Некорректные задачи и непараметрическая идентификация систем управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 621.316.7

НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

В. И. КАПАЛИН

Московский государственный институт электроники и математики

e-mail: [email protected]

Проблема идентификации связана с проблематикой теории некорректных задач. В статье рассматриваются некоторые основные в этой области проблемы и обсуждаются пути преодоления некоторых сложностей при применении непараметрических методов идентификации.

Ключевые слова: идентификация, априорная информация, «черный ящик», нейросетевой подход.

Теория управления нередко имеет дело с объектами, математическое описание которых известно неточно, либо отсутствует полностью. Для успешного управления такими объектами их необходимо идентифицировать. Что же понимается под задачей идентификации? Термин «идентификация» стал использоваться в отечественной науке начиная с 60-х годов прошлого века. Этот термин употребляется для задач, в которых математическую модель объекта управления требуется построить по информации о реакциях объекта на известные внешние воздействия. Термин идентификация — это транслитерация английского слова «identification», которое однако в английском языке не является сугубо научным термином. Так, англо-русский словарь В.К. Мюллера дает перевод слова «identification» просто как «опознание», «установление личности». Задачи идентификации, т.е. опознавания моделей «живых организмов и машин», рассматривались как одна из задач кибернетики Норбертом Винером. Именно этой задаче в ее наиболее общей непараметрической и нелинейной постановке была посвящена последняя публикация Винера «Нелинейные задачи теории случайных процессов», вышедшая на русском языке в 1961 году [1]. Эта задача обсуждалась и в ряде работ других авторов [2]. Частично тема винеровской теории идентификации затронута и в настоящем докладе.

В постановке задачи идентификации существует известная свобода. Традиционно методы идентификации разделяют на две большие группы: непараметрические и параметрические [3]. Непараметрические методы ориентированы на случай, когда априорная информация о структуре модели объекта отсутствует или игнорируется, т.е. когда объект рассматривается как «черный ящик» бихевиоризма и кибернетики (рис. 1).

В этом случае отыскиваются некоторые функциональные характеристики модели — импульсная переходная функция, частотные характеристики, ядра Вольтерра и Винера или их изображения.

Если имеется априорная информация об уравнениях модели объекта, заданных с точностью до неизвестных параметров, то задача идентификации сводится к оценке этих параметров. Это случай параметрической идентификации. Общих рекомендаций, когда следует использовать методы параметрической, а когда — непараметрической идентификации не существует — все определяется конкретной задачей исследования. Однако во всех случаях идентификации приходится считаться с неточностями в задании модели, неточностями в измерениях сигналов шумами и вычислительными погрешностями. Как результат малые погрешности в эмпирических данных и в задании модели могут привести к значительным ошибкам в результатах идентификации. Это типичная ситуация проблематики некорректных задач [4] и настоящий доклад связан с обсуждением этой проблематики для задач непараметрической идентификации. Для линейных стационарных систем, для которых описание типа «вход-выход» задается интегралом свертки. Задача непараметрической идентификации в этом случае сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра I рода относительно неизвестной импульсной переходной функции, т.е. ядра оператора Вольтерра.

Это — задача о решении интегрального уравнения 1-го рода. Она относится к числу некорректных и требует, вообще говоря, применения методов регуляризации. Однако, в отличие от задач математической физики в задачах идентификации применение общего метода решения некорректных задач — метода линеаризации сглаживающего функционала А.Н. Тихонова практически исключается по следующим основным причинам.

В методе сглаживающего функционала для получения гладкого решения вместо решения достаточно простого уравнения Вольтерра нужно решать некоторое ин-тегро-дифференциальное уравнение, что требует применения несравненно более сложных численных методов. Попытки заменить решение этого интегро-дифференциального уравнения решением интегрального уравнения Фредгольма 11 рода за счет применения слабой регуляризации оказывается безрезультатным. Слабая регуляризация не обеспечивает требуемой гладкости решений и сходимости семейства приближенных решений к точному решению даже в пространстве непрерывных функций [5]. Наконец отыскание в методе сглаживающего функционала параметра регуляризации по невязке тоже вызывает в задачах идентификации значительные вычислительные сложности.

Возможно, однако, и другое решение задач непараметрической идентификации с учетом их некорректности, не использующие метод сглаживающего функционала и гораздо более простой с вычислительной точки зрения. В основе этого решения лежат методы регуляризации М.М. Лаврентьева и А.С. Апарцина [5], в которых не требуется перехода к интегро-дифференциальным уравнениям, а регуляризован-ное решение находится из интегрального уравнения Вольтерра. Как следствие необ-

Рис. 1

і є [0, Т].

(1)

0

ходимые алгоритмы регуляризации оказываются легко реализуемыми в нынешнем негласном университетском стандарте — пакете MATLAB.

Суть этих методов заключается в замене исходной некорректной задачи на, в некотором смысле, близкую к ней, но корректную задачу. С этой целью можно использовать три подхода.

Первый из них заключается в выборе шага при решении уравнения Вольтерра с помощью одной из квадратурных формул. Как было доказано, в этом случае регуляризацию обеспечивает правильный выбор шага дискретизации при условии, что решение ищется с помощью одной из формул прямоугольников — левых, правых или средних. Применение более точных квадратурных формул, таких как формула Симпсона или формула Грегори приводит к расходящимся методам. Решение задачи идентификации при использовании формулы средних прямоугольников может быть найдено по рекуррентной формуле.

h

(, - 2)а

і

(

У[іа]

А

-Е ~

j=i

(і - 2)а

(і - і+2)а

Л

(2)

Второй подход связан с регуляризацией по-Лаврентьеву и заключается в замене исходного уравнения первого рода на уравнение второго рода с параметром регуляризации. В этом случае решение может быть найдено с помощью следующей модификации рекуррентной формулы. Здесь а - параметр регуляризации.

h

(i - |) А

1

А

а + А x (—) 2

і=1

(і- 2) а

(i -1+а

(З)

Наконец, третий подход к решению уравнения Вольтерра первого рода с учетом его некорректности связан с применением метода наименьших квадратов. Здесь возможны два варианта решения.

При первом — модель объекта записывается в непрерывном времени и для решения используется интегральное уравнение Фредгольма I -го рода, задающее необходимое условие минимума квадратичного функционала, тоже записанного для непрерывного времени. Искомое решение находится путем дискретизации интегрального уравнения, задающего условие минимума квадратичного функционала и решения полученной системы линейных алгебраических уравнений.

Второй, значительно более простой с вычислительной точки зрения подход заключается в использовании с самого начала дискретного аналога линейного оператора Вольтерра и минимизации квадратичного функционала, записанного для дискретного времени. Здесь необходимое условие минимума сразу дает систему линейных алгебраических уравнений относительно дискретных значений ядра оператора Вольтерра и проблема решения уравнений Фредгольма первого рода не возникает. Регуляризацию в случае применения метода наименьших квадратов можно осуществить либо по-Лаврентьеву

(aAtA + аІ )Н = ATY , (4)

либо применяя для решения полученной СЛАУ процедуру сингулярного разложения матриц — SVD

A = U EVT. (Б)

Охарактеризовав проблему и возможные пути ее решения, перейдем к практическим результатам исследования, т.е. к результатам вычислительных экспериментов.

Для проведения экспериментов использовался пакет MATLAB 7.3. Для вывода результатов в графической форме применялся MATLAB Compiler 4. Были рассмотрены случаи точных измерений выходного сигнала и измерений выходного сигнала в присутствии аддитивной помехи. В качестве объектов идентификации были выбраны стандартные передаточные функции морского дизеля, что определялось требовани-

x

x

x

ем заказчика работы — Вьетнамского морского университета, г. Хайфон. В качестве входного сигнала использовались единичная ступенька и полигармонический сигнал. Аддитивная помеха тоже задавалась полигармоническим сигналом или белым шумом. В общей сложности на разработанном автономном программном обеспечении было проведено 72 эксперимента с различными видами передаточных функций морского дизеля и различными возмущениями. Рассмотрим результаты проведенных экспериментов.

Случай 1. Точные измерения. Целью здесь было проверить работоспособность рассмотренных методов идентификации в присутствии только вычислительных погрешностей. Из полученных результатов на рис. 2-3 следует, что все три группы методов дают практически одинаковые результаты. Поэтому в этом случае предпочтительней самый простой алгоритм — рекуррентный без регуляризации.

-

-

1 ! ■ ■ [ 1

01

'а * с а и И К * 30

*

■■

МНК

[==

Рис. 2

I—4—I—|—й—й—й—Ш

Рекуррентное решение с регуляризацией

Рис. 3

Случай 2. Гладкие помехи. Следующая группа экспериментов было проведена для случая гладких помех. Здесь применение регуляризации по-Лаврентьеву ощутимо — как в случае рекуррентного метода решения, так и в случае применения метода наименьших квадратов (рис. 4). Полученные этими методами результаты примерно такие же, как дает по точности применение процедуры БУР.

Случай 3. Помехи в виде белого шума. Это самый опасный вид помех. В этом случае рекуррентные алгоритмы и процедура БУР не дали вообще никакого результата. Приемлемые результаты удалось получить только методом наименьших квадратов с применением регуляризации по-Лаврентьеву (рис. 5).

р

в . (Чми-и

V 1

ч- г7Г да — 1— |

1 \ _

41>

■ ч и

р— 11 * .

/^ч-

'[ .■ " 1 1 и

а ■ ( • т ш -т ■т £

£.811111] 1 ;

ш Д ‘ J ' * * ~| | |~ "

\ уг"т~ш-ч-

V /Г " '

9 1 а ■ я—»—а—«—а—■

МНК

МНК с регуляризацией

■к*' ......... Р

Я I I 'I I ■ и II я ■ в

1Г

Ті

л 1 /

Рис. 4

[-£^..4 | | 1 |

4„ї.,і Уі „

*

іС I.' ч ■«. 1П

Рекуррентное решение

МНК

Рекуррентное решение с регуляризацией - ” '

р”

рг

Рис. 5

Рассмотренные здесь методы относятся к классическим методам непараметрической идентификации линейных стационарных систем. Из них на класс нелинейных систем обобщается только метод наименьших квадратов. В теории нелинейных систем Вольтерра-Винера модель «черного ящика» задается полиномов Вольтерра

м * і

.КО=Е{-• • |Ъ-ъ..Лтг, (6)

г=1 0 0

который с использованием формулы прямоугольников можно заменить дискретной моделью. Минимизация квадратического критерия качества здесь, как и в линейном случае, дает систему линейных алгебраических уравнений. Однако получающаяся размерность задачи оказывается весьма велика, что существенно затрудняет получение практических результатов в общем нелинейном случае.

На практике в качестве нелинейной модели используется обычно не общая модель Вольтерра-Винера, а ее частные случаи — модели Гаммерштейна и Винера-Гаммерштейна, алгоритмы настройки которых включены в расширение System Identification Toolbox пакета MATLAB.

Рассмотренные ранее методы непараметрической идентификации используют аппарат интегральных уравнений. Альтернативным путем решения задачи построения модели «черного ящика» ставшим возможным совсем недавно стал нейросете-вой подход. Его практическое использование в учебном процессе стало возможным после включения в MATLAB 6.5 расширения Neural Network Toolbox. Это расширение включает более 150 различных функций для создания, обучения и использования различных нейронных сетей. Для настройки моделей можно использовать специальный блок пакета Simulink. Построение нейросетевого регулятора может также быть осуществимо в библиотеке Neural Network Block Set пакета Simulink.

Если применение интегральных уравнений для решения задач непараметрический идентификации основывается на известных теоремах функционального анализа о линейных и нелинейных функционалах, то применение нейронных сетей основывается на теоремах о полноте. Фактически эта теорема означает, что с помощью нейронных сетей можно моделировать любую нелинейную зависимость при условии правильного выбора архитектуры сети и ее правильного обучения.

Нейросетевой подход использовался здесь для построения нейросетевого регулятора для рассмотренных моделей морского дизеля — как в линейном, так и в нелинейном случае — для модели Гаммерштейна. Практика настройки нелинейных моделей показала, что это гораздо более сложная процедура, чем настройка линейных моделей. Для нейросетевой модели морского дизеля FODEN FD7 на средних скоростях

w(р = ;й36р+1906

/ +15.58+13.04 (7)

был реализован в Simulink NARMA-L2 регулятор. Результат верификации показал работоспособность синтезированного нейросетевого регулятора.

Позвольте теперь мне перейти к заключению по докладу.

Рассмотренная в докладе непараметрическая идентификация в отличие от параметрической идентификации не привязана жестко к техническим объектам и может использоваться и использовалась в различных задачах кибернетики. Теория непараметрической идентификации напрямую связана с методами решения некорректных задач и нейросетевыми технологиями. Как показали проведенные исследования, соответствующие алгоритмы идентификации могут быть практически реализованы в расширениях Sysytem Identification Toolbox и Neural Network Toolbox пакета MATLAB.

По-прежнему остается открытой проблема идентификации непараметрических нелинейных моделей Вольтерра-Винера. Однако значительное практическое продвижение в этой области следует ожидать, по-видимому, только после включения соответствующих алгоритмов или даже целых расширений в пакет MATLAB.

Литература

1. Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. — М.: ИЛ, 1961.

2. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко А.С. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. — М.: Наука, 1976.

3. Льюнг Л. Идентификация систем. - М.: Наука, 1991.

4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979.

5. Верлань А.Д., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. — Киев: Наукова думка, 1986.

ILL-POSED PROBLEMS AND NONPARAMETRIC IDENTIFICATION OF CONTROL SYSTEMS

V. I. KAPALIN

Moscow State Institute of Electronics and Mathematics

e-mail: [email protected]

Problem of identification is connected with the problem of the solution of ill-posed problems. The current paper gives some essential features in that area and discusses ways of overcoming some difficulties in non-parametric methods of identification.

Key words: identification, the aprioristic information, «black box», HenpoceTeBon the approach.