CC BY
68
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012 Математика и механика № 2(18)
УДК 532.5, 532.22
Е.И. Борзенко, Г.Р. Шрагер НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ЗАПОЛНЕНИИ ПЛОСКОГО КАНАЛА1
Рассматривается течение вязкой жидкости, реализуемое при заполнении плоского канала, с учетом диссипативного разогрева и зависимости вязкости от температуры. Предлагается численный алгоритм решения задачи о течении жидкости со свободной поверхностью, приводятся результаты параметрических исследований.
Ключевые слова: неизотермическое течение, свободная поверхность, плоский канал, численное моделирование.
Заполнение пресс-форм расплавом полимера является основной стадией формования изделий методом литья под давлением. Именно на этой стадии возможно формирование дефектов изделия, таких, как воздушные включения, поверхностные дефекты, линии спая и т.п. Для прогнозирования качества изделий необходимы предварительные исследования технологического процесса, которые могут осуществляется методами физического и математического моделирования. Метод математического моделирования представляется предпочтительным, поскольку более экономичен и информативен по сравнению с физическим моделированием, привлекаемым на последней стадии исследования для проверки теоретических результатов. Процесс заполнения характеризуется наличием свободной поверхности, неизотермичностью, связанной с диссипативным разогревом, химическим превращением, условиями теплообмена на границах, зависимостью реологических характеристик среды от температуры. Результаты исследования неизотермических течений реологически сложных сред в каналах без учета свободной поверхности достаточно полно представлены в [1, 2]. Имеются работы [3-5], в которых описываются вычислительные технологии и приводятся результаты исследований процесса заполнения с учетом свободной границы.
В данной работе с помощью оригинального численного метода исследуется течение вязкой жидкости при заполнении вертикального плоского канала с учетом диссипативного разогрева и зависимости вязкости от температуры.
Постановка задачи
Рассматривается заполнение вертикального плоского канала жидкостью с учетом зависимости вязкости от температуры, наличия диссипативного разогрева и свободной поверхности. Область течения схематично изображена на рис. 1. Нестационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в неизотермических условиях в поле силы тяжести описывается уравнениями движения, неразрывности и теплопроводности, которые в безразмерном виде записываются следующим образом:
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-08-00313-а) и Гранта Президента РФ (МК-2100.2012.1).
где и - вектор скорости, р - давление, 0 = (Т - Т0) / Т0 - температура, Т - размерная
температура, Т0 - размерная температура на твердой стенке, ? - время, А2 - второй инвариант тензора скоростей деформаций Е, №={Ж,0}. Зависимость вязкости от температуры описывается выражением [6]
Re— = - grad p + V*(2BE) + W,
Pe — = A0 + ClBA2,
div u = 0,
dt
x
Безразмерные числа подобия имеют вид Рис. 1. Область течения
Здесь: р - плотность жидкости; Ь - полуширина канала; V - среднерасходная скорость во входном сечении; ц - вязкость при температуре Т0; а - параметр неизо-термичности; с - теплоемкость; ^ - коэффициент теплопроводности, § - ускорение свободного падения.
На твердой стенке Г 2 выполняется условие прилипания, а температура считается заданной. Во входном сечении Г1 профили скорости и температуры соответствуют стационарному неизотермическому течению жидкости в бесконечном канале с заданным расходом. На свободной поверхности Г4 граничные условия заключаются в отсутствии касательного напряжения и равенстве нормального внешнему давлению, которое без ограничения общности можно считать равным нулю, задается также нулевой тепловой поток. На плоскости симметрии Г3 используются условия симметрии. В начальный момент времени канал частично заполнен жидкостью, а свободная поверхность плоская. Сила тяжести направлена против направления движения, капиллярные эффекты не учитываются.
Поставленная задача решается с помощью конечно-разностного метода [7]. Алгоритм SIMPLE используется для расчета искомых переменных во внутренних узлах разнесенной сетки, причем значения скорости и температуры вычисляются с применением экспоненциальной и противопоточной схемы соответственно. Граничные условия на свободной поверхности удовлетворяются с использованием метода инвариантов, в котором условие отсутствия касательного напряжения и уравнение неразрывности записываются совместно, что позволяет построить устойчивый алгоритм расчета.
Тестирование методики расчета проводилось на задаче течения жидкости в плоском полубесконечном канале с заданным расходом с учетом диссипативного разогрева и экспоненциальной зависимости вязкости от температуры. На входе в канал задавались параболический профиль для скорости и нулевая температура; а на выходе - мягкие граничные условия. На твердых стенках выполняется усло-
Метод решения
вие прилипания, температура равна нулю. При этом длина канала выбирается достаточной для установления стационарного течения в выходном сечении.
Результаты расчетов сравнивались с решением одномерной задачи, описывающей неизотермическое течение жидкости в бесконечной трубе с заданным расходом. При постановке этой задачи используется система уравнений
—( е-с2в Сх V с1х
С20+ _ -С20
12 + Схе 2 ах
= 8р,
сЫ
ах
= 0
и граничные условия на твердой стенке, аналогичные условиям в постановке двумерной задачи.
Здесь Ьр - перепад давления вдоль канала. Из последней системы дифференциальных уравнений получается уравнение для температуры
-+
Ьр1
с
ес2 х2 = 0,
ах с
приближенное решение которого находится с заданной точностью методом прогонки. Для определения скорости используется процедура численного интегрирования первого уравнения системы.
На рис. 2 представлено сравнение распределений скорости и температуры на выходе из канала с решением одномерной задачи. Из рисунка видно, что значения, полученные с помощью вышеописанной методики расчета, с уменьшением шага расчетной сетки практически совпадают с решением одномерной задачи. Максимальная ошибка на сетке с шагом 1/20 составляет не более полпроцента.
Рис. 2. Распределения скорости (а) и температуры (б) в выходном сечении = 10-3, Ж = 0, Pe = 10-4, С = 2, С2 = 1,3334)
Результаты расчетов
Течение жидкости при заполнении канала можно разделить на две зоны. Большая часть канала, расположенная на достаточном удалении от свободной поверхности, является зоной одномерного течения. Движение жидкости в окрестно-
сти свободной границы имеет двумерный характер и определяется как зона фонтанирующего течения [8]. Кинематика такого течения, оказывающая существенное влияние на свойства формуемого изделия, для изотермического случая детально описывается в работах [9-11]. Для прогнозирования физико-механических характеристик изделия необходимо определять топограмму распределения порций жидкости в заполненном объеме, поступающих в канал в разные промежутки времени. Для решения задачи построения топограмм во входном сечении размещается слой частиц-маркеров. Эти частицы не обладают массой и перемещаются со скоростью жидкости. Совокупность частиц определяет в потоке некоторую реперную поверхность, которая разделяет соседние порции жидкости в предположении, что они не смешиваются. В конечном итоге местоположение всех реперных поверхностей в момент времени, соответствующий окончанию процесса заполнения, дает топограмму распределения выделенных порций жидкости.
Уравнения движения частиц имеют вид
оХ р„
Ч-Л,Р
= V ,^=1, ■■■, М, q=1, ..., М2,
Ог 4 Ог
где и, V - составляющие скорости в декартовой системе координат, М\ - число частиц в одном репере, М2 - количество реперов. Координаты частиц в потоке определяются численным интегрированием выписанной системы.
На рис. 3 представлены типичные топограммы массораспределения порций жидкости, последовательно поступающих в канал, в различные моменты времени.
г=0,5
Чередование темных и светлых полос разделяет соседние порции жидкости. Эволюция реперных поверхностей с формированием грибовидных форм в окрестности свободной границы демонстрирует фонтанирующий характер течения в зоне двумерного движения жидкости. Учет неизотермичности процесса влияет на кинематику течения, в свою очередь кинематика течения обусловливает распределения температуры в потоке. В случае, когда в переносе тепла преобладает конвективная составляющая (Ре>>1), поведение изотерм в потоке должно быть подобно эволюции реперных линий, разделяющих порции жидкости. Действительно, это утверждение демонстрирует рис. 4, на котором представлена эволюция поля температуры при высоком значении числа Пекле. Линии на рисунке - изотермы, качественное поведение которых согласуется с эволюцией реперных линий на рис. 3.
х
Проявление эффектов кондуктивного теплопереноса и их усиление с уменьшением числа Пекле, при прочих равных условиях, демонстрируют рис. 5 и 6. По аналогии с кинематикой течения, картины теплораспределения можно также разделить на две зоны: зону двумерного распределения температуры в окрестности свободной границы и зону распределения температуры, соответствующую установившемуся течению в бесконечном канале, в остальной части потока. Размер зоны двумерного распределения температуры растет с увеличением Ре при прочих равных условиях. В процессе заполнения первоначально плоская свободная поверхность приобретает некую выпуклую форму. Выпуклость свободной поверхности можно определить как разность значений высоты поверхности на плоскости симметрии и на твердой стенке. Влияние эффектов неизотермичности на выпуклость свободной границы показано на рис. 7.
х ■
О 0.12 0.24 0.36 0.48 0.6 0.72 0.64 0.96
О 0.12 0.24 0,36 0.48 0.6 0.72 0.84 0.96 1.08
Рис. 6. Эволюция поля температуры с течением времени (Яе = 0,5, Ж = 5, Ре = 10, С = 2, С2 = 1,3334)
ЛИТЕРАТУРА
1. Баранов А.В. Неизотермическое течение реологически сложных сред в условиях химических превращений // Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. -Т. 16. № 3. С. 384-399.
2. Hassan H., Regnier N., Pujos C., Defaye G. Effect at viscous dissipation on the temperature of the polymer during injection molding filling // Polymer Engineering & Science. 2008. V. 48. I.6. P. 1199-1206.
3. Nguyen-Chung T., Mennig G. Non-isothermal transient flow and molecular orientation during injection mold filling // Rheologica Acta. 2001. V. 40. I. 1. P. 67-73.
4. Otmani R.E., Zinet M., Boutaous M., Benhadid H. Numerical simulation and thermal analysis of the filling stage in the injection molding process: role of the mold-polymer interface // J. Applied Polymer Science. 2011. V. 121. I. 3. P. 1579-1592.
5. Wang W., Li X., Han X. Numerical simulation and experimental verification of the filling stage in injection molding // Polymer Engineering & Science. 2012. V. 52. I. 1. P. 42-51.
6. Янков В.И., Боярченко В.И., ПервадчукВ.П., Глот И.О., Шакиров Н.В. Переработка волокнообразующих полимеров. Основы реологии полимеров и течение полимеров в каналах. Москва - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотичная динамика», Институт компьютерных исследований, 2008. 264 с.
7. Якутенок В.А., Борзенко Е.И. Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью на основе метода SIMPLE // Математическое моделирование. 2007. Т. 19. № 3. С. 52-58.
8. Rose W. Fluid-fluid interface in steady motion // Nature. 1961. V. 191. I. 4785. P. 242-243.
9. Coyle D.J., Blake J.W., Macosko C.W. The kinematics of fountain flow in mold-filling // AIChE journal. 1987. V. 33. I. 7. P. 1168-1177.
10. Mavridis H., Hrymak A.N., Vlachopoulos J. Finite element simulation of fountain flow in injection molding // Polymer Engineering & Science. 1986. V. 26. I. 7. P. 449-454.
11. Борзенко Е.И., Якутенок В.А. Эволюция свободной поверхности при заполнении плоских каналов вязкой жидкостью // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 1. С. 24-30.
Статья поступила 25.04.2012 г.
Borzenko E.I., Shrager G.R. NONISOTHERMAL FLOW OF A VISCOUS FLUID WHEN FILLING A PLANE CHANNEL.The flow of viscous liquid implemented when filling a plane channel is considered with allowance for dissipative heating and temperature dependence of viscosity. A numerical algorithm for solving the problem of a fluid flow with a free surface is proposed and the results of parametric studies are presented.
Keywords: nonisothermal flow, free surface, plane channel, numerical simulation.
BORZENKO Evgeny Ivanovich (Tomsk State University)
E-mail: [email protected]
SHRAGER Gennady Rafailovich (Tomsk State University)
E-mail: [email protected]
