Некоторые примеры точного решения задачи о движении мелкой частицы в газовом потоке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том X

197 9

№ 5

УДК 532.525.5

533.6.071.(08)

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ МЕЛКОЙ ЧАСТИЦЫ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ

Р. П. }Кежерин, Ю. Е. Кузнецов, Ю. П. Чернов

Приведены два примера точного решения уравнений движения мелкой частицы в газовом потоке: задача о движении мелкой частицы в газе при обтекании внутреннего прямого угла и задача о движении частицы в газе, вращающемся по закону твердого тела.

1. В связи с развитием лазерного допплеровского метода измерения скорости газового потока в настоящее время повысился интерес к изучению движения мелких частиц в газе, когда о скорости движения газа судят по скорости мелких частиц, которые несет газ [1, 2]. Если газовый поток имеет продольные или поперечные ускорения, то скорость мелкой частицы несколько отличается от скорости газа [1], и это надо учитывать. В [1] показано, как при помощи дополнительных измерений это различие в скоростях можно учесть. Представляет также интерес выяснить, в каких случаях можно измерять без поправок с необходимой точностью скорость газа по скорости частиц. В связи с этим развиваются как методы изучения движения мелкой частицы в газе, так и поиск приближенных или точных аналитических решений [1].

Будем рассматривать движение мелкой частицы сферической формы в однородном потоке газа при небольших числах Рейнольдса. В этом случае движение мелкой частицы относительно газа определяется законом Стокса с поправками:

где — сила, действующая на частицу, ¡¿ — динамическая вязкость, г — радиус частицы, V — абсолютная скорость частицы, и — скорость газа, Ф — коэффициент, учитывающий поправки, зависящий от чисел М, Ие, Кп. Если ввести характерное время задачи [1]

^ = т-= — (V — и) Ф,

<И

2_ Г2рф 9 ' ¡А.Ф

где р* — плотность частицы,

то уравнение движения частицы можно записать в виде

(1)

Для частиц произвольной формы в потоке с градиентом скорости полученные результаты могут быть использованы для оценок, если градиент скорости не слишком велик:

Ли

ГЧГ"

« 1.

г

где р — плотность газа.

Ниже приведены примеры точного решения уравнения (1).

2. Рассмотрим движение мелкой частицы при обтекании внутреннего прямого угла газом с такой скоростью, чтобы сжимаемостью можно было пренебречь (рис. 1). Компоненты скоростей газа в декартовой системе координат следующие [3]:

их = — кх, иу = ку, (2)

где к—положительная постоянная.

Векторное уравнение (1) в этой системе координат заменится двумя скалярными и будет иметь простое решение

У = Съ ехР [--¿-(1-КГ+4^] + с4ехр [--¿-(1 + ,

где а — параметр задачи, равный кх.

Из (2) и (3) при условии малости а получаем:

(3)

1 - (а + а»)

1 + (а - >2)

1 — 2 (а + а»)

1 4- с5 ехр

■ 2 (а + аЗ)]

1 + 2 (о — а»)

(4)

"У " 1 + е6 ехр | — + 2 (а — а3)

В (3) и (4) С{ — постоянные, определяемые из начальных условий.

Точность слежения частицей за скоростью потока будем характеризовать двумя параметрами: е (() — угол между векторами скорости газа и частицы;

I V I — I и [

о (?) = ---— относительная разность модулей скорости частицы и газа.

Рис. 1

Vr fv

Из (4) видно, что -1 + а и —— ->- 1 — а при t -» со с характерным значена иу

нием времени —'Т. Для £ > т максимальные значения параметров £ и 8, характеризующих точность слежения, достигаются при лг/у = 1—а и при х/у = 0, оо соответственно и равны:

\ £тах = п> ®гаах = + (5)

3. В случае движения мелкой частицы в окрестности критической точки при обтекании цилиндра несжимаемой жидкостью выражения для параметров слежения (5) с учетом k = 2u0Ja, а = 2иаот/а, где и^ — скорость набегающего потока на бесконечности, а —радиус цилиндра, будут иметь вид

smax = 2Т/а, 6max = + 2«^ -с/в (например, при ида = 100 м/с, а = 1 см, т = 10—6 с, emax = 0,02, 8шах= + 0,02).

4. Рассмотрим движение мелкой частицы внутри вихря. Будем считать, что газ вращается по закону движения твердого тела и проекции его скорости и в полярных координатах (R, <р) имеют вид

uR = 0, и^ = QR,

где 2 — угловая скорость вращения газа, R— радиальная координата точки, в которой находится частица.

Векторное уравнение движения мелкой частицы (1) в полярных координатах с учетом сделанных выше допущений, имеет вид

d9-R dt-

dw

R~TT + 2(0 dt

— ш2 R = -

dR

dR\dt

2 — ,

dt

R,

)

(6)

где (о — угловая скорость движения частицы. Система (6) имеет следующее частное точное решение:

to = ш0 = const,

K = fl0exp (qt),

где ш0, R0, q — постоянные. Подстановка (7) в (6) дает выражения для q:

1 1 УТр

1*2 = - "ST ± "

(7)

(8)

У - 1 + )Л + 16Р2

где р = 2т: — безразмерный параметр задачи.

Из приведенных формул видно, что система уравнений (6) формально имеет два частных решения (их линейные комбинации тоже являются решением). Дадим их геометрическое толкование.

Рис. 2

Первое решение, соответствующее знаку плюс в формуле (8), описывает движение частицы, когда она вращается вокруг центра вращения газа в ту же сторону, что и газ, т. е. .уносится" газом. Картина такого движения показана на рис. 2, а. Второе решение, имеющее знак минус в (8), соответствует движению частицы навстречу потоку. Частицы быстро тормозятся и одновременно перемещаются в область центра вращения газа. Соответствующая траектория движения частицы условно изображена на рис. 2, б.

Классический анализ устойчивости системы (6) показывает, если частица движется вокруг центра вращения в направлении вращения газа, то движение, описываемое частным решением (7), асимптотически устойчиво по Ляпунову, если вращение газа и частицы происходит в разные стороны, то движение неустойчивое. Из сказанного выше следует, что движения, начальные условия которых не соответствуют частному решению (7), изменяются со временем таким образом, что их отклонение от частного решения стремятся к нулю при ¿-»со. Характерное время убывания отклонения как легко показать, равно:

/* =---. (9)

2дт+1

Для первого решения дадим выражения параметров, характеризующих точность слежения частицы за газовым потоком. Из (6), (7) и (8) получаем:

4Э — 1^2 V1 + 1632

е = arctg

V | + i6ß2 — i

г

-У

(У-

1

16S2

1 + Kl + 16S2

8ß2

(10)

5. Напомним, что одним из требований хорошего отслеживания мелкой частицей движения газового потока является малость е и, следовательно, малость ß. Поэтому нас будут интересовать в основном малые значения параметра задачи ß = Qt. При достаточно малых значениях ß формулы (8) —(10) упрощаются. Приближенно получаем

fcsrp»/*, t* ж т, saß, 5 =

6. Из анализа движения частиц в вихре, описываемых частным решением (7), следует, что область, занятая каким-либо ансамблем частиц, расширяется со временем по экспоненциальному закону, а их концентрация уменьшается, т. е.

п

—— =-= ехр (— 2qt),

R2 по

где п — количество частиц в единице объема.

Характерное время t** убывания концентрации частиц

й Л

t** =il2q

— 1

У

Для малых значений параметра ß= 2т получаем

_ - ---

В2 Q3 х '

(11)

Характерная величина х порядка 10~& с. Поэтому из (11) следует, что может быть достаточно большой величиной, если 2 не слишком велико.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гродзовский Г. Л. О движении мелких частиц в газовом потоке. „Ученые записки ЦАГИ", т. 5, № 2, 1974.

2. Бусройд Р. Течение газа со взвешенными частицами. М., „Мир", 1975.

3. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., „Наука", 1975.

Рукопись поступила 6/V 1978 г.