Некоторые неравенства, справедливые при неравномерных течениях в сверхзвуковых соплах Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ 3 АП И С К И ЦА Г И

Том III 1972

№ 2

УДК 532.525.011.5

НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА, СПРАВЕДЛИВЫЕ ПРИ НЕРАВНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНЙЯХ В СВЕРХЗВУКОВЫХ СОПЛАХ

В. Л. Зимонт

Показано, что любая неравномерность полного давления потока увеличивает тягу сверхзвукового сопла фиксированной геометрии и уменьшает статическое давление в каждом его сечении по сравнению с течением, имеющим равномерное полное давление, при неизменных потоках массы и энергии.

Неравномерное течение рассматривается в гидравлическом приближении без учета трения и перемешивания в сопле.

В ряде схем реактивных двигателей (РПД, ДТРД и т. п.) поток, попадающий в сверхзвуковое сопло, может иметь переменные по сечению полное давление и температуру торможения. В экспериментальной практике часто возникает вопрос о величине импульса такого неравномерного потока в случае истечения его из сопла с известной степенью расширения при заданных потоках массы и энергии. В частности, такой вопрос возникает при использовании данных замеров тяги двигателя для анализа полноты сгорания, определяющей величину потока энергии течения, если известен расход.

В настоящей статье показывается, что неравномерность распределения полного давления р0 в отличие от неравномерности профиля температуры торможения Т0 всегда увеличивает удельный импульс гс потока, истекающего из сверхзвукового сопла с фиксированной степенью расширения (при известном удельном потоке энергии), т. е. распространенное мнение о том, что неравномерность приводит к потерям тяги сопла, не всегда является верным.

Неравномерность р0 и Т0 приводит к уменьшению статического давления в каждом сечении сопла рс по сравнению с потоком, в котором ро и Т0 постоянны при одинаковых потоках массы и энергии. .

Анализ проводится для совершенного невязкого газа в гидравлическом приближении, при котором статическое давление принимается постоянным в- каждом сечении. Численные значения указанных эффектов для частного случая с распределением параметров р0 и Т0 в виде ступеньки приводятся в работе [1], где также рассматриваются условия, при которых выравнивание течения путем перемешивания увеличивает тягу.

Проанализируем сначала влияние на гс и рс неравномерности полного давления при фиксированной неравномерности температуры. Неравномерность температуры, поскольку пренебрегаем смешением, будем характеризовать неиз-

менной вдоль сопла расходной функцией g (Т0), которую определим из соотношения

лежит в интервале между Т0 и Т0-\-(1Т0.

Распределение коэффициента скорости X в каждом сечении сопла фиксированной геометрии не может быть произвольным и должно подчиняться некоторому ограничению, делающему это распределение совместимым с заданной степенью расширения в этом сечении сопла (аналогично обычному одномерному течению). Поскольку в случае неравномерного полного давления такое ограничение имеет простой вид лишь в критическом сечении (горле) сопла [см. соотношение (3), приведенное ниже], для доказательства высказанных утверждений выразим давление рс и удельный импульс г'с в некотором сечении площади Рс через параметры в критическом сечении Р*.

Приравнивая площадь поперечного сечения потока с неравномерными распределениями р0 и То, выраженную через распределение коэффициента скорости в критическом сечении А* и давление рс, к величине Рс, а также выражая через эти параметры удельный (т. е. отнесенный к расходу) импульс гс, получим, используя газодинамические функции, следующие соотношения

•х, — показатель адиабаты.

В случае равномерного распределения Го функция £ (Го) представляет собой 6-функцию и 60 = 7’0.

Коэффициент скорости на срезе сопла в струйках тока равен

поскольку, пользуясь обычным выражением для потока массы через газодинамические функции, величину давления в критическом сечении можно представить в виде

Здесь - — доля расхода потока, для которой температура торможения

(1)

(2)

где

где

В соотношении для Хс %~i (jp~) ~~ ФУНКЦИЯ> обратная газодинамической функции я (X):

р I х — 1 \*-1

Выражение (2) вместе с (1), дающим связь между рс/0 и распределением X*, связывает импульс /с в сечении Рс с X*. При этом параметры в критическом сечении, имеющем минимальную площадь, подчиняются условию запирания, которое при сделанных допущениях имеет вид [2]

1 С

= 1. (3)

, р*

Соотношение (3) справедливо при любом распределении температуры торможения и является обобщением на рассматриваемый случай обычного условия запирания для одномерных течений X* == 1.

Если показать, что максимум рс и минимум гс для неизменной функции g(T0) достигается при X* = const [при этом из формулы (3) следует X* = 1], тогда высказанное выше утверждение о том, что неравномерность ро, приводящая к неравномерности X*, уменьшает статическое давление и увеличивает удельный импульс, будет доказано.

Покажем сначала, что экстремум рс и ic не может достигаться при X* = var. С этой целью рассмотрим некоторое распределение X* (F*), удовлетворяющее условию (3), И возьмем две ТОЧКИ В критическом сечении, В которых X* ! Ф X* 2 . В малых окрестностях этих точек с площадями 8/^ и 8F2 дадим малые приращения коэффициента скорости 8Х* j = 8Х* и SX* 2 = — 8Х*. В этом случае из условия (3) следует, что

щ = (Н3 bF" w

V Л* 1;

Структура выражения (1) имеет вид

| Ф [х* (F*), j у (X*) dF*, л] dF* = const,

поэтому изменение Ърс связано с приращениями X* [если учесть выражение (4) и пренебречь членами, пропорциональными 8Fj] соотношением

dFc

Интеграл в правой его части, согласно (1), равен при фиксированном

распределении X* (F*), поэтому при /гс> F* он не равен нулю. [Отметим, что dF

из равенства = 0 при F = F* следует условие запирания (3).] Выражение

в квадратных скобках не может для всех пар возможных значений X* быть равным нулю, так как в этом случае функция Ф должна удовлетворять соотно-дФ ,3

шению -щ— X" = const, что не подтверждается непосредственной проверкой.

Поэтому всегда существует пара точек, для которой изменение знака 8Х* приведет к изменению знака Ьрс, следовательно, при X* = var (т. е. при неравномерном р0) экстремум рс не достигается.

Аналогичные рассуждения показывают, что при неравномерном р0 не может достигаться экстремум гс.

Для доказательства возможности экстремума при X* = const и определения его типа (максимум и минимум) из соотношений (1) и (2) были получены выражения для изменения рс и гс при произвольном малом отклонении X* (F*) от Х*=1 с точностью до членов порядка [X* (F#) — 1р. Распределение коэффициента скорости по сечению было представлено в виде

К (F*) = 1 + 8Х (FJ = 1 + «| (/=•*), (5)

где т) (У7*) — произвольная непрерывная ограниченная функция, а — малый параметр. Тогда для фиксированной т] (р#) соотношения (1) и (2) представляют собой соответственно неявную функцию, связывающую рс и а, и выражение для /с:

У \рс, ^ (Р*)] = 0, 1 [рс, а, Т) (/="*)].

в которые функция ч)(/?*) входит как параметр.

Выписывая согласно (1) приращение Ьрс как для неявной функции с точностью до членов, пропорциональных а*, получим

Ърс_

Рс

= [л (Хс о. Рсо, *)| (Ас о, х) (| Т]^*)2] а5 = Л| Ш с1Р + В Ш/?*), (6)

где Хс0, Рсо — параметры одномерного течения в сечении /•'с, имеющего потоки массы и энергии неравномерного течения. Анализ выражения А, представляющего собой отношение многочленов, показывает, что при любых возможных значениях Хс0^0<;Хс0<; величина Л<0, при этом В конечна. Кроме того,

разлагая условие (3) после подстановки в него (5) в ряд и получая из него отношение интегралов, входящих в выражение (6), запишем после оценки найденных рядов неравенство

и

8Х ёрЛ2

<7>

где 6Хт— модуль максимальной величины отклонения коэффициента скорости от единицы. Из выражения (7) следует, что при а 0 (8Х -> 0)

-»0,

т. е. при Х* = 1 имеет место максимум рс. '

Аналогично этому, выражая приращение В/с согласно (2) через 8рс и а, получим

^ -с Л„, ») + | + £ (| «4

причем С (Хс0, х)>0 и О (*)>0 при %> 1 и любых возможных значениях Хс0, т. е. при X* «= 1 величина гс имеет минимум.

Таким образом, при неизменной температурной неравномерности

Рс (Ро. 7'о)<Рс(?о). /сО»о. Т0)>{С(Т0) (8)

(в скобках указаны параметры, по которым имеет место неравномерность).

Влияние неравномерности Г0 на рс и /с может быть исследовано, как известно [3], с помощью неравенства Коши—Буняковского. Из выражений для потоков массы и энергии и условия постоянства удельного потока энергии, при неизменной неравномерности полного давления, при которой распределение X в сечениях не зависит от неравномерности Т0, следует:

1с (Ро, 7р) Рс(Ро. То) (* С У (*с) .с Г ч лг^г ^ \~1/2

к (Ро) Рс (Ро)

Полагая в неравенстве Коши—Буняковского ^ рйх-^ Л2 Лх >^/АЛдс^ ,

что /2= и Л2 = у (X) У То, получим

V То

Рс (Ро. Т0) < Рс (Ро), г'с (Ро. Т0) < гс (р0). (9)

10—Ученые записки № 2 145

Из выражений (8) и (9) следует:

Рс (Ро> То) <СРс, к (Рй> То) ^ гс>

т. е. для неравномерных течений в каждом сечении сопла статическое давление всегда меньше, а импульс в зависимости от неравномерности может быть как меньше, так и больше, чем для потока с равномерным распределением параметров торможения.

Из первого выражения (8) непосредственно вытекает практически интересное следствие

к (Ро> То) "О* (Ро> Тй) г (\с 0),

означающее, что определение импульса сверхзвукового сопла при известной его величине для сужающегося сопла с помощью одномерных формул при неравномерном рй приводит к его завышению.

Отметим, что влияние неравномерности параметров на коэффициент расхода не может быть проанализировано однозначно, поскольку зависит от полного давления, приписываемого соответствующему одномерному течению, т. е. фактически от используемого метода осреднения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зимонт В. Л. О величине импульса сопла при неравномерных газодинамических параметрах рабочего тела. «Известия вузов*, сер. „Авиационная техника', 1970. № 2.

2. Н о g е, Segars. Choked flow: a generalization of the concept and some experimental data. A1AA J., vol. 3, No 12, 1965.

3. M e ж и p о в И. И. О влиянии неравномерности потока на величину полного импульса. „Ученые записки ЦАГИ“, т. И, № 2, 1971.

Рукопись поступила 12/V 1970 г. Переработанный вариант поступил 18/IV 1971 г.