НЕЧЕТКИЕ ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ ВОЛНОВЫХ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ ГИРОСКОПОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5:681.3

DOI: 10.18698/0236-3933-2021-1-78-101

НЕЧЕТКИЕ ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ ВОЛНОВЫХ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ ГИРОСКОПОВ

Н.П. Деменков И.А. Мочалов Д-M. Чан

dnp@bmstu.ru mochalov2501@yandex.ru ruxi.tran@gmail.com

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация

Аннотация

Рассмотрены простейшие нечеткие модели осцилляторов, представленные четкими и нечеткими дифференциальными уравнениями второго порядка с четкими и нечеткими начальными условиями. Линейные модели представляют описание волновых процессов в кольцевых резонаторах волновых твердотельных гироскопов. Показано, что в случае 1 четкой модели с нечеткими начальными условиями, когда отсутствует внутреннее трение (модель 1), фазовые траектории имеют вид нечеткого центра в форме эллиптического кольца. При наличии внутреннего трения (модель 2) фазовые траектории имеют вид нечеткого фокуса в форме кольцевой логарифмической спирали. Для случая 2, когда имеет место нечеткая модель волнового твердотельного гироскопа с четкими начальными условиями, при отсутствии внутреннего трения (модель 1) изображающая точка нечеткой фазовой траектории с увеличением времени не прекращает свои колебания и они не нарастают, поэтому система асимптотически неустойчива, а для модели 2 особая точка начала координат является нечетким устойчивым фокусом. Для случая 3 — нечеткая модель волнового твердотельного гироскопа с нечеткими начальными условиями при отсутствии внутреннего трения (модель 1) — имеет место нечеткая асимптотическая неустойчивость модели 1 волнового твердотельного гироскопа, а при наличии внутреннего трения (модель 2) фазовая траектория также зависит от времени и задает асимптотическую устойчивость нечеткой модели 2 волнового твердотельного гироскопа. Для всех случаев и моделей определена асимптотическая устойчивость

Ключевые слова

Волновой твердотельный гироскоп, осциллятор, кольцевой резонатор, нечеткие фазовые траектории

Поступила 18.02.2020 Принята 20.07.2020 © Автор(ы), 2021

Введение. В последнее время теория нечетких множеств получила широкое распространение применительно к решению разнообразных задач анализа и синтеза систем автоматического управления в условиях воздействия на них различного рода возмущений, вносящих неопределенность в их модельное представление. Реализованы различные нечеткие модели в представлении начальных и краевых задач для нечетких дифференциальных уравнений [1-9], нечеткого преобразования Лапласа [9-12]. Эти методы и модели применимы к решению задач оценивания [13, 14], интерполяции и обработке информации нечеткими сплайнами [15-18], исследованию принципа максимума для нечетких дробных задач оптимального управления [19], нечетких систем автоматической оптимизации [20], систем с прогнозированием [21], с использованием метода анализа иерархии [22], к нечеткому управлению силовыми гироскопическими приборами [23], созданию различных нечетких моделей для волновых твердотельных гироскопов (ВТГ) [24].

Однако в применении нечетких методов имеются некоторые проблемы, нерешенные к настоящему времени, но являющиеся центральными в нечеткой теории автоматического управления. Очевидно, к ним относится задача определения устойчивости нечетких динамических систем [25]. В общей постановке эта задача является нерешенной до сих пор, однако некоторые методы, в частности метод нечетких фазовых траекторий, к настоящему времени достаточно хорошо разработан и с успехом применяется для исследования устойчивости нечетких динамических систем, описываемых нечеткими дифференциальными уравнениями второго порядка [26-31].

Метод, основанный на понятии фазового пространства, характеризуется геометрической наглядностью и возможностью получения полного представления о движениях системы. В связи с этим он широко используется среди методов анализа линейных и нелинейных систем в традиционной математике и теории управления. Создателем метода является А. Пуанкаре, который применил его для анализа систем, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка. Часто этот метод применяется для исследования процессов управления на асимптотическую устойчивость и по сравнению с другими методами имеет значительную простоту.

Условия асимптотической устойчивости систем с нечетким управлением на основе использования квадратичной и нечеткой функций Ляпунова найдены в [30]. Фазовая плоскость системы в [31] разбивается на подобласти, с каждой из которых связана линейная модель. Каждая линейная модель представлена в форме пространства состояний.

Для идентификации выбранных параметров линейных систем используется метод наименьших квадратов, для получения общего выхода нелинейной системы — нечеткое представление.

Волновой твердотельный гироскоп — один из наиболее перспективных гироскопических приборов, предназначенных для определения угла поворота и угловой скорости вращения объекта в инерциальных системах навигации. Принцип действия ВТГ основан на инертных свойствах стоячих упругих волн, возбужденных в осесимметричных оболочках. Чувствительным элементом прибора является кварцевый резонатор — тонкая полусферическая оболочка, изготовленная из плавленого кварцевого стекла и закрепленная на цилиндрическом стержне в области полюса.

Основы теории ВТГ и исследование влияния различных физических источников возмущений на точность ВТГ приведены в [32-37] и др. Однако до сих пор имеются такие нерешенные проблемы, как влияние неопределенных параметров на динамику ВТГ, компенсация погрешности ВТГ с учетом влияния неопределенных технологических дефектов.

При расчете параметров ВТГ используют различные модели — от традиционных уравнений математической физики для решения начальных и краевых задач до классических линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

В реальности ВТГ всегда имеют неопределенности, обусловленные суммарным воздействием технологических дефектов при их изготовлении, неоднородностью плотности материала, толщин оболочек, различных возмущений, вызванных побочными вибрациями и другими неконтролируемыми факторами.

В настоящее время в теории ВТГ имеет место расчет каждой компоненты, определяющей неопределенность, и как правило, для ее описания применяют детерминированные и вероятностные модели. Такой подход при моделировании является достаточно сложным и не всегда адекватным. Например, при использовании вероятностной модели накладываются жесткие ограничения на соответствующие плотности распределения вероятностей, их моменты и т. д., которые на практике не всегда выполняются, что приводит к значительным ошибкам при расчете точностных параметров ВТГ. Детерминированные методы часто достаточно сложны.

В навигационных системах, включающих в себя ВТГ, большое значение приобретают нечеткие модели в описании неопределенности их функционирования. Это обусловлено возможностью представления не только наихудших и наилучших результатов функционирования систем в неопределенных условиях, как это позволяют интервальные методы, но и полу-

чения промежуточных результатов. Такой подход более прост по сравнению с традиционными подходами и дает более адекватные оценки при расчете параметров резонаторов.

Существенный интерес представляет изучение амплитуд стационарных колебаний от параметров, характеризующих демпфирование, частоту внешнего воздействия и нелинейность упругих свойств материала резонатора.

Определения. Терминология нечетких множеств и другие ее положения, которые использованы в работе, изложены в [7-10, 24].

В качестве нечеткой производной используется производная Сейкка-ла, которая для нечеткой функции f г), г е [0;1] с R; t е [0; T] с R, определяется в виде:

7Ц, г) = (7(г, Г), %(г, Г)| Г е[0,1]).

Применяется следующее представление нечеткой функции в виде комплексной переменной:

гн =(г(г), х(г)/ ге[0;1]) = г(г) + гг(г); г = (-1)1/2.

Постановка задачи. Применительно к резонатору исследуемая динамическая система представляется в канонической матричной форме Коши:

х^) = Лх^), х^ = 0) = х0, (1)

где х^), х0 е R2; Л — матрица с Шш Л = (2 х 2); ау е К, г, у = 1,2;

t е [0; Т] с К.

Рассматриваются три случая.

Случай 1. Вектор х0 в (1) является нечеткой переменной, т. е. Х0 = = хн0 е Е2, индекс «н» обозначает нечеткость; Е2 — двумерное нечеткое векторное пространство.

Случай 2. Вектор х0 е К2, элементы ау е Е — нечеткие переменные.

Случай 3. Вектор х0 = хн0 е Е2; а^у е Е.

Цель работы — рассмотрение простейших случаев 1-3 и построение нечетких фазовых траекторий применительно к линейным моделям, которые возникают при описании резонаторов волновых твердотельных гироскопов [24] при отсутствии (модель 1) и наличии (модель 2) внутреннего трения.

Метод решения. При анализе динамических систем с использованием фазовых траекторий применены два метода.

В первом из них фазовое представление получается из общего решения исходного четкого дифференциального уравнения второго порядка, т. е. путем нахождения второго интеграла. Этот метод является наиболее простым и понятным. Далее он применен для случая 1 моделей 1, 2.

Во втором методе, который применен в случаях 2, 3 моделей 1, 2, каждая компонента общего решения является нечеткой переменной. Поэтому она имеет две составляющие в виде нижней и верхней ее частей. В этих случаях для представления фазовых траекторий реализована матричная форма описания моделей ВТГ применительно к нечеткому дифференциальному уравнению первого порядка, определенному над полем комплексных переменных.

Нечеткие фазовые траектории осциллятора ВТГ. Случай 1 модели 1 ВТГ [27]. Рассматривается четкое уравнение движения кольцевого резонатора при отсутствии внутреннего трения (Е, = 0, Е, — коэффициент демпфирования) и внешней нагрузки с нечеткими начальными условиями, когда уравнение движения имеет вид нечеткой начальной задачи второго порядка:

|а(т) + kа(т) = 0, k = 36/5 >0 — четкое уравнение; (2)

[а(т = 0) = ан1, а(т = 0) = ан2 = 0н — нечеткие начальные условия,

где а(т) — амплитуда перемещения стоячей волны в радиальном направлении кольцевого резонатора; т — безразмерное время.

Для нахождения фазовой траектории в виде некоторой зависимости f (а, а, ан1, ан2) будем использовать первый метод ее определения как наиболее простой по сравнению со вторым методом, изложенным в [24]. В этом случае общее решение (2) находится традиционным способом вследствие того, что уравнение (2) имеет четкое представление:

X2 + k = 0 — характеристическое уравнение;

^1,2 = i(k)1/2 — его корни являются чисто мнимыми. Поэтому четкое общее решение (2) имеет вид

а(т) = c1 cos (k1/2т) + c2 sin (k1/2 т), (3)

где C1, C2 — произвольные постоянные, определяемые из нечетких начальных условий.

Определяем а(т) из (3):

k-1/2а(т) = -C1 sin (k1/2т) + C2 cos (k1/2т). (4)

Неизвестный вектор С = (С1, С2)т находится из нечеткой системы линейных алгебраических уравнений (НСЛАУ), полученной из (3), (4) при т = 0:

B0C0 - Ан0>

(

где B0 =

cos (k1/2 т) sin (k1/2 т)" -sin(k1/2т) cos(k1/2т)

t=0

(1 01 V 0 1 V

, det B0 = 1 ф 0, B0

(5) матри-

ца с четкими элементами; Лн0 = (ань к 1/2 ан2 ) — заданный нечеткий вектор начальных условий; С0 — вектор, подлежащий определению из расширенной системы НСЛАУ [14].

Имеем

С0 = С^0 = 50-!Лн0, ёе! В * 0, (6)

где «*» — символ найденного решения. Здесь С = Сн0 обусловлено выравниванием нечеткостей, т. е. справа и слева в (6) должны находиться нечеткие переменные.

В соответствии с теорией решения НСЛАУ из (6) получим

Здесь

Сн0 = Bö1 Ане ^ C0(r) = S-1 Ac(r).

C0(r) = (с 2(r), £2(r), C1(r), C2 (r))т;

A0(r) = (a 1(r), k"1/2a2(r), öi(r), k"^(r))т;

(7)

S =

( B0 0 >

v 0 B0 у

блочная матрица с блоками В0 = (I 0 >

(1 0^

v 0 1 у

= I, I

единич-

V 0 1,

ная матрица; ёе! 5 Ф 0; 5 1 =

В результате получим компоненты с*1, сн2 вектора Сн0:

Сн1 = С*(г) = ( с*(г) = а 1(г), с1*(г) = а1(г)); = с2(г) = (с2(г) = к"1/2а2(г), С2*(г) = г1/2а2(г)),

которые в соответствии с теорией НСЛАУ могут быть «сильными/ слабыми», поэтому после их подстановки в (3), (4) могут быть получены «сильные/слабые» а(т), а(т) и далее «сильные/слабые» фазовые траектории.

Для первого квадранта, когда k1/2 т>0, имеем sin (к1/2 х)> 0, cos (k1/2 х) > 0, поэтому из (3), (4) с учетом (7) получим

Ан(т) = T (т)Лн0,

где

(

Лн(т) = A(r, т) =

a(r, т) k 1/2 a (r, т)

Л

-а (r, т) -к 1/2а (r, т)

(

Ано = Ao(r) =

a1(r) к "1/2 а 2(r)

-ä1(r) -к"1/2Ü2(r)

T (х) =

f Б(х) 0 ^ 0 Б(т)

(

Б(т) =

cos (k1/2 т) sin (k1/2 х) -sin(k1/2т) cos(k1/2т)

Для нижнего значения, обозначенного нижним подчеркиванием, определим

А(г, т) = В(х)Ло(г); А(г, т) = (а(г, т), к~1/2а(г, т))т ; Ло(г) = (а 1(г), к-1/2 а 2(г) )т,

откуда

а(г, т) = ü1(r) cos ( k1/2 х) + k 1/2 а 2(r) sin ( k1/2 x); k "1/2 а (r, т) = -a 1(r) sin (k1/2 x) + k "1/2 а i(r) cos (k1/2 x).

После возведения в квадрат и сложения получим

а2 (r, x) + k _1á2 (r, x) = а 1(r) + k ~1u22(r).

(8)

Аналогично определим верхнее значение фазовой траектории, обозначенное верхней чертой:

а2 (г, х) + к_1аГ2 (г, х) = а 2(г) + к (г). (9)

Уравнения (8), (9) задают нечеткую «сильную/слабую» фазовую траекторию в виде эллиптического кольца с нечеткими полуосями ин, ун (рис. 1):

' -1-1/2 *

Ын =

_1/2 _

u(r) = [ a1(r)+k _1a2(r)] , u(r) = [ aKr)+k _1a^(r)]

Ун = v(r) =

1/2

I v(r) = k"1/2 [a2(r) + k"1022(r)] 1/2, v(r) = k"1/2 [a2(r) + k"1ä22(r)]"

1/2

-1,5

-1,5 -1,0 -0,5 0 0,5 1,0 1,5

Рис. 1. Нечеткая фазовая траектория относительно начала координат для кольцевого резонатора ВТГ при отсутствии внутреннего трения (нечеткий центр, u = (й,й), v = (у, у) — параметры)

При варьировании нечеткими начальными условиями вся фазовая плоскость будет заполнена замкнутыми кривыми в виде эллиптического кольца. Каждой из них на фазовой плоскости соответствует некоторое нечеткое периодическое движение в системе. Нечеткие колебания в ней зависят от нечетких начальных условий. Поэтому однажды начавшись, они уже не прекращаются и не нарастают, другими словами, нечеткая система является неустойчивой.

Случай 1 модели 2 ВТГ [28]. Волновой процесс при наличии внутреннего трения имеет вид

а(т) + 2аа (т) + ка(х) = 0; а(т = 0) = а1н, а(т = 0) = а2н, где а = Е,к, 2, — коэффициент демпфирования.

Вычисления дают:

Л,2 + 2аЛ + к = 0 — характеристическое уравнение;

^1,2 = _а ± ¿51/2 — корни характеристического уравнения, 5 = а2 - к.

С учетом значений собственной частоты ВТГ, выполненного из материала типа плавленого кварца, и его добротности будем иметь 8 < 0. Поэтому ^1, Л2 являются комплексно-сопряженными корнями, и тогда запишем общее решение (10) в следующем виде:

(10)

а(т) = е"ат [q cos(б1/2т) + C2 sin(б1/2т)"

(11)

где С1, С2 — произвольные постоянные.

В компактной форме (11) представляется в виде гармонического колебания:

а(т) = Ae~ах cos(Q1i + s), (12)

где A, Ш1, s — величины, получаемые из соответствующего прямоугольного треугольника:

A = ( С2 + C22 )1/2; tg 8 = C2Cf1; ®1(k - а2 )1/2.

После дифференцирования (12) получим

á(x) = -Aae~ах cos(Q1T + e) -Аш1е"ат sin^x + s). (13)

Уравнения (12), (13) представляют собой параметрические уравнения фазовых траекторий с параметром т. Исключив его из этих уравнений, запишем

(X + аа = -A©1e "ат sin^x + s). (14)

Из (12) имеем

ш1а = Ara1e~ах cos(Q1x + s). (15)

Из уравнений (14), (15) получим

(á + аа)2 +ш12а2 = A2&12e~2ax. (16)

Находим зависимость х(а, а), для чего разделим (14) на (15), что дает -(á + a а)(ш1а)"1 = tg(Q1T + e), откуда

х = - (s + arctg ((а + аа)(ш1а)"1)) ©Г1.

Подставляя полученные выражения в (16), определяем

(а + аа)2 +ш12а2 = С exp ^ 2acoj"1 arctg {{а + аа)(ш1а)"1 )J, (17)

где С = A2®2 exp (2аш{4).

Выражение (17) представляет собой уравнение фазовых траекторий в виде семейства спиралей, которые накручиваются на начало координат. Обычно для наглядности преобразования (17) его изображают в полярной системе координат. Для этого в (17) выполним линейное преобразование координат: х = ©а у = аа + а, тогда (14) получим в форме

х2 + y2 = С exp ^2аш]"1 )arctg (ух"1) . (18)

После перехода к полярной системе координат (f, ф): х = f cos ф; у = -f sin ф уравнение (18) будет иметь вид

/2 = Сехр )агС^(-tgф) ^ / = С* ехр1ф), (19)

где tg(ф) = -(ух_1) = -(а + аа)(ю1а)_1 = tg(ю1т + г) Оф = шхт + 8, С* = С1/2.

Следовательно, в полярной системе координат (/, ф) получим (19) в виде уравнения логарифмической спирали:

/ = С * ехр[-аю]"1(ю1т + 8)]. (20)

Здесь С*, в — произвольные константы, зависящие от нечетких начальных условий а(т = 0) = а1, а(т = 0) = а2. Для определенности примем, что они принадлежат первому квадранту. Из (11) и ее производной имеем НСЛАУ относительно вектора сн0 — (сн1, сн2):

тсн0 = ан0,

где ан0 = (ан1, ан2)т; Сн0 = (сн1, Сн2)т; т ^^ §ш ^; ^ т * 0.

Решение НСЛАУ с*[0 = (с*11, с**2)т «сильное/слабое» находим из расширенной системы [14]:

* — с-1 сн0 - ^ ан0.

Здесь

\т * / * , ч * , ч _* , ч _* , ч \ Т

сн0 - (с 1(r ), (r) )Т (r))Т ;

(m1 + m2 ) 1 -(m1 - m2 ) 1

S"1 =| D D 1; D = 0,5

E = 0,5

(m1 + m2) 1 -(m1 - m2)

-1

i 1 0 ^

; m1=l 0 51/21; m2=

0 0

а 0 )'

Затем из (12) получим

о0(г) = (с.1*2(г) + с22(г))1/2, с0*(г) = (с1*2(г) + с2*2(г))1/2у

tg8н =(tg е(г) = с2 / с*, tg ё(г) = с2* / с1*).

После подобных вычислений для (17), (19) определим сн2^фн и затем из (20):

/н* = (/*(г) = с*(г) ехр [-аш^ф* (г), / *(г) ] = с*(г) ехр [-аш1"1ф*(г) ]). (21)

Аналогично получим /н для остальных квадрантов с учетом свойства операции умножения нечеткого числа на вещественную константу.

Нечеткая фазовая траектория ВТГ при наличии внутреннего трения, которая представлена в виде кольцевой логарифмической спирали в полярной системе координат, приведена на рис. 2. Из (21) и траектории на рис. 2 следует, что с увеличением т нечеткая длина /н = = (/(r), f (r) V G[0,1]) радиуса вектора, вращающегося по ходу часовой

стрелки, убывает и изображающая точка Mo неограниченно приближается к началу координат. В связи с этим нечеткий ВТГ асимптотически устойчив. Это определяет начало координат в виде нечеткого устойчивого фокуса.

х2

3 2 1 О -1 -2 -3 -4 -5 -6

~-2 -10 12 3*!

Рис. 2. Нечеткая фазовая траектория относительно начала координат для кольцевого резонатора ВТГ при наличии внутреннего трения

Случай 2 модели 1. Имеем нечеткое матричное дифференциальное уравнение первого порядка, к которому может быть приведено уравнение второго порядка с помощью замены Коши:

Хн(т) = АнХн, x(x = 0) = xo, (22)

где x0 е R2; Ан : dim Ан = (2 х 2); ащ = E, i, j = 1,2; ig R.

Если какая-то компонента нечеткой переменной хнг в уровневой форме имеет вид хнг = Xk(r, т) = (хк(r, т),Xk(r,т)), к = 1,2, то (22) можно представить как

Хк(r, т) = min {(Au)к : Uj s(xj(r, x), Xj(r, x)/ r e 0;1])}; (23)

Хек (r, t) = max |(Au )k : Uj e(Xj (r, т), Xj (r, x)/r e 0;1])j.

С учетом комплексной переменной будем иметь (23) в комплексной форме:

Xk (r, т) + ixk (r, т) = A(r) ( x(r, т) + ix (r, т)); (24)

x(r, X = 0) = x(r).

Теорема 1 (без доказательства [28]). Пусть А(ц, r) = (1 -ц)А(г) + + цА(г), ц = [0;1], тогда нечеткая дифференциальная система

1

xk (r, х) + ixk (r, х) = U В(|Д, r) (x(r, т) + ix(r, x));

|i=0 (25)

x (r, x = 0) = x(r )0 имеет единственное решение

x(r,т) + ix(r,t) = exp{x(B0(r)иB1(r))}(x.(r, ^ = 0) + ix(r, x = 0)). (26)

Здесь bij — элементы матриц B0(r), B1(r), определяемые по элементам матриц A0(r) = A(r), A1(r) = A(r) с помощью операторов e, g:

№ = у

ea§, ag > 0;

К> ajf <

где е: а + Ьг ^ а + Ы — тождественный оператор; g: а + Ыг ^ а + Ыг — оператор «переключения» /Ир) относительно диагонали первого и третьего квадрантов комплексной плоскости; А(г) = [ау(г)) ^2);

А(г) = {ац(г) )(2 х 2).

Теорема 2 (без доказательства [28]). Для того чтобы (26) было решением (22), необходимо и достаточно, чтобы (26) было также решением (25).

Теорема 3 (без доказательства [28]). Если А(ц = 0, г) является неотрицательной и х е Я+, тогда для того, чтобы х(г, + х(г, т) было решением (24), необходимо и достаточно, чтобы оно было также решением (25).

Теоремы 1-3 позволяют находить решения нечетких уравнений, представляющих модели ВТГ для случая 2, и далее по этим решениям путем исключения каким-либо способом х реализовывать соответствующие нечеткие фазовые траектории.

Для модели 1 ВТГ в (22) будем иметь

А 0н 1н'

Ан "1-кн 0н

а начальные условия заданы в виде х(т = 0) = (х^т = 0) = 0, х2(т = 0) = 0)т .

Для определения инвариант 8 и у, задающих тип особых точек модели 1 в четком случае [28]:

А =

0 1

-к 0

•8 = det А = к > 0; у = tr А = 0,

поэтому искомая точка является «центром», тогда матрица А может быть приведена к канонической форме:

А 0 -к4 к 0

C =

Пусть для определенности коэффициент к является нечетким с функцией принадлежности г($) в форме параболической зависимости (рис. 3):

r(s) =

-(s - к)2 +1, к -1 < s < к +1

(

0,

иначе

о s(r) =

(r) = к -(1 - r )1/2,

-(r) = к + (1 - r)1/2 |r G [0,1]

О к-\ к

а б

Рис. 3. Функция принадлежности т($) (а) и ее уровневое представление (б)

Пусть а = (1 -р,)(к -(1 -г)1/2) + р,(к + (1 -г)1/2). Вычисления по (24), (25) дают нечеткое решение (26) в виде

' хц(г,т)^ Х1(г, т) х2(г, т) Х2(г, т)

M + cos ах /2 N + cos ах /2 N - sin ах /2 - N - sin ах /2

- M + cos ах /2 - N + cos ах /2 - N - sin ах /2 N - sin ах /2

N + sin ах /2 M + sin ах /2 M + cos ах /2 -M + cos ах /2

-N + sin ах /2 -M + sin ах /2 -M + cos ах /2 M + cos ах /2

Х10 *20 *20

У

где М = (еат + е "ат )/4; N = (еат - е "ат) / 4.

Задавая х = хг, г = 1,..., I, получаем семейство фазовых траекторий хн2 = ф(хн1, Х{), ф — некоторая функция (рис. 4).

Рис. 4. Фазовые траектории хн2 = ф(хн1, хг), г = 1,..., 3, для нечеткой модели ВТГ при отсутствии внутреннего трения с четкими начальными условиями при г = 0,5 и г, = 0,5 (а), 1,0 (б) и 3 с (б), г = 1,...,3

Расчеты показывают, что, как и ранее в случае 1 для модели 1 ВТГ, изображающая точка нечеткой фазовой траектории с увеличением т не прекращает свои колебания и они не нарастают, поэтому система асимптотически неустойчива.

Случай 2 модели 2 ВТГ [28]. Матрица Ан будет иметь вид

( 0 1 >

Ан = .

^-кн -2а,н)

Тогда соответствующие инварианты четкой матрицы А: 5 = ёе1 А >0; у = 1х А = 2а(г). Поэтому особая точка начала координат является фокусом, и матрица А может быть приведена к канонической форме, которая в нечетком случае будет иметь вид

с_Га(г) -Ь(г)^ Ь(г) а(г)

где а(г), Ь(г) — некоторые элементы, получаемые из Ан, с функциями принадлежностей га(5), гь(5). Вычисления по (24), (25) дают (26): (хн1(т),хн2(т))т и далее хн2(т) = у(хн1,тг-),г = 1,...,I. Расчеты показывают, что изображающая точка траектории ВТГ определяет начало координат в виде нечеткого устойчивого фокуса.

Случай 3 модели 1 ВТГ. Матричная задача Коши:

т (г, т)+т (г, т) = Ан (т (г, тО+гт (г, т)); т (г, т = 0)+ гт (г, % = 0) = т0 (г)+т0 (г),

где

Ан = (ац(г) + шц(г))еБ2; тн(т) = (тц(г) + тц(г))еБ2, т = (т0(г) + гт0(г)) е Б2. Эта задача имеет единственное решение [29]:

m (r, т) + im (r, т) = exp < т U B^(r) \{m0(r) + im0(r)),

[ Ц=0 J

(28)

где Щ — элементы матриц В^ (г), определяемые по элементам а^ матриц А = (А, А) с помощью операторов е, g.

Далее, повторяя рассуждения, аналогичные рассуждениям, приведенным для случая 2 модели 1, получаем соответствующие нечеткие фазовые траектории при т = уаг. Как и ранее, будем иметь нечеткую асимптотическую неустойчивость модели 1 ВТГ (рис. 5).

Рис. 5. Фазовые траектории х2н =ф(х1н,тг-), г = 1,...,4, для нечеткой модели 1 ВТГ при отсутствии внутреннего трения при полных нечетких условиях

Случай 3 модели 2 ВТГ [29]. С учетом (27), (28) (по аналогии со случаем 2 модели 2) в результате расчетов получены нечеткие фазовые траектории при т = vaг, которые определяли нечеткую асимптотическую устойчивость модели 2 ВТГ (рис. 6).

х2 х2

-2-1 0 1 2 х\ -2-1 0 1 2 Хх

Рис. 6. Фазовые траектории х2н = ф(х1н,), I = 1,...,4, для нечеткой модели 2 ВТГ при наличии внутреннего трения и полных нечетких условиях

Выводы. Для четкой модели ВТГ при отсутствии внутреннего трения и нечетких начальных условий нечеткая фазовая траектория относительно начала координат имеет форму эллиптического кольца и определяет асимптотическую неустойчивость модели. При наличии внутреннего трения нечеткая фазовая траектория имеет форму кольцевой логарифмической спирали и определяет асимптотическую устойчивость нечеткой модели.

При нечеткой модели ВТГ с четкими начальными условиями и отсутствии внутреннего трения методом фазовой плоскости получена фазовая траектория, зависящая от безразмерного времени и определяющая асимптотическую неустойчивость модели. При наличии внутреннего трения фазовая траектория также зависит от времени и задает асимптотическую устойчивость нечеткой модели.

Для нечеткой модели ВТГ с нечеткими начальными условиями в обоих случаях отсутствия и наличия трения методом фазовой плоскости получены соответственно асимптотические неустойчивость и устойчивость моделей.

Заключение. Рассмотрены нечеткие фазовые траектории для линейных моделей ВТГ. Представляет интерес получение их для нелинейных моделей с использованием тейлоровской аппроксимации в окрестности особых точек и графических методов, например изоклин.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Witayakiattilerd W. Nonlinear fuzzy differential equation with time delay and optimal control problem. Abstr. Appl. Anal., 2015, vol. 2015, art. 659072.

DOI: https://doi.org/10.1155/2015/659072

[2] Мочалов И.А., Хрисат М.С., Шихаб Еддин М.Я. Нечеткие дифференциальные уравнения в задачах управления. Ч. I. Информационные технологии, 2015, т. 21, № 3, с. 171-178.

[3] Мочалов И.А., Хрисат М.С., Шихаб Еддин М.Я. Нечеткие дифференциальные уравнения в задачах управления. Ч. II. Информационные технологии, 2015, т. 21, № 4, с. 243-250.

[4] Мочалов И.А., Хрисат М.С., Шихаб Еддин М.Я. Нечеткие уравнения в частных производных в задачах управления. Информационные технологии, 2015, т. 21, № 8, с. 563-569.

[5] Wang Z.P., Wu H.N. Finite dimensional guaranteed cost sampled-data fuzzy control for a class of nonlinear distributed parameter systems. Inf. Sci, 2016, vol. 327, pp. 21-39. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ins.2015.08.009

[6] Jameel A.F., Anakira N.R., Alomari A.K., et al. New semi-analytical method for solving two-point nth order fuzzy boundary value problem. IJMMNO, 2019, vol. 9, no. 1, pp. 1231. DOI: https://doi.org/10.1504/IJMMN0.2019.096906

[7] Qian L., Junna Y. Two-point boundary value problems for fuzzy differential equations under generalized differentiability. Proc. ICMAI, 2018, pp. 5-9.

DOI: https://doi.org/10.1145/3208788.3208791

[8] Деменков Н.П., Микрин Е.А., Мочалов И.А. Нечеткие двухточечные краевые задачи в математическом моделировании и управлении. Ч. 1. Проблемы управления, 2018, № 1, с. 30-36.

[9] Деменков Н.П., Микрин Е.А., Мочалов И.А. Нечеткие двухточечные краевые задачи в математическом моделировании и управлении. Ч. 2. Проблемы управления, 2018, № 2, с. 31-39.

[10] Gong Z., Hao Y. Fuzzy Laplace transform based on the Henstock integral and its applications in discontinuous fuzzy systems. Fuzzy Sets Syst, 2019, vol. 358, pp. 1-28. DOI: https://doi.org/10.1016/jj.fss.2018.04.005

[11] Деменков Н.П., Микрин Е.А., Мочалов И.А. Нечеткое преобразование Лапласа в задачах нечеткого математического моделирования. Ч. 1. Информационные технологии, 2017, № 4, с. 251-258.

[12] Деменков Н.П., Микрин Е.А., Мочалов И.А. Нечеткое преобразование Лапласа в задачах нечеткого математического моделирования. Ч. 2. Информационные технологии, 2017, № 5, с. 362-369.

[13] Gültekin Qtil H. Investigation of a fuzzy problem by the fuzzy Laplace transform. AMNS, 2019, vol. 4, iss. 2, pp. 407-416. DOI: https://doi.org/10.2478/AMNS.2019.2.00039

[14] Pires D.S., Serra G.L.d.O. Methodology for evolving fuzzy Kalman filter identification. Int. J. Control Autom. Syst., 2019, vol. 17, no. 3, pp. 793-800.

DOI: https://doi.org/10.1007/s12555-017-0503-6

[15] Мочалов И.А., Хрисат М.С. Оценивание параметров модели по нечетким случайным данным. Информационные технологии, 2014, т. 20, № 4, с. 14-22.

[16] Деменков Н.П., Мочалов И.А. Нечеткая интерполяция. Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012, № 2.

URL: http://engineering-science.ru/doc/308732.html

[17] Деменков Н.П., Мочалов И.А. Нечеткие сплайны. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение, 2012, № 2 (87), с. 48-59.

[18] Reza E., Saeid A., Hossein B. Interpolation of fuzzy data by using at end fuzzy splines. IJNAA, 2017, vol. 8, iss. 2, pp. 89-97.

DOI: https://doi.org/10.22075/IJNAA.2017.1419.1363

[19] González P., Idais H., Pasadas M., et al. 3D fuzzy data approximation by fuzzy smoothing bicubic splines. Math. Comput. Simul., 2019, vol. 164, pp. 94-102.

DOI: https://doi.org/ 10.1016/j .matcom.2018.10.005

[20] Fard O.S., Soolaki J., Torres D.F.M. A necessary condition of Pontryagin type for fuzzy fractional optimal control problems. Discrete Contin. Dyn. Syst. S, 2018, vol. 11, no. 1, pp. 59-76. DOI: https://doi.org/10.3934/dcdss.2018004

[21] Деменков Н.П., Мочалов И.А. Динамика нечеткой системы автоматической оптимизации. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение, 2016, № 1 (106), с. 59-74. DOI: http://dx.doi.org/10.18698/0236-3933-2016-1-59-74

[22] de Andrés-Sánchez J., González-Vila Puchades L. A fuzzy-random extension of the Lee — Carter mortality prediction model. Int. J. Comput. Intell. Syst, 2019, vol. 12, iss. 2, pp. 775-794. DOI: https://doi.org/10.2991/ijcis.d.190626.001

[23] Zhao H., Li N. Performance evaluation for sustainability of strong smart grid by using stochastic AHP and fuzzy TOPSIS methods. Sustainability, 2016, vol. 8, iss. 2, art. 129. DOI: https://doi.org/10.3390/su8020129

[24] Бураков М.В., Яковец О.Б. Нечеткое управление силовым гироскопическим прибором. Известия высших учебных заведений. Приборостроение, 2015, т. 58, № 10, с. 804-809. DOI: https://doi.org/10.17586/0021-3454-2015-58-10-804-809

[25] Деменков Н.П., Матвеев В.А., Мочалов И.А. Нечеткие методы моделирования волновых твердотельных гироскопов. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение, 2018, № 3 (120), с. 33-50.

DOI: http://dx.doi.org/10.18698/0236-3933-2018-3-33-50

[26] Манчук Д.А., Черный С.П. Анализ устойчивости нечетких систем управления в малом, в большом, в целом. Современные наукоемкие технологии, 2014, № 5-1, с. 74-75.

[27] Tan Y., Shuai C., Jiao L., et al. An adaptive neuro-fuzzy inference system (ANFIS) approach for measuring country sustainability performance. Environ. Impact Assess. Rev., 2017, vol. 65, pp. 29-40. DOI: https://doi.org/10.1016/jj.eiar.2017.04.004

[28] Xu J., Liao Z., Hu Z. A class of linear differential dynamical systems with fuzzy initial condition. Fuzzy Sets Syst., 2007, vol. 158, iss. 21, pp. 2339-2358.

DOI: https://doi.org/10.1016/jj.fss.2007.04.016

[29] Mazandarani M., Najariyan M. A note on "A class of linear differential dynamical systems with fuzzy initial condition". Fuzzy Sets Syst., 2014, vol. 265, pp. 121-126. DOI: https://doi.org/10.1016/jj.fss.2014.05.018

[30] Xu J., Liao Z., Nieto J.J. A class of linear differential dynamical systems with fuzzy matrices. J. Math. Anal. Appl., 2010, vol. 368, iss. 1, pp. 54-68.

DOI: https://doi.org/10.1016/jj.jmaa.2009.12.053

[31] Горюшкин В.А. Об устойчивости нечетких систем управления. Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2011, № 1 (2), c. 17-25.

[32] Бураков М.В., Брунов М.С. Структурная идентификация нечеткой модели. Труды СПИИРАН, 2014, № 34, с. 232-246.

[33] Ghazanfari B., Niazi S., Ghazanfari A.G. Linear matrix differential dynamical systems with fuzzy matrices. Appl. Math. Model., 2012, vol. 36, iss. 1, pp. 348-356.

DOI: https://doi.org/ 10.1016/j.apm.2011.05.054

[34] Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М., Наука, 1985.

[35] Басараб М.А., Кравченко В.Ф., Матвеев В.А. Математическое моделирование физических процессов в гироскопии. М., Радиотехника, 2005.

[36] Егармин Н.Е. Динамика неидеальной оболочки и управление ее колебаниями. Изв. РАНМТТ, 1993, № 4, c. 49-59.

[37] Меркурьев И.В., Подалков В.В. Динамика микромеханического и волнового твердотельного гироскопов. М., ФИЗМАТЛИТ, 2009.

[38] Басараб М.А., Лунин Б.С., Матвеев В.А. и др. Миниатюрные волновые твердотельные гироскопы для малых космических аппаратов. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение, 2014, № 4 (97), с. 80-96.

[39] Деменков Н.П., Чан Д.М. Влияние технологических дефектов на погрешность волнового твердотельного гироскопа. Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения, 2017, № 3, с. 626-629.

Деменков Николай Петрович — канд. техн. наук, доцент кафедры «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Мочалов Иван Александрович — д-р техн. наук, профессор кафедры «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Чан Динь Минь — аспирант кафедры «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Деменков Н.П., Мочалов И.А., Чан Д.М. Нечеткие фазовые траектории волновых твердотельных гироскопов. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение, 2021, № 1 (134), с. 78-101. БОТ: https://doi.org/10.18698/0236-3933-2021-1-78-101

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation

The paper considers elementary fuzzy oscillator mod- Hemispherical resonator gyro-

els represented by hard and fuzzy second-order dif- scope, oscillator, ring resonator,

ferential equations with hard and fuzzy initial condi- fuzzy phase trajectories

tions. Linear models describe wave processes in ring

resonators of hemispherical resonator gyroscopes.

We show that in the case 1 (a hard model with fuzzy

initial conditions), when there is no internal friction

(model 1), phase trajectories appear as a fuzzy centre

shaped as an elliptical ring. When internal friction is

present (model 2), phase trajectories appear as a fuzzy

focus shaped as a circular logarithmic spiral. In the

case 2, for a fuzzy hemispherical resonator gyroscope

model with hard initial conditions, when there is no

internal friction (model 1), a representative point of a

fuzzy phase trajectory does not stop or increase its

oscillations with time, meaning that the system is

asymptotically unstable, while for the model 2 the

origin singularity is a fuzzy stable focus. In the case 3,

for a fuzzy hemispherical resonator gyroscope model

with fuzzy initial conditions, when there is no internal

friction (model 1), there is a fuzzy asymptotic insta-

FUZZY PHASE TRAJECTORIES IN HEMISPHERICAL RESONATOR GYROSCOPES

N.P. Demenkov I.A. Mochalov D.M. Tran

dnp@bmstu.ru mochalov2501@yandex.ru ruxi.tran@gmail.com

Abstract

Keywords

bility in the model 1 of a hemispherical resonator

gyroscope, while in the presence of internal friction

(model 2), the phase trajectory is also a function

of time and controls the asymptotic stability of the

fuzzy model 2 of a hemispherical resonator gyro- Received 18.02.2020

scope. Asymptotic stability is determined for all cases Accepted 20.07.2020

and models © Author(s), 2021

REFERENCES

[1] Witayakiattilerd W. Nonlinear fuzzy differential equation with time delay and optimal control problem. Abstr. Appl. Anal., 2015, vol. 2015, art. 659072.

DOI: https://doi.org/10.1155/2015/659072

[2] Mochalov I.A., Khrisat M.S., Shikhab Eddin M.Ya. Fuzzy differential equations in control. P. I. Informatsionnye tekhnologii [Information Technologies], 2015, vol. 21, no. 3, pp. 171-178 (in Russ.).

[3] Mochalov I.A., Khrisat M.S., Shikhab Eddin M.Ya. Fuzzy differential equations in control. P. II. Informatsionnye tekhnologii [Information Technologies], 2015, vol. 21, no. 4, pp. 243-250 (in Russ.).

[4] Mochalov I.A., Khrisat M.S., Shikhab Eddin M.Ya. Fussy partial differential equation in the task of control. Informatsionnye tekhnologii [Information Technologies], 2015, vol. 21, no. 8, pp. 563-569 (in Russ.).

[5] Wang Z.P., Wu H.N. Finite dimensional guaranteed cost sampled-data fuzzy control for a class of nonlinear distributed parameter systems. Inf. Sci., 2016, vol. 327, pp. 21-39. DOI: https://doi.org/10.1016Zj.ins.2015.08.009

[6] Jameel A.F., Anakira N.R., Alomari A.K., et al. New semi-analytical method for solving two-point nth order fuzzy boundary value problem. IJMMNO, 2019, vol. 9, no. 1, pp. 12-31. DOI: https://doi.org/10.1504/IJMMN0.2019.096906

[7] Qian L., Junna Y. Two-point boundary value problems for fuzzy differential equations under generalized differentiability. Proc. ICMAI, 2018, pp. 5-9.

DOI: https://doi.org/10.1145/3208788.3208791

[8] Demenkov N.P., Mikrin E.A., Mochalov I.A. Fuzzy two-point boundary value problems in mathematical modeling and control. P. 1. Problemy upravleniya [Control Sciences], 2018, no. 1, pp. 30-36 (in Russ.).

[9] Demenkov N.P., Mikrin E.A., Mochalov I.A. Fuzzy two-point boundary value problems in mathematical modeling and control. P. 2. Problemy upravleniya [Control Sciences], 2018, no. 2, pp. 31-39 (in Russ.).

[10] Gong Z., Hao Y. Fuzzy Laplace transform based on the Henstock integral and its applications in discontinuous fuzzy systems. Fuzzy Sets Syst., 2019, vol. 358, pp. 1-28. DOI: https://doi.org/10.1016/jj.fss.2018.04.005

[11] Demenkov N.P., Mikrin E.A., Mochalov I.A. Fuzzy transformation of Laplace in tasks of fuzzy mathematical modelling. P. 1. Informatsionnye tekhnologii [Information Technologies], 2017, no. 4, pp. 251-258 (in Russ.).

[12] Demenkov N.P., Mikrin E.A., Mochalov I.A. Fuzzy transformation of Laplace in tasks of fuzzy mathematical modelling. P. 2. Informatsionnye tekhnologii [Information Technologies], 2017, no. 5, pp. 362-369 (in Russ.).

[13] Gültekin Çitil H. Investigation of a fuzzy problem by the fuzzy Laplace transform. AMNS, 2019, vol. 4, iss. 2, pp. 407-416.

DOI: https://doi.org/10.2478/AMNS.2019.2.00039

[14] Pires D.S., Serra G.L.d.O. Methodology for evolving fuzzy Kalman filter identification. Int. J. Control Autom. Syst., 2019, vol. 17, no. 3, pp. 793-800.

DOI: https://doi.org/10.1007/s12555-017-0503-6

[15] Mochalov I.A., Khrisat M.S. Estimation parameter model using fuzzy random data. Informatsionnye tekhnologii [Information Technologies], 2014, vol. 20, no. 4, pp. 14-22 (in Russ.).

[16] Demenkov N.P., Mochalov I.A. Fuzzy interpolation. Nauka i obrazovanie: nauchnoe izdanie MGTUim. N.E. Baumana [Science and Education: Scientific Publication], 2012, no. 2 (in Russ.). Available at: http://engineering-science.ru/doc/308732.html

[17] Demenkov N.P., Mochalov I.A. Fuzzy splines. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Instrument Engineering, 2012, no. 2 (87), pp. 4859 (in Russ.).

[18] Reza E., Saeid A., Hossein B. Interpolation of fuzzy data by using at end fuzzy splines. IJNAA, 2017, vol. 8, iss. 2, pp. 89-97.

DOI: https://doi.org/10.22075/IJNAA.2017.1419.1363

[19] González P., Idais H., Pasadas M., et al. 3D fuzzy data approximation by fuzzy smoothing bicubic splines. Math. Comput. Simul., 2019, vol. 164, pp. 94-102.

DOI: https://doi.org/10.1016/jj.matcom.2018.10.005

[20] Fard O.S., Soolaki J., Torres D.F.M. A necessary condition of Pontryagin type for fuzzy fractional optimal control problems. Discrete Contin. Dyn. Syst. S, 2018, vol. 11, no. 1, pp. 59-76. DOI: https://doi.org/10.3934/dcdss.2018004

[21] Demenkov N.P., Mochalov I.A. Fuzzy system dynamics of automatic optimization. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Instrument Engineering, 2016, no. 1 (106), pp. 59-74 (in Russ.).

DOI: http://dx.doi.org/10.18698/0236-3933-2016-1-59-74

[22] de Andrés-Sánchez J., González-Vila Puchades L. A fuzzy-random extension of the Lee — Carter mortality prediction model. Int. J. Comput. Intell. Syst., 2019, vol. 12, iss. 2, pp. 775-794. DOI: https://doi.org/10.2991/ijcis.d.190626.001

[23] Zhao H., Li N. Performance evaluation for sustainability of strong smart grid by using stochastic AHP and fuzzy TOPSIS methods. Sustainability, 2016, vol. 8, iss. 2, art. 129. DOI: https://doi.org/10.3390/su8020129

[24] Burakov M.V., Yakovets O.B. Fuzzy logic control over a power gyroscopic system. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Priborostroenie [Journal of Instrument Engineering], 2015, vol. 58, no. 10, pp. 804-809 (in Russ.).

DOI: https://doi.org/10.17586/0021-3454-2015-58-10-804-809

[25] Demenkov N.P., Matveev V.A., Mochalov I.A. Fuzzy methods of hemispherical resonator gyroscope simulation. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Instrument Engineering, 2018, no. 3 (120), pp. 33-50 (in Russ.).

DOI: http://dx.doi.org/10.18698/0236-3933-2018-3-33-50

[26] Manchuk D.A., Chernyy S.P. Stability analysis of fuzzy control systems in the small, in the large, as a whole. Sovremennye naukoemkie tekhnologii [Modern High Technologies], 2014, no. 5-1, pp. 74-75 (in Russ.).

[27] Tan Y., Shuai C., Jiao L., et al. An adaptive neuro-fuzzy inference system (ANFIS) approach for measuring country sustainability performance. Environ. Impact Assess. Rev., 2017, vol. 65, pp. 29-40. DOI: https://doi.org/10.1016Aj.eiar.2017.04.004

[28] Xu J., Liao Z., Hu Z. A class of linear differential dynamical systems with fuzzy initial condition. Fuzzy Sets Syst., 2007, vol. 158, iss. 21, pp. 2339-2358.

DOI: https://doi.org/10.1016/jj.fss.2007.04.016

[29] Mazandarani M., Najariyan M. A note on "A class of linear differential dynamical systems with fuzzy initial condition". Fuzzy Sets Syst., 2014, vol. 265, pp. 121-126.

DOI: https://doi.org/10.1016/jj.fss.2014.05.018

[30] Xu J., Liao Z., Nieto J.J. A class of linear differential dynamical systems with fuzzy matrices. J. Math. Anal. Appl., 2010, vol. 368, iss. 1, pp. 54-68.

DOI: https://doi.org/10.1016/jj.jmaa.2009.12.053

[31] Goryushkin V.A. On stability of fuzzy control systems. Vestnik KRAUNTs. Fiz.-mat. nauki [Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences], 2011, no. 1 (2), pp. 17-25 (in Russ.).

[32] Burakov M.V., Brunov M.S. Structural identification of fuzzy model. Trudy SPIIRAN [SPIIRAS Proceedings], 2014, no. 34, pp. 232-246 (in Russ.).

[33] Ghazanfari B., Niazi S., Ghazanfari A.G. Linear matrix differential dynamical systems with fuzzy matrices. Appl. Math. Model., 2012, vol. 36, iss. 1, pp. 348-356.

DOI: https://doi.org/10.1016/jj.apm.2011.05.054

[34] Zhuravlev V.F., Klimov D.M. Volnovoy tverdotel'nyy giroskop [Wave solid-state gyroscope]. Moscow, Nauka Publ., 1985.

[35] Basarab M.A., Kravchenko V.F., Matveev V.A. Matematicheskoe modelirovanie fizicheskikh protsessov v giroskopii [Mathematical modeling of physical processes in gyroscopy]. Moscow, Radiotekhnika Publ., 2005.

[36] Egarmin N.E. Dynamics of a non-ideal shell and control on its vibrations. Izv. RANMTT, 1993, no. 4, pp. 49-59 (in Russ.).

[37] Merkuryev I.V., Podalkov V.V. Dinamika mikromekhanicheskogo i volnovogo tverdotel'nogo giroskopov [Dynamics of micromechanical and wave solid-state gyroscopes]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2009.

[38] Basarab M.A., Lunin B.S., Matveev V.A., et al. Miniature gyroscope based on elastic waves in solids for small spacecraft. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Instrument Engineering, 2014, no. 4 (97), pp. 80-96 (in Russ.).

[39] Demenkov N.P., Tran D.M. Effect of technological defects on the error of a wave solid-state gyroscope. Fundamental'nye problemy radioelektronnogo priborostroeniya [Fundamental Problems of Radioengineering and Device Construction], 2017, no. 3, pp. 626-629 (in Russ.).

Demenkov N.P. — Cand. Sc. (Eng.), Assoc. Professor, Department of Control System, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Mochalov I.A. — Dr. Sc. (Eng.), Professor, Department of Control System, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Tran D.M. — Post-Graduate Student, Department of Control System, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Please cite this article in English as:

Demenkov N.P., Mochalov I.A., Tran D.M. Fuzzy phase trajectories in hemispherical resonator gyroscopes. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Instrument Engineering, 2021, no. 1 (134), pp. 78-101 (in Russ.). DOI: https://doi.org/10.18698/0236-3933-2021-1-78-101