CC BY
63
УДК 519.2+537.862
НЕКОТОРЫЕ СРАВНИТЕЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
многих естественных и живых системах, где встречается нелинейность.
Возникает вопрос: как различить хаотические и случайные процессы? В данной работе предлагаются
КИРИЧЕНКО Л.О.
Рассматриваются качественные и количественные характеристики случайных и хаотических процессов. Предлагаются критерии их различения. Проводятся численные исследования разных типов процессов и сравниваются их характеристики.
Еще не так давно объяснить стохастическое поведение системы в установившемся режиме можно было лишь воздействием внешних случайных сил, так называемых “шумов”. Однако в последние годы широко известным стало хаотическое поведение нелинейных детерминированных систем.
Хаос представляет собой довольно необычную форму поведения детерминированной системы в установившемся режиме. Хотя эволюция этой системы однозначно определяется динамическими законами и на нее не действуют никакие случайные силы, тем не менее, динамика системы в некоторой области фазового пространства является стохастической. Хаос легко возникает во
x(t+T)
.x(t+T)
0,25 0,50,75 1 1,25 1,5 а
x(t+T)
0,6 0,65 0,7 0,75 0,8
в
x(t+T)
-0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 б
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
г
хаотического процессов
Рис. 2. Фазовые портреты случайных и хаотических процессов
методы распознавания, основанные на количественном и качественном анализе динамических систем.
В целях наглядного представления результатов были выбраны наиболее известные и широко распространенные случайные функции с нормальным (а=0,5, s=0,3) и показательным (Х=3) законами распределения. Для моделирования хаотических систем использованы одномерные отображения вида x,+1 = F(x,). Выбор дискретных отображений в качестве базовых систем объясняется тем фактом, что большинство сложных многомерных непрерывных систем с хаоти -ческим поведением могут быть редуцированы к ним без потери основных отличительных свойств [1,2]. В данной работе представлены два известных отображения: логистическое x;+1 = Ax,(1 - x;), А=3,7 и отображение “типа домик”:
xi+i
bx, / a, x1 < a
U/1 ч , a=0,7, b=0,8.
b(1 - x,)/(1 - a), x, > a ’ ’ ’ ’
Известно, как похоже выглядят временные эволюции случайных и хаотических орбит. На рис. 1,а показана траектория движения для логистического
РИ, 1998, № 3
131
отображения, а на рис. 1,6 — так называемый “белый шум”. Очевидно, что различить случайное и хаотическое движение по временной эволюции практически невозможно.
Важной качественной характеристикой динамики системы является фазовый портрет — эволюция
Рис. 3. Спектры мощности случайных и хаотических процессов
системы на фазовой плоскости. Орбиты хаотических и случайных движений в фазовой плоскости никогда не бывают замкнутыми, не повторяются и стремятся заполнить некоторую область фазового пространства. Для системы с одной степенью свободы, если известна траектория только одной переменной, используется метод псевдофазового пространства. В этом случае строится зависимость x(t) от этой же переменной в другой момент времени, отстающий или опережающий данный момент на постоянную величину x(t+T) [2].
На рис. 2,а,б показаны фазовые портреты случайного движения, определяемого соответственно нормальным и показательным законами распределения. Легко заметить, что траектории сгущаются вокруг определенного центра, зависящего от значения математического ожидания случайной величины, и плотность их с удалением от этого центра убывает. Для хаотических траекторий логистического отображения и отображения “типа домик” (рис. 2,в,г) заметна определенная избирательность направлений, вдоль которых сосредотачиваются основные траектории движения. Для хаотического поведения на фазовых портретах характерно отсутствие выбросов, траектории более плотно заполняют фазовую область. Таким образом, в случае легко получаемого фазового или псевдофазового пространства уже заметны существенные различия между случайным и хаотическим движением.
Наиболее доступной и поэтому широко распространенной мерой хаоса является распределение частот в фурье-спектре. Поскольку значения спек-
тра F(w) часто оказываются комплексными, в графических представлениях используется ее абсолютная величина | F(w) |. При наличии хаотических колебаний появляется непрерывное распределение частот [3,6], которое показано на рис. 4,в,г для отображений логистического и “типа домик”. Нужно отметить, что спектр мощности хаотических колебаний в основном является низкочастотным, в то время как спектры мощности нормального и показательного распределений (рис. 3,а,б) занимают всю частотную область [4].
Характерным свойством хаотических и случайных процессов является потеря информации о начальных условиях. Однако происходит она в обоих случаях по-разному.
Две траектории, близкие друг другу в фазовом пространстве в некоторый начальный момент времени, экспоненциально расходятся за малое в среднем
время. Если d 0 — мера начального расстояния между двумя точками, то, спустя малое время t, расстояние между траекториями, выходящими из этих точек,
становится равным d(t) = d0eXt , где X — показатель Ляпунова [2,5].
Для регулярного движения первоначально близкие точки с течением времени остаются близкими и X<0. Для случайного движения первоначально близкие точки распределяются с равной вероятностью по всем возможным интервалам и X стремится к бесконечности. Для хаотического движения, где точки расходятся экспоненциально, показатель Ляпунова является ограниченной положительной величиной [1,4].
Вычисление показателя Ляпунова начинается с выбора опорной траектории, точки на соседней
траектории и измерения величины d(t)/ d 0 . Когда расстояние d(t) становится слишком большим, выбирается новая соседняя траектория и определяется новое начальное расстояние. Показатель Ляпунова задается выражением
x = -L_ у in-^y.
tN - t0 k=1 d0(tk-1) .
В таблице представлены значения показателя X, посчитанные для хаотического и случайного движе -ний в зависимости от меры начального расстояния
d 0 между траекториями. Расчеты проводились для
X® 0,1 0,01 0,005 0,001 0,0005
Норт 1,31 1 L to 4,82 6,39 7,05
Показ 1,72 3,8 4,62 5,2 6,83
Лопис 0,45 0,452 0,449 0,44 0,442
Домик 0,61 0,607 0,603 0,611 0,612
132
РИ, 1998, № 3
числа итераций N=2000. Очевидно, что для случайных процессов показатель Ляпунова увеличивается с
ростом d 0, тогда как X для хаотических систем не зависит от выбора расстояния и при N стремится
к предельному значению.
Таким образом, зависимость показателя Ляпунова от расстояния между соседними траекториями является надежным количественным критерием для различия случайных и хаотических процессов.
Различные функции фазовых переменных (как метрические, так и вероятностные) могут в определенных диапазонах масштабов демонстрировать
скейлинговое поведение N(l) ж ld , где l — масштаб длины, а показатель d называется соответствующей фрактальной размерностью. Размерность точечного множества можно определить многими способами: N (l) может быть числом точек в покрывающей фазовое пространство сети с размером ячейки 1, вероятностью посещения куба с ребром 1 и т.д. Множество точек фазового пространства в хаотических системах не покрывает подпространство целой размерности и величина d будет дробной. Размерность шумов, которые определяются случайными величинами, всегда равняется целому числу. Поэтому расчет фрактальной размерности — распространенный способ отделения хаотических колебаний от естественных случайных помех [3].
Одним из наиболее употребительных методов определения d является расчет корреляционной размерности. Для этого в фазовом пространстве вычисляются расстояния между парами точек путем использования либо обычной евклидовой, либо какой-нибудь эквивалентной ей меры расстояния. Корреляционный интеграл определяется как
Li,
C(r) = lim -2-
N
2 ?
где Lij — число пар точек (i,j), для которых расстояние Б, < r.
Эта функция зависит от r при т^-0 по
степенному закону rldm>C(r) = ard . Поэтому корреляционную размерность определяют по наклону графика зависимости С(т) от1/т в двойном логарифмическом масштабе.
На рис. 4 показаны зависимости Ln(C(r)) от Ln(1/r) для показательного и нормального (линии 1 и 2), логистического отображения (3) и отображения “типа домик” (4).
Вычисления проводились при значении N=5000. При аппроксимации расчетных данных методом наименьших квадратов были получены следующие значения корреляционной размерности:
dj = 0.999997,d2 = 0.999305,d3 = 0.92,d4 = 0,9582.
Рис. 4. Зависимость корреляционного интеграла от меры длины для случайных и хаотических процессов
Очевидно, что для хаотических процессов корреляционная размерность является нецелым числом, тогда как размерность для случайных величин с ростом N будет неограниченно приближаться к 1.
Подводя итоги, необходимо отметить, что из предложенных критериев нельзя предпочесть какой-либо один. Дело в том, что некоторые хаотические системы, эволюционирующие в режиме полностью развитого хаоса, могут иметь фрактальную размерность, очень близкую к целому числу, или полностью заполненное фазовое пространство. Вычисление показателя Ляпунова будет представлять определенные трудности, если мы не моделируем процесс, а имеем только его временную реализацию. Поэтому при различении хаотических и случайных процессов надо пользоваться сразу несколькими критериями.
Литература: 1. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир,1984. 528 с. 2. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир,1990. 311 с. 3. Анищенко В. С. Стохастические колебания в радиофизических системах. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. 180 с. 4. РозановЮ.А. Случайные процессы. М.: Наука, 1971. 283 с. 5. Герасин С. Н, Дикарев В.А., Кириченко Л. О. Вычисление спектра показателей Ляпунова для систем дифференциально-разностных уравнений с запаздыванием // АСУ и приборы автоматики. 1997. Вып.106. С. 130133 6. Земляный О.В., Кириченко Л.О. Хаос в нелинейной динамической системе с V- образной переходной характеристикой / / Радиоэлектроника и информатика. 1998. №2. С. 66-67.
. Поступила в редколлегию 18.09.98
Рецензент: д-р техн. наук Хаханов В.И.
Кириченко Людмила Олеговна, аспирантка кафедры прикладной математики ХТУРЭ. Научные интересы: хаотическая динамика и марковские процессы. Адрес: Украина, 310085, Харьков, ул. Астрономическая, 35—ж, кв. 120, тел. 44-68-07.
РИ, 1998, № 3
133
