CC BY
17
УДК 681.52
С.А. Морозов, В.Г. Манжула, М.В. Савельев
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО АНАЛИЗУ И ОБРАБОТКЕ НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ В СЛОЖНЫХ СИСТЕМАХ
Разработка конструктивных методов контроля и управления сложными системами в условиях неопределенности значительно отстает от потребностей практики, что затрудняет использование всех возможностей, предоставляемых технологией и приводит к существенному снижению эффективности и надежности их работы.
Ошибки аппроксимации и трудности вычислений становятся непреодолимыми, когда детерминированная модель экстраполируется на описание неточной системы явлений, распределенных в пространстве и во времени. В этих условиях наблюдается стремление специалистов использовать упрошенные модели малой размерности и системы моделей для уменьшения неопределенности ситуации и получения устойчивых результатов.
В соответствии с принципом целостности сложную систему единообразно описать точно нельзя. Вследствие этого для ее анализа на разных уровнях требуются различные методы и модели; традиционный детерминированный подход к описанию процессов разработки месторождений необходим, но далеко не достаточен [I).
Неполнота данных о сложных системах и их отдельных элементах заставляет разрабатывать для их описания и моделирования математические структуры, которые позволяли бы в комплексе использовать все виды мультидисциплинарных данных о строении и функционировании таких систем.
Принципиальный шаг в формальных приемах описания совместного использования перечисленных видов информации, особенно качественной, которая ранее при математическом моделировании просто терялась, сделана Л. Заде введением понятия нечеткого множества.
Все приводимые операции над нечеткими множествами определяются через
действия над их функциями принадлежности Сегодня существует несколько способов определения основных операций объединения цА V и пересечения цА л нечетких множеств А и В. Однако все альтернативные варианты объединения и пересечения нечетких множеств только с определенной степенью соответствуют описанию посредством функций тах и тт. Поэтому выбор того или иного подхода зависит от конкретной задачи, когда использование стандартных операций приводит к неадекватности модели реальной ситуации [2].
Алгебраические операции, определенные на множестве вещественных чисел, распространяются на класс нечетких величин Р(Я) с помощью понятия нечеткого отображения. Если А, В е ДЛ) и « - есть некоторая операция из набора {+, —, *, /}, то учитывая соотношение для нечеткого отображения, можно записать:
Ц,4.я00 = 5ир{ц4(дг) л цв (>>)},
и
и = {{х,у)е<з(АхВ)\хоу = г). (I)
Таким образом, для получения /^функции \хЛоВ необходимо решить параметрическую задачу на нахождение условного экстремума, т. е. в зависимости от г б Я найти верхнюю грань функции ц/)оД на множестве и, задаваемого ограничением (уравнением связи)
£(х, у, I) = х°у — г = 0.
В основе прямого аналитического метода для бинарных операций лежит классический подход к поиску точек экстремума функции на некотором множестве из Я. В основе обратного метода нахождения результатов алгебраических операций лежит доказанное утверждение для интервальных алгебраических операций а-уровневых сечений. Если А, В е /■"(/?), то
а„(А° В) = а„(А)°а„(В). (2)
Аналитические методы построения функции принадлежности \х.АоВ позволяют получить результат операции сразу в аналитическом виде, что удобно для практических приложений. Однако на практике могут встречаться более сложные аналитические выражения для исходных /'-величин, для которых имеются трудности при нахождении аналитического решения. К тому же иногда возникает необходимость в численных методах работы с дискретно заданными /-функциями. В этом случае /-величина А. В также будет дискретной. Для практических приложений этого, как правило, вполне достаточно. При необходимости полученное решение можно аппроксимировать некоторой функциональной зависимостью.
Исследование численных и дискретных методов для алгебраических операций над нечеткими величинами дает возможность разработать ряд простых и удобных для практики реализаций как прямым, так и обратным способами. Прямой численный метод заключается в следующем. Для /'-величин А = >1^, \а. />](, В = >цв,[с. с!\{\ при заданном числовом значении ^о необходимо найти величину ц^^^о), определяемую соотношением (1). С помощью замены переменных из уравнения связи соотношение (1) сводится к одномерной экстремальной задаче.
Обратный численный метод нахождения результатов алгебраических операций для /'-величин также основывается на соотношении (2) и наиболее удобен для вычислений.
Для решения характерных для практики задач большой размерности необходимо использовать методы, обеспечивающие высокую скорость решения задач оперативного контроля и управления в реальном масштабе времени. Такие методы предлагаются на основе учета особенностей структуры элементов многомерной матрицы, представляющей результирующую матрицу дня арифметической операции в условиях, когда функция принадлежности представлена нечеткими дискретизированными величинами.
Особенности нечеткой и интервальной алгебры проявляются в том, что при решении нечетких уравнений их нельзя упростить путем эквивалентных преобразований. В ряде работ предлагаются методы частичного решения этой проблемы: "дополнительные" операции, использование квазилинейного пространства, нестандартные вычитание и деление, обобщенная и сегментная интервальные арифметики.
Один из возможных путей решения этой проблемы — введение понятия сопряженного (мнимого) интервала а . В общем случае решение линейного уравнения
а-х + Ь = с имеет вид х = (с-Ь )/а. Решениями таких уравнений могут быть и мнимые интервальные величины.
Системы нечетких уравнений могут быть сведены к системам обычных уравнений различными способами. Применение таких преобразований увеличивает размерность задачи, однако при этом сохраняется возможность использования хорошо известных классических методов.
Для решения системы линейных уравнений с интервальными коэффициентами предлагается один из вариантов итерационного алгоритма. При решении системы нелинейных уравнений может использоваться также итерационный метод с линеаризацией уравнений на каждом шаге итерации по одному из известных способов.
Проблема принятия решения в нечетких условиях интерпретируется как комплексное влияние нечеткой цели (7 и нечеткого ограничения С на выбор альтернатив и характеризуется пересечением С п С, которое и образует нечеткое множество решений />. Во многих случаях все же выбирают те альтернативы, которые имеют максимальную степень принадлежности к й (максимизирующее решение).
Нечеткий вариант стандартной задачи математического программирования получается, если "смягчить" ограничения, т. е. допустить возможность их нарушения с той или иной степенью. Решение исходной задачи сводится к решению ряда задач линейного программирования путем введения дискретных а-уровней. Если альтернатива
х0 есть решение задачи на множестве уровня а, то можно считать, что число а есть степень принадлежности альтернативы х0 нечеткому множеству решений исходной задачи. Перебрав таким образом дискретные значения ос, получим функцию принадлежности нечеткого решения. Окончательное точечное решение определяется как в задаче достижения нечетко определенной цели (пересечение нечетких множеств цели и допустимых альтернатив) или с использованием критерия оптимальности по Парето.
Авторами проанализирована многоуровневая структура численных методов решения задач математического программирования и идентификации. Размерность подобных задач на практике бывает очень велика, что создает трудности для применения к подобным системам симплекс-метода. Поэтому к таким системам обычно применяют методы линеаризации, декомпозиции, т. е. "большую" задачу разбивают на необходимое число меньших и решают симп-лекс-методом уже эти подзадачи, затем сводя их к решению первоначальной задачи.
В случае неполной информации о сложном процессе динамика системы описывается нечетким отношением X * Ух [ О, I], представляющим собой нечеткое подмножество декартова произведения X х и -х- X. Величина /\хк, иь хк+,) рассматривается как интенсивность перехода, или как степень принадлежности элемента лгл+! образу пары (хк, ик) при отображении /\ Используя понятие нечеткого отношения, можно ввести следующие пути определения функции Р.
если отсутствует модель процесса и имеется лишь лингвистическое описание поведения системы, т. е. ^является нечеткой функцией, то состояние нечеткой системы в момент времени (к + 1) есть условное по хк и ик нечеткое множество, характеризуемое функцией принадлежности | хк, ик)\
возможно использование имеющейся модели системы для задания функции / как нечеткого отображения.
В процессе функционирования системы в общем случае носитель начального нечеткого состояния расширяется. Чтобы уменьшить неопределенность ситуаций при принятии решений, необходимо использо-
вать дополнительную информацию о замерах и исследованиях в системе. Для условий независимости ошибок измерения, помех и состояния в смысле определения независимости нечетких величин авторами выведена рекуррентная процедура нахождения апостериорной функции принадлежности для нечеткого состояния системы, что позволяет реализовать на практике алгоритмы идентификации параметров и состояния системы в нечетких условиях.
Принципы построения системы математических моделей сложных систем в условиях неопределенности. Сложную систему практически невозможно описать полно и детально, что вытекает из самого определения такой системы. Основная дилемма состоит в нахождении компромисса между простотой описания, что является одной из предпосылок понимания, и необходимостью учета многочисленных поведенческих характеристик сложной системы. Решение этой дилеммы ищется в иерархическом описании, основы которого заложены М. Месаровичем.
Система задается семейством моделей, каждая из которых описывает поведение системы с точки зрения различных уровней абстрагирования. Для каждою уровня существует ряд характерных особенностей и переменных, законов и принципов, с помощью которых и описывается поведение системы. Построение такой системы моделей должно базироваться на ряде принципов. обеспечивающих корректность и достоверность результатов моделирования.
Взаимодействие моделей разных уровней иерархии осуществляется путем пересчета характеристик, полученных на одном уровне, в параметры модели, используемой на другом уровне. На каждом уровне может использоваться множество различных моделей. Состав моделей каждого уровня зависит от структурно-функциональной организации системы и целей исследования.
Анализ принципов построения системы математических моделей структурно-сложных объектов и принципов иерархического многоуровневого моделирования позволяет предложить методику построения многослойного стратифицированного опи-
сания сложной системы в условиях неопределенности, что дает возможность объединить отдельные модели и разрозненную информацию о системе на единой методологической основе.
Авторами рассмотрены вопросы принятия решений при наличии стратифицированного описания предметной области и многоуровневой системы моделей в условиях неопределенности. На каждом уровне = описания предметной области имеется свой набор входных X = = КМ,] = 1,т, и выходных
^ = {>*//}'1 = КИ,] = 1.п, переменных. Каждый уровень описания характеризуется для упрощения только одной моделью у, = /•}(*,). Каждому параметру на вышестоящем уровне соответствует определенный набор параметров нижестоящего или базового уровня:
у1+и = V,(Др-.*,,,.); / = \.N-\- (3)
Некоторые параметры описания предметной области могут непосредственно измеряться как на базовом, так и на вышестоящих уровнях описания. Однако погрешности измерений, отсутствие ряда замеров и неполнота информации по используемым моделям приводят к тому, что решения, получаемые на разных уровнях, не соответствуют друг другу в смысле выполнения соотношений (3).
Исходные данные 1 = Т7ы должны
быть согласованы с априорными сведениями А с X. проводимыми в системе измерениями Zc Хи в смысле соотношений (3) К а X. Тогда нечеткое подмножество С = А П % П К называют согласованным нечетким множеством исходных данных.
Допустимость решений по моделям задается нечетким множеством М с У. измерения характеризуются нечетким ограничением 7 с К и скоординированность — нечетким множеством К а У. Тогда нечеткое подмножество О = М П ^ П К называют нечетким решением.
Основная особенность координации решений в многоуровневой иерархической системе заключается в том, что решение
нижестоящего уровня зависит от выбора со стороны вышестоящего уровня, а решение вышестоящего уровня, в свою очередь, зависит от отклика элементов нижестоящего уровня. Решение этой дилеммы было предложено А.Е. Алтуниным для иерархических систем управления и позволяет характеризовать оптимальную стратегию подобно принципу оптимальности Р. Беллмана. Это дает возможность сократить обмен информацией между уровнями и обеспечить локальную обработку информации по отдельным моделям. На основе этого принципа построена рекуррентная процедура принятия решений, которая состоит из нескольких этапов.
Данный подход отвечает основным требованиям системного анализа, так как обеспечивает при моделировании целостность рассмотрения сложной системы за счет согласования различных уровней абстрагирования на основе теории нечетких множеств, позволяющего целиком удерживать в поле зрения всю систему в целом для решения задачи на всех уровнях обобщения, а также обеспечивает всесторонность рассмотрения системы на основе учета моделей разных уровней описания и связей между ними.
Методы ''мягких" вычислений для аналитической обработки информации в условиях неопределенности. Использование подхода на основе теории нечетких множеств позволяет провести анализ чувствительности результатов расчета в зависимости от неопределенности исходных данных. В результате такого анализа определяются наиболее влияющие входы (сенсоры) и наиболее реагирующие выходы и соответствующая риск-функция, которая показывает степень возможности достижения показателем эффективности конкретного значения.
При расчете объемным методом используется аналогичный подход, в котором все или некоторые величины могут быть заданы нечетко. Рассмотрены интегральный оценочный вариант, дифференциальный вариант объемного метода, расчеты с использованием 20 и ЗО-моделей. Если учесть, что для балансового метода тоже возможно многоуровневое описание (например, система крупноблочных моделей), то
в целом получается сложная многоуровневая иерархическая система понятий и решений, которые должны быть согласованы между собой по уровням описания.
Частные модели разных уровней описания основаны на разной степени осреднения параметров. Для моделирования процесса можно использовать несколько рахтичных уровней представления. "Мостиком", который связывает модели разных уровней представлений, могут служить переменные в уравнении материального баланса.
Точность рассчитанных с помощью уравнения материального баланса показателей зависит от достоверности исходных данных, а также от полноценности некоторых допущений, положенных в основу расчетных уравнений. Алгоритм принятия решений основан на согласовании избыточной информации, которая появляется при наличии такой двухуровневой системы моделей, и последующей корректировки решений по уровням описания. Согласование нечетких решений ведется по предложенной процедуре для многослойных систем.
С помощью данной методики решается ряд задач. Его применяют для определения начальных условий. Алгоритм балансировки крупноблочных моделей позволяет решать задачи восстановления материального баланса по отдельным фазам и настройки трехмерных технологических моделей.
Для процессов также можно провести параметрическую декомпозицию и разбить их на п подпроцессов для подсистем на самом нижнем уровне иерархической системы моделей и на т подпроцессов на втором уровне. Состояние подсистем достаточно точно оценивается путем замера и прогноза, а вот оценка состояния процесса может быть проведена в основном лишь по косвенной информации. Координация моделей ведется через подсистему 1 и между подсистемами, нечеткость определения обусловлена погрешностью измерения величин и целым рядом других факторов. Поэтому любой из этих параметров может быть адекватно задан в самом общем виде с помощью функции принадлежности. Для задачи идентификации добавляется еще один уровень описания в
виде модели "черного ящика" с использованием функций чувствительности по коэффициентам [3].
Алгоритм идентификации включает модели трех уровней:
исходное описание системой нелинейных алгебраических уравнений;
линеаризованное описание относительно; уровень описания в виде модели "черного ящика" с использованием функций чувствительности.
Согласование решений происходит путем пересчета на каждом шаге итерации и проверки критерия окончания счета.
Стратиграфическая система моделей при оптимизации режимов работы включает:
исходное описание системой нелинейных алгебраических уравнений;
линеаризованное описание относительно неизвестных;
решение задачи линейного программирования на каждом шаге итерации.
Согласование решений происходит также путем пересчета на каждом шаге итерации и проверки критерия окончания счета. Для наиболее сложных и больших структур перед решением задачи линейного программирования может вводиться четвертый уровень описания в виде модели "черного ящика" с использованием функций чувствительности. Алгоритм выбора эффективных режимов с учетом реальных нечетких целей и ограничений включает еще один уровень описания, характеризующий линеаризацию общей функции принадлежности на выпуклом множестве, на котором она совпадает с функцией принадлежности.
Комплексный алгоритм расчета и оптимизации системы учитывает целый ряд важных для практики особенностей:
возможность расчета отдельных подсистем как элементов иерархической системы управления с учетом координирующих нечетких параметров со стороны процесса, технологического оборудования;
учет зависимости на входах и выходах; проведение оптимизационных расчетов при наличии нескольких выходов;
возможность проведения параметрической и структурной идентификации фактического состояния;
возможность анализа узких мест и доминирующих ограничений в системе, оценки эффективности проведения ремонтных работ, переключений и изменения режима работы системы, в том числе и с позиций обеспечения устойчивости функционирования в условиях неопределенности.
Технология выполнения расчетов в условиях неопределенности позволяет:
вести контроль погрешности исходных данных, коэффициентов моделей и результатов расчета на всех этапах принятия решений;
интегрировать разнородную информацию о нефтегазопромысловых объектах — точечные замеры и значения параметров, допустимые интервалы их изменения, статистические законы распределения для отдельных величин, нечеткие критерии и ограничения, полученную от специалистов-экспертов и т. д.;
повышать устойчивость расчетов, возможность их проведения при неполной и неточной информации:
учитывать иерархическую структуру моделей сложного объекта и переходить от работы со всей моделью к работе с отдельными фрагментами;
включать условия существования отдельных моделей в общей многоуровневой системе моделей;
учитывать вложенность моделей и результатов последовательного решения задач.
Рассматриваемый подход позволяет адекватно учесть разнородную информацию, имеющиеся модели и представления, свести воедино решения по разным моделям и всю имеющуюся неоднородную исходную информацию: детерминированную, статистическую, экспертную и интервальную.
Представленная последовательность моделирования сложных объектов не исключает существующие методы, а позволяет объединить их в систему на единой методологической основе, что дает возможность показать место каждого метода и его значимость с системных позиций.
Системный подход позволяет объединить эту разнородную информацию, упорядочить ее и преобразовать так, чтобы она стала адекватной принимаемому решению для каждого уровня описания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Моделирование систем. Динамические и гибридные системы. СПб.: В H V-Санкт-Петербург, 432 с.
2. Мациевский C.B. Нечеткие множества: Учеб. пособие. Калининград: Изд-во КГУ. 2004. 176 с.
3. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень: Изд-во ТГУ, 2002. 352 с.
УДК 004.932.1
Е.И. Патана
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АПРИОРНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ ТЕКСТУРНОЙ СЕГМЕНТАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ НА ОСНОВЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ
Марковские случайные поля (МСП) широко применяются в текстурном анализе изображений. Одна из наиболее важных задач данной области — текстурная сегмен-
тация, которая позволяет провести интерпретацию и анализ сцены. Среди актуальных приложений сегментации можно выделить несколько наиболее перспективных:
