Неевклидова модель деформирования материалов на различных структурных уровнях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Неевклидова модель деформирования материалов на различных структурных уровнях

В.П. Мясников, М.А. Гузев

Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток, 690041, Россия

Предлагается класс неевклидовых моделей поведения упругопластических материалов, содержащих дефектные структуры. Показано, что параметры неевклидовости определенным образом связаны с поведением материала на различных структурных уровнях деформирования. Классические упругопластические модели являются предельным случаем построенной модели при определенном выборе параметризации внутренней энергии от геометрических параметров.

1. Введение

Проблема полного описания физико-механических свойств материалов, ставшая особенно актуальной в последние годы, обусловила потребность в разработке новых теоретических моделей их поведения в различных условиях. Появилось много работ, в которых вводились различные характеристики внутренней структуры материалов, в том числе скалярные и тензорные характеристики “поврежденности”, “дефектности” и т.п.

Необходимость введения в теорию дополнительных характеристик была связана с попытками описать, например, хорошо известное инженерам наличие в конструкциях внутренних самоуравновешенных напряжений, не исчезавших при снятии внешних нагрузок.

Другим примером может служить проблема старения материалов: учет изменения их свойств со временем при внешних неизменных условиях и теоретическое описание этих процессов очень важны для специалистов в области конструирования новых материалов.

С другой стороны, изучение микрохарактеристик различных материалов физическими методами обусловило введение в материаловедческую литературу таких понятий, как дислокации, дисклинации, вакансии и т. п. характеристики дефектов кристаллического строения.

С точки зрения классической механики сплошной среды и неравновесной термодинамики введенные различными исследователями характеристики для описания внутренней структуры материалов явным образом требовали расширения кинематических оснований теории.

В физической литературе на необходимость введения неевклидовых характеристик было указано еще Кондо и Билби [1, 2] в середине пятидесятых годов. Ими было показано, что введение “кристалла сравнения” для описания линейных дислокаций приводит к появлению в теории объектов несимметричной связности, запрещенных евклидовой геометрической структурой классической теории.

Любопытно, что необходимость введения неевклидовых объектов в механику сплошных сред была неявно подчеркнута в процессе анализа чисто инженерных проблем [3] при создании аппаратуры для измерения уровня внутренних напряжений в сварных конструкциях. Использованные в [3] предположения о несовместности деформаций явно связаны с предположением об отличии от нуля тензора кривизны в пространстве внутри материала.

Необходимость обобщения классической теории в наиболее четкой форме была проанализирована С.К. Годуновым [4], указавшим, что отождествление изменений внутренней метрики материала gij, определяющей изменение его внутренней энергии, и соответствующее изменение формы тела в евклидовой метрике Gii внешнего наблюдателя, являются дополнительной гипотезой, постулируемой в классической теории.

Варианты обобщения классической теории упругости в рамках различных неевклидовых моделей сплошной среды были предложены многими авторами, см. [5-7] и ссылки в них. Общим для всех подходов является использование геометрических объектов неевклидо-

© Мясников В.П., Гузев М.А., 2000

вости: тензора кривизны *R|q, кручения *Ск и немет-ричности Кщ — в качестве переменных, характеризующих геометрическую структуру внутренних взаимодействий частиц сплошной среды между собой. Заметим, что в классической теории упругости эти тензоры равны нулю, что связано с гипотезой о совпадении внутренней геометрии материала с геометрией евклидова пространства наблюдателя. Любое малое шевеление этой структуры, то есть введение функций , *Ск и

Кщ в классическую теорию, приводит к неевклидовой модели, которая имеет геометрическую структуру аффинно-метрического пространства. В ситуации общего положения она оказывается устойчивой по отношению к малым изменениям тензоров *R|q, *Сц и Кщ.

С физической точки зрения геометрические характеристики аффинно-метрических пространств являются внутренними переменными и не могут быть измерены непосредственно. Но, как было указано выше, необходимость введения неевклидовых объектов в теорию связана с попытками описать термомеханическое поведение материала при различных условиях деформирования. В этом случае при интерпретации результатов экспериментального изучения поведения реального материала существенную роль играет уровень разрешения при измерениях, который зависит от масштабов исследуемых процессов. В частности, при изучении микрохарактеристик среды необходимо учитывать поведение дефектов кристаллической структуры. Принято сопоставлять тензорам *Rjq, *Су и Кщ дисклинации, дислокации и точечные дефекты [7]. Наличие в материале дефектных структур является физической причиной существования в нем внутренних напряжений. С другой стороны, при решении инженерных проблем измерения уровня остаточных напряжений [3] такая микроскопическая детализация дефектной структуры количественно не используется. Оказывается, что достаточно построить более “грубую” неевклидову модель, модифицируя теорию упругости путем введения в нее дополнительного параметра, характеризующего несовместность деформаций. При этом на данном — макроскопическом — масштабном уровне рассмотрения поведения материалов неважно, какие физические дефекты определяют возникающую несовместность деформаций. Следует отметить, что авторы [3] на основе анализа экспериментальных данных предложили аналитическое представление параметра несовместности деформаций для различных материалов. Таким образом, точность измерений влияет на выбор неевклидовой модели, которой следует воспользоваться при интерпретации результатов экспериментальных исследований.

Варианты неевклидовых моделей сплошной среды, в которых учитывается взаимодействие различных дефектных структур, были построены авторами данной статьи в [8-10]. В этой работе мы предлагаем схему

неевклидовой модели, в которой число дополнительных функций, необходимых для описания всех дефектных структур, минимально и они определенным образом связаны с поведением материала на различных структурных уровнях. Последнее утверждение имеет важное значение в связи с хорошо известной проблемой описания полей деформации на микроскопическом, мезоскопическом и макроскопическом масштабах [6].

2. Выбор дополнительных параметров

Мы рассматриваем материал в виде набора малых элементов, разделенных в некоторый момент времени ^ координатными плоскостями прямоугольной системы координат. После деформирования материала вставленная в него координатная сетка задает криволинейную систему координат, геометрические характеристики которой определяются в терминах отображения начального состояния £ элементов среды в конечное х(£, ¿). В частности, базисы еі(х, ¿) и еа(£, ¿0) этих систем координат связаны соотношением [11]:

еі(Х 0 = — еа^)-дх

Тогда метрический тензор Gij = (еі (х, ^еі (х, t)) =

д^а д^а

(1)

(2)

дх1 дх]

характеризует деформацию малой ячейки в окрестности выбранной точки. Соотношения (1), (2) справедливы всегда и не зависят от физического механизма процесса деформирования. Последнее утверждение отражает тот факт, что положение точек материала может быть измерено непосредственно через поле смещений и = х -£ .

Как было отмечено во введении, для учета внутренних свойств материала необходимо использовать дополнительные параметры описания. Это можно сделать различными способами. В варианте неевклидовой модели, которая рассматривается в этой статье, мы введем невырожденное преобразование (х, {). Тогда

векторы

Еч(х, 0 = ^“еа& ^) (3)

образуют базис в пространстве наблюдателя. Поскольку функции не порождаются, в общем случае, каким-либо векторным полем, то этот базис не является координатным: его нельзя получить из базиса еа(£, 10) или еЧ (х, t) с помощью преобразования, даваемого некоторой матрицей Якоби. Ясно, что симметричный тензор

gІJ = (Еч (х, t)Ег. (х, t)) = И?^ > 0 (4)

по аналогии с Gij может рассматриваться в качестве нового метрического тензора, структура которого однако зависит от внутренних свойств среды. Как указано

во введении, Оу является внешним метрическим тензором, а gу — внутренним метрическим тензором.

С точки зрения механики сплошной среды использование функций gу в качестве дополнительных параметров модели наряду с Оу представляется естественным шагом при обобщении теории упругопластического деформирования. В этой теории вводят тензор упругой Еу (обратимой) и пластической Пу (необратимой) деформации. Чтобы рассмотреть Еу, Пу как термодинамические переменные, необходимо, в частности, задать соотношения, определяющие связь этих тензоров с тензором полной деформации Ау (тензор Альманси) [4]. Можно строить различные зависимости между тензорами, см., например, [12], тем не менее, прямые измерения допускает только тензор Ау через поле смещений и или через известное поле скоростей V1, поскольку V1 = du |dt. Поэтому построение конкретной зависимости Ау от Еу, Пу должно опираться на анализ экспериментальных данных для рассматриваемого материала. Поскольку Е у , П у являются внутренними переменными, то их можно связать с внутренней метрической структурой gу.

Заметим, что использование представления (4) для внутреннего метрического тензора не является необходимым в общем случае. Для модели, излагаемой в этой статье, соотношение (4) означает, что алгебраическая структура gу совпадает со структурой Оу (3), однако матрица не является матрицей Якоби. Это “отклонение” можно описать через объекты

Эй“

дх'

.МО.

дх1

Л

(5)

Если Cfj = 0, то для h“ существует векторное поле Ya = Ya (x, t) такое, что h“ = дY“/дxi. При дополнительном требовании h“ = 8“ имеем Ya (x, t) = (x, t)

и совпадение внутренней метрики с внешней.

Покажем, что функции Cl определяются через ко-

L = Г ,

1 1

эффициенты связности Гу = Гк (x, t). По определению

функций Гу [12] имеем дЕ,

дх1

= Гк Ек.

Подставляя (3) в (6), получаем

дйа

дх1

■ = Гк

ki а ijhk■

(6)

(7)

Из (5), (7) видно, что объекты Су вычисляются через антисимметричную компоненту Ск коэффициентов связности:

/—iU. 1 /т^к т^к \ ; а г^к і а

Cij = 2(Г1 -ГЛ )hk = C jhk ■

(8)

В геометрии [13, 14] функции ha принято называть тетрадными коэффициентами, Cj — объектом неголо-номности, а Ckj — тензором кручения (чтобы их различать, мы используем для обозначения верхнего индекса греческие и латинские буквы соответственно).

Таким образом, набор функций, характеризующий отличие внутренней геометрии материала от внешней евклидовой геометрии наблюдателя, задается объектами h“, Cia • Отметим два геометрических факта.

Во-первых, тензор кривизны связности

дГ дГ

дх9 дх1

'9 + Г Г -ГГ = 0

sq '1 S1 iq

(9)

Поскольку система (6) должна быть разрешима относительно Еч , то

д2Е,

д 2Е,

дх9дх1 дх1дх9

=0.

Подставляя сюда д2Е, дГ

El + Г^Г-Е; ,

дxqдxJ дxq

получаем (9).

Во-вторых, внутренняя метрика gij согласована со

тлк

связностью Г у, то есть тензор неметричности

Kki1 = ТТ - rikSlJ - Г]кёи = 0. дх

(10)

Подставим сюда gij из (4) и воспользуемся (7), тогда имеем следующую цепочку вычислений

дЬа дка

ту- _д^т. і а , і а у т-'/ і а і а т-'/ і а і а

к® =т~т^ + кі ^ТГ ~Глк/ hj -ГуЛ к =

дх дх

д^ дhа дhа д^а

3 к J 1 з к ^ к у 1 з к

дх дх дх дх

Следствием этих фактов является утверждение, что неевклидово пространство, в котором мы описываем внутренние свойства материала, — пространство абсолютного параллелизма.

3. Уравнения переноса для тетрадных коэффициентов и объекта неголономности

В рамках классической механики материал рассматривается как множество точек (частиц) в трехмерном евклидовом пространстве. Процесс деформирования материала приводит к изменению взаимного расположения точек, но они остаются индивидуализированными, то есть отличными друг от друга. Тогда каждой частице всегда можно сопоставить лагранжевы характеристики ^а, совпадающие в некоторый момент времени с координатами частиц в декартовой системе в пространстве наблюдателя:

dt

= 0, Iа(x, to) = 8akxk

(11)

В качестве меры полной деформации используем тензор Альманси Лу, определяемый через лагранжевы характеристики с помощью соотношений

Лу = -2(8у - Gij ) = |(8у - рара ), ра = ^^. (12)

Величины р“ называются дисторсиями [4]. Из (11), (12) следуют уравнения, определяющие изменение функций ра и GJj:

dp_

dt

+ P

дх

= 0,

dGh

dt

дv1

1 + Gii^TT + G1i —" = 0,

дх1

(13)

Pa =8а

P i i ,

»=to 1

GÀ = 8ÿ ■

y\t=t0 1

Необходимо отметить, что представление (12) для тензора полной деформации Лу и метрического тензора Gу “вмороженной” в материал системы координат через векторное поле ^а справедливо всегда и не зависит от физического механизма процесса деформирования.

Запишем для тетрадных коэффициентов и внутренней метрики gу уравнения переноса, аналогичные уравнениям (13). В соответствии с (13) представим их в виде

dh

dt

dgij

dt

і 7 С + h]

дх'

■ = —!?

дvl дvl ^

+ gil д 1 + g1l д i = Ei1 дх дх

(14)

с начальным условием (13). В правой части (14) введены источники /“, Еу. Из (4), (14) следует, что они связаны соотношением

Еу=-( ^щ).

Чтобы получить уравнение переноса для объекта Са, продифференцируем (14) по х1:

д Эй“ і д д а дvl Эй“

-----— + vl—г—-h“ +—- —V

дt дх1 Эх1 дх1 i дх1 Эх1

Эй? дvl ,а

+ l + hl

дх 1 дх1 l

2l

д2v

дх1 дх1

дх1

(15)

Переставим индексы і ^ у в (15) и вычтем полученное выражение из (15) — это дает уравнение на тензор Са (5) в следующем виде

d Па + П°- дv + дv па = 1

— C'і + ci; —- +------------------ C = ——

dt 1 ll дх1 Эх1 1 2

д!“

Эх1

дЦ

дх1

Л

с“ = 0.

1 lt=t0

(16)

Поскольку уравнение (16) является линейным, то для нулевой правой части (16) (нулевой ротор источника по нижним индексам) тензор C'a = 0. С другой стороны, структура уравнения (16) такова, что функции Cf не изменяются при градиентном преобразовании if ^ ^ if + Эта/Эх1. Такие преобразования порождают некоторый класс решений для обобщенных дисторсий, для которых характеристика дефектности Cf не изменяется. Справедливо следующее утверждение: если источник допускает представление в градиентном виде

I? (x, t) =

дТ (x, t)

дх1

(17)

с некоторой функцией = f“(х, t), то существует векторное поле у = у(х, () = (у1, у2, у3), порождающее функции :

Эу“

? а

дх1

(18)

Смысл этого утверждения состоит в том, что для процесса деформации в среде с источником градиентного вида (17) тетрадные коэффициенты имеют такую же диф-

ференциальную структуру, как и дисторсии Рга (12).

Действительно, пусть существует векторное поле у, обладающее свойством (18). Получим уравнение для определения уа. Из (14), (18) следует, что

д дуа + і +дvl дуа

дt дх1

дх дх1 дх1 дх

дГ

дх'

(19)

Второе и третье слагаемое слева в (19) группируются в д(и1 дук / дх1) дхг и (19) переписывается в следующем

виде:

д

эх

з а з а

ду l ду

-^— + v дt дх

д/а

дх1

Отсюда имеем уравнение для определения функций

а ос /

у = у (xt ):

dya _ ду , і ду0

dt

, = Э^ + vl ЭУ =— Г

дt дх

а а

у = х ■

It = t0

(20)

Его решение представляется в виде суммы соответствующего решения однородного уравнения с начальным условием (20) и частного решения неоднородного уравнения с нулевым начальным условием. Решение однородного совпадает с лагранжевой характеристикой I= £,а (х, t), а решение неоднородного дается квадратурой от f “(х, t) вдоль траектории движения частицы сплошной среды:

уа =1а-\ СНГ.

{0

+

Таким образом, хотя структура тетрадных коэффициентов совпадает с дифференциальной структурой

дисторсий Р, но функции уа нельзя рассматривать в качестве лагранжевых характеристик, поскольку они не сохраняются вдоль траектории движения частицы. Физической причиной этого эффекта является присутствие дефектов в среде, компоненты скорости движения

.г ос

которых естественно отождествить с 3 .

4. Уравнения переноса для внутренних инвариантов

Для записи уравнения состояния материала воспользуемся стандартным формализмом неравновесной термодинамики [15], в котором, как известно, следует задавать внутреннюю энергию и и диссипативную функцию D. Внутреннюю энергию мы рассматриваем как функцию энтропии и некоторых дополнительных переменных, выбор которых зависит от свойств материала. В частности, в классической теории упругости такими переменными являются компоненты Еу тензора обратимой деформации, совпадающие, по предположению, с компонентами тензора полной деформации Ау. В этом случае внутренняя структура материала не учитывается и диссипация механической энергии равна нулю. Проявление внутренних свойств материала при деформировании приводит, как показывают экспериментальные исследования, к формированию диссипативных структур. Геометрическое описание внутренних свойств сре-

✓-»а

ды мы выполняем в терминах gij, Су , поэтому эти функции естественно рассматривать как дополнительный набор термодинамических переменных.

Зависимость и от ¿у, Су должна удовлетворять требованию тензорной инвариантности. Поскольку и является скалярной функцией, то зависимость от внут-

✓-»а

ренних параметров ¿у, Су определяется через инварианты этих объектов. Рассмотрим подробнее вопрос о вычислении инвариантов.

Для внутреннего метрического тензора число базисных инвариантов gk равно трем. Чтобы их записать, введем в рассмотрение компоненты

1 /~111 /~1 'I /-у 5'

gk = О glk, О Оу =Ъу, тогда gk можно выбрать в следующем виде:

¿1 = gli, g2 = , gз = g1 jgkgki •

Уравнение для ¿у следует из (13), (14):

(21)

dgi _ kl —— - 2G 11 hk , dt

dg2 _.J/^kl( та j a | таі„а\

~r -—2 gkG (1l hj + !ійі

dt

(23)

^3 о _ У _і _і ґ->к/ ( таї а , т-а ?а\

— = ~38і8к8к° (І/ Щі +1 і щ/ )-аї

Систему (23) можно записать в более компактной форме, если учесть, что

^^ (з^в+з^в),

дК

^ = 2gkGk/ (8^+8^),

^3 = 2gІgkGk/ ф^в +&У )•

Вычисляя свертки ітд&к!д*т, можно убедиться, что они совпадают с правыми частями соотношений (23), в результате система (23) записывается в виде

dg^ = ——im, k -1,2,3. dt дії:

(24)

Инварианты тензора С у удобнее вычислять в терминах функций Ю а, определяемых из соотношений

mia-7G , са - 2JGг-к*

k

(25)

где G = det||G^\, £ljk, Eÿk — антисимметричный тензор, меняющий знак при перестановке двух соседних индексов, а г = £пз = 1 Дифференцирование (25) по времени с учетом (16) дает:

l

і 4о

drnia rJa до1 , rJa доl + ю

---------Ю -------- + Ю -------- + Ю —=■-----------

dt дх дх 4g dt

— ëJk

(діа діа Л (26)

24G

д— _д_Ц

дхк дх1

Поскольку выполняется закон сохранения массы до1 = v = - лр = - 2^.

дх1 4р а 4в а ’

Р = Ро^С, то (26) можно переписать в виде:

(27)

dt

-+j

до к дх1

до1

ч к -_Gil(lfhJ + lÿhf). (22)

дхк

Комбинируя (21), (22), получаем уравнения для инвариантов:

drnia la до1 1 ÿk дії'

----— ю—--—г=гщ——

dt

дх1 4о дх1

(28)

Введем также объект ю1* = Оа ю1а, который удовлетворяет уравнению

d< +тад01 _ 1 G j діа

------+ —- _—= Gil ej —-

dt dx1 4g 3xJ

(29)

((29) следует из (13), (28)). Напомним, что греческие индексы нумеруют лагранжевы характеристики, то есть являются маркерами для частиц среды, а латинские индексы относятся к системе отсчета наблюдателя. Поэтому построение инвариантов объекта юга должно выполняться при фиксированных греческих индексах. Общее число инвариантов можно подсчитать следующим обрезом: при каждом а функции юга можно рассматривать как вектор ю, тогда для трех векторов инварианты определяются через длину каждого из них, скалярное произведение соседних и смешанное векторное произведение всех трех — всего 7 независимых инвариантов. Первые шесть инвариантов запишем в виде:

Вав_1 mamie.

2 1

Из (28)-(30) для них следуют уравнения:

(30)

dB

ав

і

_—(Увюа+JlaK>e ), jia . (зі)

dt

1 ijk dlfc

4G dxj

Поскольку

(32)

дВа 1 „н а „а я -^=- (31< + 3тиЩп )

дютц 2

то (31) имеет форму, аналогичную (24):

авав _ двав ^

& дютц •

Седьмой инвариант выберем в виде

Пю _-ІО£укю^ю^ю^ _4о(юа, [, ), (33)

при этом а ф в ф у, в противном случае имеем Пю _ 0. Из (28), (33) находим

аПю _4о — еук (юіаю- юуаю\к -

& дх

-юкаюУвюі’1) + -Пю - (34)

Ж

-4в {а, [, ]+ (а, [, И]+ (, [, I^ ])

где Iц (ц_а, в, у) — вектор с компонентами 7га. Слагаемые, пропорциональные до/дх, дают вклад Пю&у V, он компенсирует второй член в правой части соотношения (34) из-за (27). В результате получим

апю

аї

_ -4G {(а, [в, tf] ]+ (, [, tf] ]+

+ (а, [в, JY])

(35)

Уравнение (35) имеет структуру, аналогичную структуре уравнений (24), (32). Действительно, поскольку

3^ _4g ы ^ +

+т%к d j4zi ),

то, вычисляя свертку (36) с Jm]í, находим

àHd

dt

ЭИ

d jm\x

3rnm^

Среди оставшихся инвариантов тензоров gÿ, Cj (векторов ю) необходимо построить совместные инварианты. Их можно выбрать в виде:

П,Аа, J3 ^ ,Ja i, к

gae= Sil ® ® > П ggae= gil ® g к ® >

па _

4G

„ijk , Аа , Ав , Jy

gild gil®egild •

Число независимых инвариантов равно 9. Получение уравнений для них выполняется аналогично тому, как это было выше сделано для предыдущих инвариантов. Поэтому, опуская стандартные вычисления, приведем окончательный результат:

dn 0

dt

0ав m оав jm\í

dn

dhm

ЭИ

dt

dhm

Г —

ЭИ

dam

j

m^.

(38)

dn A dt

ЭИ

dhm

A

F —

ЭПа

3rnm^

j

5. Термодинамика материала с внутренней структурой

Пусть внутренняя энергия

и = и(s, Оу , ¿к, В°^, Пю, П¿«р, П¿¿ав, П А ),

где ^ — энтропия. Будем следовать стандартной схеме неравновесной термодинамики [15]. Запишем уравнения законов сохранения массы, импульса, первый и второй законы термодинамики:

др дpvк dvi до'

1 - = 0, р—- = —-

dt дх]

— +----------г~ _ 0, Р—- _—- + pfi,

dt dxk ' ^ ' '

Р

dU _ dj(q)k . 3v¿

di ~ ~X

ds dJ(s)k

dt dx

-+o¿

i dxJ '

+ D, D > 0.

(39)

Здесь J(q) к и J(s )к — составляющие потоков тепла и энтропии; D — диссипативная функция; о' — компоненты тензора напряжений; — ускорения внешних массовых сил; р — плотность. Вдоль траектории частицы выполняется тождество Гиббса [15]:

аи ds ди а0у ди dgk

---_ Т—+-------------+---------— +

аї аї дСу аї дgk аї

+ ди авав + ди апю + ди апgав двав аї дпю аї дпдар аї

ди апггав ди ап Л

+ (40)

дп

+

аї дп Л аї

Подставляя в (40) выражения для производных по времени от внутренней энергии и энтропии из (39), получим

д^)к 1 д^“)к 1

- + D _----------=— + —

дхк

Т дхк

( , до1

аі—

р

р

р

ди dgk р ди аСу

---------— п------------

^к аї

ди апа

до, аї

ч

-р-

дх}

ди авав

двав аї ди dlПgав

(41)

дпю аї

ди ап

дп

gаP

аї

дп

аї

Р

ди ап ^ дп л аї

Л

Исключим в правой части (41) производные по времени от инвариантов, используя уравнения переноса (24), (32), (38), тогда после ряда преобразований выражение в круглых скобках записывается в виде

дху

(

а \ + 2рОік

ди

дОк,

Л

+9іт

(

ди дgk ди дп|

,^к щ

ди дп

дп

д^т

ggаR ди дп^

дп

(

+ Ру”

д^т дп Л <

ди дВав ди дпю

дВав дют дпю дют

вав

ди дп „

ди дп

дюц дп

т

Л

дют

ди дп

+

дп л дют ,

Слагаемые при ріт группируются в аи/ dhm, а слагаемые при ру” — в аи/аО”^. Учитывая этот факт, можно переписать (41) в виде:

D —

дхк

(

(Ч)к

___________________L у (?)к ^ + (42)

дхк

аі + 2Р°и

ди

дЄ,

'к

до +риіт +Р аи утц

дх, т аит

т аютц

Воспользуемся явным выражением (31) для Jmи и выделим в свертке потоковый (дивергентный) вклад, а

также слагаемые, образующие билинейную форму термодинамических сил и потоков, тогда

р си

-ш-ти.

1 дТ

тук -г и р

си

у”Ц _

т аю ^ _ т

д

_ 1 дТ ^тукіц Р_

1 40 аютц

+-є'

т

-д

- дхк

пук і ц

дхк

2 3 к

дх р аи

+

40 аютц р

(43)

У

аи Л

ґ і

—єтукІ Ц

т 1 40 аютц

Подставим (43) в (42) и учтем закон сохранения массы (27), в результате получим

D--

д

дхк

умк -

— у(я)к - — єткуіЦр аи

т т 1 0 аютц

_ -Л(УШ + єткуІЦРо^”-) +

т2 дхк

аютц I

1

+

т

аі + 2Р°ік

ди

д0к

ку

дху

+

і

аи + є ітк д

акц

дхк1 р0

аи

аютц

Стандартный анализ в рамках предположений неравновесной термодинамики [15] приводит к следующему выражению для потока энтропии

уМк _ 1 у(ч)к + 1 єуткіцр0-и.

т т 1 0аютц

Для диссипативной функции получим

(44)

1 дт D _-------2-----к

т2 дхк

у Ш + єткуіЦ р0-аи-

у 0 аютц

(

т

і ц

аі + 2Р°ік

ди

дЄ,

ку

дО_

дху

(45)

аи ітк д

р------+є тк

а^ц

дхк> Р0

аи

аютц

В такой форме диссипативная функция представлена билинейной формой термодинамических сил и потоков:

D(X) = Х'У1, D(X) > 0. (46)

Примем для теплового потока приближение линейных связей

у^ _-Хдт- -єтіуіцр0 дх

аи

аютц

(47)

Феноменологический коэффициент Х> 0 обеспечивает неотрицательность диссипативной функции. В соответствии с обобщенными принципами Кюри и Онзагера можно ввести не только линейные, но и нелинейные связи между ними. Естественным обобщением линейной неравновесной термодинамики является конструкция диссипативного потенциала [16]. Пусть справедливо соотношение (46), тогда существует диссипативный потенциал Ф( X) такой, что

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

д

+

Ф(X) _1 D(kX)—

ак дФ—

я , дх1

_ Уі.

(48)

Будем предполагать, что внутренняя энергия и диссипативный потенциал заданы. Тогда в соответствии с (13), (24), (32), (38), (39), (44)-(48) запишем полную систему уравнений движения материала с дефектами дислокационного типа в рамках рассматриваемой неевклидовой модели сплошной среды:

и _ и(^ , §;к, В°'^, пю, пЕав, пЕЕав, пЛ ),

ф_ф( іа, е/, т), т _

ди

дs

а01 +г до1 до1 _ 0 ^ _-д=Кі-

~0Т Є17+0у 17=0, а, м” -

аВав _ дВав утц ап^_-дпю_ утц

аї дют , а дют 9

1 діц

у тц _ - 1 є тук ік ,

40 дх1

апї _ дпї іц дп£ утц

^ т _ ___ у ,

аї ддютц £ _ яаР, яяаР, Л,

(49)

дФ

аи + єітк д (р аи

а- эхг( аю”-1 ді-

р

ао.

д

(

аї дх}

р_р07нй

- 2р°іі

ди дФ

Л

д0к1 де,

+ Р/і >

ds д (. дт Л , дФ ц дФ рт— _-------1 к—- 1+ е—- + іЦ----------.

аї дхі І дх1 I деі діц

Система уравнений (49) является замкнутой и при заданных начальных и краевых условиях должна описывать механическую и термическую эволюцию материала.

инварианты (30), (33). Инвариант Ваа геометрически соответствует длине вектора, Вав при а ф в — углу между двумя векторами, пю — объему, построенному на трех векторах. С точки зрения физики это означает, что мы учитываем соответственно линейные, пространственные и объемные дефекты. Введение инвариантов п^, п^, п Л позволяет описать рождение всех трех видов пространственных дефектов в результате взаимодействия дефектной структуры юа с полем Е,. Таким образом, классификация [7] нуждается в уточнении. Суть его состоит в следующем: в зависимости от параметризации геометрических характеристик для описания физической системы можно использовать различные неевклидовы модели. При этом в основу классификации теорий следует положить набор базисных инвариантов, выбор которых не зависит от параметризации.

Ниже мы покажем, что для связности Г, всегда можно построить тензор т, и перейти к новой связности *Гк _ Гк - т,, которая не согласована с метрикой Еу и тензор кривизны связности *Яуч отличен от нуля. Следовательно, геометрия построенной нами модели допускает деформацию к аффинно-метрической геометрии за счет преобразования связности. Система внутренних инвариантов не изменяется.

Для доказательства этого утверждения мы воспользуемся разложением произвольной связности 1 у на метрическую Г—к и неметрическую компоненты [13, 14]:

.......................... (50)

*Г1 ,к _ У - , к + *сік, у + *сук і + *сї, к.

Функции *Гу к и ГУ” вычисляются через ’Г, и Г (символы Кристоффеля) с помощью соотношений:

*г _ „ *г1 г(т) _ „ Г(”)1 у,к Ек1 1 у , у ,к Ек11 у ,

(т)к

Г

к1 (,

+ дЕіі

дх дх у дх

ЕікЕ

Объект З, к называется тензором сегментарной кри-

визны:

6. Соответствие геометрических характеристик дефектным структурам

Для построения неевклидовой модели мы воспользовались геометрией пространства абсолютного параллелизма, в котором тензор кривизны связности равен нулю (9) и связность согласована с внутренней метрикой (10). В соответствии с принятой классификацией [7] неевклидовых теорий построенная нами модель учитывает только линейные дефекты. Тем не менее, она содержит дефектные структуры всех пространственных размерностей: линейные, пространственные и объемные. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим внутренние

, к = 2(*Vjgki + *У1 ¿ук - *^kg^j X (51)

*^kgy =^~Г - *Г'к,у - *Гук дх

Функции *Су к являются ковариантными компонентами тензора кручения *Ск:

,к = ¿и С, С = -2 ( - * гк). (52)

Воспользуемся формулой (50) для связности Гк (7). Поскольку для нее выполняется свойство (10), то тензор

неметричности равен нулю и формула (50) записывается в виде:

Гу,к = ТУ™к + С1к,у + Сук,1 + С1у,к, Гу,к = ¿к1 ГУу , (53)

Су к = ¿С, Ск = |(тк -тк).

Рассмотрим связность *Ту- к и, представляя ее через тензор кручения *Су к и симметричную компоненту

Ну,к

Ту,к = Су,к + Ну к, Нуу,к = 2( Г'у,к + Гу',к),

из (50) имеем

(т) _

Гу к _ Ну к + Зі, к - Сл , - С

гу,к _г Зу,к

ік, У

Выделим в этом соотношении объекты с учетом их тензорного характера, тогда получим:

У _ Ну к, Бу к _ *Сіку + *Сук і.

(54)

Дополнительно предполагаем, что тензоры кручения

для связностей *гу к и гу к совпадав *Су л _ Су л.

Тогда вычисление тензора т, в соответствии с (50), (53) дает:

тк _ (Гу,1 - *Гу,1)Ек _ (Г(т] + Сау + у + СуI --Г(т] + Бу ,1 - *С,1 - 'Суп - * Су ,1) Ек _ Бу ^. (55)

Тензор кривизны *Я_к„ для связности Г отличен от нуля в общем случае, подставляя Г ку из (55) в (9), получаем:

* о к _* т-7 грк * т-7 грк ^ /~іі грк

КУ„ _ ууЫ - уяІї - 2С]„ти , где *У'„т, обозначает ковариантную производную от

к

тензора Ту :

д Тк

*^7 грк _ у . *у~'к^-т1 *грк *\л1 грк

= ах*" + цТу- щ11] - т*1й.

Таким образом, связность 'к допускает “деформацию” за счет преобразования Тгк (55), так что получаемая неевклидова модель содержит полный набор нетривиальных аффинно-метрических характеристик. Неизменными остаются только внутренние инварианты. Поэтому уточнение принятой в [7] классификации сводится к следующему: разделение неевклидовых теорий следует проводить по системе базисных инвариантов, которые используются для описания физических систем. В рамках выбранной параметризации системы инвариантов все преобразования, оставляющие ее неизменной, приводят к физически тождественным моделям. Переход в описании от одной модели к другой может быть выполнен только путем изменения набора инвариантов.

7. Диссипация на разных масштабах и переход к новым инвариантам

Рассмотрим вклад в D (45), определяемый диссипацией механической энергии:

I?

П _-і—

теЛ _

аи ітк д

р---------+ є тк---------г

дх

ґ аи Л р0 —

0 ают

(56)

Слагаемые в правой части (56) соответствуют процессам деформирования среды на различных структурных уровнях. Пусть и = иGy, ¿к), тогда

П _ і— п аи _Р т -ди

теА т ащц т 1 дЕк дщц

Р ди аЕк

Т dt

Примем приближение линейных связей, в этом случае

^к = т ди ~7Г ’~та дГ •

где феноменологические коэффициенты ты должны обеспечивать неотрицательность ДтесЬ. На этом пути можно моделировать процесс старения материала.

Пусть материал в отсутствии внешних сил находится в механическом равновесии. Это состояние описывается уравнениями

ду _ а _-2рЄік 0

дxJ Є

дЕк _ т ди _ -ткі ^—.

а п

1 1 \дг

_ 0,

дї

С течением времени форма образца сохраняется, однако изменяются параметры %к. Они входят во внутреннюю энергию и через феноменологические коэффициенты, определяемые для каждого материала индивидуально. Следовательно, для образца заданной формы со временем изменяются его материальные характеристики — идет процесс старения.

Пусть и _ иОу, Ек, Ваа), то есть внутренняя энергия зависит от микроскопической структуры одномерных дефектов среды. В частности, в континуальной теории дефектов функции Ваа характеризуют плотность дислокаций, поскольку тензор плотности дислокаций Ьа _ -єіукС% _ -40юіа [4]. Тогда

П _ 1

ПтеЛ

^ єітк _^(р аи т дхк ( 0 аютц

и в приближении линейных связей источник

іі _Уиє1р„—\ Р0

д ( аи

дх‘1 ^ Сюри

где у а — неотрицательная матрица. Отсюда и из (28) имеем уравнение, определяющее изменение распределения дислокаций:

--ю

1а

до

і

дх1 40

є ук

Уа є

ір„

аи

д

дх„ {р0 аюрц

Приведенные примеры показывают, что для описания деформирования на различных структурных уровнях материала термодинамическими переменными модели являются разные наборы геометрических параметров. Заметим, что уравнения (24), (32), (38) для соответствующих скалярных характеристик отражают свойство безмассовости дефектной структуры (сравни с законом сохранения массы (27)), хотя допускается существование и объемных дефектов (инварианты пю, п Л ). В связи с этим представляется закономерным вопрос о возможности построения модели, в которой бы дефектные структуры разрешали появление эффективных массивных вкладов в динамических характеристиках.

С этой целью следует изменить набор инвариантов модели. Будем предполагать, что базисные инварианты тензора Еу строятся по евклидовой метрике наблюдателя, то есть вместо (21) запишем

Е1 _ Еіі, е2 _ ЕііЕуі, Е3 _ ЕікЕк1ЕУі. (57)

Из (14), (57), в частности, следует уравнение

% + 2еі _ Еі. (58)

аї дх

Сравнивая (58) с (23), видим, что (58) содержит вклад, пропорциональный до1/дх1, аналогичный вкладу в законе сохранения массы (27). Таким образом, дефектной структуре может соответствовать некоторая эффективная масса. Инварианты тензора О, и совместные инварианты О,, е, даются соотношениями

О1 _ 0ii, О2 _ ОуОуі, О3 _ ОікОкуОуі,

(59)

пЕО _ , пееО _ ЕікЕкуОуі, пеОО _ ЕікОкуОуі'

Перейдем в тензорах О,, е, к полным дисторсиям Р“ и тетрадным коэффициентам , тогда инварианты (57), (59) определяются через Р%, ЩО, а функция и _ и(s, Р“, , Ва, пю). Используя стандартный

формализм неравновесной термодинамики [15], в рамках которого была построена модель пункта 4, имеем следующее представление для диссипативной функции

1 дт П _ -—2-------к

т2 дхк

у („)к + єткуіц р0

аи

V

1

+

т

і_

, ди ,а ди

о_ + рРа---+ рЩО

і дР° дЩ%

уу аи ітк д ( аи р—+є к—А р0-----------

ащц дхк Г0 аютц

аютц до

дху + (60)

Введем диссипативный потенциал Ф(Х) (48), тогда

, Т,а ди а ди дФ

а _ -рр%—рщо—+—-.

і і дР% дЩа деУ

Справедливо утверждение: компоненты о_ не изменяются при замене

(

1п

НІ Р°|| ёеЛ

I)

(62)

с произвольной функцией V. Для доказательства следует воспользоваться справочными формулами [11]:

Р

д 1п|ёе1|| Р д|| Р“||

>в||

ні

■ _ 81. (63)

Таким образом, компоненты тензора напряжений (61), содержащие дополнительные слагаемые, имеющие смысл внутренних напряжений, не изменяются при преобразовании (62). Потребуем, чтобы диссипация осталась постоянной при замене (62). Это дает следую-

тОС

щее ограничение на источники Iу :

1% =0, ьа к=§ у (64)

(к'а — компоненты обратной матрицы к |й“||). Чтобы выяснить кинематический смысл условия ортогональности (62), рассмотрим уравнение переноса (14). Из (14), (64) получим

аї

ЩО _ -&у V.

Используя (27), (63), имеем цепочку вычислений:

ащо кі _ ащо д 1п1Н1 а 1п1Н1

д Ка

_ -діу V _

а іп УО

аї

Следовательно, ^е^|= 40 и ^е^|¿у||| = 0у |||.

Необходимо отметить, что это условие и соотношение для структуры диссипативных источников, аналогичное (64), для модели релаксирующей максвелловской среды были предложены С.К. Годуновым [4].

8. Упругопластическая модель

Рассмотренная в пункте 7 модель с дефектами является расширением классической модели идеально упругопластического тела. Пусть внутренняя энергия и = = и(s, О у, ¿у). Тогда уравнения состояния записываются в виде:

аі _ -2Р

О к

ди ди

+ Е ік -

дОк

дФ

+ —, (65)

деУ

+

Р

ди дФ

дЕку дЕу

Рассмотрим простейший вариант теории, полагая D = D(T, Е у). В этом случае

D = рЕ1у —.

у дgiз

Свойство инвариантности напряжения относительно замены

(

1п

(67)

приводит к следующему условию с дополнительным требованием инвариантности диссипации

/е__ 0.

(68)

С точки зрения физики оно соответствует тому, что пластические деформации не приводят к изменению объема и ¿е^| Еу || _ ёе^ О, ||. Тогда выражение (66) можно переписать в более привычном виде через тензор напряжений (65):

П _- т1-2р

о_ + 2рОік

ди

дО

ку

= оУ (а( +т_ ). (69)

Воспользуемся условием (68) и представим выражение для скорости диссипации в виде

D = у, sУ = о У +т{ -1 ( + Т).

Пусть D — функция первой степени однородности от ок: D(kvУ) = \к^(ик). Воспользуемся условием текучести Мизеса для материала. Тогда

П _т0^_о_ , з_ _ т0

о

і

опот

т п

что эквивалентно соотношениям

=&, / = s■sik -т2-д^у

В результате скорость изменения внутренней метрики можно записать в виде

Е_ _ -кр

(д/ д/ )

д і Еі_ + д у Еі_ дsl дsl

К 1 1 У

Уравнения (49) для упругопластического материала записываются в виде

и _ и (а, О_, Е _), Ф = Ф( Е,, є_ , т),

“Оі_. + О, К + о, К _ 0,

дх1 1 дх

1/Л 1/Л

аї

аЕу до1 до1

~0Г + Еі1 ІУ + ~дхГ

Ю,

если 5*4 <т0, если 5і 5к _ то.

(70)

аоі

(66) р---------------1 _ -----

аї

д

дху

ди ди дФ

- 2рЄік - 2РЕ ік -----+ ■

Р_Р0>/Н|о||, т _

дОку

ди

да 5

дЕку де)

+ 9/,

^аа д (. дт рт— _---------1 к г

аї Эх_ і дх1

+ еі

дФ

де у

дФ

дЕ_

В начальный момент времени мы полагаем, что внешняя геометрия материала совпадает с его внутренней геометрией, то есть Оу = ¿у =8у. Если деформации материала малы, то отклонение компонент ¿у от своих начальных значений также является малой величиной, то есть можно записать ¿у = 8у - 2Еу, где Еу << 1. Отсюда и из (70) получаем уравнение для е

у

(1е__

аї

-+е_,

до1 до1

дху

-+е

_і

дх

^є_ , если 5к < то,

] г1 к і _2

уеї_ - Еіу, если 5к _ т0,

(71)

где вуу = (доу 1дх] + доу/ дх1 )/2 — тензор скоростей деформации. Поскольку Еу ^ 0, то из (71) следуют известные уравнения идеальной жесткопластичной среды: ву = Еу. Если учесть внутреннюю структуру материала, описываемую тензором ¿у, и ее вклад в диссипацию, то, как видно из (69), поверхность текучести транс-ляционно переносится в пространстве напряжений.

9. Заключение

Построенный вариант обобщения классической теории позволяет согласовать усилия исследователей, работающих в механике сплошной среды, физике пластичности и прочности, а также занимающихся чисто технологическими и инженерными проблемами.

Аналогично тому, как это принято в физической литературе, мы воспользовались представлением идеального кристалла для описания начального состояния материала. Чтобы учесть внутренние свойства материала, мы ввели отображение к® (3), переводящее идеальный кристалл в кристалл, содержащий дефекты. Дефектная структура полученного кристалла зависит от дифференциальных свойств ка. В классической теории упругости отображение ка порождается векторным полем, совпадающим с лагранжевой характеристикой частиц сплошной среды, и устанавливает однозначное соответствие между кристаллом в начальном и

конечном состояниях. В математике такие отображения называют диффеоморфными. Рассматриваемые в классической теории упругости деформации кристалла описываются диффеоморфными отображениями. В рамках этой модели дефектные структуры не рождаются в процессе эволюции материала. Отказ от диффеоморфных свойств ка позволяет расширить набор кинематически возможных состояний, которых может достигать идеальный кристалл при деформировании.

Использование методов механики сплошной среды позволяет связать механические характеристики материалов со свойствами отображения к“. При этом оказывается, что отличие внутренней геометрической структуры материала от евклидовой структуры определяется характером диссипативных процессов в материале. Дополнительными термодинамическими параметрами являются как раз объекты, характеризующие отклонение отображения к“ от диффеоморфизма. Эта стыковка физики и механики осуществляется на основе формализма неравновесной термодинамики и дает принципиально важную возможность описания хорошо известных физикам процессов деформирования материала на различных структурных уровнях. Идея предлагаемого подхода состоит в том, что для записи уравнения состояния материала следует использовать разный набор внутренних инвариантов. Если необходимо проанализировать переходы между структурными уровнями, то при построении модели нужно ввести полный набор инвариантов. В частности, при макроскопическом описании упругопластического материала использование инвариантов (57) в качестве дополнительных переменных во внутренней энергии позволяет не задавать соотношения, описывающие связь полной деформации с обратимой и необратимой составляющими. Для каждого материала конкретизация зависимости внутренней энергии от инвариантов, а также структура диссипативных характеристик должна определяться индивидуально. Здесь необходимо использовать экспериментальные данные, накопленные в физике пластичности, и проанализировать технологические процессы обработки материалов, поскольку для интерпретации

параметров модели необходимо проведение изучения структуры деформационных полей в материалах с различным уровнем разрешения.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №99-01-00636.

Литература

1. Kondo К. On the geometrical and physical foundations of the theory of yielding // Proc. 2nd Japan Nat. Congr. Appl. Mech. - Tokyo, 1953. -P. 41 -47.

2. Bilby B.A., Bullough R., Smith E. Continuous distributions of dislocations: a new application of the methods of non-Reimannian geometry // Proc. Roy. Soc. A. - 1955. - V. 231. - P. 263-273.

3. ЧернышевГ.Н., ПоповА.Л., КозинцевВ.М., ПономаревИ.И. Остаточные напряжения в деформируемых твердых телах. - М.: Наука, 1996. - 240 с.

4. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. - М.: Наука,

1978. - 304 с.

5. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дискли-наций. - М.: Мир, 1987. - 168 с.

6. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Данилов В.И. и др. Структурные уровни

пластической деформации и разрушения. - Новосибирск: Наука, 1990. - 225 с.

7. Grachev A.V., Nesterov A.I., Ovchinnikov S.G. The gauge theory of points defects // Phys. Stat. Sol. (b). - 1989. - V. 156. - P. 403^10.

8. Гузев М.А., Мясников В.П. Термомеханическая модель упругоплас-

тического материала с дефектами структуры // МТТ. - 1998. -№4. - С. 156-172.

9. Мясников В.П., Гузев М.А. Аффинно-метрическая структура упру-

гопластической модели сплошной среды // Труды МИАН. - М: Наука, 1998. - Т. 223. - С. 30-37.

10. Мясников В.П., Гузев М.А. Геометрическая модель дефектной структуры упругопластической сплошной среды // ПМТФ. -1999.- Т. 40. - С. 163-173.

11. СедовЛ.И. Механика сплошных сред. - М.: Наука, 1973. - Т. 1. -536 с.

12. Буренин А.А., Быгковцев Г.И., Ковтанюк Л.В. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях // ДАН. - 1996. - Т. 347. - № 2. - С. 199-201.

13. Родичев В.И. Теория тяготения в ортогональном репере. - М.: Наука, 1978. - 184 с.

14. Пономарев В.Н., Барвинский А.О., Обухов Ю.Н. Геометродинамические методы и калибровочный подход к теории гравитационных взаимодействий. - М.: Наука, 1978. - 168 с.

15. Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. - М.: Мир, 1964. - 504 с.

16. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластичных сред. - М.: Наука, 1981. - 208 с.