CC BY
11u
1 = $Jlxy u2 = x2 — 2y2 u =—2x2 + y2
5 5(V!0)
u
3*Jlzt
■ 2t2 u6 = —2z2 +1
Образом тора (7) является сфера
S (u' )2 = 10
Таким образом, в погружениях _ выбранные условия и образы ведут себя непредсказуемо.
Список литературы
1. Долгарев И.А. и Долгарев А.И. Поверхности евклидова пространства размерности 4. IX Международная научно-практическая конференция: «Научные перспективы XXI века. Достижения и перспективы нового столетия» (Новосибирск, 13 - 14 03. 2015) часть 4. Техн.науки, философия, сельхознауки, хим-науки, физмат науки. № 2(9), Новосибирск, 2015. С. 30 - 33.
2. Долгарев А.И. Многомерные поверхности I. Выражение коэффициентов второй квадратичной формы евклидовой поверхности через коэффициенты первой квадратичной формы.// Materialy X Miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji "Moderni vymozenosti vedy - 2014", Dil 34. Matematyka. Fizyka. Praha. Publiching House "Education and Skience". s.r.o. - 2014. С. 30 - 40.
3. Долгарев А.И. Простая тория евклидовых поверхностей произвольной размерности.\\ Международный научный институт «EDUCATIO» Ежемесячный научный журнал № 3/2014, часть 6. Новосибирск, С. 58 - 61.
4. Долгарев А.И. Пересечения цилиндрических поверхностей в 4-мерном евклидовом пространстве. Materialy X Mezinarodni vedecko-prakticka conference "AKTUALNI VYMOZENOSNI VEDY - 2014, 27.06.2014. DIL 13. Matematika. Fizika. - Praha: Publiching House "Education and Skience". s.r.o. -2014. P. 24 - 36.
5. Долгарев А.И. 2-поверхности 4-мерного евклидова пространства. // Materialy X Miedzynarodowej naukowi-praktyeznej konferencji "Aktualne problem
nowoczesnych nauk - 2014", Volume 23. Matematika. Chemia i chemiczne technologie. - Premysl. Nauka i studia, 2014. P. 33 - 41.
6. Долгарев А.И. Гиперсферы и сферы Веронезе. Условная сфера как образ тора и другие условные поверхности. // X Международная научно-практическая конференция: «Научные перспективы XXI века. Достижения и персперктивы нового столетия» (Новосибирск, 17 - 18. 04. 2015) часть 9. Хим.науки, науки о земле, физмат науки, психонауки. № 3(10), Новосибирск, 2015. - С. 42 - 45.
7. Долгарев А.И. Характеризация омбилических погружений. Соприкосновение с омбилическими поверхностями в 3-мерном пространстве.// XVI Международная научно-практическая конференция «Научное обозрение физико-математических и технических наук в XXI веке» (Россия, г. Москва, 29 -30. 04. 2015). Ежемесячный научный журнал «Prospero» № 4(16), М.: 2015. - С. 4 - 7.
8. Долгарев А.И. Цилиндрические поверхности многомерных пространств.// IV Международная научно-практическая конференция «Современные научные исследования: инновации и опыт» Межотраслевой институт «Наука и образование». № 4. Новосибирск, 2014. - С. 19 - 22.
9. Долгарев А.И. Вложенные сферы одного радиуса евклидовых пространств. Сравнение со сферами Веронезе.// X международная научно-практическая конференция: «Современные научные исследования: инновации и опыт». Международный институт «Наука и образование». Ежемесячный научный журнал. № 3(10)/ Екатеринбург, 2015.- С.5 - 7.
10. Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. Волгоград: «Платон», 1998 - 360с.
11. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей. /С.Н.Кривошапко, В.Н.Иванов - М. Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. - 360 с.
12. Фоменко В.Т. Омбилические поверхности евклидовых пространств. / В.Т.Фоменко - Таганрог, ТПГИ, 2009. - 142 с.
2
НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ В ФОРМИРОВАНИИ И РАЗВИТИИ ВЕРОЯТНОСТНОЙ
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Копанева А. А.
К. ф.-м. н., доцент, Московского Государственный университет технологий и управления
им. К.Г.Разумовского (ПКУ), г. Москва Бурлакова Е. А.
К. ф.-м. н., доцент, Госуниверситет - УНПК, г. Орел SOME ASPECTS IN THE FORMATION AND DEVELOPMENT OF PROBABILISTIC NUMBER THEORY
A. A. Kopaneva, Candidate of Phys.-M. D., associate Professor, Moscow State University of technologies and management. K. G. Razumovsky, (PKU), Moscow
E. A. Burlakova, Candidate of Phys.-M. D., associate Professor, State University - UNPK, Orel
АННОТАЦИЯ
В статье проведен анализ становления вероятностной теории чисел как самостоятельного научного направления математики, лежащей на стыке теории чисел и теории вероятностей, начиная с ХIX и заканчивая XX веком. Рассматривается вопрос об истории возникновения термина вероятностной теории чисел, а также его неформального и фактического определения. Определяются границы данной научной дисциплины и обосновывается тезис о том, что ее следует считать, как составную часть и отдельное направление современной аналитической теории чисел.
ABSTRACT
In the article the analysis of the formation of probabilistic number theory as an independent scientific direction of mathematics, lying at the crossroads of number theory and probability theory, starting with the ХIX century and ending with the XX century. The article considers the question about the origin of the term probabilistic number theory, as well as its informal and the actual definition. Defines the limits of this scientific discipline and substantiates the thesis that it should be considered as an integral part of and separate direction of modern analytic number theory.
Ключевые слова: теория чисел, теория вероятностей, вероятностная теория чисел, метод характеристических функций, метод тригонометрических сумм, метод сглаживания, дисперсионный метод, метод моментов, теория мультипликативных функций, дисперсионный метод.
Keywords: number theory, probability theory, probabilistic number theory, the method of characteristic functions, the method of trigonometric sums, method of smoothing, variance method, method of moments, theory of multiplicative functions, the dispersion method.
Рассматривая предысторию вопроса о возникновении вероятностной теории чисел можно говорить о том, что хотя основные результаты в этой области были получены только в ХХ веке, методы зародились в исследованиях по теории чисел и по теории вероятностей в работах математиков XIX века. В связи с этим интересно проследить истоки этих методов. В общей постановке эта задача становится слишком обширной поэтому в статье рассматривается лишь некоторые труды крупнейших отечественных математиков, вклад которых является очень весомым и даже можно сказать определяющим.
Михаил Васильевич Остроградский (1801-1861). Его деятельность в области теории чисел включает в себя публичные лекции, содержавшие первый полный курс элементарной теории чисел на русском языке. Кроме того, он представил таблицы первообразных корней всех простых чисел < 200 в Академию наук в 1836г. По теории вероятностей М.В.Остроградский опубликовал 6 статей. Они посвящены вопросам теории ошибок, страховому делу, теории производящих функций.
Виктор Яковлевич Буняковский (1804-1889) (ученик М.В. Остроградского) опубликовал более сорока статей по теории чисел. В этой области он занимался вопросами, относящимися к теории сравнений с приложениями к разложению чисел на множители, квадратичными вычетами и квадратичным законом взаимности, выводом арифметических тождеств и изучением свойств арифметических функций с помощью рядов и бесконечных произведений.
Заметим, что в работе «Об остаточных сравнениях третьей степени» он вводит в отечественную математическую литературу термины «простое число», «сравнение», «первообразный корень» (1833).
Важнейшее место в деятельности В.Я.Буняковского занимают труды по теории вероятностей. Его сочинение "Основания математической теории вероятностей" (1846) содержит, кроме оригинального изложения самой теории вероятностей, историю возникновения и развития этой науки и множество ее приложений к страхованию, демографии и т.п.
Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894). Теории
чисел посвящены его работы «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» (1849) и «О простых числах» (1852), где он получил правильные по порядку оценки для количества простых чисел, не превосходящих любого заданного значения х. В частности, в этой работе он доказал постулат Бертрана. Мемуар «Об одном арифметическом вопросе» (1866) посвящен вопросу о диофантовых приближениях линейным многочленом. По теории чисел у П.Л.Чебышева есть еще несколько работ, которые посвящены квадратичным формам и рядам, члены которых зависят от простых чисел.
Среди исследований П.Л.Чебышева по теории вероятностей особенное значение имела работа «О средних величинах» (1866), где было дано строгое и элементарное доказательство классической теоремы вероятности, о том, что вероятность фиксированного положительного отклонения среднего значения независимых случайных величин от среднего значения их математических ожиданий стремится к нулю при неограниченном возрастании количества случайных величин, если только они имеют дисперсии, ограниченные в совокупности. Сейчас эта теорема называется законом больших чисел.
Другим в области теории вероятностей был мемуар «О двух теоремах относительных вероятностей» (1887). В нем впервые в общей форме доказана центральная предельная теорема и рассмотрен метод моментов, один из важнейших методов теории вероятностей и вероятностной теории чисел, а открытое им знаменитое «неравенство Чебышева» явилось не только выдающимся достижением, но и несло в себе зачатки двух важных методов в теории чисел. Имеется в виду метод «сглаживания» И.М.Виноградова, примененного им при оценках тригонометрических сумм, а также дисперсионный метод Ту-рана-Линника.
Андрей Андреевич Марков (1856-1922). К теории чисел относится работа А.А.Маркова «О простых делителях чисел вида 4х + 1» (1895), в которой на основании неопубликованных записей П.Л. Чебышева дается подход к доказательству знаменитой теореме о том, что среди чисел вида 4п +1 содержится бесконечно много таких,
которые имеют большой простой делитель величина которого существенно превосходит п. Заметим, что явные оценки скорости роста в дальнейшем получены Т.Нагел-лом в 1921г. и П.Эрдешем в 1952г. И, наконец, К.Хооли
установил, что величина
имеет степенной порядок ро-
N
ста не меньший чем величина [6].
В теории вероятностей труды А.А.Маркова привели к коренному преобразованию содержания всей этой науки и дали толчок к созданию и последующему развитию основного в настоящее время раздела теории вероятностей - теории стохастических процессов.
Сопоставляя арифметические и вероятностные аспекты в деятельности крупнейших российских математиков дореволюционного периода можно сказать, что с одной стороны прямого воздействия вероятностного подхода к арифметическим исследованиям не наблюдается. С другой стороны, в этих областях математики обнаруживается применение общих подходов и общих математических методов, что можно рассматривать как проявление единства математической научной основы данных математических дисциплин.
Родственные постановки проблем в арифметике и теории вероятностей способствовали использованию одних и тех же или похожих методов для их изучения. Здесь, прежде всего, следует указать на метод производящих функций и различные комбинаторные соображения, включая изучение свойств биномиальных коэффициентов. Тем не менее, время широкого арифметического применения таких методов, как метод характеристических функций, метод тригонометрических сумм, метод сглаживания, дисперсионный метод, метод моментов как методов, имеющих теоретико-вероятностные истоки, еще не наступило.
Рассматривая основные этапы формирования и развития направлений вероятностной теории чисел в ХХ веке, а также анализируя результаты научной деятельности ученых работавших в данном направлении, можно показать своеобразие применения вероятностно подхода в решении поставленных ими задач.К числу арифметических проблем, в изучении которых применение вероятностных методов оказалось особенно эффективным, можно выделить задачи мультипликативной теории чисел. Сюда входят, прежде всего, задачи нахождения предельных законов распределения значений мультипликативных и аддитивных функций.
Первый нетривиальный результат, посвященный вопросам распределения значений аддитивных функций, касающийся распределения значений аддитивной функ-у(п)
ции 4 ' , равной количеству различных простых делителей числа п, был получен в 1917 году в работах Г.Харди (1877-1947) и С.Рамануджана (1887-1920) [5]. В дальнейшем доказательство утверждения Г.Харди и С.Рама-нуджана было упрощено и обобщено П.Тураном (1934) и Й.П.Кубилюсом (1955). Заметим, что термин «вероятностная теория чисел» был впервые употреблен Й.П.Кубилюсом в его докторской диссертации 1957.
Вопросы содержания и применения вероятностных методов к теории мультипликативных функций подробно
освещены в книге М.Каца «Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел» (1963) [1].
Важное значение для формирования методов вероятностной теории чисел имели работы Ю.В.Линника (1915-1972). Можно сказать, что завершением оформления вероятностной теории чисел в отдельное научное направление в математике следует считать его книгу «Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах» (1961).
Работы Ю.В.Линника по дисперсионному методу позволили обратиться к решению задач теории чисел, которые ранее были недоступны. Он в систематической форме соединил понятие дисперсии с идеей сглаживания и на этой основе впервые дал безусловное решение некоторых бинарных аддитивных проблем с простыми числами, включая известную проблему Харди-Литтлвуда о представлении натуральных чисел суммой простого и двух квадратов. Дисперсионные соображения П.Турана, которые ранее применялись в основном к задачам распределения значений арифметических функций, Ю.В.Линник, тем самым, адаптировал к исследованию классических диофантовых уравнений [3].
Еще одно важное направление вероятностной теории чисел связано с применением метода моментов при нахождении предельных законов распределения для сумм от «колеблющихся арифметических функций». Первый результат подобного типа получили Р.Форте (1940) и М.Кац (1946), которые доказали, что сумма значений периодической функции от лакунарной последовательности в пределе подчиняется нормальному закону распределения вероятностей [7]. С помощью нового метода А.Г.Постников и М.П. Минеев оценили скорость сходимости к предельному распределению, а в дальнейшем ими было установлено, что модуль «короткой» рациональной тригонометрической суммы подчиняется закону распределения, который сходится к показательному при возрастании знаменателя суммы [4].
В настоящее время проблемы нахождения предельного распределения для «коротких» сумм арифметических функций исследуются В.Н.Чубариковым и его школой. При этом обнаружилось, что вид конкретного распределения может подчиняться не только закону Гаусса, но и другим законам.
Литература
1. Кац М.Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, М., 1963.
2. Кубилюс Й.П. Вероятностные методы в теории чисел // Госполитнучиздат Литов.ССР, Вильнюс. 1962.
3. Линник Ю.В. Избранные труды - Л., Наука, 1979.
4. Постников А.Г. Избранные труды / Под. ред. В.Н.Чу-барикова. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005.
5. Delange Н. Probabilistic Number Theory // Ramanujan Revisited: proceedings of the centenary conference University of Illinois at Urbana-Champaign, June 1-5, 1987.
6. Hooley C. On the greatest prime factor of a quadratic polynomial. Acta. Math., 117 (1967), 281-299.
7. Kac M. Probability methods in some problems of analysis and number theory, Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 641-665.
