Некоторые новые обобщенные интегральные преобразования и их применение в теории дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения

УДК 517.581

НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ ОБОБЩЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

О. А. Репин1,2, С. М. Заикина2,3

1 Самарский государственный экономический университет,

443090, Самара, ул. Советской Армии, 141.

2 Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

3 Волгоградский государственный университет,

400062, Волгоград, Университетский пр-т, 100.

E-mail’s: matstat@mail .ru, [email protected]

Рассматриваются новые интегральные преобразования, обобщающие классические интегральные преобразования Лапласа, Стилтъеса, теории потенциала.

Ядра этих преобразований содержат (т, /3) -обобщённую конфлюэнтную гипер-геометрическую функцию Райта. Приведены формулы обращения новых интегральных преобразований, их равенства типа Парсеваля—Гольдштейна, примеры применения новых интегральных преобразований.

Ключевые слова: интегральные преобразования, равенства Парсеваля—Гольдштейна, теоремы обращения.

Введение. Как известно, интегральные преобразования являются одним из наиболее эффективных и успешно используемых аналитических методов решения различных практических задач. Метод интегральных преобразований широко применяется в классических разделах математической физики, в теории дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, в теории автоматического регулирования и управления, в теории массового обслуживания и других областях. Он позволяет свести решение рассматриваемых задач к более простым (см. например [1-6]).

1. Обобщённые преобразования. Рассмотрим новые интегральные преобразования с обобщёнными гипергеометрическими функциями и их свойства. Напомним классические интегральные преобразования:

- интегральное преобразование Лапласа [4]:

ГОС

L{f(x); у}= e~xyf(x)dx; (1)

Jo

Олег Александрович Репин (д.ф.-м.н., проф.), зав. кафедрой, каф. математической статистики и эконометрики1; профессор, каф. прикладной математики и информатики2. Светлана Михайловна Заикина, аспирант, каф. прикладной математики и информатики2; ассистент, каф. компьютерных наук и экспериментальной математики3.

- интегральное преобразование теории потенциала (по Виддеру) [5]:

xf(x)

Р{№-, у} = Г Jo

:dx\

х2 + у2

обобщённое интегральное преобразование Стилтьеса [4]:

/0*0

SP{f(x); у} =

(.х + уу

-dx.

(2)

(3)

Новые обобщённые преобразования будем получать с помощью (г, /?)-обобщённой конфлюэнтной гипергеометрической функции \Фт^3(а, с, г) [7]:

1 Фт/\а,с,г) =

1

В(а, с — a) Jо

с—а— 1

1Ф1

(с, г) -(с, р)

ZV

dt

при Re(c) > Re(a) > 0; т, /3 С М; т > 0; /3 > 0; т—(3 < 1, В (а, Ь) — классическая

Г(с, т)

бета-функция [9], 1Ф1

-(с,/?)

zt7

частный случай обобщённой гипергеомет-

рической функции Райта [1]:

Л

(bj,

£

Ш=1Г(а* + nai) ZT‘

=0Ш=1 Tibj + nPj) п\

(4)

где z £ С; сц, bi € С; ai} С R (а, / 0, fij ф 0); 1 + Y?j=i Pj ~ Тн= 1 ai >

Рассмотрим ниже следующие новые интегральные преобразования. 1. Обобщённые интегральные преобразования Лапласа:

РОС

£71.72 {/(ж); У} = / х12е~{ху)11 f(x)dx,

J о

(5)

L

71,72,7{/(ж); 2/} = / ; $1 (а; с; -Ь(хуУП1) f(x)dx, (6)

где ж > 0, 7 € С, 71 > 0, 72 > 0, Ь ^ 0, /(ж) = 0 при ж < 0; ж72/(ж) < Ме50®71, М > 0 и £о — постоянные числа при ж > 0.

Заметим, что при 72 = 0, 71 = 1, Ь = 0 преобразования (5) и (6) совпадают с классическим преобразованием Лапласа (1).

2. Обобщённые интегральные преобразования Стилтьеса:

Г(с)

Л—-{/(«);*} = Л{/(«);х} = г(а1)г(аа)

/•°° ■и72/С»)

/о (ж^ +^1)^3

2Ф1

l(ai;r); (a2; 7) / U'n X741

(с;/?) \x~fi + u-yi J J

du = g i(x), (7)

Г(с)

rM(/w.)-w.w-rwIW

Г uf2f(u)

/о {х^+и^

2Ф1

rl(ai;r); (a2; 7) ь( x11 VI

1. (с; /3) \x^+u^J \

du = §2(х), (8)

где Reai > О, Rea2 > О, Rec > 0; 7* > 0; т, /3 С М; т > О, /3 > О, т — /3 < 1; 6^0; 2Ф1 — функция вида (4).

При b = 0, 7i = 1, 72 = 0, 7з = р преобразования (7) и (8) совпадают с классическим преобразованием Стилтьеса (3).

Если положить 7i = 2, 72 = 1, 73 = 1, аг = 1 в (7) и (8), то получим соответственно преобразования Pi{f(u);x}, P2{f(u);x}, рассмотренные в работе [12].

2. Свойства обобщённых интегральных преобразований. Равенства типа Парсеваля—Гольдштейна. Установим некоторые свойства вышеприведённых обобщённых интегральных преобразований.

Теорема 1. При условиях существования и абсолютной сходимости интегралов (5)-(8) имеют место следующие композиционные соотношения:

1

^71,72 {^71,72,У) — . Г ,

7i V 71

ъ + 1^^2^{д(иУ,у}, (9)

Pi

^7ъ72,7{£7ъ72№);ж};у} = -^г рТ’12’ 71 a{g{v)]y}-

7i V 7i /

(10)

Доказательство. Используя равенства (5), (6) и абсолютную сходимость интегралов, получим формулу (9):

£71,72 {^71,72,7{•5ГС"^)? у} =

РОС / РОС \

= j х^е~{хуГ<1 П у?2е-^хи)11 1$ 1,/3(а;с; -Ъ{хи)™)д(и^и\ Лх =

(РОС \

J —b(xuУП1)dx) du =

J о 1 (°°

и

72

72 + 1

Ъ Jo (y7l+U7l) 71

-1

д(и)х

f°° 72 + 1 I 1 д

е-2^ 71 i$i ( а; с; —Ъ

zu71 \ 7

у71 + -и71

dz) du =

и

72

J_ Г(с)_ Г00___________________________

7i Г(а) Уо (y7i + г^71)

2Ф1

5(«)х

Г(о;т);(33-±1;т) ь( ul1 VI

(c;/3) \y7i +U^J J

du =

—Г

71

72 + 1\ г)7ь7,;1тГ’7

71

Pi

{д(и)-,у}-

Формула (10) доказывается аналогично. □

Для интегральных преобразований вида (5)—(8) получены некоторые равенства типа Парсеваля—Гольдштейна.

Теорема 2. Если функция /(ж) € Ь(0;+оо), д(х) € Ь(0;+оо), то при условии абсолютной сходимости интегралов справедливы равенства типа Парсеваля—Гольдштейна:

РОС РОС

/ У?2111гпа{/{1у1у}д{ь)(1и= (11)

/*оо /*оо

/ х12Р\{/(1)] х}д(х)с1х = / х12р2{д(Ь)]х}/(х)с1х, (12)

/о /о

РОС

/ ж72Ь7ь72{/г(у);ж}Ь7ь72;7{5-(и);ж}сгж =

= 1г/72±1\ Гу,2Ну)р^^^Ыи).у}ау} (13) 71 V 71 / /о

РОС

/ Ж'У2,£-У1>-У2>-У{/(У); {^(гл); ж}с&с =

= -г(^±Г) Г(м)

71 V 71 /

Доказательство. Докажем, например, равенство (13). Используя равенства (5), (6), получим

РОС

/ х12Ь11Г12{к{у)]х}Ь11Г12Г1{д{и)-,х}йх =

3 о

рос /ГУ / С°°

= j у12Ну)П ж72е-(жу)71 П у?2е~^ху)11х х 1^1,13(а]С]—Ь(хуУП1)д(у)йг1^йх^йу =

РОС

= / У12Ку)Ь11ГП{Ь1ъ1ъ1{д{у)-1х}-1у}(1у.

■)о

Теперь, учитывая равенство (9), окончательно получим

РОС

/ х12Ь11ГП{к{уУх}Ь11ГП>1{д{у)]х}(1х =

■)о

= -Г (^±1) Г у>2Н{у)РТ'1'Ж^'1{д{уУу}йу.

71 V 71 / -1о

Равенства (11), (12) и (14) доказываются аналогично. □

3. Формулы обращения.

Теорема 3. При условиях существования интегрального преобразования Р17ь72’73’74{/(ж);у} справедлива следующая формула обращения для (7):

!{у) = £7Ь72,7{^Ь72-«2-1 {^^1(г0;ж};у}, (15)

И

где дг(г) = Р^'12'1ъ'14{/{и)] г}] 74 = 7, 7з = «2-

Доказательство. При доказательстве формулы (15) используется

равенство

РОС

/ х^а2-1е-^1+2^\ФТ/(а]С]-Ь(ху)ГГ1)(1х =

Jo

1 Г (с) 1

711>1) (у71 +^)“2

2Ф1

1(а;г);(а2;7) ъ( у11 VI

(с; /3) \у11

• (16)

Равенство (16) проверяется непосредственными вычислениями.

Положим в (7) 74 = 7, 7з = 02- Учитывая равенство (16), будем иметь

р7ь72,7з,74{/(у);4=51(г) =

Г(с)

У72/(у)

-2Ф1

Г (а; г); (а2;7) ьО 2/71 VI

1 (с;/3) Чу71 +х^) \

<1у =

Г(а1)Г(а2)У0 (-г71 + У71)“2'

Г(с) Г У72/(У) /71Г(а1)(^71+у71)а2;,

Г(а1)Г(а2)У0 Ог71+У71)“2\ Г(с)

х ж71'а2_1е_^71+г71^711Ф^(а1;с; — Ь(хуУП1) с1х^ с1у =

Л РОС / /*00

= ГЫ./о /(у)(71/о

х 1Ф^(а1;с; — Ь(ху)111) с!х}(1у =

71 /

Г(а2) Уо

ж71-а2-1е-(ж2:)Т'1

у12е-(хуУ'11

х 1Ф^’/3(а1; с; —Ъ(ху)111)/(у)(1уу1х =

РОС

Г(а2) Л, Ж71'“2'1е'(")71£7ь72,7{/(У)^}^ =

£71,72«2 -1 { £71,72 ,7

71

71

Г(а2)

откуда следует равенство (15). □

Теорема 4. При условии существования интегрального преобразования £71,72,7{1(х)]у} справедлива следующая формула обращения для обобщённого интегрального преобразования Лапласа:

/(«) = ^5^ц~72 [ (их)~1д(х)К(их)йх, (17)

1 (с) Jo

где

К(х) =-------

1 1 2т

га+гсо хв

9 (у) = £71,72,'у{1(х);у},

£00 = 2*1

- ь

(с;/3)

Доказательство теоремы дано в [13].

Нетрудно установить справедливость следующего утверждения.

Теорема 5. При условиях существования и абсолютной сходимости интегралов имеет место равенство

х^ i,7{e tug(t)]x}dx =

=1/тЩА

— h

(с;/?) и

rri— 1—/л

g(t)]u}, (18)

где Ь — классическое преобразование Лапласа (1).

4. Применения обобщённых интегральных преобразований. Остановимся на некоторых применениях обобщённых интегральных преобразований. С помощью равенства (18) и таблицы значений преобразования Лапласа [4] можно вычислить значения интегралов, стоящих в левой части равенства (18).

Пример 1. Пусть д{{) = ^+^-те-аЬ (Кег/ > 0). Тогда, учитывая [4]

и} = L{tu-le~at; и} = Т(и)(и + а)~

будем иметь

РОС

/ x^-1Lm>m_1>1{tv+^-me-^+u)t]x}dx =

Jo

.. Г(с)Г(г/)

= 1/т^г2ф1

Rей > —Rea,

'!(а;т);(£;7) — h

(с;Й и

(и + а)~

Пример 2. Пусть g(t) = m sin at • sin fit. Учитывая [4]

U^ —I— f q/ —I—

L{t~l sin at • sin fit; u} = 2-2 In —^— ----------------------—Re-u > |Im(±a d= /5) |,

u2 + (a — (3)2:

имеем

РОС

/ sin at • sin fit] x}dx =

Jo

= 2~ 1/тЩА

- ъ

(с;/?)

• In

u2 + (a + (3)2 u2 + (a — f3)2'

Если в (6) положить 72 = т — 1, 7 — 1 = т, Ъ = 0, то получим

РОС

Ьт{№-,3}= ?п-1е-8т*т№<И = Р(8). (19)

J О

При т = 1 приходим к классическому преобразованию Лапласа (1). Учитывая, что Ьт{/(х);у} = т~1Ь{/( Гфг)',угп}, получим

-1 гс-\-гоо

/(ж) = Ь^{Р(з)-,х} = — Р( Щезхт(18. (20)

Кг ] с—1оо

Формула (20) есть формула обращения обобщённого интегрального преобразования Лапласа Ьт{/(х)-,у}.

Дадим некоторые применения обобщённых интегральных преобразований для решения дифференциальных уравнений. Применяя формулы обращения интегральных преобразований, можно получить решения дифференциальных уравнений в частных производных [6].

Пусть

1(1

тогда

с-2 ^ , 1 (I 1 <12 . .

+ (21)

Теорема 6. Если , /(га_1) — непрерывны, — кусочно-непрерыв-

на на интервале £ ^ 0, а функция / имеет вид ес 1 при £ —> оо, то О) £,»{<%,*/(*);«} = тп8тпЬт{}-(1У,8} - о+)_

_тп-28т{п-2){5тМ0+) - ... - (С^/)(0+) для п = 1,2,...; (22)

б) Ьт{Ьтп/(1)]8} = ^^-ё^3Ьт{1\1)]8} для п = 1,2,.... (23)

Теорема 7. Если функция / — непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную в интервале £ ^ 0, а /, /; имеют вид ес 1 при £ —>■ оо, где с — постоянная, то

а) Ит/(£) = Ит т8тР(8); б) Ит /(£) = Итт/^^),

4—)-0 )-00 Ь—ьоо )-0

где Р(«) = £т{/(г);з}.

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение:

+ (*>«,*>«), (24)

и(х, 0) = 0, и( 0, £) = 1, г4(ж,0) = 0. (25)

Разделим обе части уравнения (24) на £2т-1:

1 <92-и , 1 9и д2и

+ (1 -т)

х

^2т-2 0^2 £2т-1 дх2 ^-1

Учитывая (21), имеем

Применяя к обеим частям уравнения (26) преобразование Lm, получим

т» „Л ™2„2тгГ, \ Г(1 /т)

ихх(х, з) — т з т11 (х, з) =-------х, (27)

где и(х, в) = Ьт{и(х,1)]8}.

Решением уравнения (27) является функция

!/(*,.) = се”*" +<*--• -

Учитывая теорему 7 и (25), находим

1

С1 =0, с2 =

Применяя формулу обращения для интегрального преобразования (19), получим решение уравнения (24)

1

UiX’t) = 2^i

^ J G — l

a-\-ioc

1 ms _ Г(1 /т) •

S m2S2+1/m

■est"‘ds.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Kilbas A. A., Saigo М. H-Transforms: Theory and Applications / Analytical Methods and Special Functions. Vol. 9. Washington: Charman and Hall/CRC, 2004. 390 pp.

2. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 590 с.; англ. пер.: Ditkin V.A., Prudnikov А. P. Integral transforms and operational calculus / International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics. Vol. 78. Oxford: Pergamon Press, 1965. 529 pp.

3. Вірченко H. О. Парні (Ж-арні) інтегральні рівняння (укр.). Київ: Задруга, 2009. 476 с. [ Virchenko N. A. Paired (Ж-ary) integral equations. Kiev: Zadruga, 2009. 476 pp.]

4. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Tables of Integral Transforms. Vol. 1 / Bateman Manuscript Project / ed. H. Bateman. New York - Toronto - London: McGraw-Hill Book Co, Inc., 1954. 391 pp.; русск. пер.: Бейтмен Г., Эрдейи А. Г. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1: Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969. 344 с.

5. Tranter С. J. Integral transforms in mathematical physics. New York: John Wiley and Sons Inc., 1956. 133 pp.; русск. пер.: Трантер К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике. М.: ГИТТЛ, 1956. 204 с.

6. Маричев О. П., Килбас А. А., Репин О. А. Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами. Самара: Изд-во Самар, гос. экон. ун-та, 2008. 276 с. [Marichev О. Kilbas A. A., Repin О. A. Boundary value problems for partial differential equations with discontinuous coefficients. Samara: Izd-vo Samar. Gos. Ekon. Un-ta, 2008. 276 pp.]

7. Virchenko N. O. On the generalized confluent hypergeometric function and its application // Fract. Calc. Appl. Anal, 2006. Vol. 9, no. 2. Pp. 101-108.

8. Srivastava, H. М., Yiirekli O. A theorem on Widder’s potential transform and its applications// J. Math. Anal. Appl, 1991. Vol. 154, no. 2. Pp. 585-593.

9. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. Vol. I / Bateman Manuscript Project / ed. H. Bateman. New York - Toronto - London: McGraw-Hill Book Co, Inc., 1953. 302 pp.; русск. пер.: Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3-х т. Т. 1: Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 с.

10. Wright Е. М. The asymptotic expansion of generalized hypergeometric functions // J. London Math. Soc., 1935. Vol. 10, no. 1. Pp. 286-293.

11. Goldstein S. Operational representations of Whittaker’s confluent hypergeometric function and Weber’s parabolic cylinder function // Proc. London Math. Soc. Ser. 2, 1932. Vol. 34, no. 1. Pp. 103-125.

12. Вірченко H. О. Заікіна C. M. Узагальнені інтегральні перетворення і іх застосування (укр.) // Наукові вісті НТУУ “КПІ”, 2008. №6(62). С. 133-137. [Virchenko N. О., Zaikina S. М. The generalized integral transformations and their application // Naukovi visti NTUU “KPI”, 2008. no. 6(62). Pp. 133-137].

13. Вірченко H. О. Заікіна C. M. Про нові інтегральні перетворення (укр.) // Допов. НАН Укр., 2010. №5. С. 11-17. [Virchenko N. О., Zaikina S.M. On new generalized integral transforms // Dopov. NAN Ukr., 2010. no. 5. Pp. 11-17].

MSC: 33C15; 44A15

SOME NEW GENERALIZED INTEGRAL TRANSFORMATIONS AND THEIR APPLICATION IN DIFFERENTIAL EQUATIONS THEORY

O. A. Repin1’2, S. M. Zaikina2,3

1 Samara State Economic University,

141, Sovetskoy Armii St., Samara, 443090, Russia.

2 Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russia.

3 Volgograd State University,

100, Universitetskiy pr-t, Volgograd, 400062, Russia.

E-mail’s: matstat@mail .ru, [email protected]

We present new integral transforms, generalized the classical Laplace, Stieltjes and Widder integral transforms in the potential theory. The (r, /3)-generalized confluent hypergeometric functions are the kernels of these integral transforms. Inverse formulas for new integral transforms are proved,. Relations of the Parseval-Goldstein type are established. Some examples of applications of the new integral transforms are given.

Key words: integral transforms, Parseval-Goldstein type identity, inversion theorems.

Original article submitted 29/XII/2010; revision submitted 20/IV/2011.

Oleg A. Repin (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept, of Mathematical Statistics

& Econometrics1; Professor, Dept, of Applied Mathematics & Computer Science2. Svetlana M. Zaikina,, Postgraduate Student, Dept, of Applied Mathematics & Computer Science2; Assistant, Dept, of Computer Science and Experimental Mathematics3.