Некоторые осесимметричные задачи для упругой неоднородной толстостенной трубы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 539.3

НЕКОТОРЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГОЙ НЕОДНОРОДНОЙ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ

Г. З. Шарафутдинов

Различного рода трубопроводы подвергаются воздействию агрессивных химических сред, радиации, потоков тепла и т.п. Экспериментально установлено, что это оказывает существенное влияние на механические свойства материалов, приводящее к их неоднородности.

Также экспериментально установлено, что механические свойства многих деформируемых материалов, например металлов, зависят от интенсивности деформации, что в случае неоднородного напряженно-деформированного состояния приводит к зависимости механических характеристик материала от координат.

Задачи теории упругости неоднородных тел представляют интерес и ввиду возможности сведения к ним большого класса задач термовязкоупругости, теории малых упругопластических деформаций и некоторых других1, а также в связи с использованием в качестве тестовых при верификации различного рода приближенных методов механики деформируемых твердых тел.

1. Рассмотрим цилиндрическую трубу бесконечной протяженности с внутренним радиусом а и внешним Ь. Допустим, что на внутреннюю и внешнюю поверхность трубы действуют равномерные давления р и ц соответственно.

Неоднородность упругих свойств деформируемого материала зададим в виде зависимости параметра Ламе от радиуса т: ц = ц(т) в предположении постоянства коэффициента Пуассона V.

Введем цилиндрическую систему координат (т,д,х), располагая координатную ось OZ вдоль оси трубы. В силу осевой симметрии радиальное перемещение представим в виде и = и(т), окружные перемещения положим равными нулю, а осевую деформацию е? считаем постоянной. Таким образом, ненулевые компоненты тензора деформаций определяются соотношениями

£т =

йи йт'

е$ =

и

е? = со^.

Соотношения закона Гука запишем в виде

аг = 2ц а$ = 2ц а? = 2ц

1 -2v

1 — 2v

V

1 - 2 г/

V

@ + ег в + е$ в + е?

2ц -- 2ц 2ц

1 — V (1и V /и

1 — 2V йг 1 — 2г/ \ г х

1 — V и

- +

V

1 — 2v т 1- V

( йи 1 —

1- 2v

е? +

1 — 2v \ йт

V (йи и 1 — 2и \ йг г

(1)

где в = ег + + е?.

Подставляя их в уравнение равновесия

(1(7 г а г — (7$

йт т

0,

(2)

получим уравнение относительно радиального перемещения

йц(г) ( 1 — V йи

1-й / й2и 1 йи 1 — 21/ \ йг2 г йг

и

+

+

и

йт \ 1 — 2v йт 1 — 2v т

vе,

йц(т)

1 — 2v йт

т

V

V

т

1 См.: Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976.

Нетрудно показать, что это уравнение эквивалентно следующему:

1 - V 1-21/

сРи ^ 1 йи и ^ й/х(г) ^ йи ^ и

^^ ^ (1г2 Г (1г

(1г \с1г ^ г

йц(т) (и

йт

Группируя левую часть последнего уравнения, получим

йт

ц(т) й т йт

(ит)

1 йц(т)

1 — V йт

и

(1 - 21/) - - ие2

т

Для несжимаемого тела (при V = 0,5) уравнение (4) обращается в тождество

йц(т) йц(т)

■£г = —;—

йт

йт

1 — 2v

(4)

По этой причине случай несжимаемого тела будет рассмотрен отдельно.

Полученное представление (4) уравнения равновесия позволяет достаточно просто организовать его решение методом последовательных приближений. Запишем уравнение (4) в виде

й_

йт

ц(т) й т йт

Ы+\т)

1 йц(т)

1 — V йт

/л О

(1 -2 и)--иег

т

к = 0,1,2,...

(5)

Решение уравнения (5) можно записать в виде суммы общего решения и соответствующего однородного уравнения и произвольного частного решения и* неоднородного уравнения: ик+1 = ик+1 + и£+1. Представление уравнения в форме (5) позволяет легко получить как общее решение однородного уравнения, так и частное решение неоднородного уравнения, например, непосредственным интегрированием. Таким образом, имеем

ик+\

Ск+1 [ г йт Рк+х

Ц(т)

1 - 2v 1

ик+1 =

Ц(т)

1 — V т

ц(т)

ик йтйт —

2(1 — V)

£х т = Ек (т) —

2(1 — V)

^ т,

где Ск+1, ^к+1 — постоянные интегрирования. Отсюда получим

, ч _ йик+1 _ Ск+1 [тйт Ск+1 Рк+1 йЕк (т) V

{£г)к+1 — ——— —--I —— + -7~ч------1-------7ч

йт

т2 ц(т) ц(т) т2

йт

2(1 — V)

/ ч ик+1 Ск+1 [ тйт Бк+1 , Ек(т) — - — -о- ' ^--^--г

Ц(т)

т 2(1 — V)

£х,

п Ск+1 , сЩ+1(г) ^+1(г) 1 — 2г/ 1 = —— Н--—--1--:--I" --— £г-

(6)

(7)

ц(т) йт ' т '1 — V

Для определения коэффициентов Ск+1, Ок+1 в каждом приближении используем граничные условия

\т=а — P, \г=Ь — Я,

(8)

для чего выразим аг через и: (&т )к+1 = 2ц

где

Н (т) =

1- V 1

йик+1 , V

+ Г^ @к+\

1 С тйт

= 2ц

Н{г)Ск+\ —\ Ок+\ + Ск{г)

(9)

1 — 2v ц(т) т2 ,] ц(т)'

1 — 2v йт 1 — 2v т 2(1 — V)

Реализация граничных условий (8) дает систему двух уравнений относительно неизвестных Ск+1,

Ок+1: _ _

Я

Н(а)Ск+1--

Р — Ок(а), Н{Ъ)Ск+1-Вк+1

2ц(а)

Ь2

2ц(Ь)

— О к (Ь),

т

т

т

т

т

V

V

т

V

V

е

X

откуда имеем

pa

Ck+i —

2^(b) 2^(a)

+ [Ok(b)b2 - Gk(a)a2

1-й 1 - 2v

b2

ц(Ь) n(a)

+

rdr H(r)

H{a)a2 + ff(5)52 ^ Gk{a)a2 + Ск{Ъ)Ъ2 1 vk+1 --2-Ck+l H--2--4

pa2

+

^(a) ^(b)

(10)

(11)

При организации последовательных приближений вначале положим к = 0 и ио =0. Для простоты будем считать, что е? = 0. Тогда Gо = 0, а постоянные С, 0\ определятся из (10) и (11):

Ci —

qb2 pa2 2/х(5) ~ 2fi(a)

1 - V Г 52 а2 1 1 ib г dr J а Кг)

\-2v Ш n(a)

H(a)a2 + Н(Ъ)Ъ2 1

Di =-J-Ci + -

pa

+

qb2

fx(a) fx(b)

Подставим Ci, Di в (6). В результате, учитывая (7), получим ui(r), а затем при необходимости при помощи (1) найдем компоненты тензора напряжений ar,

Полученное выражение для ui(r) позволяет в соответствии с (7) и (9) определить ^i(r), Gi (r), после чего последовательно находятся C2, D2 и т.д.

Входящие в (7) коэффициенты - и - при 0 < v < 0,5 по абсолютной величине меньше едп-

1 — v 1 — v

ницы. В силу этого при интегрируемости подынтегральных выражений в (7) последовательность значений uo, ui,..., un,... может быть мажорирована последовательностью членов сходящейся геометрической прогрессии, что обеспечивает равномерную сходимость искомой последовательности компонентов вектора перемещений для любого r, 0 < a < r < b.

2. В случае упругого несжимаемого тела, т.е. при v — 0,5, приведенное выше изложение можно существенно упростить. Однако уравнение (3) в этом случае непосредственно использовать нельзя в силу появления неопределенности в первом слагаемом этого уравнения. Действительно, при v ^ 0,5 выражение в скобках в первом слагаемом вместе с (1 — 2v) стремится к нулю. В этом можно убедиться, дифференцируя В по r. Точно так же заключаем, что и перемещения, и деформации в уравнении (3) при этом тоже должны стремиться к нулю.

Неопределенность вида -, обусловленная несжимаемостью материала, присутствует и в выра-

1 — 2v

жениях для компонентов тензора напряжений. Допустим, что существует предел lim^ --— = А(г).

1 — 2v

Тогда

ar — 2^(r)

., х duu

^ + Tr

— 2^(r)

A(r) + -

r

Подставляя эти выражения в уравнение равновесия (2), приходим к следующему уравнению:

d^(r) dr

du

Tr+A{r)

+ Mr)

d2 u dA(r)

dr2 dr

+

Mr)

du dr

0.

В силу того что сумма третьего, пятого и шестого слагаемых равна нулю, окончательно имеем

MO ^^ + M'(r)A(r) = vw

(12)

du du u

Выражение для — найдем, используя условие несжимаемости: — =---ez. Интегрируя последнее

dr dr r выражение при условии ег — е — const, получим

1 с2

и =--£Г Н--.

2r

b

2

a

r

В результате уравнение (12) примет вид

(Щт)

Кг) + К(г)А(г) = К (г) (^-е + ^ .

Его решение

А(г) = -£+^т У 7 2 /х(г)

а'(т) , с1 р (1г +

т2 ' /(т)'

Выражения для компонентов тензора напряжений представятся следующим образом:

аг = 2с1 + 2с2

22

(14)

= 2с1 + 2с2

22

(15)

Реализация граничных условий, которые и в этой задаче примем в виде (8), позволяет определить постоянные интегрирования С1, С2:

р /(а)

с 1 =

С2 =

р - Я

К(т)

(т

/(Ь) /(а)

Подставляя их в соотношения для компонентов тензора напряжений, получим

= -р +(р - Я)

= -р +(р - Я)

Г«?*- За Г2 >(г) / (а) а2 _

Г«?*- За т2 б2 //(а) а2 _

>(г) Ка)~ а2 .

г КЪ) ь2 / (а) а2 _

Эти выражения представляют точное аналитическое решение задачи Ламе об осесимметричном деформировании трубы из упругого несжимаемого материала с заданной неоднородностью в виде зависимости параметра Ламе от радиуса: / = /(т). Непосредственной проверкой установлено, что для однородного материала полученное решение сводится к классическому.

Приведем пример численного расчета компонентов тензора напряжений с использованием полученных выражений. Допустим, что к внутренней поверхности трубы т = а = 1 приложено равномерное давление р = 1 000, а ее внешняя поверхность т = Ь = 3 свободна от нагрузки, т.е. Я = 0. Рассмотрим два случая неоднородности: 1) / = /о [1 - 0,01(Ь4 - т4)]; 2) / = /о [1 - 0,05(Ь - т)4]. Графики зависимости параметра Ламе / от текущего радиуса т приведены на рис. 1. На рис. 2, 3, 4 представлены соответственно распределения компонентов напряжения аг, и ах при =0 в зависимости от т. На всех рисунках кривые 1 соответствуют случаю 1, кривые 2 — случаю 2 и кривые 3 — однородному материалу. В расчетах принималось /о = 1 000 000.

3. Допустим теперь, что неоднородность материала задана кусочно-непрерывной функцией, переменной на участке а < т < с и постоянной при с < т < Ь:

/(т) =

а < т < с; с < т < Ь.

При этом полагаем, что во внутреннем слое трубы, при а < т < с, материал несжимаем. Во внешней области, при с < т < Ь, материал считается однородным, коэффициент Пуассона для определенности полагается равным 1/3. Именно это значение коэффициента Пуассона будет использовано далее в расчетах.

Для отыскания решения помимо граничных условий (8) используем условие непрерывности радиальных перемещений и компонента напряжений аг при т = с:

г

г

Ь

а

2

2

т

и(г)(с) = и(0)(с), аГг)(е)= а\,0) (с),

,(0)

(г)/

Т(о) (

(16)

где верхние индексы в левой части соотношений относятся к внутренней области трубы, в правой части к внешней.

Рис. 1

Рис. 3

Рис. 2

Рис. 4

Величины и(г) и а( определяются при помощи соотношений (13) и (14) соответственно. При этом для простоты считаем е? =0. Соответствующие величины во внешней области трубы задаются соотношениями (6), (7) и (1) при учете постоянства параметра Ламе в этой области. Таким образом, имеем

г

и{г) = = 2С1 + 2с2 I ^ йг - 2^1 (г)

—

(17)

и(0) =

С

Б

О Г + -,

2цо т

а0 =

■ С — 2^о ■

(18)

1 — 2ц

Реализация граничных условий (8) и (16) приводит к следующей системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов С1, с2, С, Б:

С1

ц1 (а)

с2

1

С

цо

Я

2(1 — 2v) Ь2 Б

2

а

с2

2цо

С — Б = 0, С1 +

ММ (1г _ (П{г)

с2

1

2(1 — 2v)

С + ^Б

0.

Решая эту систему, последовательно находим

ц1(а)

р

С1 = -| +

С2, С = 2(1 — 2v)

-1 + 0° О 2 Ь2

(1 — 2v)с2 я (1 — 2v)с2 + Ь2

с2 =--О ^--и-

цо 2 Ь2

Б

Р-Я . (1 д

2_Цо 2

(1 - 2у)С + Ь Но

2

где

2 с2

Подставляя эти коэффициенты в (17), (18), получим аг для внутренней и внешней областей. Выражение для компонента следует из соотношений (15) и (1). Отсюда имеем

(0)

а=

1 — 2v

С +

а

2

В качестве примера определим напряжения в толстостенной трубе из неоднородного материала. Возьмем а = 1, Ь = 3, с = 2. При 1 < т < 2 положим ц(т) = ц0 [1 — а(с4 — т4)], а во внешней области ц = цо. В расчетах положим цо = 1000 000, а = 0,0 533. Выбор величин р, я ничем не ограничен, однако представляет интерес случай одинакового внешнего и внутреннего давления р = я = 1 000. Зависимости аг и от т представлены на рис. 5 кривыми 1 и 2 соответственно.

Но Ь2

цо

Рис. 5

Поступила в редакцию 14.04.2005 После доработки 05.06.2007

с

2

с

т

с

с

2

а

2

с

г

1

УДК 539.374

КИНЕТИЧЕСКАЯ ПРИРОДА ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Ци Чэнчжи, Ван Минян, Цянь Циху

Введение. Традиционные подходы механики сплошной среды к изучению деформирования и разрушения являются эмпирическими и наглядными. Они охватывают интегральные макроскопические характеристики поведения материалов и имеют простые выражения, удобные для практических приложений.

В данной статье на основе кинетики перехода состояний частиц [1, 2] рассматриваются физические механизмы деформации и разрушения, обсуждается влияние напряженного состояния на барьеры перехода