Научные и методологические основы прогнозирования надежности трибосопряжений на стадии их проектирования Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

НАДЕЖНОСТЬ И ДОЛГОВЕЧНОСТЬ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ

УДК 531.43/46

Анцупов А.В., Чукин М.В., Анцупов А.В.(мл.), Анцупов В.П.

НАУЧНЫЕ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ ТРИБОСОПРЯЖЕНИЙ НА СТАДИИ ИХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Анализ подходов к прогнозированию надежности технических систем [1-3], а также базовые, основополагающие понятия технической диагностики (ГОСТ 20911), теории надежности (ГОСТ 27.002-89) и трибологии (ГОСТ 27674, 30858) позволяют сформулировать общие методологические принципы процедуры прогнозирования показателей безотказности и долговечности трибосопряжений [4].

На наш взгляд, предлагаемая методология прогнозирования надежности трибосистем, как совокупность основополагающих теоретических положений (научная основа) процесса построения модели их отказа - математического описания процесса формирования закона надежности на стадии проектирования, независимо от вида проектируемого трибосопряже-ния, должна включать следующую последовательность операций (этапов прогнозирования):

I. Обоснованный выбор базового параметра состояния трибосопряжения, значение которого, изменяющееся во времени при изнашивании трибоэлемен-тов, позволяет предсказывать его поведение (смену состояний) в течение всего периода эксплуатации. (Если выбирается несколько параметров, излагаемая методика реализуется для каждого из них.)

II. Формулирование уравнения состояний сопряжения в общем виде - выбор зависимости параметра состояния от одного из показателей износостойкости, моделирующей смену его состояний при изнашивании элемента (элементов).

III. Разработка модели изнашивания элементов сопряжения и вывод уравнений для описания закономерности изменения их износа во времени.

IV. Формулирование условия работоспособности трибосопряжения, отражающего закономерность изменения параметра состояния во времени до момента перехода его в предельное состояние, т.е. область всех возможных работоспособных состояний сопряжения.

V. Вывод уравнений для оценки показателей надежности трибосопряжения на произвольный момент времени будущей эксплуатации:

- коэффициентов запаса надежности, если параметр состояния является детерминированной величиной;

- вероятности безотказной работы - вероятности выполнения условий работоспособности, если параметр состояния является случайной величиной, распределенной на этот момент времени по установлен-

ному закону, определяющих закон формирования из-носовых отказов сопряжения при решении прямой задачи теории надежности.

VI. Формулирование уравнения перехода трибосопряжения в предельное состояние (состояние параметрического отказа) по выбранному параметру, отражающего область всех возможных предельных состояний сопряжения.

VII. Вывод уравнений для оценки ресурсных характеристик трибосопряжения при решении обратной задачи теории надежности:

- предельной наработки до отказа, если параметр состояния является детерминированной величиной;

- гамма-процентного, среднего и гарантированного ресурса, если параметр состояния является случайной величиной с установленным законом распределения.

Очевидно, что методологической основой процесса прогнозирования надежности трибосистем является разработка совокупности базовых уравнений и условий, моделирующих:

- их будущее поведение (смену состояний) во времени при установленном (разработанном) законе изнашивания элементов в предполагаемых условиях эксплуатации;

- переход их в предельное состояние;

- формирование закона надежности.

Последующий анализ и решение полученных

уравнений позволяет решать прямую и обратную задачи теории надежности трибосистем на стадии проектирования - предсказывать значения показателей безотказности для установленного ресурса или прогнозировать ресурс для заданного уровня надежности трибосопряжения.

Изложенный выше общий методологический подход может быть реализован в детерминистической (аналитической) или вероятностной (стохастической) форме для сопряжений, изнашивание которых подчиняется различным закономерностям.

Ниже он представлен в виде вероятностной методики прогнозирования надежности «стационарных» трибосопряжений, работающих в установившемся режиме изнашивания, когда периодом приработки можно пренебречь.

Этапы методики сформулируем согласно изложенному выше алгоритму.

1 этап. Для проектируемого вида сопряжений и

предполагаемых условии эксплуатации согласно стандартному, по ГОСТ 20911 и [4], определению «состояние объекта - совокупность количественных значений параметров, описывающих объект в любой момент времени», в качестве основного параметра Хг состояния выбираем изменяющийся при эксплуатации размер наиболее изнашиваемой детали или сочетание размеров деталей, полагая его случайной величиной.

2 этап. Представляем в общем виде уравнение состояний сопряжения - зависимость случайного параметра Xt сопряжения в функции случайной величины линейного износа элемента (элементов), моделирующую смену его состояний при изнашивании. Оно может быть записано в виде одного из возможных выражений:

Р(() = Р(Х < хпр) = ^(хпр) = ^(и„т) = Ф(и„т) = Ф Р (0 = Р( X > Хпр ) = 1 - Г (хпр ) = 1 - Г (ипр(1)) = 1 - Ф(ипр(1)) = 1 - Ф

или

(4)

X = X,

или

X = X - у.,

(1)

где Х0 - случайная величина параметра X состояния сопряжения в момент времени Т = t0.

Случайные величины в условии (1) согласно центральной предельной теореме теории вероятностей распределены по нормальному закону [2, 5, 6].

3 этап. Принимаем линейную модель процесса изнашивания элементов «стационарного» сопряжения:

к = Гу

і,

(2)

отражающую закономерность изменения их линейного износа У/: во времени с постоянной скоростью Гу.

4 этап. В соответствии со стандартным, по ГОСТ 27.002-89, определением «работоспособность - состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих его способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям НТД», математически формулируем условие работоспособности трибосопряжения:

- в общем виде

ИЛИ

- в развернутом виде с учетом (1) и (2)

^ = X0 + Гуі -{< Хпр или

^ = X 0 - Г У'-і> Х„р,

(3 а)

(3 б)

где иПр(() - значение квантили нормального нормированного распределения случайной величины и/

определяем согласно известному [7] правилу нормирования размерных случайных величин.

ипр( і)

(5)

Переход от нормального распределения размерной случайной величины X, характеризуемой функциями:

1

Л 2-п

ехр

(6)

к нормированному нормальному распределению случайной величины и/ = (Х/ -х/) /ах/, характеризуемой функциями:

/ (иг) =■

1

(

ехр

и

(7)

УІ2 ■ж

да

Г (и) = | / (и) • йи

о

показан на рис. 1, А, Б.

Здесь Х и сХі - числовые характеристики случайной величины Xі для каждого фиксированного момента времени Т = і, определяем согласно (1) и (2), см. рис. 1, А, Б:

- математическое ожидание

Х = Хо +Гу 'і или Х = Хо ~Гу ■ і;

- среднее квадратическое отклонение Іс

= л

■ і

(8)

(9)

где каждое из них отражает закономерность изменения параметра состояния X во времени до момента достижения им предельного значения хпр, т.е. область всех возможных работоспособных состояний сопряжения.

Предельное значение выбранного параметра Xt = = хпр состояния сопряжения определяем из нормативных документов или из опыта эксплуатации.

5 этап. При решении прямой задачи используем известные уравнения для оценки вероятности безотказной работы Р(/) сопряжения в любой фиксированный момент времени Т = /, как вероятности выполнения условий работоспособности (3) (рис. 1):

В условиях (8) и (9) числовые характеристики случайного параметра Xt = X0 состояния трибосопряжения на начальный момент времени Т = /0 оцениваем по рабочим чертежам трибосопряжения:

= (Хо

п)/2; СТХ0 = (Х0тах “ Х0т1п)/6. (10)

Максимальное и минимальное значения Х0тах, Х0тіп проектного размера X0 элементов (или их сочетания) трибосопряжения определяются границами полей допусков, установленных конструктором.

Значения числовых характеристик случайной величины скорости линейного изнашивания Гу1 (уу и

0

с> ) в условиях (8) и (9) определяем по методике ра- = / времени будущей эксплуатации при решении пря-

7 мой задачи теории надежности, по сути, представля-

ют закон /(/) = —с!Р / Ш надежности - математиче-

бот [5, 6] при создании универсальной модели изнашивания «стационарных» трибосопряжений.

Уравнения (4) для оценки вероятности Р (/) без- с™*™™™™ процесса Фазирования его износовых

отказной работы (или вероятности отказа Г(/) = 1 — Р(/)) трибосопряжения в любой момент Т =

отказов.

Рис. 1. К определению вероятности безотказной работы «стационарных» сопряжений в любой

фиксированный момент времени Т = Г

6 этап. Формулируем условие перехода трибосо-пряжения в предельное состояние (состояние параметрического отказа), отражающее область всех возможных предельных состояний сопряжения:

- в общем виде

- в развернутом виде

Х = X0 + Ті = X0 + Гуі • і = Хпр ИЛИ

X = X0 - Ті = X0 - Гуі • і = ХПР.

(11 а)

(11 б)

[ияр(у)]

[ияр(у)]

Хпр ~(Х0 +7у • іу)

7СТХ20 +°г • іу Хпр -(Х0 -Гу • О

или

(12)

Численное значение гамма-процентной наработки до отказа (ресурса) трибосистемы определим решением первого или второго квадратного уравнения относительно переменной їу.

Выражения для оценки средней прогнозируемой наработки і до отказа (математического ожидания наработки до отказа) - среднего ресурса, определим из условия (8), решая первое или второе уравнение относительно переменной случайной величины і:

- ХИр - Х0 - Х0 - ХИр

і =---------------, или і =---------------------

(13)

Гу Ху

Подставляя в условия (13) вместо средних значений Х0 предельно возможные в поле допуска значения начального параметра X0 трибосопряжения:

Х0тах Х0 + 3 ' СТ0 ИЛИ Х0тт Х0 3 ' °0 ,

а также максимально возможное значение скорости Г„ его изнашивания:

Найдем выражения для оценки гарантированного периода безотказной работы (гарантированного ресурса):

, Хпр Х0тах , Х0тіп Хпр

іГ = — -------------- или іг =-----------------—

Уу

Уу

(14)

Предельно возможный на любой момент времени Т = / запас надежности сопряжения найдем из выражений:

7 этап. Выводим зависимости для оценки ресурсных характеристик «стационарных» трибосо-пряжений, решая обратную задачу теории надежности (рис. 2).

Гамма-процентную наработку /у до отказа (между отказами) оцениваем следующим образом. Сначала по классу надежности трибосопряжения [2] задаем предельно допустимое значение вероятности безотказной работы [Р(/)] = у . Затем по этому значению находим соответствующее табличное значение квантили [и и^(^)].

Подставляя его в выражение (5) и учитывая (8) и (9), получаем уравнение для определения /г :

Хі тах Х0тах ^ У у тах ^

Х Хп —у • і

тіп 0тах / у тах

или

(15)

Ху тах =7у + 3 •^r,

Графическая интерпретация базовых зависимостей (1) - (15) изложенного методологического подхода на рис. 2 отражает область всех возможных значений параметра Xt состояния «стационарного»

трибосопряжения - область всех возможных работоспособных и предельных состояний как решение прямой и обратной задачи теории надежности фрикционных сопряжений, работающих в установившемся режиме трения.

Решение прямой теории надежности «стационарных» трибосопряжений на рис. 1 и 2 графически отражено следующим образом:

- вероятность безотказной работы Р(/) =

= Г (хпр) = Г (и пр(/)) = Р (Т > /) трибосопряжения, определяемая по первому (левому) условию (4), на рис. 1, А демонстрирует площадь под кривой /(х1),

лежащая слева от значения х/ = хпр, и равная ей по величине площадь под кривой /(и/), лежащая слева от значения и = ипр).

На рис. 2, А это же значение вероятности демонстрирует площадь под кривой /(х1), лежащая ниже линии - границы х/ = хпр (в области работоспособности), и равная ей по величине площадь под кривой /(/), лежащая справа от вертикальной линии - границы Т = /;

- вероятность безотказной работы Р(/) = = 1 - Г (х„р) = 1 - Г(ипр(1)) = Р(Т > /) трибосопряжения, определяемая по второму (правому) условию (4), на рис. 1, Б. демонстрирует площадь под кривой /(х1),

лежащая справа от значения х1 = хпр, и равная ей по величине площадь под кривой /(и/), лежащая справа от значения и/ = ипр).

На рис. 2, Б это же значение вероятности демонстрирует площадь под кривой / (х/), лежащая выше

линии - границы х/ = хпр (в области работоспособ-

ПХі =

ности) и равная ей по величине площадь под кривой число точек пересечения несчетного множества гра-

/(/), лежащая справа от вертикальной линии - гра- фиков зависимостей (1) и линии - границы (3 а). Ма-

ницы Т = / тематически это выражается уравнением (3 б) - урав-

Графическая интерпретация совместного решения нением перехода трибосопряжения в предельное со-

уравнений (1) и (3 а) представляет собой бесконечное стояние - состояние параметрического отказа.

Рис. 2. Графическая интерпретация процесса формирования износовых отказов «стационарных» трибосопряжений

Анализ левого и правого уравнений (3 б) позволяет проследить формирование закона надежности /(/) -закона формирования наработок Т до отказа (или моментов t отказа) - Т = t.

Формирование закона надежности /(/) происходит следующим образом. При достижении в условиях (3 б) каждым из несчетного множества возможных значений х/ случайного параметраXt предельного значения хпр:

X = х0 +Гу ■/ = х„Р или х = х0-уу •/ = хпр,

произойдет его параметрический отказ через некоторый случайный промежуток времени Т = t (случайную предельную наработку до отказа):

/ = (хпР - х0) / Гу или t = (х0 - х„р ) / У у.

Бесконечное множество этих значений t (как множество предельных наработок) сформирует некоторый закон распределения случайной величины Т - закон надежности трибосопряжения(), рис. 2, А, Б. Ему будут соответствовать собственные интегральная Г^) = Р(Т < t) и дифференциальная /^) = Гг(/) функции распределения, а также свои числовые характеристики т1, Д ,стг - параметрыэтогораспределения.

Математически значение Р(/) может быть подсчитано с помощью функции нормального нормированного распределения или общей функции Лапласа:

Г/ (хпр ) = Г(ипр(,)) = Ф(ипр(,t) ) по условиям (4).

&р(/)

В этом случае закон надежности / (I) =-----------

&

не подчиняется нормальному распределению [2], он асимметричен и находится в области положительных значений числовой оси t, рис. 2, А, Б.

Решение обратной задачи теории надежности -определение ресурсных характеристик «стационарных» трибосопряжений, на рис. 2, А, Б графически отражается следующим образом.

Значение гамма-процентной наработки (ресурса) Т = /г графически определяется абсциссой точки пересечения двух графиков зависимостей:

- на рис. 2, А абсциссой точки пересечения линии

среднего значения х{ = х0 +уу • t с линией-границей: х = х + [и , ч ] • ст ,;

пр у I \г*пр(у)л х t ’

- на рис. 2, Б абсциссой точки пересечения линии среднего значения х{ = х0 —уу • t с линией-границей

х = х — [и , ч ] • ст ,.

пр у I \- пр(у) J х/

Здесь [ияр(г)] - табличное значение квантили

нормированного нормального распределения, соответствующее заранее заданному предельно допустимому значению вероятности безотказной работы сопряжения [Р(/)] = у.

Средний ресурс (математическое ожидание ресурса) Т = / определяется абсциссой точки пересечения графиков зависимостей: х( = х0 + уу ■ t и

х/ = хпР, см. рис. г А или х/ = х0 -уу •/ и х/ = хпр, см. рис. 2, Б.

Гарантированный ресурс T = tr определяется абсциссой точки пересечения графиков зависимостей:

Xt max = X0max + max ' t И Xt = xnp, (CM. рИС. 2, А) ИЛИ Xt mm = Xt - 7ymax ' t И Xt = xnp, (CM. рИС. 2, Б).

Область возможных значений предельного запаса nXt надежности сопряжения, определяемая по первому (левому) уравнению (15), ограничена линиями графиков зависимостей Xt max = X0max +7ymax ' t И

Xt = Xnp, (см. рис. 2, A).

Область возможных значений предельного запаса nXt надежности сопряжения, определяемая по второму (правому) уравнению (15), ограничена линиями графиков зависимостей Xt min = Xt - у max • t и

Xt = Xnp, (см. рис. 2, Б).

Таким образом, проведенный анализ базовых уравнений (1) - (15) общего методологического подхода к прогнозированию надежности «стационарных» трибосопряжений и их графическая интерпретация показывают, что еще на стадии проектирования возможно исследовать процесс формирования их износо-вых отказов, проследить за изменением уровня показателей их безотказности и ресурсных характеристик в предполагаемых условиях эксплуатации для установленного закона изнашивания.

Список литературы

1. Абрамов О. В., Розенбаум А. Н. Прогнозирование состояния технических систем. М.: Наука, 1990. 126 с.

2. Проников А.С. Параметрическая надежность машин. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 560 с.

3. Герцбах И. Б., Кордонский Л. Б. Модели отказов. М.: Сов. радио, 1966. 166 с.

4. Надежность и эффективность в технике: справочник: в 10 т. / ред. совет: В. С. Авдуевский (пред.) и др. М.: Машиностроение, 1987. Т. 1: Методология, организация, терминология. 218 с.

5. Прогнозирование надежности трибосопряжений на основе термодинамического анализа процесса трения / Анцупов А. В., Анцупов А. В (мл.), Слободянский М.Г. и др. // Вестник МГТУ им. Г.И. Носова. 2010. №3. С. 54-60.

6. Прогнозирование безотказности трибосопряжений по критерию износостойкости на стадии их проектирования / Анцупов А. В., Анцупов В. П., Анцупов А. В. и др. // Трение и смазка в машинах и механизмах. 2010. №11. С. 38-45.

7. Вентцель Е С. Теория вероятностей. М.: Издательский центр «Академия», 2003. 576 с.

Bibliography

1. Abramov O.V. Rosenbaum A.N. Predicting the state of technical systems in order .- M.: Nauka, 1990 .- 126p.

2. Pronikov, A. S. Machine parametric safety. - M.: N. E. Bauman MGTU Publishers, 2002. - p. 560.

3. Gertsbakh I.B., Kordonskii L.B. Models failures. - Moscow: Soviet Radio, 1966.-166 p.

4. Reliability and efficiency in engineering. Directory. H17 in the 10t / Red. Tip: V.S. Avduevskii and others. - Moscow: Mashinostroenie, Vol.1: Methodology, The Organization, Terminology, 1987. - 218 p.

5. Antsupov A.V., Antsupov A.V. (Jr.), Slobodyanskii M.G. and others. Reliability prediction and other friction units based on the thermodynamic analysis of the process of friction / / Bulletin of Magnitogorsk State Technical University .- 2010, № 3. P. 54-60.

6. Antsupov A.V., Antsupov V.P., Antsupov A.V. and others. Prediction reliability friction units by the criterion of wear on the stage of their projection-transformation / / Friction and lubrication in machinery .- 2010, № 11. P. 38-45.

7. Wentzel E. S. Probability Theory .- Moscow: Publishing Center "Academy", 2003.-576 p.