Неизотермическое растекание капли вязкой жидкости по горизонтальной трубе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2012. № 31 (285). Физика. Вып. 15. С. 16-19.

О. Н. Лямина, В. П. Семёнов, С. И. Кадченко

НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ РАСТЕКАНИЕ КАПЛИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ТРУБЕ

Действие поверхностных сил обусловливает стекание жидкой пленки при конденсации пара в пучке горизонтальных труб в виде отдельных капель и струй. Предложена математическая модель неизотермического процесса растекания капель вязкой жидкости по горизонтальным цилиндрическим поверхностям.

Ключевые слова: растекание капли, цилиндрическая поверхность, конденсация.

Основополагающей идеей для расчета процессов теплообмена при конденсации пара является теория Нуссельта. Эта теория конденсации пара на вертикальном ряде горизонтально расположенных труб основана на допущении о непрерывном характере течения по каждой трубе и перетекания конденсата с трубы на трубу в виде сплошной пленки. Исследование реального механизма накопления и отвода конденсата в меж-трубном пространстве горизонтальных трубных пучков показало, что отвод конденсата происходит в виде капель или струй. Они формируются из массы конденсата, скапливающегося в поддонном слое. Переход от режима течения пленки без отрыва капель с боковой поверхности к режиму со срывом определяется числом Вебера, характеризующим связь динамического напора и сил поверхностного натяжения в конденсате. Распределение капель вдоль нижней образующей зависит от удельной плотности теплового потока, условий натекания пара на поверхность конденсации и взаимного расположения трубок в трубном пучке.

Рядом экспериментальных исследований установлено влияние эффектов дискретного перетекания на местную теплоотдачу. С помощью метода скоростной киносъемки авторы показали, что теплообмен при конденсации пара на горизонтальных трубах во многом определяется картиной отрыва и падения капель конденсата с вышележащих труб на нижележащие [1-3]. В известной нам научной литературе подробно изучены задачи растекания капель по плоским твердым поверхностям и полностью отсутствует теоретическое описание процесса неизотермического растекания капель по горизонтальным цилиндрическим поверхностям.

Постановка и методика решения задачи

Положим, что капля вязкой несжимаемой жидкости, боковая поверхность которой в на-

чальный момент времени ограничена сферической поверхностью, а поверхность основания — частью цилиндрической поверхности, начинает растекаться по нагретой горизонтальной цилиндрической поверхности (рис. 1). Введем цилиндрическую систему координат с началом в точке 0, лежащей на пересечении оси цилиндрической трубы и перпендикуляра к оси трубы, проходящего через центр пятна контакта капли с подложкой. Допустим, что течение жидкости в капле происходит симметрично относительно плоскостей г = 0 и ф = п/2, поэтому исследуем процесс нагрева и растекания капли в обла-

сти Ж = |г > гт ,0 < ф <—, г > 0 | (рис. 1). Ось 0г

направим по оси цилиндрической трубы. Пусть кинематическая вязкость V , теплопроводность X и теплоемкость с жидкости зависят от температуры.

Для нахождения области исследования О в начальный момент времени необходимо знать величину угла ф0 и значение полярного радиуса г для точек, принадлежащих внешней границе капли д О . Нетрудно показать, что в начальный момент времени

ф0 = аігаїп

1-

а значение полярного радиуса г для точек, принадлежащих границе ЭП,

1эп

= гт 81П Ф +

/""2 2

V гк - 2 -

гт сое2 ф.

Массовая сила тяжести F , действующая на каплю жидкости, имеет следующие проекции на оси цилиндрической системы координат:

Fr = -g 8Шф, Fф = -g со8ф, Fz = 0.

Рассмотрим процесс растекания капли жидкости при условии, что кинематическая вязкость, теплопроводность и теплоемкость жидкости зависят от температуры.

цилиндрической трубы в начальный момент времени. Здесь гт — радиус трубы; гк — радиус капли; ЭП — подвижная граница капли жидкости, соприкасающаяся с нагретым газом

Используя общепринятые обозначения в безразмерном виде, система дифференциальных уравнений, описывающая исследуемый процесс, имеет вид

сь д V »п---------+

д і

—Р - Ей Ур +---------А V,

Бг Яе

ІЇ ) =-Г

VV = 0,

= Бо У(ХУТ),

(г, ф, г )ей.. (1)

Здесь V — вектор скорости жидкости; р —

давление; t — время; F — массовая сила тяже-

си г* _ V*2

сти; Ьп =------ — число Струхаля; Бг =------ —

^* р* г* F*

число Фруда; Ей =----------2 — число Эйлера;

V* г* Р* V*

Яе =----- — число Рейнольдса; Т — темпера-

у* ^*

тура; Бо =---------— число Фурье. Звездочкой

с* р* V* г*

обозначены характерные величины.

Система дифференциальных уравнений (1) решается при следующих начальных и граничных условиях:

V (г, ф, г, 0) = V0 (г, ф, г), р(г, ф, г, 0) = р0 (г, ф, г),

Т (г, ф, г, 0) = Т0 (г, ф, г), Т (гт, ф, г, t) = Тт (ф, г, t),

= В Т-Тг ), V(Гm, ф, г, t) = 0,

-хдТ

г

р(гт, ф, г, і) = ра + ^*£*^1 ь,

р*

(2)

1 = І

г1з2«- гтео§2 ф- т8Іп ф,

д V д г =0 ? 0 д г г=0 = 0, г=0 д р д г

д V дф =0 Г п дф = 0, п ф=^ д р дф

зп

= о,

= о,

где V0 — вектор начальной скорости, р0 — гидродинамическое давление в капле в начальный момент времени; Т0 — начальная температура

сред; Р*^* * Ь — добавочное давление на под-р*

ложке.

Кроме того, на границе дП выполняются условия динамического равновесия [4]:

іV ' ' ' д С

-сКПг = СггПг + С ф Пф + СгЛ +—,

-сКПф = Сф гПг + Сфф Пф + С'ф П + 1 іс, (3)

С

-сКп7 = с _п + сг ф пф + сги +----.

г гг г г ф ф гг г -\

д г

Здесь о — поверхностное натяжение воды; К — кривизна поверхности капли; о' , о' ,

Г Г у гг Тф’

о' , о' , о' , о' — компоненты тензора вязких

гг фф’ гф гг Ґ

напряжений в цилиндрической системе координат; пг , — П2 — проекции единичной нормали к поверхности капли на соответствующие оси цилиндрической системы координат, направленные внутрь капли.

Система уравнений (1) решается численными методами. Для разработки алгоритма решения начально-краевой задачи (1-3) проведем процесс дискретизации системы уравнений (1) и области исследования, заменяя частные производные по времени на П-м временном шаге З^эквивалентными им конечно-разностными выражениями:

ЭУ д і

\П —-П —-п-1

V - V

8і

эт д і

П

\ ТП ТП-1

8і

(4)

Подставляя (4) в (1), получим

VП =к пТ+—

—Р- - ЕиУрП -г

8/

V —п-1 —п-1/ —п-1

-----АV -V N7

Яе \

(5)

VV = 0,

ТП ___ тп-1 +

8і

г Ц^Б'о- V (X1-1 V Г-1) -- VП-1 (УТп)

Для нахождения итерационной схемы вычисления значений гидродинамического давления рП на п -м временном слое подставим V из первого уравнения системы (5) во второе уравнение. В результате получим

1 * П -1

—Р - Еи VpП + Бг

Т

\П 1 —* п-1 —* п-1 / —* п-1

+-------АУ - V (VV

Яе \

■_ 0.

После элементарных преобразований получим дифференциальное уравнение Пуассона вида

Арп = Еи V

Еи

1 —- п-1 V2 —' п-1 —- п-1 / —-п-1

—Р +---------------АV -V (VV

-г Яе

(6)

При решении дифференциального уравнения (6) воспользуемся псевдонестационарным методом [5], идея которого состоит в получении решения стационарной задачи путем построения эквивалентной нестационарной задачи и ее решения маршевым методом вплоть до достижения стационарного состояния. Рассмотрим соответствующее нестационарное уравнение

др- _АрП —- V дт Еи

1 —* п-1

—Р Бг

+

+—V Еи

V- 1 —* П-1 —* п-1 / —* п-1

-----А V - V (VV

Яе

(7)

Решение уравнения (7) ищется с помощью итерационной схемы

= {Р -V

-1 11 Г 1 — п-1 Vя 1 - п-1

+ 8тк%^ + 1ЄАV -

П-1 (V»7 П-1 )]

- V П-1 (vvп т

(8)

т _ 1,

Процесс решения уравнения (7) с использова-

/ - \ т0 / п\т0 -1

нием (8) прекращается, когда | (р ) - (р ) |<

Рис. 2. Графики температурного поля капли при і _ 0,0272 с

с

(\ m0

pn) и мы

получаем численное решение уравнения (б).

Далее, применяя первое равенство системы (З), находим Vn; потом, используя третье уравнение (З), находим Tn. Зная поле скоростей и применяя закон сохранения массы, находим форму капли на n -м временном шаге.

Для проведения численного эксперимента составлена программа в среде Maple, позволяющая находить решение поставленной задачи на основе разработанного выше алгоритма. На рис. 2 построены графики распределения температуры жидкой капли в момент времени t = 0,0272 с после начала ее растекания по цилиндрической трубе в плоскости Z = 0 . Графики температурного поля капли изображены в декартовой системе координат. По оси абсцисс откладывается радиус поверхности жидкой капли, а по оси ординат — температура капли.

Снизу вверх от горизонтальной оси изображены графики температуры капли при различных

п

значениях полярного угла ф с шагом — в диа-

п S

пазоне от — до 0 . Расчет проведен при rm =

= 0,006 м, r, = 0,002 м, T = S0 °C, T = і00 °С.

7 7 к 7 7 m 7г

Выводы

Разработан алгоритм решения задачи неизотермического растекания вязкой несжимаемой жидкости по горизонтальной цилиндрической трубе с учетом сил поверхностного натяжения. Проведенные численные расчеты показали вычислительную эффективность разработанного алгоритма.

Список литературы

1. Шкловер Г. Г., Буевич А. В. О механизме течения пленки при конденсации пара в горизонтальных трубных пучках // Теплоэнергетика. 1978. № 4. С. 62-65.

2. Шкловер Г. Г., Семенов В. П., Росинский А. З. Анализ механизма стекания пленки в горизонтальном трубном пучке при конденсации // Тепло -обмен, температурный режим и гидродинамика при генерации пара. Л. : Наука, 1981. С. 87-93.

3. Видин Д. В. Теоретические основы теплотехники. Тепломассобмен. М. : РГБ, 2004. 175 с.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6. М. : Наука, 1988.

5. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 1. М. : Мир, 1991.