CC BY
59
Вестник Башкирского университета.2006№3.
3
НАУЧНЫЕ СТАТЬИ И ДОКЛАДЫ раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА
УДК 004.031.43
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ СИММЕТРИИ ЛИ-БЕКЛУНДА Кордюкова С. А.
В работе вводится метод приближенных неклассических симметрий Ли-Беклунда для уравнений в частных производных с малым параметром. Используя этот метод мы строим приближенные условно-инвариантные решения. Статья написана по материалам доклада на Международной уфимской зимней школе-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых, БашГУ-2005 г.
Введение
Неклассические или условные симметрии впервые появились в работе Ж.В.Блумана и Ю.Д.Кола в [1] в 1969 году. С тех пор эта тематика активно развивалась в работах: П.Олвера, П.Розенау [2]- неклассический метод, П.Кларксона, М.Крускала [3]- неклассические симметрийные редукции (прямой метод), В.И.Фущича [4]- условные симметрии и редукции уравнений в частных производных. Фокас А.Сю и Лю К.М. разработали метод обобщенных условных симметрий [5], Олвер П. - неклассические симметрии [6]. Неклассические симметрии Ли-Беклунда для эволюционных уравнений были рассмотрены в работе Жданова Р.З. [7]. В указанных выше работах рассматривались только точные симметрии. В последнее время появилось несколько работ по приближенным условным симметриям. Это работа Махомеда Ф.М. и Ку Ч. [8], а также работа Кара А.Ф., Махомед Ф.М. и Ку Ч. [9] - потенциальные условные симметрии.
В данной работе рассматриваются неклассические симметрии Ли-Беклунда
X = п—+ У В К В (п)—— (1)
'ди £ ' ^’дик
для эволюционных уравнений с малым параметром £ :
и = ^ ^, ^ и, их , ихх К) + £0 Ц, ^ и, их , ихх КХ (2)
дки где ие Сп(Я2), ик =^-Т,1 < к < п. дх
Напомним, что Вх,Вг есть операторы полной производной:
Вх = дх + диих + дихихх + диххиххх + К В = дt + дии( + дихих1 + дихих + К
Неклассические симметрии позволяют получать новые решения уравнений в частных производных, которые нельзя получить при помощи классических симметрий. В этой работе решается задача нахождения (наследования) приближенных неклассических симметрий для уравнений с малым параметром (2), исходя из точных неклассических симметрий. Использованные здесь методы наследования приближенных симметрий (классических) из точных развиты в работах Байкова В.А., Газизова Р.К., Ибрагимова Н.Х. [10]. Найденные приближенные симметрии позволяют строить приближенные условно- инвариантные решения. Так для приближенного уравнения Кортевега-де Фриза
Ч = иих +£иххх (3)
найдены приближенные неклассические симметрии путем наследования точных условных симметрий уравнения переноса
ц = иих (4)
Также построены приближенно-инвариантные решения уравнения (3).
Неклассические приближенные симметрии Ли-Беклунда
Неклассическими точными симметриями Ли-Беклунда занимался Р. Жданов [7]. Он рассмотрел неклассические точные симметрии Ли-Беклунда для эволюционных уравнений.
Определение 1. Оператор Ли-Беклунда (1) будем называть неклассической симметрией Ли-Беклунда для уравнения (2), если выполняется
Х(ц -^-£0)|ц =^=0 = 0, (5)
где п = , х, и, их ,К).
4
раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА
Уравнение (5) будем называть определяющим уравнением для неклассических симметрий Ли-Беклунда [7]. Напомним, что X называется классической симметрией, если в формуле (5) условие r¡ = 0 не требуется. Из этого ясно, что множество неклассических симметрий содержит множество классических симметрий и намного шире его.
Теория приближенных симметрий была развита Байковым, Газизовым, Ибрагимовым в работе [10]. Они предложили рассматривать точечные симметрии в виде формальных степенных рядов:
X = X0 + eX1 + K + enXn + K
Продолжая эту идею, введем понятие приближенных неклассических симметрий Ли-Беклунда в виде формального ряда (1) с
П =
(6)
Определение 2. Оператор (1) с (6) будем называть приближенной неклассической симметрией Ли-Беклунда для уравнения u. = F + ЄG , если выполняется равенство
X (ut - F -eG)
^n = о(єп ) (7)
t = F+єG,Ÿ _ЄП=о(єп ).
Уравнение (7) называется определяющим уравнением для приближенных неклассических симметрий Ли-Беклунда.
Введем понятие приближенного условно-инвариантного решения.
Определение 3. Приближенное решение уравнения (2) в виде формального ряда и = ^ £
u
условно-инвариантным относительно неклассической симметрии X, заданной формулой (1),(6), если выполняется условие:
¿П (¿¿и1) =0(£ ). (8)
7=0 1=0
В качестве примера можно выписать неклассические приближенные симметрии (1), (6) и условноинвариантные решения (8) первого порядка точности для уравнения (3).
Для нахождения приближенных симметрий (1), (6) возьмем п° = их- неклассическую симметрию
уравнения (4). Для остальных П выпишем определяющее уравнение для уравнения (3). Для данной приближенной неклассической симметрии (1), (6) можно указать условно-инвариантное решение уравнения КдФ (3) с точностью до первого порядка по £ :
Ь - х_ ( с1 ( Ь - хЛ с3х с2? + с2а + с Л
u —---------+ є
t + a
exp I--------I +---------3—- + ■ 2 2 3
t + a ^ t + a ) b(t + a) (t + a)
где a, b, Cj, c2,c3 - произвольные константы.
ЛИТЕРАТУРА
j. Bluman G. W., Cole J. D. The general similarity solutions of the heat equation/ J. Math. Mech. 1969. 18. P.
1025-1042.
2. Olver P.J., Rosenau P. The construction of special solutions to partial differential equations/ Phys. Lett. 1986. 144. P. 107-112.
3. Clarkson P. A., Kruskal M. New similarity reductions of the Boussinesq equation/ J. Math. Phys. 1989. 30. P. 2201-2213.
4. Фущич В.И., Штелен В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения уравнений математической физики. Киев. Наукова Думка. 1989.
5. Фокас А. С., Лю К. М. Обобщенные условные симметрии и точные решения неинтегрируемых уравнений/ Теор. Мат. Физ. 99. 1994. 2. C. 263--277.
6. 6.Olver, P. J., Vorob'ev, E. M. Nonclassical and conditional symmetries, in: CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, vol. 3, N. H. Ibragimov, ed., CRC Press, Boca Raton, Fl. 1996. 291--328.
7. Zhdanov R. Z. Conditional Lie-Bеcklund symmetry and reduction of evolution equations /J. Phys. A 28, 1995. 13. P. 3841--3850.
8. Mahomed F.M., Changzheng Qu, Approximate conditional symmetries for partial differential equations /J.Phys.A: Math. Gen. 2000. 33. P. 343-356.
9. Kara, A. F., Mahomed F. M., Qu Changzheng. Approximate potential symmetries for partial differential equations /J.Phys. A . 2000. 33. P. 6601-6613.
10. Байков B. A., Газизов P. K, Ибрагимов H. X., Методы возмущения в групповом анализе /Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. т.34. Москва. ВИНИТИ. 1989. C. 85-147.
