CC BY
29
А.Г. ГУРКО, канд техн наук, доц ХНАДУ (г. Харьков
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА НА МНОЖЕСТВЕ СОСТОЯНИЙ
Введено понятие "днё' функции Ляпунова как прямой которая делит пополам отрезки заключенные внутри линий равного уровня функции Ляпунова и параллельныевектору коэффициентов определяющихнаправлениедействующих на объект управления внешних воздействий Доказано существование"днё' функции Ляпунова и найдено его уравнение Показано что приращениеначенияфункцииЛяпуновапри перемещенитроизвольнойгочки от "днё' на любое расстоянивю прямой параллельно^ казанному вектору постоянно Ил.: 1. Библиогр: 8 назв
КлючевыесловаобъектуправленияфункцияЛяпуновд множествосостояний
Постановкап роблемы При р ешении задачи синтеза оптимального управления сталкиваются с проблемой отсутствия полной информации относительншнешнихвоздействи»! текущегосостоянияобъекта Указанная недостаточностынформациш риводитк н еобходимостфазработкииетодов синтезаоптимальныхмстемуправленижусловияхнеопределенности
Однимиз динамичноразвивающихсяюдходовк синтезуоптимального управления условиях неопределенности вляетсж интез так называемого гарантированногсуправлениет.е. управление минимизирующегснекоторый функционалкачествав предположенною неопределенныфакгорыбудут иметь самый неблагоприятныйхаракгер Таким образом задача синтеза сводитсж минимакснойзадачеиз теориидифференциальньигр [1, 2]. При этом управлениерассматриваетсяак стратегия первого игрока, а действие неопределенныфакгоров- как стратегия-1 грока - противника Достоинство такого подхода заключается в том, что он позволяет гарантировать приемлемоекачество управления при любом сочетании неопределенных факторов Кроме того, гарантированныйподходо снованна использовании относительно легко доступной информации о принадлежности всех неопредел енныфакгорошекоторымограниченныминожествам
Несмотря на значительное число публикаций посвященных гарантированномууправленидев инженерной практике оно используется крайне редко Это связано с тем, что большинство работ имеют общетеоретическукнаправленности не учитываютт ех особенностейс которыми сталкивается1роектировщит ри р азработкес онкретных систем управление а также со сложностью предлагаемых алгоритмов [3]. Следовательно разработка новых относительно простых алгоритмов гарантированнопуправленияшляетсжесьмаактуалы-юйзадачей
Анализ литературы Одним из подходов к решению задачи оптимального управления и гровой ее постановке являетсяподход при
котором гарантированная оценка параметров объекта ищется путем пересечения выпуклых многогранников ограничивающих возможный диапазо1-мзменениянеопределенныфакторов[4 - 6]. Приэтомв критериях качества\южетиспользоватьсфункцияЛяпунова[4, 7].
Пусть динамика объекта описываетсядискретныад в общем случае нелинейньнушекгорньниразностныыуравнением
Х(л + 1) =F(X(n), U(л), 1_(л), л), Х(л0) = ль, п = гь, АЪ+1. (1)
где X - вектор координате остояния объекту U - вектору правляющих воздействий I- - вектор внешних неконтролируемыхвозмущений л -моментыквантованияю времен^ F(9 -заданнаявекгорфункция
УправлениёЩл) формируетсяа основеизмерениСкоординатсостояни? результатоглоторыхявляетежектор
¥(л)=Ф(Х(л), ¥(л), л), (2)
где Y -векгорпомехизмеренирФ^-заданнаявекгорфункция
В [4] в качествецели управления! редложеноиспользоватьфункцию yflenbHbl)ff10TepbW
Цх(л),и(л),Цл),л) = У(Х(л+1),л)+\л^Х(л),и(л),л), (3)
где V(y - функцияЛ япуновд w(^l - заданнаяфункцич которая например можетопределятватратьна реализацикуправлениРи задаватюграничения на ихвеличину
Иными словами задача синтезаза ключаетеяв решении следующей задачи
min max max Мх(л),11(л),1_(л),л)}, (4)
U(n)CM^ (л) L (пущ_ (n) Y (nyjNf (n)
где W)(л), Щп), Щ(п) -заданныФыпуклыемножества
В [8] рассмотренапроцедура синтеза гарантированногоуправления объектоЕВ виде апериодическогозвена 2-го порядка При э том решение задачи(4) осуществлялосвоисковымметодом Однакопоисковыеметодыне гарантируют определения оптимального управления за конечное время) поэтому необходима разработка алгоритма беспоискового построения оптимальногоуправления Поскольку задача(4), по сути, сводитсж задаче поиска минимумафункцииЛ япуновд то представляеинтересисследование свойств функции Ляпунова при движении объектапод действиемвнешних (управляющим возмущающий воздействий
Цель статьи - изучение свойств функции Ляпуновав пространстве состояний Результаты решения этой проблемы позволят резко минимизировать объем вычислений при определении оптимального управления
Понятие "дна" функцииЛяпунова Пусть модельобъектаприведенас
ВИДУ
Х(п + 1) =АХ(л) + В((11(л) + 1_(л)), (5)
т.а рассмотрим случай когда внешнее возмущение непосредственно "подмешивает&в управляющеевоздействиеДля простоты примем что объектуправленияшеетвторойпорядок
Функция Ляпунова для рассматриваемойадачи представляетсобой квадратичнуклоложителынаэпределеннуюрункциюкоординатсостояния
V= ХГРХ, (6)
где Т - операция транспонирования Р - симметричная положительно определеннаиатрица(2х2), котораянаходитсуиз уравнени?Риккати
-1? (7)
И Рс Р2 2 Ш
Рассмотрим екоторыесвойствафункции Ляпунова при движенияхпо направлениямпараллельнынекторуВ = (¿н,£ь)г в уравненииэбъекта(5). Прямые параллельнывекторуВ, описываютсяуравнениями
^-^+0=0, (8)
где С-произвольноемсло
Найдемточки пересечениярямых(8) с поверхностямдеавногоуровня функцииЛяпуноваУ, которыеописываютсяуравнением
Ри*? + 2РсХ,Х2 + р22Х\ -Ух=0, (9)
где Ух - некотороаположительноаисло
Координаты точек пересечени5прямой (8) с л иниями равного уровня функцииЛяпуноваопределяесовместно$>ешение(8) и (9). Выразигмз (8) X.
Х2=щ±с (10)
отсюда
^+2Pc^Г + P22^\І+ Х&Рс ^ + 2^22 Р22 - Цс = 0 ■ 0 1)
°| ш “Г
§.Ц. 2^*2^
ВведемобозначенияГ0 = р, 1 + 2рс — + Р22 Ъ = 2 рс — + 2р22С%,
С2
^2 = Р22~2~ Ух ■ Тогдаиз (11)получим
Аналогичнонаходитсял выражениедля X
у- Ту \Т$ ту
2!rW~ Tf
где TSf=P22+2pc^- + p^] Ty=-32pc^- + 2puC^] T$=p^-vx.
Анализ выражений(12) и (13) показывает что первыеслагаемыеэтих выражений определяют центр Хср отрезка образованного пересечением прямой(8) споверхностькравногоуровня(Э) (рис). Получимвыражениедля Хсрвявномвиде
Х^ср
'1 _
= - С
Х2 ср
27-0 _ Ч _
pA + PzA - с рА + Р22^
ВГРВ
= с
putf +2pfyb2 + p22t$
РиЬі + РА -cPiA + PA
(14)
(15)
27^ р, ^ + 2рсЬр2 + ВГРВ
Посколькупрямых(8) может быть сколь угодно многс* то с изменением значения С, точки Хср с координатами (14) и (15) представляютсобой геометрическоалестоцентровотрезкое образованныхюресечениемрямых (8) с поверхностьюравного уровня (9), и образуют как бы "днй1 функции Ляпунова
Таким образом "дноМ1 функцииЛяпуновабудемназыватьгакую прямую (еслиона существуе); котораяделитпополамотрезкипрямы* параллельных векгоруВ в уравнении (5) и заключенныевнутри границы Vx= const при const > ОЛри этом следуетотметит!? что "днсГ в общемслучаене совпадает; геометр ическоюсьюповерхносп/равногоуровня
Найдемотношение^2ср/Х1ср
Х2СР _ РцЬ, +РЛ
xicp рА + Р2Р2
Уравнение(16) представляесгобойуравнениё'днй' функцииЛяпуноваЦ причем(16)независитот С, т.е "дне!' функцииЛяпуновасуществуех
ПосколькуматрицаР - симметричнажвадратнаялатрицд то уравнение "днё1 можнозаписатьследующимэбразом
(РВ)ТХ = 0 или ХТ(РВ) = 0. (17)
Свойства "дна" функции Ляпунова Поскольку оптимальное управлени4)(л) и внешниевозмущениу|_(л) смещаютобластьвозможных состоянийобъектав направлениуюпределяемогвекгоромв в правойчасти уравнения(б), то рассмотрим! риращениес/Ц/) значенияфункцииЛ япунова при перемещенижонтрольнойточки от "днё1 по прямой(8) на расстояниё. Обозначимсякраткостикоординатыгочки пересечениярямой(8) с "дноМ1 функцииЛяпуновачерезХю и Воспользуемсформулам^Э) и (10)
V = Р,,(ХТО ■*1, ?+ 2 д,(Х10 + /,)'(Х™*'С * pJWo+'ife*0)8. (18)
b\ bf
Послепреобразованиформуле(18) можнопридатьеледующийвид
9 SrHS 9 ВГРВ
V = C2 'ПО +/2_Р_ГР (19)
(ВГРВ)2 t$+t$
где = (peb1 + Р2Ф2, Pubi + Pcfe); H - матрицаР с измененныша обратный
знакомрс.
Первоеслагаемо© (19) определяевначениефункцииЛяпунована "днё1 и не зависитот /. Второеслагаемоеюказываетзависимосттриращения/Ц/) при перемещенисточки от "днё1 по прямой(8) на расстояниё. Формула(19) показывает что зависимостьс/Ц/) постояннап ри перемещениню любой прямой(8). Но базовыезначенияУо на "днё1 функцииЛяпуновд естественнр различны
Определил/теперь какой вид имеетформуладля V в точке пересечения прямой(8) и прямой параллельноРдн/ функцииЛяпунова
(PB)7X + Z=0,
где Z= const.
С использованиегформуль(19) и формулы
,_zVbf+b?
• т |
□ I DD
В'РВ
искомойформулаиожнопридатьследующийкомпактныйвид
(ВГРВ)2 ВГРВ
ВыводыУравнениё'днё' функцииЛяпуновапри движенияхпо прямым линиям параллельныиекторуВ, представляесгобойпрямуюлинию Центры отрезков образованныипересечениелвтой линий с поверхностямфавного уровня V = Vx располагаютсяна "днё1 функции Ляпуновд т.е. "днсі' делит рассматриваемывгрезки пополам При этом приращениезначенияфункции Ляпуновапри перемещенипроизвольноРгочки от "днё1 налюбоерасстояние / по прямой параллелы-юйекторуВ, постоянно
Списоклитературы 1. КрасовскийН.Н. Игровыезадачио встречедвижений/ КрасовскийН.Н.
М.: Наука, 1970. - 473 с. 2. Куржанский А.Б. Управлением наблюдение в условиях неопределенносткЛ.Б Куржанский, - М.: Наука, 1977. - 392;. З.КейнВ.М.Оптимизацигсистем управленияіо минимаксномукритерию/ В.МКейн- М.: Наука, 1985. - 248С. 4.КунцевичВ.М.
Синтез оптимальных и адаптивных систем управления Игровой подход / В.М.Кунцевиу М.М.Лычак - К.: Наукова думка 1985. - 248с. 5. ЛычакМ.М. Множественнаяфильтрация I М.М. ЛычакН Проблем ьгуправленилі информатики- 1996. -№5 -С. 63-76.6. ЛычакМ.М. Идентификация оцениванивсостоянияобъекгоЕуправлениянаосновемножественногоюдхода / М.М. ЛычакН Проблемьуправленияі информатики- 1999. -№5 - С. 34-41.7. КунцевичВ.М Синтезе истем автоматическогоуправления; п омощью функций Ляпунова / В.М. Кунцевиу М.М.Лычак - М.: Наука 1977. - 40Gb. 8. ЕременксИ.Ф. Реализация грового подходак управлениюлинейнымиобъектамивторого порядка/ И.Ф. ЕременкрА.Г. Гурко И Проблемы управления! информатики- 2009. -№ 5 -С. 13-24.
СтатьяіредставленАт.н профХНАДУАлексеевьіів>.П.
УДК 681.5.015
Деякі властивостіфункції Ляпунова на множині станів / Гурко О.Г.// Вісник НТУ "ХПІ". Тематичними пуск Інформатика моделювання-Харків: НТУ "ХПІ". - 2010. -№21. -С. 46 -51.
Введенопоняття "дн^' функції Ляпунова як прямої що ділить навпіл відрізки, укладені всередині ліній однакового рівня функції Ляпунова та паралельні вектору коефіцієнтів я кі визначаютьнапрямокдіючих на об'єкт керуваннязовнішніх впливів Доведеноіснування "днё' функції Ляпуновата знайденойого рівняння Показано що приріст значенняфункції Ляпунова при переміщенні довільноїт очки від "днё' на будь-яку відстаньпо п рямій, що паралельна вказаном^вектору постійний Іл.: 1.Бібліогр: 8 назв
Ключовіслова об'єкт керування функція Ляпуновд множинастанів
UDC 681.5.015
Some properties of Lyapunov function at set of states /Gurkd/ Aieald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2010. -№. 21. - P. 46 - 51.
The concept of a "bottom" of Lyapunov function is introduced. A "bottom" of Lyapunov function is a straight line, which divided into equal parts the segments of lines placed between the lines of equal level of Lyapunov function and parallel to the vector of coefficients that determine the direction of acting of external influences at the control object. The existence of the "bottom" of Lyapunov function is proved and its equation is obtained. It is shown that the increment of value of Lyapunov function when an arbitrary point transferences along the lines of referred above vector, constantly. Figs: 1. Refs: 8 titles.
Key wordscontrol object, Lyapunov function, state space.
Поступипт редакцию10.10.2009
