Некоторые астрофизические эффекты пятимерной единой теории гравитации и электромагнетизма Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 521.3

А.С. Киселев, В.Г. Кречет

НЕКОТОРЫЕ АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ ПЯТИМЕРНОЙ ЕДИНОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА

В данной работе в рамках единой пятимерной геометрической теории гравитации и электромагнетизма получен ряд решений, соответствующих наличию в пространстве-времени азимутального магнитного поля и некоторого скалярного поля геометрического происхождения. Показано, что эти поля могут индуцировать появление нетривиальной топологии пространства-времени (в виде «кротовых нор» и космических струн).

Ключевые слова: единая пятимерная теория, гравитация, электромагнетизм, «кротовая нора», космическая струна.

A.S. Kiseliov, V.G. Krechet

SOME ASTROPHYSICAL EFFECTS OF THE FIVE-MEASURED INTEGRATED THEORY OF

GRAVITATION AND ELECTROMAGNETISM

In this work was received a number of solutions within a unified five-dimensional geometric theory of gravitation and electromagnetism, that corresponding to the presence in the space-time azi-muthal magnetic field and a scalar field of geometric origin. It is shown that these fields can induce the appearance of a nontrivial topology of space-time (in the form of "wormholes" and cosmic strings).

Keywords: the integrated five-measured theory, gravitation, electromagnetism, «mole's hole», a space string.

Как известно, уравнения Эйнштейна в пустом пятимерном пространстве-времени с допол-

x 4

нительным пространственным измерением л

Rab -1 RgAB = 0; (A, в = 0,1,2,3,4),

(1)

с использованием монадного формализма [1] распадаются на совместную систему уравнений Максвелла-Эйнштейна в четырехмерном римановом пространстве-времени. Это достигается при

условии независимости метрических коэффициентов &АВ от дополнительной пространственной т 4

координаты Л (условие цилиндричности).

При этом дополнительные недиагональные метрические коэффициенты

& 4 к (к — 0,1,2,3)

оказываются пропорциональны компонентам электромагнитного 4-

векторного потенциала к , а метрический коэффициент &44 (Х ) соответствует наличию некоторого скалярного поля геометрического происхождения.

Условие цилиндричности по пятой координате из общей группы координатных преобразований X — X (X )

выделяет следующие допустимые координатные преобразования

X X (X ); X X ^ ^ (X ) (2)

хк

Здесь Л - координаты четырехмерного пространства-времени.

В данной работе в рамках указанной выше геометрической пятимерной теории гравитации и электромагнетизма мы рассмотрим следствия этой теории, соответствующие наличию геометри-

зированного азимутального магнитного поля и геометризированного скалярного поля

§44 Р(х) в стационарном случае. Эту задачу удобнее решать в пространстве с цилиндрической симметрией.

Такая задача о гравитационном взаимодействии азимутального магнитного поля в рамках ОТО рассматривалась ранее в работах К. А. Бронникова [2]. В данной работе мы хотим получить результаты геометрического подхода к такой задаче и сравнить их с результатами, полученными в рамках ОТО.

Пятимерную цилиндрически-симметричную метрику, соответствующую рассматриваемой задаче, берем в виде:

di =-A(x)dt2 + B(x)dX + C(x)da2 + D(x)dz2 + 2E(x)dzdx4 + F(x)(dx4)2

(3)

Здесь метрический коэффициент

g 44 = F ( x)

описывает скалярное поле геометрического

g 34 = E ( x )

происхождения, а коэффициент соответствует компоненте магнитного потенциала,

так что его производная по радиальной координате

E '

H a : H a =

x

пропорциональна напряженности азиму-

bfx

тального магнитного поля

В пространстве-времени с метрикой (3) вакуумные уравнения Эйнштейна будут иметь вид:

г2

C '' A' C — +---2

C A 2C2

A

B A C A

B ' C ' D'F ' - E

2

2A2 2BA 2CA 2 BC

2A

= 0

2

A C A A C A D F - E • +-+-+-= 0

AC AA CA

A

(4)

A'' A ' A'2 • +

A

B 'A ' A ' A ' A ' B ' D'F ' - E '2 л +-----= 0

A C F — + — + —

A C F 2 A2

A'' C'' E'' A'2 — + — +---2

ACE 2 A2

A'' C'' D'' A' 2

— + — +---^

A C D 2 A2 A = DF - E2

A A 2 A2 2A2 2 BA 2 AA 2 AB

A 2 C 2

2A

2C2

C '2

2C2

C 2

A ' B ' B 'C ' A ' C ' A 'F ' C 'F ' B 'F ' F 'A ' D'F ' - E '2 л +-+-+-----+-= 0

2 AB 2BC 2AC 2AF 2CF 2BF 2FA 2A A B B C A C A E C E B E E A D F - E 2

- + -

- + -

- + -

- + -

2 AB 2BC 2AC 2 AE 2CE 2BE 2EA 2A A ' B ' B ' C ' A ' C ' A 'D ' C 'D ' B 'D ' D'A ' D'F ' - E '2

=0

+

+

+

2C2 2 AB 2BC 2AC 2AD 2CD 2BD 2DA

+

2A

= 0

где

При решении этой системы будем использовать гармонические координаты:

D B ' A' C' A'

B = ACA; — = — + — + — BAC A

(5)

Рассмотрим сначала задачу с одним лишь геометрическим скалярным полем

(Е(_ 0; Р(^ 0). Такая задача в сферической симметрии решена ранее в работах [3].

Общее решение системы уравнений (4) для рассматриваемого случая при условии (5) следующее:

А( х) = е() -; С (х) = вЬх; Б( х) = е(ь+к) -; (6)

а, Ь, к, т

где постоянные интегрирования связаны условием:

(т + Ь)(3Ь + 2к + а) + (Ь + к )(3Ь + к + а) + аЬ = 0

(7)

Выбором констант ' ' ' при учете условия (7) можно из общего решения (6) получить решение с плоской или струнной асимптотикой. В данном случае условия для возможности такой асимптотики следующие [2]:

C'

m + Ь = 0; Ь = 2;--> 1 при x ^ ад

£ ГУ

где ^ определяет дефект азимутального угла .

4 BC , (8)

ebx = r2 0 < r < ад

Заменой переменной ' общее решение (6) приводится к виду:

A = 1; B = 1; C = (l - 2; d = r2(1+^ F = r "2(1+J2); k = 2 ;

>11*' (9)

Здесь при k ^ 2 имеем убывающее скалярное поле F(x) при возрастающем значении радиальной координаты r . При этом имеем дефект азимутального угла, как и в случае струнного решения.

Если же выбрать постоянные интегрирования в виде:

a = 0; b = -k; k = m,

то получаем точное решение в виде метрики струны в 5-мерном пространстве:

ds2 = -dt2 + dr2 + (1 - £)2 r2da2 + dz2 + (dx5)2, , ч

V \ J ■> (10)

Далее рассмотрим случай наличия одного лишь геометризированного азимутального маг-

(E(x) ф 0; F(x) = 1)

нитного поля при отсутствии скалярного поля ( ).

Система уравнений (4) для рассматриваемого случая при условии (5) имеет следующие первые интегралы:

A(x) = C(x)ekx; E'(x) = mA; (k, m = const, A = D - E2) (11)

Так же для метрического коэффициента C(x) , определяющего расстояние от оси симметрии, получаем выражение вида

C" C '2 E'2

C С2 2А (12)

C" > 0 C' = 0

Поскольку правая часть (12) положительно определена, то при ^ и , а это

есть необходимое условие для существования «кротовой норы». При этом через точки, где

C' = 0

, проходит «горловина» «кротовой норы», т.е. ее самое узкое место. Таким образом, азимутальное магнитное поле а может образовывать «кротовые норы» в рамках рассматриваемой 5-мерной геометрической теории. Это имеет место и в обычной 4-мерной теории Эйнштейна-Максвелла [2,3].

Общее решение системы (4) с учетом (5,11,12) следующее:

2 2 2 2( Ь- p) 2( k - p)

C(x) = (x2 + a2)2x ъ ; B(x) = x ъ ;

2 2 2( Ъ+к - р)

А( х) = (х2 + а2) х Ъ |

Ъ2(х2 + 4а2),

.4/ 2 , „2\2 ;

Б( х) =

Е' = 2^Иа =

2Ъ2

х

а (х2 + а2)2'

- ад < х < ад

х2 = г (0 < г < ад)

Заменой переменной формулу:

а 4( х2 + а2)2 (а, р = сот1, Ъ = д/ р2 + кр)

(13)

2

Е' = 2^Иа =

для азимутального магнитного поля получим

2

2Ъ

г

22

а (г + а )

(14)

1/

Из формулы (14) видно, что оно убывает с расстоянием как ' г , как и в классической элек-1^0

Иа = 2

тродинамике, где . Но, в отличие от нее, в рассматриваемой теории оно не имеет

особенности на оси симметрии:

: И а (г = 0) = 0

(к, а, р, Ъ = д/р2 + кр |

Из общего решения (13) выбором констант интегрирования можно выделить решения для метрических коэффициентов, соответствующих геометрии пространства-времени «кротовой норы»:

1) к = 0; тогда С(х) = (х2 + а2)2; В(х) = g11 = х-2; А(х) = g00 = С(х) -ад< х <ад (15)

В данном решении константа интегрирования « а » определяет радиус «горловины» «кротовой норы».

12 о

2) к < 0; к = -12;— <-; х2 = г

р 9

с

С (г)

3^1-с2/ р -1 г 2^-с2/р +

а

1-ч] 1-е 2/р

Г

,.2\2

2^1-с2/ р

(7)

2 2 (1+с2/р)

(г + а ) ^цегТр

А(г) = ^^ ; В(г) =г

г

1+с2/р

41-с 2/р

-1

0 < г < ад

Из полученных результатов видно, что скалярное поле ^(х) геометрического происхождения может образовывать геометрию пространства-времени с нетривиальной топологией, например в виде пространства-времени космической струны, а геометризованное азимутальное магнитное

поле а в отсутствие геометрического скалярного поля ^' может индуцировать образование «кротовых нор» в широком диапазоне выбора констант интегрирования, причем оно не имеет

1/

особенности на оси симметрии, а на больших расстояниях от нее оно убывает как 'г , то есть как в обычной электродинамике.

Библиографический список

1. Владимиров, Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации [Текст]. - М.: Энергоиздат, 1982.

2. Бронников, К. А. // Изв. вузов. Физика. - 1979. - № 6. - С. 32.

3. Krechet V.G., Sadovnikov D.V. // Gravitation & Cosmology. - 2009. - V. 60. - № 4.

4. Легкий, А.И. Точное статическое сферически-симметричное решение 5-мерных уравнений Эйнштейна. // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. - М.: Атомиздат, 1979. - Вып. 10. - С. 149-153.

© Киселев А.С., Кречет В.Г., 2010

УДК 521.3

К.К. Гасанов, А.Н. Гасанова

УПРАВЛЕНИЕ С МИНИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

В работе исследуется задача оптимального управления, описываемая уравнением двумерной теплопроводности с нелокальными краевыми условиями. Здесь сначала обобщенное решение краевой задачи разлагается в биортогональный ряд по системе собственных и присоединенных функций несамосопряженной спектральной задачи. Задача управления с минимальной энергией сведена к проблеме моментов, и найдены достаточные условия.

Ключевые слова: уравнения теплопроводности, двумерная уравнения, оптимальная управления, нелокальные краевые условии, обобщенное решение, обобщенные производные, несамосопряженная задача, биортогональный ряд, собственные и присоединенные функции, спектральная задача, проблема моментов, минимальная энергия.

K.K. Hasanov, A.N. Hasanova

CONTROL WITH THE MINIMUM ENERGY FOR THE EQUATION OF THE TWO-DIMENSIONAL EQUATION OF HEAT CONDUCTIVITY WITH NON-LOCAL BOUNDARY

CONDITIONS

In work the problem of optimum control described by the equation of two-dimensional heat conductivity with non-local boundary conditions is investigated. Here at first the generalized decision of a boundary problem decays in byortogonal a number on system of own and attached functions of non self-interfaced spectral problem. The problem of control with the minimum energy is shown to a problem of the moments, and sufficient conditions are found.

Keywords: the heat conductivity equations, two-dimensional the equations, optimum control, non-local boundary condition, the generalized decision, the generalized derivatives, non self-interfaced problem, byortogonal a number, own and attached functions, a spectral problem, a problem of the moments, the minimum energy.

1. Постановка краевой задачи. Пусть в области Q = Q x [0, T] управляемый процесс описывается уравнением двухмерной теплопроводности