(]г, уху).

Отсюда, учитывая (2.4) и (2.5), имеем:

(Ч12Ь)(Х,У) = пх^(ъ(г,у))) - ь{Л7хг,У) - ъугухУ) =

= з(пх(ь(г,у))) - з(ъ(у х%, у)) - АЬ(гухУ)) =

= лрх{ъ{г, у)) - ьухг, у) - ь(г, Vху)) = з {С**ь){х, у)) .

Равенство (2.6) доказано.

2. Используя (2.6), из (2.1) находим

9((*лА)(Х,У) = д{&лЬ)(Х,ГМ) = ЖН<?г Ь)(Х,У)),().

Отсюда, в силу (1.10) и равенства 72 = —7, получим

д((7мА)'Х,У) = -ЩЪ2Ь)(Х,У),Д) = -д({ухА)цХ,У) = -д(АУгА\Х),У).

Отсюда следует (2.7).

3. Из (1.6), используя (2.4), получим:

д(ЗА^Х,У) = ~д(А^Х, ЛГ) = -д(Ь(Х, 7У),0 = -ДО№У),0 = -д{А^Х,У). Таким образом,

д^А^Х, У) = -д(А^Х, У) УХ, У € ТР2ш, € ГхГ2т.

Полученное равенство эквивалентно (2.8).

4. Из (1.8), используя (2.4) и (2.8), для любых X, У £ ТЕ2т и для любого £ е Т1Г2т имеем:

3 {УхА^У) = 7 (Ух(^У) - М^хУ) ~ Аихр) =

= ./(^У) + А^фхУ) + АЛхС(7У) =

= -V х(^7У) + МЧХЛГ) + А0х&У) = -(УхЛ)?(7У).

Таким образом,

7 ((УхА)?У) = -(УхЛ)?(7У), УХ, У 6 ТР2т, У£ £ ТхР2т. Полученное равенство эквивалентно (2.9). Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть Р2т — кэлерово подмногообразие в кэлеровом многообразии М2т+21. Тогда справедливо равенство

Vг (д(Х, ТУ)Т£) = 0 МХ,У,г еТР2т, Є (2.11)

Доказательство. По определению ковариантной производной V имеем:

Vг(д(Х,ЛГ№) = = Пг (д(Х, ТУ) Т£) - д{у2Х, ТУ) Т£ - д(Х, У*(ТУ))Т£ - д{Х, ТУ)^(Т£).

Преобразуем правую часть последнего равенства, записав ее в локальных координатах и используя обозначения (2.2):

+ Г^ах*(/У)'(і5)^ гч--дм + Ц.*») (■ГУ)‘МГ2?пТ - дш + ГІ.(ЛТ)

-дыХЧЛ')1 + Г^)') -

1тх\л')‘(лу - дит^х^у)>и(Г - д,Лтх\]УГ(лу\ ІЇП, =

дды ди

- втіП; - гтіг”А хіду)Члггіпт = о.

Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть Р2т — кэлерово подмногообразие в кэлеровом многообразии М2т+21(с) постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тогда справедливо равенство

Д±(Х, У)? = !?(*, ./У) ■/? + Ь(ЛГ, Л£У) - ыу, А(Х),

УХ, У Є ТР2т, Є Гхр2т. (2.12)

Доказательство. В силу (1.12) имеем:

Й(ХХ(,п) = «(аду)е,ч) = |9(Х, ТУЖ^.ч).

Тогда уравнение (1.5) будет иметь вид:

ЯЧ*, У, {, ч) = |д(Х, ЛГ)д(Д, ч) + 5(И«. А,]*, У).

Преобразуем второе слагаемое в правой части полученного равенства, используя самосопряженность оператора

Й[Л{, А,]х, У) = ЩА(А, - А„А()Х, У) = д(А((А,Х),У) - г(Д,(Д5Х), У) = Вестник ВолГУ. Серия 1. Вып. 10. 2006 17

= д(А,Х, А{У) - д(А(Х, А,У) = д(Ь(^Г, X), ту) - д(Ь(А^Х, У), т?).

Отсюда следует равенство (2.12). Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть Р2ш — кэлерово подмногообразие в кэлеровом многообразии М2т+21(с) постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тогда справедливо равенство

(УгЯ 1)(Х,У){ =

= (УгЬ)(Х, А,У) + ЫХ, (У2А){У) - (Уг6)(У, А(Х) - Ь(У, <УгА)(Х), -

(УгЯх)(Х,У)? = (|г?(А-, ./У)/? + Ь(ЛГ, ЛеУ) -ЫУ,А(Х)) -

- (|г(УгХ, ТУ) Д + 6(У2Х, Л£У) - Ь(У, 4е(УгХ))) -

- (|а(х, ,7(УгУ)) Д + 6(Х, А£(УгУ)) - 6(У2У, ЛеХ)) -

- (|а(х, лчургй + 6(ДГ, ЛЛг£У) - Ь(У, ЛСг£Х)) =

= |(пг(г(Х,7У)Д)-ЖЧгХ, ЛГ№-д(Х,ХЪУ)Ж-д(Х,ЛГ)ЦОг$у +

+Пг(Ь(Х, 4(У ]| - £>г(Ь(У, Л£Х)) - 6(УгХ, Л£У) + НУ, Л,(УгХ))--Ь(Х, A^(УzУ)) + Ь(УгУ А(Х) - ЫХ, А„ЛУ) + 6(У, ЛСг£Х).

(УгЛ±)(Х,У)? =

= ^?г(д(Х, ТГ)Х) + Вг(Ь(Х, А(У)) - Ог(6(У, А*)) - 6(УгХ, 4{У)+

+ 6(У А(УгХ)) - ЫХ, АЛЧ-гУ)) + МУгУ А(Х) - ЫХ, АВг(У) + МУ ЛСг£Х).

(УгЛх)(Х,У)? = Ог(КХ,Л£У))-КУгХ,Л£У)-Ь(Х,Л4(УгУ))-Ь(Х,Л1,г{У)

ух, у,г е тр2ш, У£ е т^2™.

Доказательство. По формуле (1.9), используя (2.12), находим:

(2.13)

Отсюда, учитывая (2.4) и (2.5), имеем

Следовательно, в силу (2.11), получим:

- ^£>*(Ь(У, А{Х)) - Ь(Ч2У, А^Х) - Ь(У,Ле(У2Х)) - Ь(У, А^Х)

Отсюда, учитывая (1.7), находим:

(УгЯх)(Х,У){ = (У2Ь)(Х, ДгУ) + Ъ(ХУг(А(У)) - 6(Х, Л£(УгУ)) - Ь(Х, Л„г£У)\ -

- ШгЬ)(У, Л£Х) + Ь(У, VZ(A(X)) - 6(У, Л£(УгХ)) - 6(У, АВг£Х)^. Теперь, учитывая (1.8), получим:

(УгКх)(Х,У)е =

= |(Уг6)(Х,А£У)+6(Х,(УгА)£У)^ - Ауг6)(У,АгХ)+КУ,(УгА)5Х)^. Лемма доказана.

Лемма 7. Пусть Г2т — кэлерово подмногообразие в кэлеровом многообразии М2т+21(с) постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тогда справедливо равенство

(УгЯх)(Х,У,?,ч) = 9«(УгА)£, А,]Х,У) + ЩД£,(УгЛ)„]Х,У),

УХ, У, г € ТЯ2™, V?,») € Тх^2т. (2.14)

Доказательство. В силу (2.13) имеем:

(УгДх)(Х, У, г, ч) = д ((Угйх)(Х, У){, ч) = я «Уг6)(Х, А^У), ч) --5 ((У26)(У, А(Х), ч) + д (6(Х, (УгА)6У), ч) - 9 {Ь(У, (?гА)(Х),г,).

В полученном равенстве преобразуем первое и второе слагаемые с помощью (2.1), третье и четвертое — с помощью (1.6):

(УгДх)(Х, У, (;ч) = д ((УгА)„Х, Л£У) - д ((V*Л)„У, Л£Х) + +9 (Л,Х, (У2Л)£У)) - 5 (А„У, (У2Л)£Х)).

Отсюда, в силу самосопряженности операторов А^ и (УА)^ получим:

(У2Ях)(Х, У, {, ч) = д (Л£(УгЛ),Х, У) — 9 (У, (УгЛ)„Л£Х) + +ч((УгЛ)£Л,Х,У)) -г(У,А,(УгА)£Х)) = = д ([Л£, (У2А),]Х,У) + 9 ([(УгЛ)£, А„\Х,У)) .

Лемма доказана.

Лемма 8. Пусть _Р2гп — кэлерово подмногообразие в кэлеровом многообразии М2т+21(с) постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тогда справедливо равенство

(Ч^Нх)(Х, У, 5, П) = (УгДх)(Х, У, к, ч) - 2ЩфгАЬь А,]Х, У).

УХ, у,2е ТР2т, У£, Г] Е ТхР2т. (2.15)

Доказательство. Из (2.14) находим:

(У,гДх)(Х, У,?, ч) = т?1гА)ь Ап]Х,У) + (Ч^А),]Х, У).

Отсюда, учитывая (2.7), получим:

(У]гН±)(Х, У,{, ч) = 5([-ЛУгЛ)Е, А,]Х, У) + д({А(, -ЛугА\\Х, У).

В полученном равенстве преобразуем второе слагаемое, учитывая (2.7) и (2.8):

= -ЗА^2А\ + = -[7Л*, (УгЛ)ч].

Следовательно,

(УлгДх)(Х,У,?,ч) = -9([/(УгЛ)(,Л,]Х,У) +9([/А{,(УгЛ),]Х!У). Отсюда, в силу (2.3) и (2.5) получим (VJzRL)(x, у, 5, ч) = -г(!(угл)^, а,]х, у) + г([А,4, (Уг/ЗДх, У) = = (УгДх)(Х, У, Д, ч) - 2г([(Уг.4)^, А,]Х, У).

Лемма доказана.

3. Доказательства теорем 1, 2

Доказательство теоремы 1. Для некоторой 1-формы р на Р2т выполняется условие

(чхь)(у, z) = /х(х)ь(у, ^) ух, у.ге тр2ш (з.1)

Тогда для любого векторного поля £ € ТхР2т имеем:

д((?хь) (У, г),о = дШШ г), 0.

Отсюда, учитывая (2.1) и (1.6), получим:

д{(ЧхА)6У,г) = д{ц{Х)А{У,г) УХ.У^еТТ2™, Уеет^2"1.

Таким образом, условие (3.1) эквивалентно условию

(V хА)^ = р(Х)Аь УХеТТ2т, У(еТ^2т. (3.2)

Из (3.2) следует равенство:

^УJXA)^ = |л{JX)Al. УХеТТ2то, У^Г1^2ш. (3.3)

С другой стороны, из (3.2) в силу (2.7) имеем:

(VjxA)^ = -J(fi(X)At), УХ e TF2m, V£gTxF2to. (3.4)

Из (3.3) и (3.4) находим:

/х( JX)Az = -J {fi{X)Ai), УХ G TF2m, G T1F2m.

Отсюда, для любого У G TF2m имеем:

/х(«/Х)АеУ = -n(X)J{AzY)t VXgTF2™, G TxF2m. (3.5)

Учитывая (3.5), получим:

^(JX)g(A^Y, A^Y) = ~n(X)g(J (A^Y), A{Y) = 0,

УХ, Y G TF2m, G T±F2m. (3.6)

Так как Ъф 0, то существует невырожденное векторное поле £ G T^F2"1, и из (3.6) приходим к равенству:

ц(Х) = 0 VA' G TF2m.

Значит, 1-форма /л = 0 и, следовательно,

(VXA) =0, VXG TF2m, V£GTxF2m. (3.7)

Отсюда, в силу (2.14), следует утверждение теоремы.

Доказательство теоремы 2. Из (1.3) находим:

Vwtf(X, У, Z, У) = g{{Vwb){X, V),b(Y, Z)) + ?(Ь(Х, V), (Vwb)(y, Z))-

- g((ywb)(X, Z), b(Y, V)) - g(b(X, Z), (Vw6)(y, V)) VX, У, Z, V, Ж G TF2m. Следовательно, в силу (3.7), VR = 0. Теорема доказана.

Summary

SOME PROPERTIES OF KAEHLER SUBMANIFOLDS WITH RECURRENT TENZOR FIELDS

1.1. Bodrenko

The properties of Kaehler submanifolds with recurrent second fundamental form in spaces of constant holomorphic sectional curvature are studied in this article.

Список литературы

1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2. М.: Наука, 1981.

2. Chen В.-Y. Geometry of submanifolds. N.-Y.: M. Dekker, 1973.

3. Грей А. Трубки. М.: Мир, 1993.