CC BY
9
И
нформационные технологии в управлении
УДК 004.724.2 + 004.272.43 DOI: http://doi.org/10.25728/pu.2021.5-6
НЕБЛОКИРУЕМЫЕ ОТКАЗОУСТОЙЧИВЫЕ ДУАЛЬНЫЕ ФОТОННЫЕ КОММУТАТОРЫ ШИРОКОЙ МАСШТАБИРУЕМОСТИ
В.С. Подлазов
Аннотация. Продолжена работа по построению принципиально нового класса системных сетей - дуальных фотонных сетей, которые являются неблокируемыми сетями со статической самомаршрутизацией, обладают широкой масштабируемостью при максимальном достижимом на них быстродействии и сложностью, меньшей сложности полного коммутатора, а также допускают балансировку соотношений масштабируемость/быстродействие и сложность/быстродействие. Наконец, такие сети выполнены в расширенном схемном базисе, состоящем из дуальных фотонных коммутаторов и отдельных фотонных мультиплексоров и демультиплексоров. Предложен метод построения отказоустойчивой дуальной сети с указанными свойствами на основе сетей с топологией квазиполного графа и квазиполного орграфа и метода инвариантного расширения с внутренним распараллеливанием. Предложен метод расширения построенной ранее двухкас-кадной дуальной сети в четырехкаскадную и восьмикаскадную дуальные сети с широким масштабированием при сохранении периода исходной сети и уменьшении ее показательной сложности.
Ключевые слова: фотонный коммутатор, дуальный коммутатор, фотонные мультиплексоры и демультиплексоры, многокаскадный коммутатор, бесконфликтная самомаршрутизация, неблоки-руемый коммутатор, статическая самомаршрутизация, квазиполный орграф, квазиполный граф, инвариантное расширение сетей, коммутационные свойства, прямые каналы, масштабируемость и быстродействие.
ВВЕДЕНИЕ
Данная работа развивает методику построения принципиально нового класса системных сетей [16] - дуальных фотонных сетей, которые являются неблокируемыми сетями со статической самомаршрутизацией [1-3, 5] и могут иметь заданную степень канальной отказоустойчивости [6].
В работе предложена методика построения не-блокируемых самомаршрутизируемых фотонных сетей широкой масштабируемости. Это так называемые дуальные сети, в основе которых лежит неблокируемый дуальный коммутатор рхр с периодом разрядов в р длительностей сигнала (тактов) [1-3]. Дуальный коммутатор совмещает шинный способ разрешения конфликтов сигналов (разведение по разным тактам в одном канале) и коммутаторный способ (разведение по разным каналам). Дуальный коммутатор является неблокируемым коммутатором на любом входном трафике, если
информационные разряды передаются с периодом в р тактов. Дуальный коммутатор был разработан коллегами автора [1, 2], а затем применен и поименован в совместных работах [3-5]. Фактически его использование оказалось необходимым условием построения неблокируемых сетей широкой масштабируемости и приемлемой сложности.
В дуальном фотонном коммутаторе применяется способ передачи сигнальной и управляющей информации параллельно на разных частотах для каждого разряда данных. Этот способ позволяет снять проблему синхронизации сигналов разных каналов.
Фотонная специфичность рассматриваемых сетей состоит в использовании внутриразрядной виртуализации каналов посредством обратных связей через линии задержки длительностью в один такт и, кроме того, в использовании управляющих сигналов на разных частотах для выполнения маршрутизации отдельных разрядов. Разведение информационных сигналов по разным тактам со-
провождается разведением по тем же тактам и сопровождающей управляющей информации. По ней осуществляется маршрутизация разрядов посредством перемещения их между разными каналами без изменения установившихся номеров тактов.
По всей статье термин «дуальный коммутатор» или «дуальная сеть, построенная с использованием дуальных коммутаторов», подразумевает использование в них разрядов с периодом в р тактов. Эти разряды обеспечивают неблокируемость сети в ее первом каскаде, а в остальных каскадах остаются по «инерции», уже без применения шинного способа разрешения конфликтов.
Масштабируемость дуальных сетей осуществляется с использованием сетей с топологией квазиполных графа или орграфа [4], которые выполняются в расширенном схемном базисе, состоящем из дуальных фотонных коммутаторов и отдельных фотонных мультиплексоров и демультиплексоров. В работах [1-3, 5] широкая масштабируемость достигается посредством применения метода инвариантного расширения сетей с большим числом дополнительных демультиплексоров и мультиплексоров.
В статьях [5, 6] был разработан и впервые применен новый метод расширения дуальных сетей посредством их внутреннего распараллеливания без использования дополнительных устройств. В частности, в работе [5] была построена двухкас-кадная неблокируемая сеть, которая состоит в каждом каскаде из сетей с топологией квазиполного орграфа, имеющих N = р2 каналов, тогда как двухкаскадная неблокируемая сеть имеет N2 каналов. С другой стороны, в работе [6] была построена двухкаскадная неблокируемая сеть с (с - 1)-канальной отказоустойчивостью, которая состоит в каждом каскаде из сетей с топологией квазиполного графа, имеющих N = р(р - 1)/ с + 1 каналов, а двухкаскадная отказоустойчивая неблокируемая сеть имеет N 2 каналов.
В настоящей работе строятся четырех- и вось-микаскадные отказоустойчивые сети посредством развития и применения обобщенного метода внутреннего распараллеливания. При этом достигается такая же степень масштабирования сетей, как и в инвариантном методе с использованием внешних демультиплексоров и мультиплексоров, но без их применения, и строятся сети с существенно меньшей сложностью.
В § 1 дается обзор наличия свойств неблокиру-емости и канальной отказоустойчивости у ряда современных системных сетей. В § 2 вслед за статьей [6] вводятся понятия прямой и обратной р-перестановки, которые существенно используются при доказательстве неблокируемости четырех- и восьмикаскадных сетей, и повторяются доказа-
тельства неблокируемости двухкаскадных сетей. В § 3 данной части строятся четырехкаскадные не-блокируемые самомаршрутизируемые коммутаторы с одноканальной и двухканальной отказоустойчивостью и оцениваются их характеристики. При этом метод внутреннего распараллеливания из работ [5, 6] обобщается для четырехкаскадных коммутаторов.
В § 4 сравниваются характеристики четырех-каскадных неблокируемых самомаршрутизируемых коммутаторов на базе коммутаторов с топологией дуальных квазиполных графов и орграфов. Наконец, в § 5 строятся восьмикаскадные небло-кируемые самомаршрутизируемые коммутаторы на базе коммутаторов с топологией дуальных квазиполных графов и орграфов. При этом метод из § 3 обобщается для восьмикаскадных коммутаторов. В § 6 обсуждаются свойства построенных сетей в сравнении с другими неблокируемыми сетями и недостатки построенных сетей, а также намечаются способы преодоления этих недостатков.
В заключении дается разбор сути обобщенного метода внутреннего распараллеливания, который представляет собой ядро методики построения дуальных неблокируемых сетей широкой масштабируемости и невысокой удельной сложности. Здесь выделяются три основных компонента предложенной методики - неблокируемый дуальный коммутатор, коммутатор с топологией квазиполного графа или орграфа на базе дуального коммутатора и метод внутреннего распараллеливания.
1. НЕБЛОКИРУЕМОСТЬ И ОТКАЗОУСТОЙЧИВОСТЬ В СИСТЕМНЫХ СЕТЯХ
Задача построения неблокируемых отказоустойчивых системных сетей суперкомпьютеров до настоящего времени не имеет полного решения.
Системная сеть является неблокируемой, если в ней для любой перестановки пакетов можно проложить бесконфликтные пути от источников к приемникам. Системная сеть является самомаршрутизируемой, если бесконфликтные пути можно проложить локально по узлам сети без их взаимодействия только на основе маршрутной информации в пакетах. Наконец, самомаршрутизация является статической, если любой источник может самостоятельно наметить бесконфликтные пути к своему приемнику без взаимодействия с другими источниками.
Существование неблокируемых сетей было доказано еще Клозом [7, 8]. Пока еще не построены процедуры самомаршрутизации неблокируемых сетей Клоза, которые, однако, могут быть мерилом качества других неблокируемых сетей.
Неблокируемой является сеть в виде двумерного обобщенного гиперкуба с топологией квазиполного орграфа, например, в коммутаторах УЛИК и ROSETTA, использованных в ряде сетей разной структуры: перестраиваемой сети Клоза [9], трехмерного тора [10], иерархии полных и квазиполных орграфов [11-13]. К сожалению, квазиполный орграф имеет малое число каналов N = р2, где р -это степень внутренних коммутаторов, и большую коммутационную сложность Б > N2, которая больше сложности полного орграфа и заведомо больше сложности неблокируемой сети Клоза.
В настоящее время в литературе широко представлены системные сети со структурой толстого дерева (в частности, перестраиваемые сети Клоза), со структурой обобщенного гиперкуба, со структурой многомерного тора и сети с иерархией полных и квазиполных орграфов.
Сети со структурой толстого дерева являются перестраиваемыми сетями [9, 14, 15], в которых бесконфликтная передача осуществляется только по заранее составленным расписаниям для конкретных перестановок пакетов. Для произвольных перестановок эти сети оказываются блокируемыми, в них произвольная перестановка полностью осуществляется за несколько скачков между узлами сети. Максимальное число таких скачков задает диаметр сети. В перестраиваемых сетях Клоза диаметр равен числу каскадов сети.
Сети со структурой обобщенного гиперкуба [16-19] не являются даже перестраиваемыми сетями [20, 21]. Их можно сделать перестраиваемыми посредством увеличения числа каналов в некоторых измерениях. Обобщенные кубы имеют диаметр, равный числу измерений или на единицу меньше в расширенном гиперкубе [17, 18]. Обобщенные гиперкубы с удвоенным числом каналов в каждом измерении являются перестраиваемыми сетями сразу для двух перестановок. Отметим, что попытка использования обобщенного гиперкуба в качестве неблокируемой сети для фотонного компьютера [22] представляется очень сомнительной затеей.
Сети со структурой многомерного тора для произвольных перестановок вообще не имеют возможности передавать пакеты по прямым каналам [11, 23-25]. В них произвольные перестановки осуществляются только за несколько скачков между узлами сети. Многомерные торы являются самыми простыми, но и самыми медленными сетями вследствие их больших диаметров. Так, в сетях, рассмотренных в работах [11, 23-25], диаметр измеряется десятками скачков.
Наоборот, сети со структурой иерархии полных или квазиполных орграфов [10, 12, 26] имеют са-
мый маленький диаметр в три скачка. Сетей с малыми диаметрами в последнее время появилось довольно много [27-32]. Все они имеют серьезные проблемы с выравниванием загрузки сети при отказах каналов.
Канальной отказоустойчивостью считается возможность сохранения полнодоступности сети при отказах каналов с сохранением ее исходных характеристик (неблокируемость сети, задержки передачи или диаметра сети).
В чистом виде канальной отказоустойчивостью обладают, по-видимому, только сети с топологией квазиполных графов. Эти сети изоморфны такому математическому объекту, как неполная уравновешенная симметричная блок-схема [33]. Эти сети имеют элементную базу из коммутаторов pxp, де-мультиплексоров ixp и мультиплексоров pxl и являются неблокируемыми сетями со статической самомаршрутизацией. Они имеют прямые каналы между N = p(p - 1)/с + 1 абонентами сети и имеют с разных каналов между любыми двумя абонентами [4].
В других сетях восстановление полнодоступно-сти сети при отказах каналов сопровождается так или иначе увеличением задержек передачи по сети. Так, в перестраиваемой сети Клоза при отказах каналов нагрузка на оставшиеся каналы увеличивается, что, в свою очередь, увеличивает число конфликтов и задержки передачи части пакетов.
Сеть TOFY со структурой трехмерного тора [25] использует еще три измерения для создания резервных каналов. В ней при отказе части колец сети их целостность восстанавливается с увеличением диаметра сети на единицу.
Обобщенные гиперкубы с удвоенным числом каналов в каждом измерении являются 1-отказо-устойчивыми сетями с неизменным диаметром [19].
В сетях с иерархией полных или квазиполных орграфов [10, 12, 26] при отказе части каналов полнодоступность сети восстанавливается путем использования обходных путей с длительностью в пять скачков, т. е. с увеличением задержки передачи в 5/3 раза.
2. ДУАЛЬНЫЙ КВАЗИПОЛНЫЙ ГРАФ, /¿ПЕРЕСТАНОВКИ И ДУАЛЬНЫЙ ДВУХКАСКАДНЫЙ КОММУТАТОР
Дуальный коммутатор KnNi с топологией квазиполного графа Knr(Ni, p, с) состоит из Ni = p(p - 1)/с + 1 дуальных коммутаторов pxp, обозначаемых как ДKp, N1 входных демультиплек-соров 1xp и N1 выходных мультиплексоров px1 [6]. Схема их межсоединений строится комбинатор-
ным методом [4]. В нем между любыми входом и выходом имеются с разных путей через разные дуальные комутаторы ДКр. На рис. 1 приводится схема коммутатора КП4 как графа КПГ(4, 3, 2) с одноканальной отказоустойчивостью. Для примера в нем выделены по два пути, соединяющие два случайно выбранных входа и выхода - (2, 4) и (3, 3).
Рис. 1. Дуальный с периодом разрядов в три такта квазиполный коммутатор КП4 в виде графа КПГ(4, 3, 2): а - в исходном виде с дуплексными каналами, б - в применяемом виде с симплексными каналами; пунктирами и точками изображены разные пути между выбранными входами и выходами
Таблица 1
Характеристики дуальных коммутаторов КПЛ1, с одноканальной отказоустойчивостью
р N1 Т1 51 А
2 2 2 24 = М4,58 8 = Щ13
4 7 4 280 = М2,9 56 = М2,°7
6 15 6 1 260 = М2,64 180 = М1,92
8 27 8 3 888 = М2,51 432 = Щ11,84
Любой дуальный коммутатор КПЩ имеет тот же период разрядов Гь что и входящий в него дуальный коммутатор ДКр. Для коммутатора КПЩ рассчитываются такие характеристики, как коммутационная сложность 51, выраженная в числе точек коммутации, и канальная сложность, выраженная в числе каналов. Они выражаются в показательном виде, через число каналов, и именуются в статье показательными сложностями1 (см. табл. 1).
Для дуального коммутатора КПЩ с топологией квазиполного орграфа [5] характеристики задаются табл. 2, которые лучше чем в табл. 1, но без обеспечения канальной отказоустойчивости.
Введем понятие р-разбиения пакетов, передаваемых через заданное сечение сети на входах в мультиплексоры. Все пакеты разделяются на группы переменного состава, содержащие не более р
1 Термин автора.
Таблица 2
Характеристики дуальных коммутаторов КП N на основе квазиполного орграфа
р N1 Т1 51 А
2 4 2 48 = М2,79 16 = м2
4 16 4 640 = М2,33 128 = М1,75
6 36 6 3 024 = Щ12,24 432 = М1,69
8 64 8 9 216 = М2,19 1 024 = М1,67
пакетов в каждой. При обычной перестановке пакетов на входе и выходе коммутатора имеет место 1-разбиение. Назовем р-перестановкой вариант передачи, при котором на входе сети имеет место 1-разбиение, а на заданном сечении - р-разбиение.
Для дуального коммутатора КПЩ с топологией дуального квазиполного графа КПГ(М, р, с) указанное сечение проводится через входы мультиплексоров и называется выходным сечением. На рис. 1 выходное сечение обозначено вертикальным пунктиром. По свойству дуального коммутатора ДКр на выходном сечении при любом трафике имеет место р-разбиение. Имеет место
Лемма 1 [6]. Дуальный коммутатор КПЩ с периодом разрядов р тактов является неблокиру-емым коммутатором со статической самомаршрутизацией на любой обычной перестановке и обладает при этом (с - \)-каналъной отказоустойчивостью.
В работах [5, 6] была развита методика построения двухкаскадных неблокируемых коммутаторов с М2 каналами. Здесь она излагается на примере дуального коммутатора КП2 с топологией дуального квазиполного графа КПГ(2, 2, 2), представленного на рис. 2.
Рис. 2. Дуальный неблокируемый коммутатор КП2 с одноканальной отказоустойчивостью
На его основе строится четырехканальная двухкаскадная сеть С24, которая содержит по два коммутатора КП2 в каждом каскаде, соединенных обменными связями (рис. 3). Эта сеть является блокируемой на мультиплексорах первого каскада, выделенных заливкой, и на них же утрачивает канальную отказоустойчивость.
Сеть С24 может быть превращена в неблокиру-емый коммутатор К24 с одноканальной отказоустойчивостью посредством метода внутреннего
Рис. 3. Дуальная двухкаскадная блокируемая сеть С24 с обменными связями
распараллеливания [5, 6]. В нем во втором каскаде образуются две копии второго каскада сети С24. В первом каскаде мультиплексоры на разрезах удаляются, а их входы подсоединяются к входам копий второго каскада: нечетные - к первой копии, а четные - ко второй копии. Эти соединения сохраняют порядок подсоединения тех каналов, которые в сети С24 шли ко второму каскаду. Сами вырезанные мультиплексоры перемещаются для объединения выходов копий второго каскада, образуя выходные мультиплексоры коммутатора К24 (рис. 4), который оказывается неблокируемым коммутатором со статической самомаршрутизацией и одно-канальной отказоустойчивостью.
Рис. 4. Дуальный неблокируемый самомаршрутизируемый коммутатор К24 с одноканальной отказоустойчивостью
В общем случае (р > 2) дуальный коммутатор КП^ имеет топологию дуального квазиполного графа КПГ(^ь р, с) с периодом разрядов в р тактов. На его основе строится двухкаскадная блокируемая сеть С2^2 N = М2), в каждом каскаде ко-
торой содержится N коммутаторов КП^ с обменными связями между каскадами. Для применения метода внутреннего распараллеливания образуется р копий второго каскада сети С^2, а мультиплексоры первого каскада используются для объединения одноименных выходов копий второго каскада.
На разрезах первого каскада имеется р^ входов в мультиплексоры. Они перенумеровываются сверху вниз как I (1 < I < р^), и входы с номерами г = I(modp)+1 подсоединяются к одноименным входам г-й копии второго каскада, сохраняя при этом порядок размещения по коммутаторам как в сети С2^.
Лемма 2. Дуальный коммутатор К2^ имеет р-перестановку на заданном сечении. Он является неблокируемым коммутатором со статической маршрутизацией на любой обычной перестановке и обладает (с - 1)-канальной отказоустойчивостью.
Коммутационная сложность коммутатора К^2 задается по построению по рекуррентным формулам как 32 = N1S1 + pN1S 1, а канальная - как L2 = N1L1 + pN1L1. Численные значения характеристик коммутаторов К^2 для с = 2 представлены в табл. 3. Отметим, что имеет место уменьшение значений показательных сложностей по сравнению с табл. 1.
Таблица 3
Характеристики дуальных коммутаторов К2Ы2 с одноканальной отказоустойчивостью
р N1 N2 = Т2 = р ^2 L2
2 2 4 2 N2^ N2^
4 7 49 4 N2^ щ191
6 15 225 6 N2^
8 27 729 8 ^09 N2^
При построении дуального коммутатора К2^ на базе коммутатора с топологией квазиполного орграфа [5] его характеристики задаются табл. 4, которые существенно лучше, чем в табл. 2, но без обеспечения канальной отказоустойчивости.
Таблица 4
Характеристики коммутаторов К2^2 на основе квазиполного орграфа
р N1 N2 = М2 Т2 = р ^2 L2
2 4 16 2 N2^
4 16 256 4 N2^
6 36 1 296 6
8 64 4 096 8 ^86 N2^
74
С0№ТР0Ь ЗОЕМСББ N0. 5 • 2021
Отметим также, что дуальный коммутатор К2Щ2 имеет два каскада выходных мультиплексоров, содержащих и N2 мультиплексоров соответственно. Для целей следующего раздела в коммутаторе К2Щ2 проводится новый штрихпунктирный разрез (см. рис. 4), проходящий через входы первого каскада мультиплексоров.
3. ЧЕТЫРЕХКАСКАДНЫЙ ОТКАЗОУСТОЙЧИВЫЙ НЕБЛОКИРУЕМЫЙ САМОМАРШРУТИЗИРУЕМЫЙ КОММУТАТОР С ДВУМЕРНЫМ ВНУТРЕННИМ РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЕМ
В работах [1-3, 5] дальнейшее увеличение числа каналов неблокируемого коммутатора осуществлялось с помощью метода инвариантного расширения сетей с внешним распараллеливанием, при котором не происходит изменения периода сигналов. Однако он оказался малоприменим для отказоустойчивых неблокируемых коммутаторов [6].
В данном разделе увеличение числа каналов без изменения периода сигналов осуществляется с помощью обобщенного метода внутреннего распараллеливания сети посредством построения четы-рехкаскадных коммутаторов К4^ из двухкаскад-ных коммутаторов К2Щ2 с числом каналов N4 = N2 и периодом разрядов Т4 = Т2 = р.
Построение сети осуществляется на примере использования коммутаторов К24 (см. рис. 4). Сначала создается двухкаскадная сеть С416. Каждый ее каскад состоит из четырех копий коммутатора К24, а каскады соединены обменными связями (рис. 5).
В реальности сеть С416 состоит из четырех каскадов КПГ(2, 2, 2), что задает нижний индекс в ее обозначении. Сеть С416 является блокируемой вследствие возможности возникновения конфликтов сигналов в двух каскадах выходных мультиплексоров М2, обозначенных заливкой. Имеется два слоя этих мультиплексоров общим числом
= 48. Кроме того, в них нарушается и канальная отказоустойчивость. Через входы в первый каскад проводится штрихпунктирный разрез (см. рис. 5), для которого в предыдущем разделе сформулировано понятие р-перестановки.
Затем создается сеть С416, которая содержит первый каскад сети С416 и две копии второго каскада сети С416. В сети С416 создается одна параллельная схема первого измерения (рис. 6). Для этого сначала вырезается внешний слой со светлой заливкой общим числом Ж2 = 16 мультиплексоров М2. Они остаются пока без подсоединений. Затем
вырезаются мультиплексоры М2 внутреннего слоя с темной заливкой и их нечетные входы разводятся по входам двух копий второго каскада сети С416. При этом Ж4д = 16 вырезанных мультиплексоров объединяют выходы этих двух копий.
Оставшиеся Ж4,2 = 16 мультиплексоров М2 с темной заливкой используются для создания второй параллельной схемы первого измерения аналогичным образом (рис. 7). Для этого их четные входы разводятся по входам еще двух копий второго каскада сети С416.
Забегая вперед, отметим, что на рис. 6 и 7 обозначены и новые соединения мультиплексоров первого и второго слоев. Они задают объединение схем первого измерения в схему второго измерения.
В результате построены две схемы первого измерения, каждая из которых состоит из двух коммутаторов К24, включенных параллельно (рис. 8 без соединений второй схемы первого измерения). Две схемы первого измерения образуют двумерную схему. Выходы двумерной схемы объединяют W2 = 16 мультиплексоров со светлой заливкой, образуя выходы коммутатора К416. На рис. 8 последние соединения представлены точечными линиями и полностью только в одном экземпляре из-за недостатка площади рисунка (они есть на рис. 6 и 7).
отказоустойчивости
Рис. 6. Построение первой схемы первого измерения. Неиспользованные в этой схеме мультиплексоры сети С416 приведены слева
76
СО^МЬ БС^СЕБ N0. 5 • 2021
Рис. 7. Построение второй схемы первого измерения посредством использования мультиплексоров, которые не использовались при построении первой схемы первого измерения
Рис. 8. Неблокируемый дуальный коммутатор К416 с одноканальной отказоустойчивостью
ТВ
CONTROL SCIENCES No. б • 2021
Построенная таким образом 16-канальная сеть состоит из 16 копий коммутатора К24, включенных параллельно. На их входы поступают разреженные альтернативные (не пересекающиеся ни по входам, ни по выходам) прямые р-перестановки, которые по лемме 2 реализуются бесконфликтно по единому статическому расписанию. Пути между источниками и приемниками в коммутаторах К24 проходят по двум путям через разные схемы первого измерения. Поэтому в коммутаторе К24 имеет место одноканальная отказоустойчивость, так как р = с = 2.
В общем случае (р > 2 и с > 2) сначала строится сеть С^4, которая состоит из двух каскадов по N2 коммутаторов К2^ в каждом, соединенных обменными связями. Она имеет N4 = N2 каналов и допускает возможность конфликта сигналов на выходных мультиплексорах Мр. Поэтому она является блокируемой сетью и не обладает канальной отказоустойчивостью.
Первый каскад сети С4М4. имеет два слоя выходных мультиплексоров Мр общим числом Ж4 = N2^2 = ^(р+1). Первый внутренний слой мультиплексоров Мр содержит Жу = рN4 мультиплексоров Мр, которые в совокупности имеют p2N4 входов.
Затем создается сеть £N4, которая содержит первый каскад сети и р2 копий второго каскада сети С4Ы4. Сеть создается с соблюдением следующей структуры: копии второго каскада сети С^4 образуют р схем первого измерения, а все вместе они образуют схему второго измерения.
Сеть С4^ содержит p2N2 коммутаторов К2N2, имеющих в совокупности p2N4 входов. Далее вырезаются оба слоя мультиплексоров Мр первого каскада сети С4N4, а входы первого слоя мультиплексоров Мр подсоединяются к входам коммутаторов К2^. Это возможно, так как число этих входов совпадает.
Копии второго каскада сети в сети числом р2 разобьем на р групп и обозначим через О (1 < О < р) номер группы и через I (1 < I < р) -номер копии. Фактически О задает номер схемы первого измерения, а I - номер копии в схеме первого измерения.
Обозначим через 1 (1 < 1 < N2) номер коммутатора К2^ в схеме первого измерения. Обозначим через К (1 < К < N2) номер входа каждого такого коммутатора К2^. Таким образом, вход любого коммутатора К2^ задается составным индексом О, I, 1, К.
Обозначим через г (0 < г < р - 1) номер входа по modp каждого мультиплексора Мр в первом их
слое. В каждом коммутаторе первого каскада сети С^4 содержится pN2 этих мультиплексоров Мр. Разобьем их на N2 групп и обозначим через g (1 < g < N2) номер группы, а через ] (1 <] < р) номер мультиплексора Мр в группе. Обозначим через к (1 < к < N2) номер коммутатора К2^ в первом каскаде сети Таким образом, вход любого
мультиплексора Мр в первом слое задается составным индексом I, g, ], к.
Произвольный вход мультиплексора Мр с индексом [, g, ], к переключается на вход коммутатора К2^ с индексом О, 1,1, К, в котором О = г + 1, I = ], 1 = g и К = к. В результате образуется параллельно включенных коммутаторов К2^, на входы которых поступают разреженные непересекающиеся прямые р-перестановки.
Вырезанные мультиплексоры Мр первого слоя объединяют выходы схем первого измерения. Вырезанные мультиплексоры Мр второго слоя объединяют выходы р схем первого измерения, образуя выходы схемы второго уровня, которые также являются выходами и коммутатора К^4.
Для коммутаторов справедлива
Лемма 3. Дуальный коммутатор ^N4 является неблокируемым коммутатором со статической маршрутизацией на любой обычной перестановке при любом р. Он обладает (с - 1)-канальной отказоустойчивостью.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое утверждение опирается на использование коммутатора К^2 и справедливость для него леммы 2. Второе утверждение опирается на неблокируемость коммутатора К^2 и тот факт, что р-перестановка на сечении состоит из разреженных 1-перестановок, разведенных по разным каналам и тактам.
Согласно назначению О = г+1, разные входы одного мультиплексора первого слоя подсоединяются к разным одномерным схемам (разным копиям второго каскада сети С4^), а входы разных мультиплексоров - к входам разных коммутаторов К^2 второго каскада сети С4М4. Иначе говоря, имеется с разных путей коммутаторов К^2 по р разным путям в коммутаторе Кф^4, откуда следует его (с - 1)-канальная отказоустойчивость, так как р > с. ♦
В результате неблокируемый самомаршрутизируемый коммутатор К^4 с N4 = каналами и (с - 1)-канальной отказоустойчивостью имеет характеристики, приведенные в табл. 5 и табл. 6. Они рассчитываются по рекуррентным формулам и L4 = N2^ + p2N2L2. Коммутатор К^4 имеет четыре слоя выходных мультиплексоров Мр общим числом У4 = ^(р4 - 1)/(р - 1).
Отметим дальнейшее снижение показательных коммутационной и канальной сложностей комму-
татора К^4 (см. табл. 4) по сравнению с коммутатором К2^2 (см. табл. 2).
Если отказаться от требования канальной отказоустойчивости, то на основе коммутатора с топологией квазиполного орграфа можно построить неблокируемый самомаршрутизируемый коммутатор К4^4 с характеристиками, заданными в табл. 7. Видно, что по сравнению с отказоустойчивыми вариантами он имеет большее число каналов и меньшую сложность. Кроме того, весь набор коммутаторов имеет коммутационную и канальную сложности меньше, чем у двухкаскадного коммутатора на базе коммутатора с топологией полного
Характеристики дуальных коммутаторов К4Л4 c одноканальной отказоустойчивостью
графа (ср. с табл. 3) и меньше, чем у коммутатора с топологией полного графа (switchboard).
4. ВОСЬМИКАСКАДНЫЕ НЕБЛОКИРУЕМЫЕ КОММУТАТОРЫ С ЧЕТЫРЕХМЕРНЫМ ВНУТРЕННИМ РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЕМ НА ОСНОВЕ ГРАФА И ОРГРАФА
Метод расширения двухкаскадных коммутаторов K2N2 в четырехкаскадные коммутаторы KN4 можно обобщить и на построение восьмикаскад-ных коммутаторов K8N8 из четырехкаскадных коммутаторов KN4.
Сначала строится сеть C8N8, которая состоит из двух каскадов по N4 коммутаторов K4N4 в каждом, соединенных обмен-
Таблица 5
p N N и N 4 и p ^4 L4
2 2 16 2 2 720 = N42,85 1 120 = N42,53
3 4 256 3 238 080 = N42,23 69 120 = N42,01
4 7 2 401 4 8 000 132 = N42,04 1 795 948 = N41,85
5 11 14 641 5 1,35E+08 = N41,95 24 743 290 = N41,77
6 15 65 536 6 1,41E+09 = N41,9 2,18E+08 = N41,73
7 21 194 481 7 8,64E+09 = N41,88 1,16E+09 = N41,71
8 27 531 441 8 4,45E+10 = N41,86 5,25E+09 = N41,7
ными связями.
2
Таблица 6
Характеристики дуальных коммутаторов К4А4 c двухканальной отказоустойчивостью
p N1 N и 1N 4 и p ^4 L4
3 3 81 3 75 330 = N42,56 21 870 = N42,27
4 5 625 4 2 082 500 = N42,26 467 500 = N42,03
5 7 2 401 5 22 161 230 = N42,17 4 057 690 = N41,95
6 11 14 641 6 3,15E + 08 = N42,04 48 754 530 = N41,85
7 15 50 625 7 2,25E + 09 = N41,99 3,01E + 08 = N41,8
8 19 130 321 8 1,09E + 10 = N41,96 1,29E + 09 = N41,78
Она имеет N8 = N4 каналов и допускает возможность конфликта сигналов на выходных мультиплексорах Мp первого каскада. Поэтому она является блокируемой сетью и не обладает канальной отказоустойчивостью.
Первый каскад сети С^8 имеет четыре слоя выходных мультиплексоров Мp общим числом = N4V4= N8^ -1)/
(р - 1). Первый внутренний слой мультиплексоров Мp содержит W8д = p3N8 мультиплексоров Мp, которые в совокупности имеют p N8 входов.
Затем создается сеть С^8,
4 ~
которая содержит p копий второго каскада сети С8^. Сеть С^8 создается с соблюдением следующей структуры. Копии второго каскада сети С^8 общим числом p образу-
Таблица 7
Характеристики дуальных коммутаторов К4А4 на основе орграфа
p N1 N2 = N12 = p4 N4 = N24 = p8 и p 54 L4
2 4 16 256 2 43 520 и N41,93 17 920 и N41,77
3 9 81 6 561 3 6 101 730 и N41,78 1 771 470 и N41,64
4 16 256 65 536 4 2,18E + 08 и N41,73 49 020 928 и N41,60
5 25 625 390 625 5 3,61E + 09 и N41,71 6,6E + 08 и N41,58
6 36 1 296 1 679 616 6 3,62E + 10 и N41,70 5,59E + 09 и N41,57
7 49 2 401 5 764 801 7 2,56E + 11 и N41,69 3,43E + 10 и N41,56
8 64 4 096 16 777 216 8 1,4E + 12 и N41,68 1,66E + 11 и N41,55
ют схему первого измерения, а р схем первого измерения образуют схему второго измерения.
Аналогично, схема третьего измерения состоит из р схем второго измерения, а схема четвертого измерения состоит из р схем третьего измерения.
Сеть содержит р N4 коммутаторов К^,
имеющих в совокупности р4Щ входов. Далее вырезаются все четыре слоя мультиплексоров Мр первого каскада сети С8^, и входы первого слоя мультиплексоров Мр подсоединяются к входам коммутаторов К4^4. Это возможно, так как число этих входов совпадает. Копии второго каскада сети СМ в сети числом р4 разобьем на р3 групп и обозначим через О (1 < О < р3) номер группы и через I (1 < I <р) - номер в группе. Фактически О задает номер схемы первого измерения, а I - номер копии К4^4 в схеме первого измерения.
Обозначим через 1 (1 < 1 < N4) номер коммутатора К4^4 в схеме первого измерения. Обозначим через К (1 < К < N4) номер входа каждого такого коммутатора К4^4. Таким образом, вход любого коммутатора К^4 задается составным индексом О, I, 1, К.
Обозначим через г (0 < г < р - 1) номер входа по modp каждого мультиплексора Мр в первом их слое. В каждом коммутаторе первого каскада сети С^8 содержится р N4 этих мультиплексоров Мр. Разобьем их на N4 групп и обозначим через g (1 < g < N0 номер группы, а через ] (1 <] < р) - номер мультиплексора Мр в группе. Обозначим через к (1 < к < N<0 номер коммутатора К4^4 в первом каскаде сети С^. Таким образом, вход любого мультиплексора Мр в первом слое задается составным индексом I, g, ], к.
Для этого вырезаются все слои мультиплексоров Мр первого каскада сети С^. Первый внутренний слой содержит Ж8,1 = N4p3 мультиплексоров Мр, входы которых соединяются с входами коммутаторов К4^4 в сети С^.
Вход мультиплексора Мр первого слоя с индексом 1, g, ], к переключается на вход коммутатора К4^4 с индексом О, I, 1, К, в котором О = г + 1, I = ], 1 = g и К = к. В результате образуется p4N4 параллельно включенных коммутаторов К4^4, на входы которых поступают разреженные непересекающиеся прямые р-перестановки.
Вырезанные мультиплексоры Мр первого слоя объединяют выходы р3 схем первого измерения. Вырезанные мультиплексоры Мр второго слоя объединяют выходы схем первого измерения с одинаковым индексом О, образуя выходы схем
второго уровня с этим индексом. Вырезанные мультиплексоры Мр второго слоя объединяют выходы схем второго измерения с одинаковыми индексами. Вырезанные мультиплексоры Мр третьего слоя объединяют выходы схем второго измерения с одинаковыми индексами О, образуя выходы схем третьего уровня с тем же индексом. Вырезанные мультиплексоры Мр четвертого слоя объединяют выходы схем третьего измерения, образуя выходы коммутатора К8^.
Для коммутаторов К^8 справедлива Лемма 4. Дуальный коммутатор К^ является неблокируемым коммутатором со статической маршрутизацией на любой обычной перестановке при любом р. Он обладает (с-1)-канальной отказоустойчивостью.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Первое утверждение опирается на использование коммутатора К4N4 и справедливость для него леммы 3. Второе утверждение опирается на неблокируемость коммутатора К4N4 и тот факт, что р-перестановка состоит на сечении из разреженных 1 -перестановок, разведенных по разным каналам и тактам.
Канальная отказоустойчивость следует из того, что пути между источниками и приемниками в коммутаторе К4^4 проходят через разные схемы каждого измерения и того, что р > с.
В результате образуется неблокируемый самомаршрутизируемый коммутатор К8^ с N = N4 каналами, обладающий (с - 1)-канальной отказоустойчивостью. ♦ Коммутатор К^8 имеет восемь слоев выходных мультиплексоров Мр общим числом У8 = ^(р8 - 1)/(р - 1).
Характеристики наиболее быстродействующих вариантов коммутаторов К8^ приводятся в табл. 8, табл. 9 и табл. 10. В них даются характеристики коммутаторов для с = 2 и с = 3, которые рассчитываются по рекуррентным формулам 58 = N4S4 + p4N4S4 и L8 = N4L4 + p4N4L4. Отметим, что коммутационную и канальную сложность коммутатора К^8 на основе орграфа можно сделать существенно меньше, чем у сосредоточенного коммутатора с топологией полного графа.
5. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ И ВОЗМОЖНОСТИ ПРАКТИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ПОСТРОЕННЫХ СЕТЕЙ
В работе предложена методика построения нового вида неблокируемых самомаршрутизируемых фотонных сетей широкой масштабируемости. Это так называемые дуальные сети, в основе которых
лежит неблокируемый дуальный коммутатор pxp с периодом разрядов в p длительностей сигнала (тактов).
Дуальный коммутатор используется как составная часть неблокируемого самомаршрутизируемого коммутатора N\xN\ KN с топологией квазиполного графа или орграфа. В первом случае число каналов N = p(p - 1)/с + 1 и существует возможность иметь (с - 1)-канальную отказоустойчивость. Во втором случае число каналов N1 = p2 и имеется возможность увеличить число каналов. Коммутатор с топологией квазиполного (ор)графа состоит из N1 дуальных коммутаторов pxp вместе с N1 демультиплексорами 1xp и мультиплексорами Mp px1 без линий задержки. Коммутационная сложность коммутатора K1N1 оценивается как 51 = N1(S0 + 2p). Период сигналов T коммутатора K1N1 равен периоду сигналов у дуального коммутатора, т. е. T = p.
Из коммутаторов K1N1 составляются два каскада для построения блокируемой сети N2xN2 C2N2 с N2 = N12 каналами. Каждый каскад состоит из N1 коммутаторов N1xN1, а каналы между каскадами
Характеристики дуальных коммутаторов К8^8 c одноканальной отказоустойчивостью
Таблица 8
p N1 N8 = N18 Tg = p Sg L8
2 2 256 2 739 840 = N82'44 304 640 = N82'28
3 4 65 536 3 4,998E + 09 = N82,01 1,451E + 09 = N81,9
4 7 5 764 801 4 4,937E + 12 = N81,88 1,108E + 12 = N81,78
Характеристики дуальных коммутаторов К8^8 c двухканальной отказоустойчивостью
p N1 N8 = N18 T8 = p S8 L8
3 3 6 561 3 500 341 860 = N82'28 145 260 540 = N8214
4 5 390 625 4 3,345E + 11 = N82,06 7,509E + 10 = N81,94
5 7 5 764 801 5 3,331E + 13 = N82 6,099E + 12 = N81,89
Характеристики дуальных коммутаторов К8^8 на основе орграфа
p N1 N8 = N18 T8 = p S8 L8
2 4 65 536 2 189 399 040 = N81,72 77 987 840 = N81,64
3 9 5 764 801 3 3,283E + 12 = N81,64 9,531E + 11 = N81,57
4 16 4,29E+09 4 3,678E + 15 = N81,62 8,256E + 14 = N8155
прокладываются по схеме с обменными связями. Сеть С2.2 преобразуется в неблокируемый самомаршрутизируемый двухкаскадный коммутатор К2.2 посредством ее одномерного внутреннего распараллеливания.
Если коммутатор NiX.Ni был построен на основе квазиполного графа, то коммутатор К2.2 обладает (с - 1)-канальной отказоустойчивостью, поскольку р > с. Коммутационная сложность коммутатора К2.2 оценивается по рекуррентным формулам как 52 = .151+р.151, а канальная сложность -как ¿2 = М1Ь1 + рМ1Ь1. По построению период сигналов Т2 коммутатора К2.2 равен периоду сигналов коммутатора К1.1, т. е. Т2 = Т1 = р.
Если коммутатор . х. был построен на основе квазиполного графа, то четырехкаскадный коммутатор К.4 обладает (с - 1)-канальной отказоустойчивостью, поскольку р > с. Коммутационная сложность коммутатора К4.4 оценивается по рекуррентным формулам как а канальная сложность - как Ь4 = N2L2+p2N2L2. По построению период сигналов Т4 коммутатора К.4 равен периоду сигналов коммутатора К2.2, т. е.
Т4 = Т2= р.
Аналогично из коммутаторов К.4 составляются два каскада для построения блокируемой сети .8х.8 С8.8 с .8 = .42= М8 каналами.
Каждый каскад состоит из .4 коммутаторов К.4, а каналы между каскадами прокладываются по схеме с обменными связями.
Сеть С8.8 преобразуется в неблокируемый самомаршрутизируемый двухкаскадный коммутатор К8.8 посредством ее четырехмерного внутреннего распараллеливания. Если коммутатор Мх. был построен на основе квазиполного графа, то и восьмикас-кадный коммутатор К8.8 обладает (с - 1)-каналь-ной отказоустойчивостью. Коммутационная сложность коммутатора К8.8 оценивается по рекуррентным формулам
Таблица 9
Таблица 10
как S8 = N4S4 + р N4S4, а канальная сложность - как L8 = N4L4 + p4N4L4. По построению период сигналов Т8 коммутатора К8N8 равен периоду сигналов коммутатора К4^4, т. е. Т8 = Т4= р.
Характеристики коммутаторов К2^, К4^4 и К^8 обладают несколькими степенями свободы. Прежде всего, при увеличении основания р число каналов увеличивается, а быстродействие уменьшается. Кроме того, показательная сложность уменьшается при увеличении основания р и имеется возможность разменивать быстродействие на сложность. К тому же, увеличение числа каналов посредством увеличения числа каскадов также сопровождается уменьшением показательной сложности.
Предложенная методика позволяет строить не-блокируемые самомаршрутизируемые сети с самоподобной структурой. Коммутатор К^2 состоит из дуальных коммутаторов К^ с топологией дуального графа или дуального орграфа и использует одномерное внутреннее распараллеливание. Коммутатор К4^4 состоит из коммутаторов К^2 и использует двумерное внутреннее распараллеливание. Наконец, коммутатор К8^ состоит из коммутаторов К4^4 и использует четырехмерное внутреннее распараллеливание. Все эти коммутаторы наследуют базовые свойства коммутатора К^, такие как неблокируемость при статической самомаршрутизации и канальную отказоустойчи-
Таблица 11
Сравнительная сложность дуальных коммутаторов и расширенных орграфов
Коммутационные сложности неблокируемых четырехкаскадных коммутаторов д) и расширенных коммутаторов с топологией квазиполных орграфов №о)
р N4 Дуальный коммутатор д Расширенный коммутатор К^ ^ро Отношение Spo/S4, д
2 256 46 080 = N41,94 261 120 = N42,25 5,67
3 6 561 6 298 560 = N41,78 129 120 480 = N42,12 20,5
4 65 536 22 282 400 = N41,74 11 453 071 360 = N42,09 514
Коммутационные сложности неблокируемых восьмикаскадных коммутаторов д) и расширенных коммутаторов с топологией квазиполных орграфов ^ро)
р N8 Дуальный коммутатор КМ д Расширенный коммутатор К^ ^ро Отношение ^ро^б, д
2 65 536 18 939 9040 = Щ1'12 17 179 607 040 = Щ2,12 85,7
3 43 046 721 3,283Е + 12 = N81,64 5,55822Е+15 = N82,06 1 640
4 4,29Е + 09 3,678Е + 15 = Ng,62 4,91906Е+19 = N82,04 13 107
вость (при необходимости), но при существенно меньшей сложности.
Широкая масштабируемость неблокируемых коммутаторов также может быть достигнута многократным применением метода инвариантного расширения к коммутатору ^N1 с топологией орграфа, в котором используется обычный коммутатор рхр. Такие расширенные коммутаторы имеют период разрядов в один такт, но обладают повышенной сложностью. В табл. 11 сравнивается коммутационная сложность дуальных коммутаторов К4^4 и К8^ и расширенных коммутаторов К^. Видно, что дуальные коммутаторы имеют на несколько порядков меньшую коммутационную сложность.
Заметим, что дуальный коммутатор разрешает конфликты шинным способом только в первом каскаде в коммутаторе К^. Все остальные конфликты во всех каскадах просто предотвращаются благодаря использованию внутреннего распараллеливания, и в них дуальные коммутаторы используются как обычные коммутаторы рхр. Поэтому, может быть, имеет смысл использовать дуальный коммутатор в его первоначальном виде [1-3] - в виде пары «мультиплексор - демультиплексор», коммутационная сложность которой в р раз меньше. Это даст уменьшение коммутационной сложности дуальных коммутаторов К4^4 и К8^ еще в несколько раз (1,5^4,5).
Отметим, что сложность отказоустойчивых коммутаторов К^2 и К4^ при малых р больше сложности полного графа, а при больших р - меньше. При этом сложность коммутаторов К^8 оказывается существенно меньше сложности полного графа при любых р. Специально хотелось бы выделить характеристики коммутатора К8^ при р = 2 и с = 1. При числе каналов Nв = 65 536 и вдвое меньшем быстродействии его коммутационная сложность сопоставима со сложностью пятикаскадной небло-
кируемой сети Клоза на базе 64-канального маршрутизатора YARC [9] с числом каналов N = 32 768, при условии, что она построена как неблокируе-мая сеть [7, 8]. Оценка сложности этой неблокиру-емой сети Клоза дает величину S = N . Однако эта сеть не имеет параллельных процедур ни статической, ни динамической самомаршрутизации.
Остальные коммутаторы K8N8 с p > 2 и с = 1 имеют еще меньшую коммутационную сложность и еще большую масштабируемость, но при меньшем быстродействии.
Пониженное в p раз быстродействие коммутаторов K2N2, K4N4 и K8N8 может быть скомпенсировано разными протокольными способами. Можно использовать процессоры с p независимыми портами, делить пакеты на p частей и передавать их параллельно. Широкая масштабируемость построенных коммутаторов легко обеспечивает такой режим работы, но посредством уменьшения в p раз числа абонентов и увеличения сложности сети. Также можно использовать параллельно -последовательный способ передачи пакетов по p линиям как в протоколе PCI-express уже без уменьшения числа абонентов.
Одним из недостатков коммутаторов K1N1, K2N2, K4N4 и K8N8 является их оптимизация под бесконфликтную реализацию произвольных перестановок. А каким будет их поведение на произвольном трафике? Для его определения можно придать мультиплексорам в выходных каскадах свойство «одноканальности». Мультиплексор с таким свойством из нескольких входных пакетов пропускает на выход только один и блокирует прохождение остальных пакетов. Передача блокированных пакетов, не подтвержденных приемниками, повторно осуществляется источниками.
Существенным недостатком предложенной методики является необходимость параллельной передачи сигнальной и управляющей информации, что существенно увеличивает необходимую полосу пропускания. Для фотонных коммутаторов этот недостаток не является роковым, так как оптический кабель может нести одновременно сотни разных частот. Однако в общем случае этот недостаток можно ликвидировать, если обеспечить поразрядную синхронизацию сигналов разных каналов. Это можно сделать на основе метода [34, 35] с локацией взаимного положения источников и приемников и соответствующих задержек передач от источников. В этом случае управляющую информацию для дуальных коммутаторов и демульти-плексоров можно передавать, как обычно, в виде наборов разрядов в заголовке пакетов.
Приятным бонусом поразрядной синхронизации является возможность построения в канале на входе каждого приемника АЛУ только сетевыми средствами. Такие АЛУ были разработаны для метода вычислений в общем канале [36]. Для их реализации требуется передача по каналу значений разрядов чисел в парафазном виде - по двум линиям с активными сигналами для значений 0 и 1 в каждом. В сетевом АЛУ производится операция над числом, поступающим по каналу, и числом, находящимся у приемника, с образованием результата в канале после АЛУ. В канале возможно выполнение операций сложения, умножения, любых поразрядных логических операций, в том числе нахождения максимума (минимума).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе предложена методика построения не-блокируемых отказоустойчивых фотонных сетей широкой масштабируемости, рассмотренных в статье [5], но со значительной меньшей сложностью. Эта методика базируется на трех основных компонентах:
• использование р-канального дуального коммутатора с периодом разрядов в р тактов, который оказывается неблокируемым на любом входном трафике - именно это является необходимым условием неблокируемости более сложных сетей;
• использование коммутатора с топологией квазиполного графа или орграфа с дуальным коммутатором внутри, в результате чего сохраняется неблокируемость, обеспечивается канальная отказоустойчивость и более высокая масштабируемость при каскадировании по сравнению с чистым дуальным коммутатором;
• применение метода внутреннего распараллеливания для сохранения неблокируемости посредством предотвращения конфликтов и сохранения отказоустойчивости, которое обеспечивает широкую масштабируемость при каскадировании неблокируемых сетей.
В работе [5] масштабирование осуществляется путем каскадного применения метода инвариантного расширения посредством использования дополнительных внешних мультиплексоров и де-мультиплексоров. В настоящей работе масштабирование осуществляется путем каскадирования неблокируемых сетей меньшего размера и применения обобщенного метода внутреннего распараллеливания на каждом шаге каскадирования.
Каскадирование неблокируемой сети с N каналами осуществляется посредством построения
84
CONTROL SCIENCES No. 5 • 2021
блокируемой сети с N 2 каналами. Эта сеть состоит из двух каскадов с обменными связями с N исходными неблокируемыми сетями в каждом. Блокировки в этой двухкаскадной сети возникают на выходных мультиплексорах первого каскада. Эти блокировки предотвращаются посредством разведения конфликтующих каналов по нескольким копиям второго каскада и перемещения мультиплексоров на выходы той частью второго каскада, которая выполняет маршрутизацию пакетов. В этой части сети конфликты не возникают, так как она состоит из копий неблокируемых подсетей, которые выполняют маршрутизации разреженных перестановок. Объединение разреженных перестановок в полную перестановку на сети с N 2 каналами осуществляется перемещенными каскадами мультиплексоров бесконфликтно.
При первом каскадировании [5] внутреннее распараллеливание осуществляется с использованием р копий второго каскада и использованием однослойного каскада выходных мультиплексоров. Второе каскадирование при построении неблоки-руемой сети с N каналами выполняется с использованием р2 копий второго каскада и использованием двухслойного каскада выходных мультиплексоров. Третье каскадирование при построении неблокируемой сети с N 8 каналами выполняется с использованием р копий второго каскада и использованием четырехслойного каскада выходных мультиплексоров. Таким образом, были построены неблокируемые двух-, четырех- и восьмикаскад-ные сети с каскадами, состоящими из неблокируе-мых дуальных сетей с топологией квазиполного графа или орграфа.
Внутреннее распараллеливание при каждом каскадировании сохраняет период разрядов и сопровождается уменьшением удельной сложности создаваемой неблокируемой сети. В частности, были построены неблокируемые сети, имеющие удельную сложность не больше, чем у теоретической неблокируемой сети Клоза.
Рассмотренная методика может служить основой для построения практических проектов небло-кируемых коммутаторов широкой масштабируемости со статической самомаршрутизацией и канальной отказоустойчивостью.
ЛИТЕРАТУРА
1. Барабанова Е.А., Вытовтов К.А., Подлазов В.С. Многокаскадные коммутаторы для оптических и электронных суперкомпьютерных систем // Материалы 8-го Национального Суперкомпьютерного Форума (НСКФ-2019). - Пере-славль-Залесский, 2019. - http://2019.nscf.ru/TesisAll/02_ Apparatura/037_BarabanovaEA.pdf. [Barabanova, E.A.,
Vytovtov, K.A., Podlazov, V.S. Mnogokaskadnye kommutatory
dlya opticheskih i elektronnyh superkomp'yuternyh sistem // Materialy 8-go Nacional'nogo Superkomp'yuternogo Foruma (NSKF-2019). - Pereslavl'-Zalesskij, 2019. - http:// 2019.nscf.ru/TesisAll/02_Apparatura/037_BarabanovaEA.pdf. (In Russian)]
2. Барабанова Е.А., Вытовтов К.А., Вишневский В.М., Подлазов В.С. Новый принцип построения оптических устройств обработки информации для информационно-измерительных систем // Датчики и системы. - 2019. - № 9. -С. 3-9. [Barabanova, E.A., Vytovtov, K.A., Vishnevskij, .M., Podlazov, V.S. The New Principle for the Construction of Optical Information Processing Devices for Information-Measuring Systems // Sensors and Systems. - 2019. - No. 9. - P. 3-9 (In Russian)]
3. Barabanova, E, Vytovtov, K., Vishnevskiy, V., Podlazov, V. Model of Optical Non-blocking Information Processing System for Next-generation Telecommunication Networks // Proceedings of the 22nd International Conference on Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications (DCCN-2019). - Moscow, 2019. - P. 188198. - DOI: 10.1007/978-3-030-36625-4_16.
4. Каравай М.Ф., Подлазов В.С. Метод инвариантного расширения системных сетей многопроцессорных вычислительных систем. Идеальная системная сеть // Автоматика и телемеханика. - 2010. - № 12. - С. 166-176. [Karavay, M.F., Podlazov, V.S. An Invariant Extension Method for System Area Networks of Multicore Computational Systems. An Ideal System Network // Automation and Remote Control. - 2010. -Vol. 71, no. 12. - P. 2644-2654.]
5. Барабанова Е.А., Вытовтов К.А., Подлазов В.С. Двухкас-кадные дуальные фотонные коммутаторы в расширенном схемном базисе // Проблемы управления. - 2021. - № 1. -С. 69-80. [Barabanova, E.A., Vytovtov, K.A., Podlazov, V.S. Two-Stage Dual Photonic Switches in an Extended Circuit Basis // Control Sciences. - 2021. - No. 1. - P. 69-80.]
6. Барабанова Е.А., Вытовтов К.А., Подлазов В.С. Неблоки-руемые отказоустойчивые двухкаскадные дуальные фотонные коммутаторы // Проблемы управления. - 2021. - № 4. -С. 82-92. [Barabanova, E.A., Vytovtov, K.A., Podlazov, V.S. Non-blocking Fault-Tolerant Two-Stage Dual Photon Switches. - Control Sciences. - 2021. - No. 4. - P. 67-76.]
7. Clos, C. A Study of Non-locking Switching Networks // Bell System Tech. J. - 1953. - Vol. 32. - P. 406-424.
8. Бенеш В.Э. Математические основы теории телефонных сообщений. - М.: Связь. - 1968. - C. 83-150. [Benesh, V.E. Matematicheskie osnovy teorii telefonnyh soobshhenij. - M.: Svjaz'. - 1968. - Р. 83-150. (In Russian)]
9. Scott, S., Abts, D., Kim, J., and Dally, W. The Black Widow High-radix Clos Network // Proc. 33rd Intern. Symp. Comp. Arch. (ISCA'2006). - Boston, 2006. - URL: https://www.researchgate.net/publication/4244660_The_Black Widow_High-Radix_Clos_Network.
10.De Sensi, D., Di Girolamo, S., H. McMahon, K., Roweth, D. An In-Depth Analysis of the Slingshot Interconnect // arXiv: 2008.08886v1. - 2020. - URL: https://www.researchgate.net/ publication/343786515_An_In-Depth_Analysis_of_the_ Slingshot_Interconnect.
11.Alverson, R., Roweth, D., and Kaplan, L. The Gemini System Interconnect // 18th IEEE Symposium on High Performance Interconnects. - Santa Clara, CA, 2009. - P. 83-87.
12.Alverson, R., Roweth, D., Kaplan, L., and Roweth, D. Cray XC® Series Network. - URL: http://www.cray.com/ Assets/PDF/products/xc/CrayXC30Networking.pdf.
13. Kim, J., Dally, W. J., Scott, S. and Abts, D. Technology-Driven, Highly-Scalable Dragonfly Topology // Proceedings of the 35th Annual International Symposium on Computer Architecture (ISCA'2008). - Beijing, 2008. - P. 77-88. - URL:
http://users.ece.gatech.edu/~sudha/academic/class/Networks/Le ctures/4%20-%20Topologies/papers/dragonfly.pdf.
14.Mellanox OFED for Linux User Manual. Rev 2.3-1.0.1. - Mel-anox Technologies, Ltd.: 2014. - URL: https://dlcdnets. asus.com/pub/ASUS/mb/accessory/PEM-FDR/Manual/Mellanox_OFED_Linux_User_Manual_v2_3-1_0_1.pdf .
15.Pipenger, N. On Rearrangeable and Non-blocking Switching Networks // J. Comput. Syst. Sci. - 1978. - Vol. 17. - P. 307311.
16.Bhuyan, L.N. and Agrawal, D.P. Generalized Hypercube and Hyperbus Structures for a Computer Network // IEEE Trans. on Computers. - 1984. - Vol. C-33, no 4. - P. 323-333.
17. Tzeng, N., Wei, S. Enhanced Hypercubes // IEEE Trans. Computers. - 1991. - Vol. 40, no. 3. - P. 284-294.
18.Efe, K. A Variation on the Hypercube with Lower Diameter // IEEE Trans. Computers. - 1991. - Vol. 40, no. 11. - P. 13121316.
19.Kim, J., Dally, W.J. Flattened Butterfly Topology for On-Chip Networks // IEEE Computer Architecture Letters. - 2007. -Vol. 6, no. 2. - P. 37-40.
20. Gu, Q.P. and Tamaki, H. Routing a Permutation in Hypercube by Two Sets of Edge-Disjoint Paths // J. of Parallel and Distributed Comput. - 1997. - Vol. 44, no. 2. - P. 147-152.
21. Lubiw, A. Counterexample to a Conjecture of Szymanski on Hypercube Routing // Inform. Proc. Let. 1990. - Vol. 35(2). -P. 57-61.
22. Stepanenko, S. Structure and Implementation Principles of a Photonic Computer // EPJ Web of Conferences. - 2019. - Vol. 224. - DOI: https://doi.org/10.1051/epjconf/201922404002.
23Жабин И.А., Макагон Д.В., Поляков Д.А. и др. Первое поколение высокоскоростной коммуникационной сети «Ангара» // Наукоемкие технологии. - 2014. - № 1. - С. 21-27. [Zhabin, I.A., Makagon, D.V., Polyakov, D.A., et al. Pervoe pokolenie vysokoskorostnoi kommunikatsionnoi seti «Angara» // Naukoemkie tekhnologii. - 2014. - No. 1. - P. 21-27. (In Russian)]
24.Stegailov, V., Agarkov, A., Biryukov, V., et al. Early Performance Evaluation of the Hybrid Cluster with Torus Interconnect Aimed at Molecular Dynamics Simulations // International Conference on Parallel Processing and Applied Mathematics. -Cham: Springer, 2017. - P. 327-336.
25Ajima, Y., Inoue, T., Hiramoto, S., Shimiz, T. Tofu: Interconnect for the K Computer // Fujitsu Scientific & Technical Journal. -Vol. 48, no. 3. - July 2012. - P. 280-285. - URL: https://www.researchgate.net/publication/265227674_Tofu_Int erconnect_for_the_K_computer.
26Arimili, B., Arimilli, A., Chung, V., et al. The PERCS HighPerformance Interconnect // 18th IEEE Symposium on High Performance Interconnects. - New York, 2009. - P. 75-82.
27.Kathareios, G., Minkenberg, C., Prisacari, B., et al. Cost-Effective Diameter-Two Topologies: Analysis and Evaluation // SC'15: Proceedings of the International Conference for High Performance Computing. Networking, Storage and Analysis (SC'15). - 2015. - P. 1-11.
28.Besta, M. and Hoefler, T. Slim fly: A Cost Effective Low-Diameter Network Topology // SC'14: Proceedings of the In-
ternational Conference for High Performance Computing. Networking, Storage and Analysis. - 2014. - P. 348-359
29. Flajslik, M., Borch, E., and Parker, M.A. Megafly: A topology for exascale systems // Yokota, R., Weiland, M., Keyes, D., and Trinitis, C. eds., High Performance Computing. Cham. Springer International Publishing. - 2018. - P. 289-310.
30.Ahn, J. H., Binkert, N., Davis, A., et al. Hyperx: Topology, Routing, and Packaging of Efficient Large-Scale Networks // Proceedings of the Conference on High Performance Computing Networking. Storage and Analysis. - 2009. - P. 1-11.
31.Domke, J., Matsuoka, S., Ivanov, I.R., et al. Hyperx Topology: First At-scale Implementation and Comparison to the Fat-Tree // Proceedings of the International Conference for High Performance Computing, Networking. Storage and Analysis (SC'19). New York, USA, Association for Computing Machinery. -2019.
32.Singla, A., Hong, C.-Y., Popa, L., and Godfrey, P.B. Jellyfish: Networking Data Centers Randomly // Presented as part of the 9th USENIX Symposium on Networked Systems Design and Implementation (NSDI 12). San Jose. CA. USENIX. - 2012. -P. 225-238.
33.Холл М. Комбинаторика. Главы 10-12. - M. Мир. - 1970. -424 с. [Hall, M. Combinatorial Theory. - Blaisdell Publishing Company. Waltham. - 1967.]
34.Стецюра Г.Г. Компьютерная сеть с быстрой распределенной перестройкой своей структуры и обработкой данных в процессе их передачи // Проблемы управления. - 2017. -№ 1. - С. 47-56. http://pu.mtas.ru/archive/Stetsyura_117.pdf [Stetsyura, G.G. Computer Network with the Fast Distributed Reorganization of Its Structure and Data Processing During Their Transmission // Control Sciences. - 2017. - No. 1. - P. 47-56.] - URL: (In Russian)]
35. Стецюра Г.Г. Компьютерные кластеры с быстрым аппаратным выполнением синхронизации сообщений и распределенных вычислений сетевыми средствами // Проблемы управления. - 2020. - № 4. - С. 61-69. [Stetsyura, G.G. The Computer Clusters with Fast Synchronization of Messages and with Fast Distributed Computing by the Network Hardware // Control Sciences. - 2020. - No. 4. - P. 61-69. (In Russian)]
36.Прангишвили И.В., Подлазов В.С., Стецюра Г.Г. Локальные микропроцессорные вычислительные сети. Глава шестая. - М.: Наука, 1984. - 175 с. [Prangishvili, I.V., Podla-zov, V.S., Stetsyura, G.G. Lokal'nye mikroprocessornye vychis-litel'nye seti. Glava shestaya. - M.: Nauka, 1984. - 175 p. (In Russian)]
Статья представлена к публикации членом редколлегии
В.М. Вишневским.
Поступила в редакцию 25.03.2021, после доработки 12.08.2021.
Принята к публикации 24.08.2021
Подлазов Виктор Сергеевич - д-р техн. наук, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва,
Н podlazov@ipu.ru,
NON-BLOCKING FAULT-TOLERANT DUAL PHOTON SWITCHES WITH HIGH SCALABILITY
V.S. Podlazov
Trapeznikov Institute of Control Sciences, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
H podlazov@ipu.ru
Abstract. This paper continues the construction of a fundamentally new class of system area networks (dual photon networks) with the following features: non-blocking property and static self-routing, high scalability with the maximum achievable speed and a small complexity compared to a full switch, and balancing the scalability-speed and complexity-speed ratios. These networks are implemented in an extended circuit basis consisting of dual photon switches and separate photon multiplexers and demultiplexers. We propose a method for constructing a fault-tolerant dual network with the indicated properties based on networks with the quasi-complete graph and quasi-complete digraph topologies and the invariant extension method with internal parallelization. Also, we propose a method for extending the two-stage dual network designed previously into four-stage and eight-stage dual networks with high scalability while maintaining the original network period and reducing its exponential complexity.
Keywords: photon switch, dual switch, photon multiplexers and demultiplexers, multistage switch, conflict-free self-routing, non-blocking switch, static self-routing, quasi-complete digraph, quasi-complete graph, invariant extension of networks, switching properties, direct channels, scalability and speed.
