CC BY
51
Fuzzy discounted payback period valuation methods Makarova M. (Russian Federation) Нечеткие методы оценки дисконтированного периода окупаемости Макарова М. С. (Российская Федерация)
Макарова Мария Сергеевна /Makarova Maria - магистрант, кафедра Математика-1, факультет прикладной математики и информационных технологий, по направлению
«Количественные методы в финансах и экономике», Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, г. Москва
Аннотация: статья посвящена задаче оценки нечеткого дисконтированного периода окупаемости. Предложенные методы используются при оценке инвестиционных проектов, два из предложенных в статье метода оценивают ликвидность проекта, и один из методов оценивает эффективность и согласуется с чистой приведенной стоимостью. Теория нечетких множеств работает с неопределенностью, которая носит не стохастический характер, что характерно для задач инвестиционной сферы.
Abstract: the article is devoted to the problems of evaluating fuzzy discounted payback period. Proposed methods are used in the investment projects evaluation, two methods proposed in the article evaluate the liquidity of the project and one method evaluates the effectiveness and consistent with the net present value (NPV). The fuzzy sets theory has to deal with the not stochastic uncertainty, which is typical for the investment sphere problems.
Ключевые слова: инвестиционные проекты, долгосрочное инвестирование, теория нечетких множеств, нечеткий дисконтированный период окупаемости, обобщенный нечеткий период окупаемости. Keywords: investment projects, capital budgeting, fuzzy sets theory, fuzzy discounted payback period (FDPB), generalized fuzzy payback period (GFPB).
Расчет нечеткого дисконтированного периода окупаемости (FDPB) с начальной дефаззификацией.
Данный метод использует треугольные нечеткие числа (T.F.N.). Для расчета взяты данные компании 3DTV-VISION [7] Таблицы 1 и 2.
Таблица 1. Будущие потоки платежей Таблица 2. Ставки дисконтирования
t Ct1 Ct2 Ct3
0 -1 061 000 -1 061 000 -1 061 000
1 -1 619 158 -919 699 -485 929
2 1 077 586 2 228 108 2 843 685
3 2 148 265 3 828 852 4 789 892
t rt1 rt2 rt3
1 2,20% 3,44% 5,50%
2 2,40% 3,59% 4,60%
3 1,30% 2,92% 4,20%
Ставки г^взяты с сайта ЦБ [8] как минимальные ставки по депозитам в долларах США1 сроком на год, ожидаемые ставки по депозитам и максимальные ставки за периоды £ = 2 01 1,2 012 ,2 01 3.
Пусть С,0 обозначает первоначальную стоимость инвестиций альтернативы у, и С,(.чистая прибыль,
полученная от инвестиционной у за период — ставка дисконтирования за период £, наименьшее значение
/ Ма) гг(а) \
/ ^т ] 7'С ^т ] 7'С \ --
ш,, принимая во внимание стоимость денег во времени I X ¿=1 ^ , X¿=1 (1+?. ца)^, I — С,0 определяет срок окупаемости инвестиций у, где С, 0 —четкое число; С^(а) является левым представлением нечеткого
С. /^г(а)
на срезе; является правым представлением нечеткого треугольного числа
; аналогично для
Метод Кахрамана [4] позволяет рассчитывать БРБ, когда исходные данные являются нечеткими числами. Однако Кахраман предлагает сначала дефаззифицировать нечеткие числа, а затем проводить расчеты БРБ.
Метод Чиу и Парка [3] метод дефаззификации треугольных нечетких чисел (Т^^^) с параметрами (а, Ь, с) , формулируется следующим образом: + у Ь, где и/ это значение, определяющееся характером
и величиной наиболее возможного значения.
Кауфман и Гупта [5] предлагают три критерия для дефаззификации Т.Р.Кб с параметрами Последовательность доминирования определяется в соответствии с приоритетами:
Л ~ - а+2Ь+с
1. Сравнивая первое обычное число —-—.
2. Сравниваем моду соответствующую Ь , каждого из Т.Б.К.
1 Бизнес план 3DTV-VISION рассчитан в валюте: доллар США
3. Сравниваем расстояние с — а, каждого из Т.Б.К.
Результаты расчета для дефаззификации Чиу и Парка £> Р В = 1,8449 ; пр и № = 0 , 4, для дефаззификации Кауфмана £> РВ = 1,999 3 .
Рассмотрим График 1 окупаемости при 1=2:
График 1. Окупаемость проекта при 1=2
Из графика можно сделать вывод, что большая часть левой границы нечеткого числа окупится в промежутке £ = [ 2 , 3 ] , поэтому метод не точно описывает действительность.
Расчет нечеткого дисконтированного периода окупаемости (FDPB) на каждом а — срезе. Рассчитаем период окупаемости (наименьшее т^ для каждого а — среза ( а — cрезы рассчитаем с шагом 0,1) по формуле:
(1 + ¿-,(1 +
> С]0
Ь=1
Результат представлен на Графике 2.
График 2. Еи^ ОРБ Расчет обобщенного периода окупаемости (GFPB).
Данный метод рассматривает трапециевидные нечеткие числа (Tr.F.N). Таблица 3.
Таблица 3. Будущие потоки платежей и ставки дисконтирования
Ш сг2 03 С4 г!1 г12 г13 г14
1061000 1 061 000 1 061 000 1 061 000 2,2 0% 2,9 4% 3,9 4% 5,5 0%
1619158 1 019 699 819 699 485 929 2,4 0% 3,0 9% 4,0 9% 4,6 0%
1077 2 028 1 2 428 1 2 843 6 1,3 2,4 3,4 4,2
586 08 08 85 0% 2% 2% 0%
2148 265 3 528 8 52 4 128 8 52 4 789 8 92
Метод является модификацией DPB, и он согласуется с показателем чистой приведенной стоимости (NPV). В этом методе рассчитывается эквивалентная годовая стоимость в нечетком виде (equivalent annual cost (EAC) - ежегодная стоимость владения актива) по формуле [6] FEA V = FN Р V*П " 1 , где П ¿ =
_(l+K ■)—^
-1— (П = [П 4,П з ,П 2 ,П 1 ] ) и FNP V— нечеткая чистая приведенная стоимость. Далее начальные
K¡
инвестиции делятся на эквивалентную годовую стоимость GFPP = — С0 * FEAV~ 1,где FEAV >0 и С0 < 0. Результат расчета на Графике 3.
График 3. GFPB
Данный метод дает свою оценку периода окупаемости путем
обобщения и усреднения CFt п о t. В
рассмотренном примере значения росли к
концу проекта, поэтому GFPB сдвинут влево относительно DPB
рассмотренных ранее.
Подводя итоги по нечетким периодам
окупаемости метод
Кахрамана [4] дефаззифицирует входные данные и рассчитывает DPB как четкое число. Проведя расчет DPB на каждом срезе автор получил более подходящий результат, отражающий реальность рассмотренного проекта. Что касается GFPB, то этот метод не является классическим DPB, однако согласуется с показателем NPV. GFPB рассчитывает средний годовой CF за все периоды реализации проекта. Автор не советует рассматривать GFPB как показатель окупаемости в чистом виде. Как дополнительный показатель оценки эффективности GFPB весьма хорош.
Литература
1. Брейли Р. Принципы корпоративных финансов. / Р. Брейли, С. Майерс. - М.: Олимп-бизнес, 2014. - 1008 с.
2. Виленский, П. Л. Оценка эффективности инвестиционных проектов. / П. Л. Виленский, В. Н. Лившиц, С. А. Смоляк. - М.: Дело, 2002. - 888 с.
3. Chiu C. Y. Fuzzy cash flow analysis using present worth criterion. / C. Y. Chiu, C. S. Park. // The Engineering Economist. - 1994. - Т. 39. - №. 2. - С. 113-138.
4. Kahraman C. Capital budgeting techniques using discounted fuzzy versus probabilistic cash flows. / C. Kahraman, D. Ruan, E. Tolga. // Information Sciences. - 2002. - Т. 142. - №. 1. - С. 57-76.
5. Kaufmann A. Fuzzy mathematical models in engineering and management science. / A. Kauffman, M. M. Gupta - Amsterdam: Elsevier Science Inc., 1988. - 362 c.
6. Valledepaz H. R. Generalized Fuzzy Payback Period. // Proceedings of The 17th World Multi-Conference on Systemics, Cybernetics and Informatics (WMSCI) - 2013.
7. Бизнес план компании 3DTV-VISION. / [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.cfin.ru/business-plan/samples/3d.shtml(дата обращения: 15.03.2015).
8. Исторические ставки по депозитам на сайте ЦБ. / [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.cbr.ru/statistics/print.aspx?file=b_sector/dii_rates_2_12.htm&pid=int_rat&sid=ITM_15417 (дата обращения: 02.04.2015).
