CC BY
49
УДК 681.5(07)
недв1йк0ве кодування п0в1д0млень в каналах
з поодинокими помилками
Ю.П.Жураковський
В работе рассматриваются недвоичные коды: с повторением и проверкой по модулю q и итеративные. Описаны операции кодирования и декодирования предложенными кодами, а также представлены их основные характеристики. Приведены примеры кодирования и декодирования предложенными в работе кодами первичных кодовых комбинаций восьмеричного кода.
У робот1 роэглядаються недвтков1 коди: э повторенням i перев1ркою за модулем q та теративт. Описан операцп ко-дування та декодування эапропонованими кодами, а також наведен iх основн характеристики. Наведен приклади коду-вання та декодування эапропонованими у роботi кодами пер-винних кодових комбiнацiй вiсiмкового коду.
There are recurrence, check on module q and iteration unbi-nary codes are considered in the work. The operations of coding and decoding by the offered codes are described, and also their basic characteristics are submitted. The examples of coding and decoding by the codes, offered in work, of primary code combinations of a code with q=8 are given.
1. ВСТУП
Для зменшення к!лькост! помилок до деякого дозволе-ного р!вня, що визначаеться вимогами до систем передач! даних (СПД) [1], в пов!домленнях, як! передаються по каналах з досить високим р!внем завад, використовуеться завадост!йке кодування [1,2,3,4].
Останн!м часом в СПД, поряд з дв!йковими кодами, почали широко застосовувати надм!рн! недв!йков! коди, що виявляють та виправляють помилки [1,2,5].
Як в!домо, потенц!йн! можливост! недвшкових (багато-позиц!йних, q-!чних) код!в значно вищ! за дв!йков!. Це пояснюеться збшьшенням швидкост! передач! !нформац!! такими кодами, яка мае пряму залежн!сть в!д алфав!ту коду q [1].
Тому розвиток теор!! недвшкових код!в на даному етап! розвитку техн!ки передач! даних е досить актуальним з точки зору !х практичного застосування.
3 недвшкових систематичних код!в, що виправляють однократн! помилки широко в!дом!: код з багатократним повторенням та узагальнений код Хемм!нга (УКХ) [1,5]. Однак, ц! коди мають значн! недол!ки. Так коди з багатократним повторенням мае велику надм!рн!сть ^над = Г//п , де г - к!льк!сть перев!рочних елемент!в у
кодов!й комб!нац!!; п - довжина коду, п = k + r, тут k -к!льк!сть !нформац!йних елемент!в у кодов!й комб!нац!1, та досить низьку швидк!сть коду R = k/п . На в!дм!ну в!д вищезгаданого коду, УКХ мае досить малу надм!рн!сть та б!льш високу швидк!сть коду, але техн!чна реал!зац!я кодера/декодера цього коду дещо складн!ша, що
викликано значно б!льшою к!льк!стю операц!й множення, д!лення та додавання, н!ж для коду з багатократним повторенням. Така складн!сть реал!зац!1 кодера/декодера позначаеться ! на час! виконання операц!й кодування та декодування, що зростае, а це у деяких випадках, особливо для систем, як! працюють у реальному масштаб! часу, просто неприпустимо.
У дан!й робот! розглядаеться запропонован! автором недв!йков! систематичн! коди: з повторенням та пере-в!ркою за mod q (НСКППМ) та !теративний.
2. НЕДВ1ЙКОВИЙ СИСТЕМАТИЧНЫЙ КОД 3
ПОВТОРЕНИЯМ ТА ПЕРЕВ1РКОЮ ЗА
МОДУЛЕМ
У НСКППМ к!льк!сть перев!рочних елемент!в визнача-еться як r = k + 1 . Тод! довжина коду п = k + r = = k + (k + 1) = 2k + 1 . Надм!рн!сть коду Rнад = r/п = = (k +1)/п = (k +1)/( 2 k + 1), а швидк!сть коду R = k/ п = i = k/( 2k + 1).
При побудов! НСКППМ перев!рочн! елементи bt ви-значаються як просте повторення !нформац!йних елемент!в at первинно! кодово! комб!нац!1, тобто bt = at, де
i = {1, 2, ..., k} . Кр!м одержаних перев!рочних елемент!в визначаеться ще додатковий перев!рочний елемент bQ
як сума за modq вс!х !нформац!йних елемент!в первинно! кодово1 комб!нац!1
k k b0 = ^ aimodq або bQ = ^ btmodq.
i = 1
i = 1
Цей перев!рочний елемент, як правило, розташовують в к!нц! кодово! комб!нац!! НСКППМ.
Кодове слово НСКППМ на виход! кодера буде мати вигляд:
X = { a 1 а2..Мг.. akb1 b2 . bi .--bkb0 } .
Утворена таким чином кодова комб!нац!я НСКППМ поелементно передаеться у канал зв'язку, де вона може бути спотворена завад ою. Не вдаючись у сутн!сть явищ, що призводять до цього, сам процес спотворення зручно подати як
Y = X + Е = { a\ a 2 . a'i.a'kb'1b' 2^b' г. b'kb' о },
82
ISSN 1607-3274 "Радтелектронжа, !нформатика, управл1ння" № 1, 2001
Ю.П.Жураковський: HEДBIЙKOBE KOДУBAHHЯ ПOBIДOMЛEHЬ B KAHAËAX З ПOOДИHOKИMИ ПOMИЛKAMИ
дe Y - cпoтвopeнa кoдoвa кoмбiнaцiя нa виxoдi кaнaлy
зв'язку; E - я-мipний вeктop пoмилки з eдинoю тану-льoвoю кoмпoнeнтoю e (пepeдбaчaeтьcя oднoкpaтнa пo-милкa), дe e мoжe пpиймaти знaчeння i < e < q - i; ä тa b - вiдпoвiднo iнфopмaцiйнi тa пepeвipoчнi eлeмeнти cпoтвopeнoí' кoдoвoí' кoмбiнaцií'.
Koд мoжe зacтocoвyвaтиcя aбo для виявлeння, aбo для випpaвлeння пoмилoк. HCKППM виявляе вci oднo-, двo-тa тpикpaтнi пoмилки aбo випpaвляe вci oднoкpaтнi пoмилки.
^и виявлeннi пoмилoк HCKППM мoжe виявляти i дeякi пoмилки ^amocn бiльшe тpьox. Oднaк, чoтиpи-^arai, тaк звaнi "дзepкaльнi" пoмилки тад виявити нe мoжe. Як вiдoмo, дo "дзepкaльниx" вiднocять пoмилки в oднoмy i тoмy ж poзpядi в iнфopмaцiйнiй тa пepeвipoчнiй чacтинax пpийнятoí кoдoвoí кoмбiнaцií.
Пpи викopиcтaннi HCKППM для виявлeння пoмилoк y дeкoдepi викoнyютьcя тaкi oпepaцií:
- пopoзpяднe пopiвняння iнфopмaцiйнoí тa пepeвipoчнoí чacтин пpийнятoí кoдoвoí кoмбiнaцií: ai' О bi', a^ О b2 ,
... ,aiОbi, ... , ak Оbk ;
- визначeння кoдoвoгo cиндpoмy:
k
Z ai e ьо'
v i = i
= iai' e a2'
k
Sn =
Z b¡e bo
v i = i
= i bi e b2'
mod q =
•a¡ e ... e ak e b0')modq;
modq =
•b¡ e ... e b¿ e b0')modq.
№pma пepeвipкa виявляе вci oднo-, двo- i тpикpaтнi пoмилки та тамилки бiльшoí кpaтнocтi, якщo пpи пopiвняннi e нeзбiг y дeякиx poзpядax iнфopмaцiйнoí та пepeвipoчнoí чacтин пpийнятoí кoдoвoí кoмбiнaцií. Двo-кpaтнa "дзepкaльнa" пoмилкa пpи пepшiй пepeвipцi те виявляeтьcя, тoмy щo пpи цьoмy, як i пpи вiдcyтнocтi пoмилoк, бyдe пoвний збiг iнфopмaцiйниx i пepeвipoчниx eлeмeнтiв y вcix poзpядax.
Oдepжaний пpи дpyгiй пepeвipцi кoдoвий cиндpoм вкaзye на вiдcyтнicть aбo нaявнicть пoмилки в iнфopмa-цшнш та пepeвipoчнiй чacтинax пpийнятoí кoдoвoí там-бiнaцií. Якщo Si = 0 i s2 = 0 , то пoмилoк тамае. Пpи
Si Ф 0 пoмилки е в iнфopмaцiйнiй, пpи S2 Ф 0 - в пepeвi-poчнiй частит пpийнятoí кoдoвoí кoмбiнaцií HCKППM, а пpи Si Ф 0 та s2 Ф 0 - пoмилки е в iнфopмaцiйнiй та œpe-вipoчнiй чacтинax пpийнятoí кoдoвoí кoмбiнaцií aбo mo-твopeний дoдaткoвий пepeвipoчний eлeмeнт b0 .
Таким читам мoжyть 6ути виявлeнi, як бyлo вкaзaнo
вищe, вci oднo-, двo- i тpикpaтнi пoмилки в пpийнятiй кoдoвiй кoмбiнaцií.
Пpи викopиcтaннi HCKППM для виявлeння пoмилoк пpийнятa тамбшащя, в якiй виявлeнi дeкoдepoм xoчa б oднa пoмилкa, бpaкyeтьcя i го звopoтнoмy кaнaлy зв'язку CПД пepeдaeтьcя запит на пoвтopeння ^eí кoмбiнaцií.
Пpи викopиcтaннi HCKППM пльки для випpaвлeння у пpийнятiй кoдoвiй кoмбiнaцií oднoкpaтниx пoмилoк у дeкo-дepi викoнyють, кpiм вищeзгaдaниx oropa^^ якi виюзну-вaлиcь дeкoдepoм у пpoцeci виявлeння пoмилoк, oпepaцiю випpaвлeння пoмилки. Для цьoгo, якщo тамилка виникла в iнфopмaцiйнiй чacтинi пpийнятoí кoдoвoí кoмбiнaцií, на щo вказуе знaчeння cиндpoмy Si Ф 0 , витанують aбo ви-пpaвлeння cпoтвopeнoгo eлeмeнтa iнфopмaцiйнoí чacтини пpийнятoí кoдoвoí кoмбiнaцií: ai = i a- e Si ) mod q aбo
пoдaють oдepжyвaчy пoвiдoмлeнь як iнфopмaцiйнy tocto-твopeнy пepeвipoчнy частину пpийнятoí кoдoвoí кoмбiнaцií. У paзi cпoтвopeння дoдaткoвoгo пepeвipoчнoгo eлeмeнтa bo' кoдoвий cиндpoм Si Ф 0, S2 Ф 0 випpaвлeння b0 нe
викoнyють, а oдepжyвaчy пoвiдoмлeнь видають нecпoтвo-peнy iнфopмaцiйнy частину пpийнятoí кoдoвoí кoмбiнaцií.
3. HEÂBtÉKOBt tTEPATÈBHt КОДИ
Heдвiйкoвi iтepaтивнi тади мають бiльш виcoкy здaтнicть виявляти тамилки у пopiвняннi з aнaлoгiчними двiйкoвими iтepaтивними кoдaми. Пpи q > 2 зpocтae oбcяг iнфopмaцií, щo пepeдaeтьcя, завдяки тoмy, кiлькicть iнфopмaцií, яка мicтитьcя в oднoмy eлeмeнтi кoдoвoí кoмбiнaцií, визнaчaeтьcя aлфaвiтoм кoдy q.
Haйбiльш пpocтo peaлiзoвyютьcя двoмipнi iтepaтивнi кoди, у якиx викoнyeтьcя кoдyвaння пoпepeдньo cфopмo-вaнoгo iнфopмaцiйнoгo мacивy у виглядi блoкa пo pядкax та cтoвпцяx нeдвiйкoвим кoдoм з пepeвipкoю за mod q. Таю юэди мають мШмальну кoдoвy вiдcтaнь dmin = 4 i
мoжyть виявляти oднo-, двo- та тpикpaтнi пoмилки i тамилки бiльшoí кpaтнocтi, за виключeнням дeякиx 4-, 6-та 8-кpaтниx пoмилoк, кoли пoмилки poзтaшoвyютьcя у вepшинax пpямoкyтникiв aбo пoпapнo у визнaчeнoмy пopядкy. У peжимi випpaвлeння пoмилoк кoд випpaвляe бyдь-якi oднoкpaтнi пoмилки.
Таким чинoм, пepeвipoчнi eлeмeнти у тaкиx iтepaтивниx кoдax визнaчaютьcя як peзyльтaт пepeвipки за mod q та pядкax i cтoвпцяx.
У peжимi виявлeння пoмилoк дeкoдepoм викoнyютьcя oпepaцií за aнaлoгieю з двштавим кoдoм - визнaчeння кoнтpoльниx eлeмeнтiв за дoпoмoгoю пepeвipки за mod q ^жтого pядкa та cтoвпця oдepжaнoгo iнфopмaцiйнoгo мacивy. ^и вiдcyтнocтi пoмилoк у pядкy (ст^п^) кoнтpoльний eлeмeнт бyдe дopiвнювaти "О". У paзi виник-нeння тамилки у мacивi eлeмeнтiв iтepaтивнoгo таду, щo нaдxoдить дo дeкoдepa з каналу, oдepжaнi у дeкoдepi шляxoм oбчиcлeнь кoнтpoльнi eлeмeнти для pядкiв (cтoвпцiв), дe виникають пoмилки, та дopiвнюють "О".
Bипpaвлeння cпoтвopeнoгo eлeмeнтa викoнyють таким чинoм. Якщo та викoнyeтьcя пepeвipкa для г-гo pядкa i /-гo cтoвпця, тo eлeмeнт, щo знaxoдитьcя на пepeтинaннi г-ш
Si =
рядка i ]-го стовпця, зам1нюють елементом, якии е сумою за mod q даного приИнятого елемента (помилкового) та контрольного елемента г-го рядка (або ]-го стовпця), якиИ був одержаниИ у декодер1.
При виникненн1 дек1лькох помилок у одному рядку (стовпц1), помилки виправляють посл1довно для тих стовпц1в (рядк1в), де вони е поодинокими.
Надм1рн1сть та швидк1сть 1теративного коду у значн1И м1р1 залежить в1д обсягу 1нформац1Иного блока, якиИ формуеться у кодер1. Рекомендован1 розм1ри блока kxk до-р1внюють 12, 16 та 56. При цьому к1льк1сть перев1рочних елемент1в r в 1теративному код1 на виход1 кодера буде дор1внювати в1дпов1дно: 8, 9 та 16.
Сл1д в1дзначити, що кратн1сть помилок, що виправ-ляються недв1Иковими кодами вища у пор1внянн1 з дв1И-ковими, через те, що виправлення одного елемента q-коду в1дпов1дае виправленню log2q дв1Икових одиниць.
Зазначимо, що недв1Иков1 коди приИнято д1лити на дв1 велик1 групи: коди з простою основою q = p, де p е {3, 5, 7, 11, 13, ...} , 1 коди з основою q, що розкла-даеться. НаИб1льшиИ практичниИ 1нтерес мае т1льки окре-миИ випадок таких код1в при q = 2h символи якого мають 1нформац1Ину емн1сть l б1т 1 можуть бути сп1вставленн1 з ус1ма h-розрядними дв1Иковими числами. Виб1р q впли-вае на визначення операц1И додавання, в1дн1мання, мно-ження 1 д1лення, як1 використовуються у процедурах коду-вання 1 декодування. Якщо основа просте число, зручно використати апарат обчислень за модулем простого числа.
Якщо ж q = 2h то необх1дно звернутися до алгебра'чного апарату обчислень за модулем незв1дного пол1нома. Сим-воли коду при цьому ставлять у в1дпов1дн1сть елементам ск1нченого поля порядку q.
Розглянемо на прикладах процес кодування та деко-дування первинних кодових комб1нац1И запропонованими недв1Иковими кодами.
Таблиця 1
© 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 0 3 2 5 4 7 6
2 2 3 0 1 6 7 4 5
3 3 2 1 0 7 6 5 4
4 4 5 6 7 0 1 2 3
5 5 4 7 6 1 0 3 2
6 6 7 4 5 2 3 0 1
7 7 6 5 4 3 2 1 0
Операцп додавання за mod 8 будемо виконувати за допомогою таблиц1 1, у як1И наведен1 результати операц1И
додавання у ск1нченому пол1 GF(23) = GF(8). Операц1ю додавання © двох елемент1в виконано як порозрядне додавання за mod 2 ix дв1Икових екв1валент1в з подальшим
записом у таблицю одержаного результату у в1с1мков1И систем1 числення.
Наприклад, якщо треба додати 5 © 7 , то виконують додавання ix дв1Икових екв1валент1в за mod 2: 101 © 111 = 010 1 одержаниИ результат з дв1Иковоi' системи числення переводять у в1с1мкову: 0102 = 2 , тобто 5 © 7 = 2 .
4. ПРИКЛАДИ КОДУВАННЯ ТА ДЕКОДУВАННЯ
Приклад 1. Виконати процес кодування та декодування первинно'' кодово'' комб1нацп в1с1мкового коду (q=8) довжиною k=5: A=32705 недв1Иковим систематичним кодом з повторенням та перев1ркою за модулем (НСКППМ).
Розв'язання. У процес1 кодування у кодер1 виконуеться: по-перше, просте повторення первинно'' комб1наци 1, подруге, визначаеться додатковиИ перев1рочниИ елемент ¿0 :
k
b0 = £ atmodq = (3 © 2 © 7 © 0 © 5)mod8 = 3 . i = 1
Таким чином, кодова комб1нац1я НСКППМ на виход1 кодера буде мати вигляд:
X = 32705 32705 3 .
Надм1рн1сть коду ^над = r/n = 6 /11; швидк1сть коду R = k/n = 5/11.
Комб1нац1я НСКППМ подаеться у канал зв'язку де д1ють завади, як1 можуть викликати одинократн! помилки. На вх1д приИмального пристрою СПД надходить, напри-клад, кодова комб1нац1я
Y = 32745 32705 3,
в як1И спотворениИ один 1нформац1ИниИ елемент.
Для виявлення 1 виправлення однократно'' помилки у декодер! виконуються так1 операцп:
- порозрядно пор1внюються елементи 1нформац1Ино'' та перев1рочно'' частин приИнято'' кодово'' комб1нацп:
32745 32705,
у результат1 якого маемо незб1г у четвертому розряд1 приИнято'' кодово'' комб1нац1'';
- для визначення м1сця помилки, тобто у як1И, 1нфор-мац1Ин1И чи перев1рочн1И, частин1 приИнято'' кодово'' ком-б1нац1'' виникла помилка, визначаеться кодовиИ синдром:
s1 = (3 © 2 © 7 © 4 © 5 © 3)mod8 = 4; s2 = (3 © 2 © 7 © 0 © 5 © 3)mod8 = 0 .
84
ISSN 1607-3274 "Рад1оелектрон1ка, 1нформатика, управл1ння" № 1, 2001
Ю.П.Жураковський: НЕДВ1ЙКОВЕ КОДУВАННЯ ПОВ1ДОМЛЕНЬ В КАНАЛАХ 3 ПООДИНОКИМИ ПОМИЛКАМИ
Значення ф 0 , що говорить про наявн!сть помилки в
!нформац!йн!й частин! прийнято! кодово! комб!нац!!. Для виправлення помилки у декодер! визначаеться сума за mod8 одержаного спотвореного елемента a4 ' та :
a4 = (a4 ' © )modq = (4 © 4)mod8=0 . П!сля чого декодер виправляе спотворений елемент a4' ! виправлена
!нформац!йна частина прийнято! кодово! комб!нац!! НСКППМ подаеться на вих!д декодера.
3а другим вар!антом !нформац!йна частина прийнято! кодово! комб!нац!! не виправляеться ! на вих!д декодера подаеться як !нформац!йна, неспотворена перев!рочна час-тина прийнято! кодово! комб!нац!! (що ц!лком справедливо, бо л2 = 0 ) без додаткового перев!рочного еле-
мента b0 .
Приклад 2. Закодувати в!с!мковим !теративним кодом, що виправляе однократн! помилки, !нформац!йну посл!-довн!сть 2407435144670215. Визначити надм!рн!сть коду та показати процес виправлення однократно! помилки.
Роэв'яэання. Для того, щоб !теративний код виправляв однократн! помилки, досить для кодування по стовпцям ! рядкам використати код з перев!ркою за mod q, тобто у даному раз! - за mod 8.
Запишемо задану !нформац!йну посл!довн!сть у вигляд! матриц! 4 X 4 та закодуемо кожний стовпець та кожний рядок одержано! матриц! кодом з перев!ркою за mod 8. Додавання виконуемо зг!дно таблиц! 1:
2 4 0 7 1
4 3 5 1 3
4 4 6 7 1
0 2 15 6
2 12 4 5
2 4 0 7 1 0
4 3 5 1 3 0
4^6 7 1 3
0 2 15 6 0
2 12 4 5 0
0 3 0 0 0
Таким чином, кодована посл!довн!сть в!с!мкового !теративного коду буде мати вигляд: 2 4 0 7 1 4 3 5 1 3 4 4
6 7 1 0 2 1 5 6 2 1 2 4 5.
Надм!рн!сть коду Rнад = 9/25 , швидк!сть R = 16/25 .
Припустимо, що при передач! по каналу зв'язку у кодован!й посл!довност! виникла одна помилка ! до декодера надходить така посл!довн!сть: 2 4 0 7 1 4 3 5 1 3 4
7 6 7 1 0 2 1 5 6 2 1 2 4 5. Для виявлення та виправлення помилки у декодер! кодована посл!довн!сть, що над!йшла з каналу, записуеться у вигляд! матриц! по 5 елемент!в у кожному рядку ! виконуеться перев!рка кожного рядка та кожного стовпця матриц! за mod 8:
У результат! перев!рки бачимо, що для третього рядка та другого стовпця перев!рка не дае нульового результату. Це говорить про те, що на перетинанн! третього рядка та другого стовпця знаходиться спотворений елемент.
Виправлення спотвореного елемента виконують таким чином. У зв'язку з тим, що не виконуеться перев!рка для 3-го рядка ! 2-го стовпця, елемент, що знаходиться на пе-ретинанн! 3-го рядка ! 2-го стовпця, зам!нюють елементом, який е сумою за mod8 прийнятого (помилкового) елемента та перев!рочного елемента 3-го рядка (або 2-го стовпця), який був одержаний у декодер!, тобто (7 © 3)mod8=4 . Таким чином, виправлена посл!довн!сть на виход! декодера буде мати вигляд: 2 4 0 7 4 3 5 1 4 4 6 7 0 2 1 5.
5. ВИСНОВОК
Як випливае з вищевикладеного, запропонован! недв!й-ков! систематичн! коди з повторенням ! перев!ркою за модулем q та !теративний мають деяк! переваги над в!до-мими недв!йковими кодами, що виправляють однократн! помилки. Так у пор!внянн! з недв!йковим кодом з багато-кратним повторенням запропонован! коди мають значно меншу надм!рн!сть та б!льшу швидк!сть коду, а у пор!в-нянн! з узагальненим кодом Хемм!нга мають перевагу у техн!чн!й реал!зац!! кодера/декодера завдяки значно менш!й к!лькост! арифметичних операц!й у пол! GF( q) .
ПЕРЕЛ1К ПОСИЛАНЬ
1. Жураковский Ю, П. Передача информации в ГАП. - К.: Вища шк., 1991. - 216 с.
2. Цымбал В.П, Теория информации и кодирование. - К.: Вища шк., 1992. - 263 с.
3. Кодирование информации (двоичные коды): Справ./Н.Т.Бе-резюк, А.Г.Андрущенко, С.С.Мощицкий и др. - Харьков: Вища шк., 1978. - 252 с.
4. Берлекэмп Э, Алгебраическая теория кодирования. - М.: Мир, 1971. - 477 с.
5. Теория кодирования / Т.Касами, Н.Токура, Е.Иведари, Я.Инагаки; Пер. с яп. - М.: Мир, 1978. - 576 с.
