CC BY
14
УДК 372.851
НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА БУДУЩИМ УЧИТЕЛЯМ МАТЕМАТИКИ
SOME ASPECTS OF TEACHING MATHEMATICAL ANALYSIS TO FUTURE TEACHERS OF MATHEMATICS
© 2020
О.М. Кечина O.M. Kechina
Одной из распространённых проблем подготовки будущих учителей математики является недостаточное осознание студентами значимости фундаментальной математической подготовки. Одна из основных задач вузовского этапа подготовки учителя математики - формирование и развитие его математической грамотности, так как только владеющий фундаментальными знаниями учитель сможет не только изложить материал, входящий в программу, но и показать перспективы развития математической теории. Обучение студентов-бакалавров и магистрантов направления подготовки Педагогическое образование, одним из профилей подготовки которых является «Математика», становится более эффективным, если учебный процесс строится с учётом преемственности материала школьного и вузовского курса математики. В статье под преемственностью понимается установление необходимой связи и правильного соотношения между частями учебного предмета на разных ступенях его изучения. На примере дисциплины «Математический анализ», входящей в учебный план направления подготовки Педагогическое образование, продемонстрирована взаимосвязь школьного и вузовского курсов математики, приведены примеры предлагаемых в учебном процессе заданий.
Ключевые слова: подготовка учителей математики; педагогическое образование; преемственность школьного и вузовского образования; математический анализ; функции; школьный курс математики; образовательные стандарты среднего и высшего образования.
One of the common challenges of training future mathematics teachers is students' underestimating importance of fundamental mathematical training. One of the main tasks of training a teacher of mathematics at a university is developing their mathematical literacy, since only a teacher with fundamental knowledge can not only present the material, but also show the prospects for the development of mathematical theory. Teaching undergraduate and graduate students majoring in education in mathematics, becomes more effective if the educational process is based on the continuity of the school and university courses of mathematics. In the article, continuity is understood as establishing the necessary connection and proper correlation between the parts of the subject at different stages of studying it. The author provides the example of the course "Mathematical Analysis", part of the curriculum for students majoring in education, and demonstrates the interconnection of school and university courses, she also offers examples of the tasks she employs in her work.
Keywords: training teachers of mathematicss; pedagogical education; continuity of school and university education; mathematical analysis; functions; school course of mathematics; educational standards of secondary and higher education.
К числу основных задач профессио- числе будущим учителям математики [6-8].
нальной подготовки учителя математики Одним из рассматриваемых вопросов явля-
относится формирование и развитие его ется преемственность школьного и вузов-
математической ^моттости поскольку ского курсов математики [9-11]. В статье
на примере одной из основных математических дисциплин вузовского курса «Математический анализ» исследуются проблемы,
только хорошо владеющий теоретическим и практическим материалом дисциплины учитель может свободно излагать теоретические положения, показывать на практике
примеры реализации математических идей, возникающие при переходе со ступени
раскрывать перспективы дальнейшего при- шк°льн°г° °бучения та следующую у вы-
менения математических теорий. пускников школ и, как следствие, студен-
Во многих работах исследуются мно- тов младших курсов. гогранные аспекты преподавания матема- Под преемственностью в обучении
тических дисциплин студентам средних принято понимать установление необходи-
и высших учебных заведений [1-5], в том мой связи и правильного соотношения
между частями учебного предмета на разных ступенях его изучения. Преемственность обеспечивается расположением материала учебного предмета выбором способов деятельности по овладению им с учётом содержания и логики соответствующей науки и закономерностей процесса усвоения знаний. При этом переход на каждую следующую ступень обучения должен подразумевать последовательность, согласованность, систематичность форм работы с обучающимися [12].
Математический анализ - одна из основных математических дисциплин, изучаемых студентами направления подготовки 44.03.05 Педагогическое образование -профили «Математика» и «Физика», «Математика» и «Информатика». Основным предметом изучения в рамках математического анализа являются функции: первый семестр посвящён основным свойствам функций одной действительной переменной и их пределам, второй дифференциальному исчислению функций одной переменной, материал третьего семестра - интегральное исчисление функций одной переменной, четвёртый семестр посвящён изучению числовых и функциональных рядов, а пятый - функциям нескольких переменных, в том числе их дифференцированию и интегрированию. Студент, освоивший данную дисциплину, должен владеть основами фундаментальных математических теорий и быть способным применять их при решении теоретических и практических задач, использовать методы математического моделирования.
В качестве основных учебных пособий по данной дисциплине студентам могут быть предложены, например, учебники Г.М. Фихтенгольца [13], А.М. Тер-Крико-рова [14], а также сборники задач Г.Н. Бер-мана [15], Г.И. Запорожца [16] для использования на занятиях или в рамках самостоятельной работы.
Элементы математического анализа включены в школьный курс математики 10-11 классов. В число требований Федерального государственного образователь-
ного стандарта среднего общего образования к предметным результатам освоения базового курса математики входит сформи-рованность представлений об основных понятиях, идеях и методах математического анализа; а углубленного - сформирован-ность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей (Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования. Утверждён приказом Министерства образования и науки Российской федерации от 17 мая 2012 года № 413). Так как основной объект изучения в математическом анализе - функция - используется при моделировании реальных явлений и процессов, то и другие требования к предметным результатам, в частности сформированность умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат, не могут быть достигнуты без усвоения теоретического и практического материала по математическому анализу.
В процессе преподавания математического анализа студентам направления подготовки Педагогическое образование преподавателю следует учитывать взаимосвязь школьного и вузовского курса математики, увеличение объёма и сложности материала по сравнению со школьным курсом, обращая внимание на строгость изложения, подразумевающую изложение фундаментальной составляющей дисциплины на основании принципа научности с рассмотрением иллюстрирующих теорию примеров; при этом утверждения (теоремы), изучаемые в школе без доказательства, в вузовском курсе доказываются. Активизации мыслительной деятельности студентов, повышению их внимания и интереса к материалу занятия способствуют вопросы, задаваемые преподавателем в процессе изложения лекционного материала и при решении задач на практических занятиях. Более высокий уровень абстрактности теоретического матери-
ала не исключает возможности использования различных форм представления информации (таблиц, графиков, рисунков), разнообразных практических приложений теории к различным областям науки, задач различного характера.
Определение предела функции является сложным для усвоения студентов первого курса,-Поэтому при введении на лекции понятия конечного предела функции в точке следует соединить имеющиеся у студентов интуитивные представления со строгим определением, которое формулируется как словесно, так и символически, а также раскрыть геометрический смысл предела функции в точке посредством иллюстрации.
С целью закрепления понятия могут быть предложены задачи, решение которых содержит рисунки, или задачи по заданным рисункам, в которых предлагается не только сформулировать определение, но и проиллюстрировать определение на графике.
Задача 1. Привести определение предела функции и его геометрическую иллюстрацию [17]:
Задача 2. Сформулировать определение и привести его геометрическую иллюстрацию [17]:
Задача 3. Из рисунков 1, 2 и 3 выберите те, которые соответствуют данному предельному соотношению [18]:
Рис. 1. График функции у = f{pc)
__ У, 1
2 у = Ах)
о X
Рис. 2. График функции у = f{p¿)
У1 1 1 3
о Х
Рис. 3. График функции у = f{pc)
В процессе решения задач по каждому из разделов математического анализа необходимо обосновывать выполняемое действие, указывать (устно или письменно), на основании какого теоретического положения оно совершено. Например, при решении задач на вычисление предела функции следует указывать используемые теоремы о пределах, а при определении типа точки разрыва функции указывать, почему точка разрыва относится к тому или иному типу. Задания при этом формулируются следующим образом:
Задача 4. Вычислить пределы функций, указывая используемые теоремы о пределах:
2х + 5);
1) Ит(х-
2) Ит
3) Ьт
4) Ит
дг-Ю 31П 2х
5) Ит (Ч + -) 1-й™ *
2х-1
При выполнении заданий студентам предлагается работать по следующему алгоритму:
1) вычислить предел, указывая промежуточные шаги преобразований функции (при необходимости предварительно «раскрыв неопределённости»);
2) указать теоремы и правила, используемые при вычислении предела функции.
Задача 5. Исследовать функцию на непрерывность и построить график в окрестности каждой точки разрыва, определив её тип:
1)у =
г-х-2 '
1-я
2) у = агс1д ^
Предлагаемый здесь алгоритм решения следующий:
1) определить тип функции и множество, на котором функция непрерывна;
2) определить точки разрыва (подозрительные на разрыв);
3) вычислить односторонние пределы функции для каждой из точек разрыва;
4) определить тип каждой точки разрыва, обосновав свое мнение;
5) построить график функции в окрестности каждой точки разрыва.
Понятие предела является базисным для всех разделов математического анализа, поэтому хорошо усвоенный материал первого семестра изучения данного курса позволит заложить надёжный фундамент для освоения последующих его разделов.
Так как каждый раздел математического анализа базируется на материале школьного курса математики и предыдущего раздела и, в свою очередь, является ос-
новой для последующего раздела, то при переходе от одного раздела к другому следует выделять основные положения, изученные ранее, и указывать их роль в освоении нового материала.
Так, изучение в вузе дифференциального исчисления функции одной действительной переменной должно опираться на факты, изученные в школьном курсе математики, и на материал предыдущего раздела «Пределы и непрерывность функции», поскольку строгое определение производной функции в точке даётся как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю. Навык нахождения пределов функций будет отработан ещё раз при выводе формул производных от основных элементарных функций, из которых отдельные формулы студенты могут вывести самостоятельно.
При изучении интегрального исчисления важным будет указать, что интегрирование - это операция, обратная дифференцированию, а при изучении дифференцирования и интегрирования функций многих переменных провести аналогию с соответствующими понятиями, теоремами и действиями для функции одной переменной.
Подбор заданий, предлагаемых на занятиях, может происходить совместно со студентами - будущими учителями математики, физики, информатики, которые, овладевая в процессе изучения дисциплины теоретическими знаниями и практическими навыками решения задач, повышают уровень своей профессиональной подготовки.
* * *
1. Мышкис А.Д. О преподавании математики прикладникам // Математика в высшем образовании. 2003. № 1. С. 37-52.
2. Лунгу К.Н. Модернизация математического образования студентов технических вузов // Ярославский педагогический вестник. 2012. № 3. С. 138-142.
3. Мерлин А.В., Мерлина Н.И. Круговой и линейный методы преподавания математического анализа в высшей школе // Ученые записки ОГУ. Серия: Гуманитарные и социальные науки. 2012. № 2. С. 267-272.
4. Алексеенко А.С., Лихачева М.В. Об изучении предела в школьном курсе математики // Проблемы педагогики. 2017. № 4(27). С. 25-30.
5. Дубнов Я.С. Содержание и методы преподавания элементов математического анализа и аналитической геометрии в средней школе // Математическое просвещение. 1960. № 5. С. 17-55.
6. Зайниев Р.М. Современные требования к математическому образованию и математической подготовке учителя математики // Новые исследования в разработке техники и технологий. 2016. № 2. С. 4-9.
7. Тестов В.А. Основные задачи развития математического образования // Образование и наука. 2014. № 4(113). С. 3-17.
8. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте : дис. ... д-ра пед. наук. М., 1986. 355 с.
9. Зайниев Р.М. Преемственность в математическом образовании и математической подготовке учителя математики // Самарский научный вестник. 2014. № 4(9). С. 49-51.
10. Энбом Е.А., Балабаева Н.П. Актуализация и систематизация школьных знаний по математике студентов младших курсов инженерных направлений на начальном этапе изучения дисциплин математического цикла // Актуальные проблемы преподавания математики в техническом вузе. 2019. № 7. С. 360-365.
11. Евелина Л.Н., Кечина О.М. Некоторые пути преодоления трудностей в изучении математических дисциплин будущими учителями // Электронные библиотеки. 2019. Т. 22, № 5. С. 356-366.
12. Бим-Бад Б.М. Педагогический энциклопедический словарь. М. : Большая Российская энциклопедия, 2002. 528 с.
13. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 3 т. СПб. : Лань, 2009. 3 т.
14. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа : учебное пособие для вузов. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. 672 с.
15. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа : учебное пособие. СПб. : Профессия, 2008. 432 с.
16. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу : учебное пособие. СПб. : Лань, 2014. 464 с.
17. Мордкович А.Г., Шуркова М.В. Задачник по введению в математический анализ. М. : Мнемозина, 2008. 136 с.
