Некоторые синергетические модели микромеханизмов разрушения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.214.4:548.4

НЕКОТОРЫЕ СИНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОМЕХАНИЗМОВ РАЗРУШЕНИЯ

© A.K. EMa.'icT/nuioB

Emalctdinov A.K. the sonic new syncrgctic models of the micromechanisms of fracture. The new some synergctic models of different effects of fracture of metals are proposed on the basis of recent experimental data of various authors. It is shown that the process of homogeneous generation of defects at the deformation of metals is the self-organization in system of excited phonon subsystem of a loaded crystal. The expressions describing the nuclcation time and the force and the energy conditions of a crack generation arc derived. In these models it is possible to dcpict some macroscopic characteristics of material fracture.

В настоящее время разрабатывается подход к процессу разрушения и долговечности конденсированных сред на основе неравновесной термодинамики, синергетики и теории фракталов [1-3]. Установлено, что кинетика процесса разрушения включает стадии: «взрывообразного» зарождения микротрещин уже на пределе текучести, образование и рост макротрещины [4, 5]. Динамика гомогенного зарождения зародышей, микротрещин [4-5] исследована методами абсолютных скоростей реакций и динамики решетки, где были получены термодинамические условия зарождения. Но такие методы не учитывают возникновения коллективных мод и не позволяют самосогласованно получить критические значения параметров гомогенного зарождения (критической температуры, напряжений, времени зарождения). Предложена дилатонная модель зарождения микротрещин [5]. Необходимо рассмотреть эту модель в точной квантово-механической постановке задачи.

На основе квантово-механического, синергетического подхода [6, 7], в работах [8, 9] исследован процесс гомогенного зарождения микротрещины (дефекта) как одного из каналов образования диссипативной структуры неравновесной фононной системой нагруженного кристалла. В гармоническом приближении в равновесной фононной системе существуют тепловые флуктуации, приводящие к стационарной концентрации неравновесных точечных дефектов (вакансий, междоузлий и т. д.). При приложении внешних воздействий (напряжений, температуры и др.) фононная система переходит в неравновесное состояние, описываемое функцией распределения фононов УУа, в первом

приближении /Уа = #0 + &А/а . Неравновесная система фононов обладает избыточной энергией, благодаря которой могут, например, образовываться неравновесные Аг-солитоны (микротрещины), и плотность которой равна [10]:

d3k

Рассмотрим простую решетку, чтобы иметь дело с меньшим числом индексов. Процесс зарождения исследуем в адиабатическом приближении [7]. Неустойчивые моды заключены в узкой полосе значений волновых векторов Ь„„ т. е. неустойчивой становится одна или несколько мод П. Нагруженный кристалл представляет совокупность осцилляторов, взаимодействующих с критической модой. Рассмотрим кристалл с простой кубической решеткой, подвергнутый однородной упругой деформации Еу . Смещения атомов кристалла при наличии деформации запишем в виде [10]:

и/(Лх) = Хе,у^(/.х) + ^(Лх) + ^(Лх).

где .¥,(/,X) - координата положения равновесия у атома в /-ой ячейке, </,■(/, х) - неоднородная деформация от зародившегося дефекта, £,•(/,X.) ~ тепловые смещения атомов вблизи новых положений равновесия. Тензор £ у - симметричный. Положения равновесия

атомов в деформированном кристалле определяются из условия минимальности потенциальной энергии [10]:

+ (2)

Нагруженный кристалл представляет совокупность осцилляторов ша, взаимодействующих с критической модой. Гамильтониан деформируемого кристалла имеет вид:

Н ~ Е Ло)«йайа + X Ку («а + )(ау + а,) + а ау

+ НА + £Щ,КЬп1 +

1

j

W n0(n0+\)'

(о

д/1/2 /V сипи

2>eP« (mj,ni)b*b„ {а* +аа),

где а* , а а , Ьы - операторы рождения, уничтожения нормальной и критической моды в состояниях к] и т соответственно, ра (/?;/,т) - коэффициенты рассеивания для 3-фононных процессов (критической и нормальных мод), выражаемый через матрицу силовых

постоянных решетки, V^ = А е - , =

а 1 /4Л(с0а(0у)' 2 /ц, Л - некоторое среднее значение модулей третьего порядка, ц - модуль сдвига, НА - гамильтониан 4-х фононных взаимодействий, Еы = Ш+Д£„,- «Ш, Еаг - тензор деформации. Используя новые переменные аа =ааехр(/ша/),

= Ьп/ехр((0/), получим гейзенбергоские уравнения движения для операторов в виде

новых устойчивых положения равновесия. В случае а„ > 0 мода Ьп описывает амплитуду акустической волны от зарождающегося дефекта (микротрещины). Таким образом, для зарождения дефекта необходимо превысить критическую величину неравновесности фононной системы

АЫа > АіїаС = 1 /тстґ X Ра('"'")Сау (»».«)•

ау ,т

Можно записать энергетическое условие гомогенного зарождения М-сол итона (дефекта, зародыша) в критическом фононном пакете в виде:

кТ'о-2

■ (Iу к

А N.

зад).

(9)

Ьп = -й«/тС + 'Т Ра (т,п)ак, (4)

а.ш

«а =-«а/т^ +^С>ау(1П>")ЬиАЫа, (5)

У.т

где С,ау(т,п) - коэффициенты рассеивания для 4-х фононных процессов, Т(- - время затухания критической моды в системе, Т/7 - затухание фононов в системе. Кинетическое уравнение для функции ANa запишем в виде:

Д#а = (ANa. - ANa)/xr +

+ 2/Е-^|< |2 (Ь,;аа -Ь„а:і

ау л

(6)

где Т г - время релаксации неравновесной фононной системы, Д/Уа. = 2п | Леау/4ц |2 (соасоу)Л/0(Лг0 +1)/Л -

квазиравновесное смещение функции распределения, поддерживаемое нагружением. Используя метод многомасштабных приближений [7], из системы уравнений

(2) - (4) получим уравнение для критической моды Ь„

в виде:

Ь„ - -а0Ь„ -раЬ*ЬпЬ„,

(7)

где

-а0 =-1/тг +Т/Г £ра(/Н,Н)<; (Ш,/і)Д/Уа., <8)

ау ,т

Ро = тст, х р-1 < |2 Ра(»/.,«)С2Г (/»,».)•

ау ,т

Когда а0< 0, неравновесность фононной системы мала, мода является обычной релаксирующей. При а,,= 0 возникает бифуркация, для Ьп появляются два

где Ец(1п) - собственная упругая и поверхностная энергия зародившегося дефекта. Уравнение (9) можно использовать для прямой и обратной задач определения, например, величины энергии критического зародыша £|), температуры кристаллизации Тс и др. Например, для гомогенного зарождения дислокации в модели Грюнайзена оценка имеет простой вид:

/«* 3

К2с\,Т(\-V)

(Ю)

где g - коэффициент Грюнайзена, Су - объемная теплоемкость.

Силовые условия зарождения дефектов можно получить, взяв фононный вклад в тензор упругих напряжений [10]:

-У (11)

где Л/у - тензор деформационного потенциала,

ос «ц/10 - прочность идеальной реше+ки, что совпадает с оценками в теории упругости.

Таким образом, в нагруженном кристалле возникают неравновесные фононные пакеты, которые могут приводить к гомогенному зарождению дислокаций, микротрещин. Для микротрешины реальные значения получаются при зарождении вблизи дислокации. В пластичных материалах вблизи дислокаций возможно безактивацнонное зарождение микрогрещины,

величина Nc >\6п2g2CyT()l() , где - поверхностная энергия микротрещины, что согласуется с дислокационной теорией микротрещин.

Для определения размера критической флуктуации 1С необходимо решать неоднородную задачу с неоднородным потенциалом типа Гинзбурга - Ландау [7]. Корреляционная длина (размер критической флуктуации) будет определяться из выражения корреляцион-

ной пространственной функции

< Ьп(х,1)Ьп(х',1') > [7] /с = (а0С/а0)и2 , где Д 0 - постоянная решетки, С - скорость звука. Взяв типичные значения для дебаевских температур, из этой оценки получим, что по порядку величины !(■ = 10 5 см, что хорошо коррелирует с критическим размером микротрещин, наблюдаемых в экспериментах [1-6].

Время зарождения определяется из уравнения формирования фононного пакета, образующего стационарный дефект. Выражение для времени зарождения определяется величиной критической неравновесности, решеточными и динамическими постоянными. Точное нахождение значения времени !(• в микроскопической

теории должно определяться динамикой формирования солитона и условием достижения энергии критического фононного пакета Ес, нарастающего во времени Ес(1), собственной механической энергии зародившегося дефекта Е0. Для определения времени зарождения получим уравнение в виде:

I с 00

Е0 = 8лК, || А(к)\2 с!к . (12)

0 - оо

Численное решение уравнения (12) показало, что время зарождения составляет 1С < К)1 с, что не противоречит экспериментальным данным.

Таким образом, зарождение микротрещин представляет собой процесс образования диссипативной структуры в кинетике возбужденной фононной системы нагруженного материала.

Как известно, кинетика развитая микротрещин и их слияния в магистральную критическую трещину определяют пластичность материалов [1-5]. В этих же работах приведено большое количество критериев разрушения материалов, и развиваются фрактальная и синергетическая механика разрушения. Однако для предсказания макроскопических критических параметров деформации и разрушения материалов (пластичности 5С, температуры вязко-хрупкого перехода Тс, критического размера макротрещины , критической плотности дефектов рС( и др.) необходимо развить микро- и макро-синергетическую физику разрушения. В физической синергетике деформация и разрушение материала являются различными каналами производства энтропии в иерархии уровней диссипативных процессов и структур кинетики дефектов нагружаемого тела. Общее термодинамическое соотношение, позволяющее вычислить пластичность, показывает, что разрушение наступает, когда скорость производства энтропии благодаря слиянию мнкротрещин будет меньше скорости производства энтропии (принцип минимума) от других диссипативных деформационных процессов (вакансионных, дислокационных, двойниковаиия, зернограннчных и др.)

Р[ = <г> / Л = о у ■ Дё<Г) / Т < £ о,*ё$ / Т,

I (13)

(/ = 1,2,...).

В первом приближении скорость деформации тела при зарождении микротрещины радиусом I , толщиной И , за время 1С будет определяться выражением

Дё<7> = л/ 27г/2Л / . В случае зарождения микро-

трещин с объемной плотностью рг(г ,с,Т,а) величина деформации в линейной теории упругости будет равна гт = |^3г[ДЁ<7)рг(г,е,Г,а) +ДЕтрг(/г,е,7’,ст)].

А скорость производства энтропии благодаря зарождению микротрещин

<4?(е,а,Г,р,)/Л =

= |г/\-[Ас(Г)рт(г,е,7',а) + Де(Г)рт(г,е,Т,а)] о(г,е,Т,р,).

Ясно, что скорость производства энтропии при зарождении микротрещин будет зависеть от степени деформации (времени), напряжений, температуры, плотности других дефектов и др.

В этом случае возникают естественные критические параметры, определяющие бифуркацию на термодинамическую ветвь зарождения макротрещины. Предельная пластичность 5<~ при температуре Т() находится из уравнения

а*. • Д8|,Г) (5с, Г0) = £ а^0(5С ,Г0). (15)

I

Температура вязко-хрупкого перехода Тс будет определяться уравнением

ст* • Дё<,г)(0,ТС) = X сту*®у* (0,7с) • (16)

>

Таким образом, появление бифуркации решений кинетических уравнений для всех видов дефектов при критических значениях параметров: напряжений,

плотности дефектов, микротрещин, температуры будет описывать зарождение макротрещины и определять пластичность материала. Такой подход в принципе описывает все микро- и макро-критерии механики разрушения, включая универсальный критерий предельной плотности энергии деформации [1-3]. Более того, синергетический подход описывает и динамическое поведение трещины, включая ветвление трещин. Ветвление трещины будет описываться как зависимость скорости производства энтропии при росте трещины от вектора направления и плоскости распространения. Это направление будет определяться градиентами внутренних напряжений и деформаций тела. Данный подход без привлечения методов синергетики был теоретически развит и экспериментально подтвержден на аморфных и кристаллических материалах в работах [111.

Исследование задач (15), (16) может быть сделано квантово-механическими, микроскопическими и термодинамическими методами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иванова B.C.. Баланкин А. С.. Бунин И.Ж.. Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994. С. 383.

2. Иванова B.C. Синергетика. Прочность и разрушение металлических материалов. М.: Наука, 1992. С. 155.

3. Панин B.F.., Егорушкин В.Е.. Макаров В.П. и др. Физическая мезо-механика и компьютерное конструирование материалов. Новосибирск: Наука. 1995. Т. 1, 2.

4. Деформационное упрочнение и разрушение поликристаллнческнх металлов / Под ред. В.И. Трсфилова. Киев: Наукова Думка. 1987. С. 248.

5. Журков СИ.. Петров В.А. // ДАН СССР. 1978. Т. 239. № 6. С. 1316-1319.

6. Микояне Г.. Пригожим И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979. С. 512.

7. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. С. 404.

8. Емалстдинов А. К. И Кристаллография. 2000. Т. 45. № 2. С. 295.

9. Емалстдинов А.К., Алексеева Л.Н. // Фнз. Хим. 2000. Т. 74. № 12. С. 2293.

10. Бетгер X. Принципы динамической теории решетки. М.: Мир. 1986. С. 392.

11. Инденбом В.Л. Внутренние напряжения в твердых телах: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук / ИКЛН СССР. М.. 1962. 320 с.