Нечеткологическое оценивание величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кругляков Л.З. Основы проективно-дифференциальной геометрии семейств многомерных плоскостей. Учебное пособие. — Томск: Изд-во Томского ун-та, 1980. — С. 110.

2. Акивис М.А. Фокальные образы поверхностей ранга г // Изв. вузов. Сер. Математика. — 1957. — № 1. — С. 9—19.

3. Остиану Н.М. Об инвариантном оснащении семейств многомерных плоскостей в проективном пространстве: Труды геометрического семинара. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1969. — Т. 2. — С. 247—262.

4. Ивлев Е.Т. О многообразии в я-мерном проективном пространстве Ря(т>2) // Сибирский математический журнал. — 1967. — Т. 8. — № 6. — С. 1307—1320.

5. Ивлев Е.Т. О многообразии T(0,n-m,m) в n-мерном проективном пространстве Pn(m>2,n<m(m+1)) // Сибирский математический журнал. - 1967. - Т. 8. - № 5. - С. 1143-1156.

6. Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. Т. I. -М.: ИЛ, 1954.

7. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl (RNR). - 1962. -V. 2. - P. 231-240.

8. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Непроков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Проблемы геометрии. Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. - С. 7-246.

УДК 681.518:519.68

НЕЧЕТКОЛОГИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ВЕЛИЧИН

И.А. Ходашинский

Томский университет систем управления и радиоэлектроники E-mail: ila@tes.tomsk.elektra.ru

Рассмотрена система оценивания величин, выраженных в виде нечетких множеств. Основой для оценивания является нечеткая логика. Определены способы задания основных логических операций. Приведены результаты анализа оценивания величин при различных функциях принадлежности и различных функциях, задающих операторы t-норм и t-конорм.

Введение

Под величиной будем понимать сущность, в которой проявляются измеряемые, вычисляемые или оцениваемые свойства, свойства эти являются частью описания объекта, явления, процесса и определяют аспекты их поведения. Характерным признаком величины является изменчивость, причем пределы возможных изменений могут быть достаточно точно определены априори.

В теории оценивания можно выделить несколько подходов:

— логико-философский (аксиологический) подход, здесь оценка — это субъективное сравнение или отношение, касающееся объектов, событий, явлений и выраженное в положительной или отрицательной форме, в форме согласия или критики, в предпочтении или неприятии, одобрении или осуждении [1];

- когнитивно-лингвистический подход предполагает переход от ценностной ориентации оценок к расширенному их толкованию [2], здесь различают четыре типа оценок: 1) количественные оценки, выраженные через описание размерности оцениваемых объектов; 2) прототипические оценки — это сравнение со свойствами, присущими большинству рассматриваемых предметов оценивания; шкала прототипических оценок содержит значения нормы, минимум и максимум; 3) гомеостатические или целевые оценки харак-

теризуют имеющиеся у оценивающего субъекта ресурсы, требующиеся для достижения некоторой цели; шкала данного типа оценок упорядочивает затраты ресурсов от минимального до максимального; 4) общие оценки — это по сути оценки в их логико-философском толковании;

— статистическая теория оценок нацелена на определение количественных характеристик случайных величин в условиях ограниченного числа испытаний, основана она на методах теории вероятностей; основой этих методов является положение о том, что усредненные случайные характеристики изучаемых объектов, событий и явлений приближаются к детерминированным при возрастании числа измерений, испытаний или наблюдений;

— оценивание в интервальном анализе имеет своей целью получение приближенного ответа при решении задач и получение оценки возможной погрешности, полученного результата. Природа неопределенности величин, с которой имеет дело интервальный анализ, принципиально отличается от той, с которой оперирует статистический анализ. Последний имеет дело со случайными величинами, в то время как интервальный анализ с ненадежными данными. Основным понятием в интервальном анализе является интервальное число, которое задается двумя вещественными числами, являющимися нижней и верхней оценками [3].

В нашей работе рассматривается задача нечеткого оценивания, которая сводится к нахождению некоторой величины на основе уже имеющихся оценок величин, полученных различными методами, представленных в различных шкалах и разными способами.

Постановка задачи

Предметом оценивания является экстенсивно выраженные свойства объекта, явления, процесса. Правило оценивания любой величины будем представлять в виде структуры, включающей в себя три компонента, каждый из которых выражает: относительность оценивания, характер оценивания, статику либо динамику измеряемых свойств объекта. В соответствии с этим будем различать абсолютные и сравнительные, четкие и нечеткие, статические и динамические оценки величин [4]. Полная оценка величины включает все три составные части.

Суть оценивания заключается в сопоставлении данных из двух разнотипных шкал: абсолютной нечеткой статической (АНС) и сравнительной нечеткой статической (СНС). Результатом такого сопоставления будет значение величины, выраженное в абсолютной нечеткой статической шкале. Указанная система оценивания величин может рассматриваться как нечеткая система типа "много_вхо-дов-один_выход" со следующей базой правил: Правило 1: ЕСЛИ АНС1 = А11 И СНС = А21 ТО АНС2 = В1 А_ТАКЖЕ, Правило 2: ЕСЛИАНС1 = А12 И СНС = А21 ТО АНС2 = В2 А_ТАЖШ,

..................................................................... (1)

Правило п: ЕСЛИАНС1 = А1п И СНС = А2п ТО АНС2 = Вп А_ТАКЖЕ,

где АНС1, СНС - входные переменные, АНС2 - выходные переменные, А1;, А2г и Д - нечеткие множества, которые определены на универсальных множествах Х1, Х2, У, соответственно.

Для получения четкого выходного значения Ь при поступлении на вход системы оценивания четких а1 и а2 необходимо выполнить следующие четыре действия:

1) Объединить посылки в антецеденте каждого правила, то есть выполнить операцию конъюнкции И).

2) Выполнить отношение импликации в каждом правиле (ЕСЛИ... ТО...).

3) Объединить правила, выполнив операцию А_ТАКЖЕ, и получить нечеткое выходное значение из множества объединенных правил, то есть определить итоговую функцию принадлежности.

4) Преобразовать итоговую функцию принадлежности в четкое значение Ь; эта операция носит название "дефазификация".

В настоящей работе предлагается и исследуется нечеткий вывод в приведенной системе оценивания; в качестве варьируемых параметров выступают операторы конъюнкции, дизъюнкции и импликации.

Основные операции нечеткой логики

и алгоритмы их выполнения

Определение. Нечеткое отрицание - это унарная операция, определяемая как

с(а)=1-а, У а [0,1], удовлетворяющая следующим свойствам:

с: [0,1]^ [0,1], с(0)=1, с(1)=0, с(с(а))=а, Уаьа2((аьа2 е [0,1]) л ((а1 < а2) ^ (с(а0 > с(а2)))).

Операции конъюнкции и дизъюнкции определяются через /-нормы и /-конормы.

Определение. Функция Т„:[0,1]п ^ [0,1] называется /-нормой (/-нормальной функцией) на интервале [0,1], а функция £„:[0,1]" ^ [0,1] называется /-конормой (/-конормальной функцией) на интервале [0,1], если для а1, а2, ..., ап, й1, 4, ..., е [0,1] указанные функции обладают следующими свойствами:

коммутативность

Тп(ах, аг, ..., а„) = Т„(ар\ ар\ ..., а„"), Sn(al, а2, ..., ап) = ^„(ар1, ар2, ..., ар"), где ар\ ар2, ..., а/ - это перестановки а1, а2, ..., а„; ассоциативность Тп(ах,аь ...,а„)=ТН1(аьаь ...,а, Т„4(а1Н,...,ак, .,а„))=

=Тп_+1(Ца1,аъ ...,а), а+н,...,ап)), S„(аl,а2,.,а„)=S;+l(аl,а2,.,а;, Sn_(aм,...,ai,..,an)) = =Sn-j+l(Sj(al,aь...,aj), а]Н,...,а„)); монотонность

Тп(ах, аг, ..., а„) < Тп(^, 4 ..., й„), Sn(al, а2, ..., а„) < Sn(dl, 4 ..., й„), для всех а,■ < 4 Граничные условия:

Тп(а1,аг,...,а-1,1,ам,...,а,) = Т.^а^-а^аш,...^,

Sn(al,a2,.,a;.l,0,a;+l,.,an) = Sn.l(al,a2,...,aй,aí+l,...,an), Sn(al, а2, ..., а-1, 1, а;+1, ..., аК) = 1, Т,(аь а2, ..., а,-1, 0, а,+1, ..., аК) = 0.

Кроме того, операторы Т и S являются двойственными по отношению друг к другу:

Т(аъ аг, ..., аК) = 1 - Sn(1-al, 1а ..., 1-an), Sn(al, аъ ., ап) = 1 - Т,(1-аь 1-аъ ..., 1-an), при условии, что операция отрицания задается как с(а)=1-а.

Рассмотрим некоторые /-нормальные и /-ко-нормальные функции и наиболее интересные алгоритмы их вычисления.

Функции Заде. Для двух переменных функции Заде задаются следующим образом:

Т(а, Ь) = шт(а, Ь), S(a, Ь) = тах(а, Ь); для п переменных:

'I{a1,aь..,an)=min(a1,aь..,an), S(a1,a2,.,an)=max(a1,a2,.,an).

Вероятностные функции. Для двух переменных: Т(а, Ь) = а-Ь, £(а, Ь) = а + Ь - а-Ь; для п переменных:

Т(а1, а2, ...,ап) = а1 ■ а2 ■ ... -ап,

( п п п Л

Еа, -ЕЕа,а1 +

S(а 1, . . . , ап) =

/=1 i=1 j>i n n n

hEEEaiaA ± ••• ±П a

^ i=1 j >i k >j i=1

Алгоритм вычисления /-конормальной вероят ностной функции S приведен ниже. Вход. Массив четких значений (хь х2, ..., xn). Выход. Значение S /-конормы. Шаг 1. Вычислить a^A^), a2=A(x2), ..., a=A(x„), Шаг 2. Вычислить S = an, i=n -1. Шаг 3. Пока ;>0, выполнять:

3.1. Вычислить S = а; + (1 - a,)-S;

3.2. Вычислить i = i - 1. Шаг 4. Выход S.

Функции Лукасевича. Для двух переменных: T(a, b) = max (a + b -1, 0), S(a, b) = min (a + b, 1); для n переменных:

T(ai, ..., an) = max [Ea' -(n -1°]'

s(a i, ..., an)=min iE af11.

Функции Швайцера и Скляра для двух переменных имеют следующий вид:

Т(а, Ь) = 1 - ((1 - а) + (1 - Ь)р - (1 - а) -(1 - Ь)РУ/Р, £(а, Ь) = (аР + ЬР - аР ■ЬР)1/Р, р>0, или для п переменных

(п п п

Е (! - а,)Р-ЕЕ (! - а,)Р (1 - а,)Р +

T (а1, ..., ап) = 1 —

S (а1 . . . ап ) =

+ЕЕЕ(1 —а,)*(1 —аа; *(1 — а) * ±.

¡=1 j >1 k >j

±П(1- а,)*

( п п п

Е а*-ЕЕ а* а* +

i=1 i=1 j>i

+ЕЕЕ*аР*аР* ±-±Па* i =1 j >i k > j i=1

Алгоритм вычисления /-конормальной функции Швайцера-Скляра £ приведен ниже. Вход. Массив четких значений (хь х2, ..., х) и значение Р. Выход. Значение £ /-конормы. Шаг 1. Вычислить а1=(А(х1)У, а2=(А(х2)У, ..., ап=(А(хп))Р,

Шаг 2. Вычислить £ = ап, I = п -1. Шаг 3. Пока г>0, выполнять:

3.1. Вычислить S = а; + (1 - а;) ■ S;

3.2. Вычислить I = I - 1. Шаг 4. Вычислить £ = £1/Р.

Для вычисления /-норм используется свойство двойственности.

Рассмотрим ниже задание операции импликации.

Определение. Функция /:[0,1] х [0,1] ^ [0,1] является функцией импликации, если она удовлетворяет следующим двум условиям: 1) /(0,0)= 1(0,1)= /(1,1)=1; 2) /(1,0)=0.

Задание операции импликации зависит от способа описания операций конъюнкции и дизъюнкции. Как правило, операция импликации определяется через операцию дизъюнкции или через функцию /-конормы:

а1 ^ а2=/(аь а2)=£(1- а1, а2).

Ниже перечислены три наиболее часто применяемые задания импликации.

1. Импликация на функциях Заде.

/(а1, а2)=£(1- а1, а2) = тах(1- а1, а2).

2. Импликация на вероятностных функциях.

/(а1, а2)=1- а1+ а2 • а1.

3. Импликация Лукасевича.

/(а1, а2) = т1п(1- а1+ а2,1).

Нечеткий вывод

Каждое нечеткое правило в системе (1) можно представить в виде следующего отношения:

R: An n A2! ^ B. Объединив все правила R = Q R;, где Q - операция, соответствующая союзу "А ТАКЖЕ", представим нечеткую систему оценивания величин в виде следующего отношения:

R : A1 n A2 ^ B,

где R - нечеткое отношение, определенное на X1 х X2 х Y.

Далее, объединив A = A1 n A2, получим R: A ^ B. Тогда при поступлении на вход системы нечеткого входного значения D нечеткое выходное значение F, будет получено из следующего уравнения:

F(y) = D(xi, x)°R(xb Х2, y).

где - оператор композиции. Если этот оператор определить через max - /-нормальную свертку, то

F(y) = sup(rXD(Xi, x2), R( Xi, x2, y))). (2)

Таким образом, проблема определения нечеткой оценки величин состоит в нахождении отношения R.

Пусть на вход нечеткой системы оценивания поступают две четкие оценки xb x2, на выходе системы требуется получить значение y. Нечеткое правило системы (1) в операторной форме представляется следующим образом:

R,(xh x, y) = I(T(Ah(xi), A2;(x2)), B(y)), или, с учетом того, что I(a1, a2)=S(1- a1, a2):

R(xi, x» y)=SWWx?), Adxti)), Bjy)) = = S(S(1-A,(x1), 1- A2,(x2)), B(y)).

Заметим, что если /-конормальная функция имеет параметр, например, параметр p в функции Швайцера-Скляра, то следует различать /-конор-мальные функции, определяющие импликацию и конъюнкцию (дизъюнкцию), отсюда штрих в обозначении оператора /-конормальной функции.

Оператор импликации может быть определен и не классическим путем, например, через /-нормальную функцию:

a1 ^ a2=I(a1, a2)=T(a1, a2),

и тогда нечеткое правило системы (1) будет иметь следующий вид:

Rfa, X2, y)= T (T(A^i(xl), AJX)), B(y)),

Выбор оператора для выполнения операции "А ТАКЖЕ' связан с выбором оператора импликации. Если оператор импликации определен классическим формально-логическим методом через /-конормальную функцию, то оператор "А_ТАК-ЖЕ' определяется через /-нормальную функцию:

Rkl (Х1, Х2, y) = T(Ri(xb X2, y), R2(xb X2, y),..., RS(x1, X2, y))=T(^(S((1-An(x1)), (1- A21(x2))), B1(y)), ..., SWa-AUxO), (1- AUx))), Bjy))).

Если оператор импликации определен через /-нормальную функцию, то оператор "А_ТАКЖЕ" определяется через /-конормальную функцию:

RMX1, Х2, y) = S\R{(xb x2, y), R{(x1, x2, y),..., Rfe X2, y))=S\T\T(Aü(x1), A21(X2)), Bx(y)),.., T(T(Am((x1), Ль№), Bjy))).

Указанный способ объединения правил совпадает с подходом, основанным на аппроксимации Мамдани [5].

Вернемся к рассмотрению уравнения (2). Если на вход нечеткой системы оценивания поступает не нечеткое значение D, а четкие x1, x2, то, с учетом граничных условий,

F(y) = R(x1, Х2, y).

В системе аппроксимации Мамдани функция принадлежности выходного значения вычисляется следующим образом:

FM(y) = S(r(T(An(x1), A21(x2)), Bx(y)),..., TWAjX), AM), ВШ,

а нечеткий выход в системе оценивания, основанной на формально-логическом подходе:

х2, У) = ЩЩ1-Лп(х1)), (1- МШ Ш), ада-АМ), (1- АъШ, Б„(У))).

Определение четкого значения Ь из нечеткого Ду) или дефазификация происходит с использованием метода центра тяжести по следующей формуле:

У2

J yF (y )dy

b = ■

J F (У )dy

Исследование

Рассмотрим нечеткую систему оценивания со следующей базой правил:

ЕСЛИАНС1 = очень малая И СНС = много меньше ТО АНС2 = очень малая, ЕСЛИАНС1 = малая И СНС = много меньше ТО АНС2 = очень малая, ЕСЛИАНС1 = средняя И СНС = много меньше ТО АНС2 = очень малая, ЕСЛИАНС1 = большая И СНС = много меньше ТО АНС2 = малая, ЕСЛИАНС1 = очень большая И СНС = много меньше ТО АНС2 = средняя, ЕСЛИАНС1 = очень малая И СНС = меньше ТО АНС2 = очень малая, ЕСЛИАНС1 = малая И СНС = меньше ТО АНС2 = очень малая, ЕСЛИАНС1 = средняя И СНС = меньше ТО АНС2 = малая, ЕСЛИАНС1 = большая И СНС = меньше ТО АНС2 = средняя, ЕСЛИАНС1 = очень большая И СНС = меньше ТО АНС2 = большая, ЕСЛИАНС1 = очень малая И СНС = равны ТО АНС2 = очень малая, ЕСЛИАНС1 = малая И СНС = равны ТО АНС2 = малая, ЕСЛИАНС1 = средняя И СНС = равны ТО АНС2 = средняя, ЕСЛИАНС1 = большая И СНС = равны ТО АНС2 = большая, ЕСЛИАНС1 = очень большая И СНС = равны ТО АНС2 = очень большая, ЕСЛИАНС1 = очень малая И СНС = больше ТО АНС2 = малая, ЕСЛИАНС1 = малая И СНС = больше ТО АНС2 = средняя, ЕСЛИАНС1 = средняя И СНС = больше ТО АНС2 = большая, ЕСЛИАНС1 = большая И СНС = больше ТО АНС2 = очень большая, ЕСЛИАНС1 = очень большая И СНС = больше ТО АНС2 = очень большая, ЕСЛИАНС1 = очень малая И СНС = много больше ТО АНС2 = средняя, ЕСЛИАНС1 = малая И СНС = много больше ТО АНС2 = большая, ЕСЛИАНС1 = средняя И СНС = много больше ТО АНС2 = очень большая, ЕСЛИАНС1 = большая И СНС=много больше ТО АНС2 = очень большая, ЕСЛИАНС1=очень большая И СНС =много больше ТОАНС2=очень большая.

Анализ работы системы проведен при поступлении на вход абсолютных четких значений из интервала [0,10], а сравнительная оценка не меняется и равна 5 (СНС = равны). При таких условиях легко прогнозируется выходная оценка, она равна абсолютному четкому значению на входе системы. Исследования проведены на двух множествах функций принадлежности, приведенных на рис. 1.

очень малая малая

много меньше меньше

большая очень бол ьшая

больше много больше

очень малая много меньше

малая меньше

а)

средняя

большая больше

очень большая много больше

\ \ у ;-<.. / ч, х \ ч / ч / / ч / ч

✓ у у у * ч ч ч ч ч ч

123456789 10 Ь)

Рис. 1. Функции принадлежности

мально-логическому подходу. Ошибка вывода определялась как разность между вычисленным и ожидаемым значениями. Как следует из приведенных рисунков, отдать предпочтение какому либо типу функций невозможно, необходима настройка системы оценивания на логику пользователя.

Рамки статьи не позволяют привести результаты всех проведенных исследований. Отметим, что ошибка вывода для функций Заде и вероятностных функций не меньше, чем для ошибoк, приведенных в настоящей работе.

Резюме

Любая нечеткая система, в том числе и система нечеткого оценивания, нуждается в настройке на логику пользователя. Настройка возможна путем подбора функций принадлежности, а также функций, описывающих /-нормы и /-конормы. В работе

Функции Швайцера-Скляра, р=0,00035

Функции Лукасевича

а

н о

в

в а к

ю

и

а о

Рис. 2. Ошибки вывода для функций принадлежности типа а

Функции Швайцера-Скляра, р=0,00035

Функции Лукасевича

Рис. 3. Ошибки вывода для функций принадлежности типа Ь

На рис. 2 и 3 показаны ошибки вывода при различных функциях принадлежности и функциях, определяющих /-нормы и /-конормы. На указанных рисунках пунктирные линии соответствуют аппроксимации Мамдани, а непрерывные - фор-

приведены и проанализированы способы построения и настройки нечеткой системы оценивания. Указанные результаты могут быть использованы при построении нечетких регуляторов и иных систем нечеткого моделирования и управления.

10

4

7

6

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ивин А.А. Основания логики оценок. — М.: МГУ, 1970 — 229 с.

2. Баранов А.Н. Когнитивный статус естественно языковой оценки (к типологии языковых стратегий оценивания). Формальные и неформальные рассуждения // Ученые записки Тартуского государственного университета. Вып. 840. — Тарту: 1989. — С. 5—23.

3. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. — М.: Мир, 1987 — 360 с.

4. Ходашинский И.А. Псевдофизическая логика оценок величин // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1988. — № 5. — С. 96—107.

5. Emami M.R., Turksen I.B., Goldenberg A.A. A unified parameterized formulation of reasoning in fuzzy modeling and control // Fuzzy Sets and Systems. — 1999. — V. 108. — P. 59—81.

УДК 519.714.2

НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СЛУЧАЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЯ КАНАЛОВ НАБЛЮДЕНИЙ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ

Н.С. Демин*, С.В. Рожкова**, О.В. Рожкова**

*Томский государственный университет, **Томский политехнический университет E-mail: svrhm@mail2000.ru

Результаты работ [1, 2] обобщаются на случай резервирования дискретных каналов наблюдения с памятью. Исследуется зависимость точности оценивания от кратности резервирования каналов наблюдения.

1. Введение

В [1] на основе анализа научных публикаций была решена задача синтеза оптимального в сред-неквадратическом смысле несмещенного фильтра-интерполятора-экстраполятора (далее ФИЭ) в случае непрерывно-дискретных наблюдений с памятью при наличии аномальных помех, а в [2] доказана оптимальность процедуры исключения аномальных компонент вектора наблюдения и исследована зависимость качества оценивания от размерности и структуры аномальных каналов наблюдения. На практике одним из средств повышения надежности измерительных систем и точности систем обработки информации является резервирование каналов наблюдения [3]. В данной статье исследуется вопрос зависимости точности оценивания от кратности резервирования каналов наблюдения. Модели процессов х,, г.,, и система предположений и обозначений те же, что и в [1].

2. Резервирование каналов наблюдения

Пусть индекс [/] - кратность резервирования в дискретном канале наблюдения. Тогда д-/-мерный вектор дискретных наблюдений в соответствии с (1.3) из [1] принимает вид

N

Пфш) = ) х,т + £ о!]«т) хТ4 +

к=1

+ )£[]('я ) + С[1}/«Я ), (1)

где: О01(,т) и О^^п), являются блочно-столбцовыми матрицами размеров (д-/хп), состоящими соответственно из / матриц О0(,и) и Ок(,и) размеров (дхи); £м(0 - —мерный вектор регулярных помех с матрицей интенсивности ^](4>) размера (д- /хд- /), которая является блочно-диагональной и состоит из матриц У/((т) размера (дхд),у = 1;/; матрица Си размера (д-/хг) является блочно-столбцовой, состоящей из / булевых матриц С размера (дхг) той же структуры, что и в [1];ДО - г-мерный вектор аномальных помех, г <д-/, того же типа, что и в [1].

Следующие два Утверждения очевидны.

Утверждение 1. Оптимальный в среднеквадра-тическом смысле несмещенный ФИЭ в случае резервирования дискретных каналов наблюдения с кратностью [/] определяется Теоремой 1 из [1], где всюду должен быть поставлен индекс резервирования [/].

Утверждение 2. Для определенного в Утверждении 1 ФИЭ справедливы Теорема 2 из [1] и Теоремы 1-3 из [2].

3. Фиксированный момент включения системы

с резервированием

Аналогично [2] введем критерий качества, характеризующий точность оценивания при кратности резервирования [/]

J[,]('» ) = tr

W+L +1 (TN , m , SL )

(2)