CC BY
33
ФИЗИКА PHYSICS
УДК 372.853 ББК 74.262.23 Б 72
Бобылев Юрий Владимирович
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей и теоретической физики Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н. Толстого, Тула, тел. (4872) 568915, e-mail: bobylev.yu@mail. ru
Грибков Александр Иванович
Кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры общей и теоретической физики Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н. Толстого, Тула, тел. (4872) 657829, e-mail: ks7a@yandex.ru Романов Роман Васильевич
Кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры общей и теоретической физики Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н. Толстого, Тула, тел. (4872) 657829, e-mail: rom_rom_vas@mail.ru
Натурный эксперимент по вращению электролита в электрическом и магнитном полях и его аналитическое описание
(Рецензирована)
Аннотация. Описывается демонстрационный эксперимент, иллюстрирующий движение заряженных частиц электролита в магнитном и электрическом полях. Помимо качественного приведено строгое математическое моделирование процессов, происходящих в рассматриваемой системе. Сравнение результатов аналитического моделирования и натурного эксперимента показало их достаточно удовлетворительное согласие.
Ключевые слова: движение заряженных частиц, электролит, магнитное поле, электрическое поле, математическое моделирование, натурный эксперимент.
Bobylev Yuriy Vladimirovich
Doctor of Physics and Mathematics, Professor of General and Theoretical Physics Department, Tula State Pedagogical University named after Lev Tolstoy, Tula, ph. (4872) 568915, e-mail: bobylev.yu@mail.ru Gribkov Aleksandr Ivanovich
Candidate Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of General and Theoretical Physics Department, Tula State Pedagogical University named after Lev Tolstoy, Tula, ph. (4872) 568915, e-mail: ks7a@yandex.ru
Romanov Roman Vasilyevich
Candidate Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of General and Theoretical Physics Department, Tula State Pedagogical University named after Lev Tolstoy, Tula, ph. (4872) 568915, e-mail: rom_rom_vas@mail. ru
Field experiment on the rotation of the electrolyte in the electric and magnetic fields and its analytical description
Abstract. The paper describes a demonstration experiment that illustrates the movement of charged particles of the electrolyte in magnetic and electric fields. In addition to qualitative we give strict mathematical modeling of processes happening in the system. Comparison of results of analytical simulation and full-scale experiment has shown their satisfactory agreement.
Keywords: movement of charged particles, electrolyte, magnetic field, electric field, mathematical modeling, natural experiment.
1. Известны разные варианты демонстраций по движению заряженных частиц в магнитном поле и действию силы Лоренца. Чаще всего применяется электронно-лучевая трубка от телевизора или осциллографа, причем данный эксперимент требует высокого напряжения. Отклонение катодных лучей в трубке Крукса полем постоянного магнита аналогично. Даже в учебной литературе для опытов по движению электролита в магнитном поле, приведенных в [1, с. 372; 2, с. 212], также необходим достаточно большой ток. Указанные эксперименты требуют тщательной подготовки и небезопасны при исполнении. Иногда эти демонстрации
называют «жидкостным» двигателем Фарадея по аналогии с [3, т. 2, с. 214].
Вместе с тем подобные эксперименты можно провести значительно проще, чему можно найти немало примеров [4, 5].
В одном из подобных опытов, выполненных авторами [6], применено простое, широко распространенное и безопасное оборудование: стандартные подковообразные магниты, дистиллированная вода, поваренная соль (КаС1), чашка Петри, перманганат калия для хорошей визуализации, низковольтный источник постоянного тока, проволока для электродов. Эксперимент выполнен, записан на видео, обработан в одном из видеоредакторов и размещен на сайте Университета [6]. Упрощенное описание данного опыта приведено в [7], а его подробное количественное рассмотрение проводится в настоящей публикации.
2. С целью сравнения этих экспериментов с теоретическими расчетами была проведена следующая модернизация (рис. 1). Поскольку соляной раствор при электролизе выделяет хлор, который взаимодействует с электродами, и, кроме того, в прямом смысле слова «мутит» воду, вместо него был использован раствор медного купороса СиБ04 в дистиллированной воде. Концентрация раствора составляла 2,2 г на 20 мл воды.
Рис. 1. Общий вид установки
Электрическое поле создавалось коаксиальными цилиндрическими электродами, приклеенными термоклеем к плоскому основанию (рис. 2а). Они были изготовлены из латуни толщиной 0,25 мм. Их высота 9 мм, диаметры и, соответственно, радиусы: ^=32 мм, г1=16 мм, ^2=57 мм, —2=28,5 мм. Для дальнейшего определим величины - радиус средней линии и полурасстояние между электродами:
г = — + — =22,25 мм, а = ——— =6,25 мм.
' 2 2
Неравномерность зазора между электродами составляла около 2 мм. Высота раствора ¿=4^5 мм, то есть все размеры сравнимы и, следовательно, ни о каких предельных случаях при теоретическом анализе задачи речи идти не может. Кроме того, при определении высоты раствора допускается ошибка порядка 20^25%, что будет учтено при сопоставлении экспериментальных и расчетных данных.
Источником магнитного поля является постоянный цилиндрический магнит от старого динамика большого диаметра 74 мм, расположенный снизу (на рисунке 2б не показан).
б
Рис. 2. Схема установки - 60 -
Для разгона частиц электроды подключаются к стабилизированному источнику питания БП-2, напряжение на выходе которого составляет 5 В. Использование источника ВС-4-12 нежелательно, так как реально он дает пульсирующий ток. Для демонстрации вращения электролита и его качественного описания это неважно, однако для количественных расчетов может сыграть существенную роль, поэтому зависимость электрического поля между электродами от времени лучше устранить.
Период обращения определялся непосредственно наблюдением за мелкими частицами на поверхности электролита. Для этого многократно с помощью секундомера засекалось время N оборотов частицы. Затем рассчитывалось среднее значение периода. Естественно, что при этом допускается погрешность.
Результаты эксперимента приведены в таблице 1.
Таблица 1
Результаты эксперимента
№ Данные эксперимента
опыта Сила тока I, A Напряжение U, B Период T, c
1 0,023 0,20 35,5
2 0,065 0,57 10,8
3 0,095 0,84 7,4
4 0,136 1,20 6,4
5 0,165 1,43 5,5
Скорость по средней линии
_V., м/с_
_0,003938_
_0,012945_
_0,018892_
_0,021844_
_0,025418_
3. Качественное объяснение опыта достаточно простое. Положительные (Си2) и отрицательные (Б04"2) ионы электролита, разогнанные электрическим полем, приходят в радиальное движение. Так как они движутся в противоположных направлениях, но имеют разные знаки, то отклоняются силой Лоренца, действующей со стороны магнитного поля, в одном направлении, и увлекают за собой частицы жидкости. Следовательно, траектория частиц, как сначала представляется, имеет спиралевидный характер. Переворачивая полюса магнита или меняя полярность электродов, можно получить вращение в разные стороны. Кроме того, можно регулировать напряжение источника с помощью реостата, меняя тем самым скорость вращения.
4. Для проведения теоретического анализа рассматриваемой задачи определим, исходя из параметров экспериментальной установки, электрическое и магнитное поля, действующие в системе.
Электрическое поле для двух бесконечно длинных коаксиальных цилиндрических электродов при условии <р2 (г = г2) = 0, ( (г = тх) = и имеет вид:
E =
U-L (1)
ln
Г2 r
r
где и - напряжение между электродами. Так как высота электродов всего в 2 раза выше высоты слоя жидкости, то здесь допускается определенная ошибка, учесть которую достаточно проблематично.
Для магнитного поля считаем, что Вг =Вг (г), Вг =0, В( = 0, при этом зависимость Бг
от г определялась экспериментально, для чего был изготовлен и откалиброван по полю соленоида измерительный прибор на основе датчика Холла. Результаты измерений в рассматриваемой области приведены в таблице 2.
Таблица 2
Значения индукции магнитного поля в зависимости от радиуса цилиндра электродов
r, мм Bz, мТл
16,00 25
22,25 27
28,50 30
Так как поле должно быть осесимметрично, то в исследуемой области будем аппроксимировать его параболой, в которой отсутствует слагаемое первой степени:
B (г) = сг2 + Во.
(2)
Расчетные коэффициенты равны с=9,014 Тл/м , В0=0,0226 Тл, где В0 - поле на оси магнита. На рисунках 3 и 4 показаны соответствующие зависимости.
23.817
19.054
14.29
9527
4.763
1 (2
¡1 Р
6.27x10 0.0125 0.01SS 0.0251
Рис. 3. Зависимость E = E (г)
Рис. 4. Зависимость Bz = Bz (г)
Заметим, что зависимость Вг = Вг (г) удобнее выразить следующим образом:
В2 (г) = Bs
v В
-г + ■
Во В
= BJZ (г),
(3)
S У
Во
В.,
где Вз = сг2 + В0 - индукция поля на среднем радиусе, а f (г) = —г2
г В,
5. Сформулируем теперь основные теоретические положения рассматриваемой задачи о движении электролита. Данная задача, заключающаяся в описании движения вязкой жидкости в заданной геометрии в стационарных электрическом и магнитных полях, в наиболее общей постановке представляет собой весьма сложную задачу магнитной гидродинамики. Поэтому, чтобы иметь возможность получить помимо численных еще и аналитические решения, примем ряд упрощающих предположений. А именно, будем считать жидкость несжимаемой, а ее движение установившимся и изотермическим. Тогда уравнение Навье-Стокса, описывающее движение вязкой жидкости [9, с. 73],
nf+(v ■ V)'v Н'+f-Vp
(4)
записанное в цилиндрических координатах (г,ф,z) , примет вид [9, с. 76; 9, с. 92]:
(d v2 Л
р рг+(', V)Vг -
dt г
(
(д-ф
р
Р\
ot
0vz ~öt
+ (V, VW-
y vv,
= 1
Л
AV - -t -
г
2 д-тф (dFЛ
г2 дф
dV
г ф
f
= 1
f
vv 2 dv. Av+
V
дф
V"' У
Л ( +
dp дг
dF
V dV ф
ф
1 dp г дф
(5)
+ (V, V)vz 1 = 1А-г +
dF KdV y
dp ~dz
Поскольку, как уже отмечалось, мы считаем, что равномерное ламинарное вращение электролита уже установилось, то в этих уравнениях производные по времени I равны 0. Кроме этого полагаем, что жидкость движется только по окружности, поэтому уг = У2 = 0 . Также задача является осесимметричной, то есть производные по ф равны 0, и отсутствует градиент давления. С учетом данных условий, записывая лапласиан и оператор (V, V) в цилиндрической системе координат, из (5) имеем следующее уравнение:
0 = 1
d V d V 1 dvm
дг dz г 0г
Л ( dF Л
dV
(6)
Здесь
( dF ^
dV
- соответствующая проекция объемной плотности массовых сил, выра-
жение для которой можно определить следующим образом. Так как макроскопическим проявлением силы Лоренца является сила Ампера, то движение электролита в нашем случае можно рассматривать как радиальный ток, на который действует сила
аРА = [ 1, В ] ау. (7)
Тогда уравнение (6) с учетом рисунка 1 принимает вид:
5Ч , 1 ^ V_ д\ _ j(r)Bz (r)
• +
^__^ +
2
dr r dr r
dz
(8)
V
Для дальнейшего преобразования правой части в (8) учтем, что полный ток, который проходит через электролит и который измеряется в эксперименте, может быть вычислен следующим образом:
(9)
I _ [ jdS _ aES _ а U — 2nrb _ а ln ^ r
r1
U
ln ^ r1
■2nb'
откуда
2nb
aU ln ^
(10)
Здесь использованы закон Ома ] = гЕ и выражение для напряженности электрического поля (1), где Г - удельная электропроводность. Тогда выражение в правой части (8) с учетом (10) и (3) может быть записано как
j (r) Bz(r) _ а e (r) B(r) _ a_U_1 (cr 2+B0 ):
IB„
V
V
V ln—
r2 r
2%цЬ
v B
B>1
B.r у
(11)
IB„
2%vbrs v Bs
cr
Ж1
B„ r
IB' | Fr + G1 |_ kP(r) . 2%vbrs V r
Здесь
k _■
IB„
(12)
(13)
2пцЬг!,
- коэффициент, имеющий размерность скорости на единицу площади, а функция
Р(г) = Рг + О -1, г
сг В г
где константы р = —^ =7,428 1/м, о = 0 * =0,01865 м определяются экспериментально.
В, В,
Заметим, что функция подбиралась таким образом, чтобы на среднем радиусе равнялась единице Р (г,) = 1. По смыслу эта функция показывает зависимость аналога вектора
Пойнтинга
j, B
E, H
от радиуса.
Значения коэффициента вязкости для раствора медного купороса [10] можно выбрать в данной модели с достаточной точностью как и для воды при 20°С 77=1,06-10 Па-с [11, с. 281], допуская при этом определенную погрешность.
С учетом (11) уравнение (8) записывается в таком окончательном виде:
d Ч 1 dv
dr2
dr
+ __*_ Ц + = -kP(r):
r2 dz2
d 2v
при этом коэффициент и функция в правой его части определяются формулами (12) и (13), соответственно.
6. Остановимся отдельно на граничных условиях, дополняющих дифференциальное уравнение (14). Между поверхностью твердого тела и всякой вязкой жидкостью всегда существуют силы молекулярного сцепления, приводящие к тому, что прилегающий к твердой стенке слой жидкости полностью задерживается, как бы прилипая к ней. Соответственно этому, граничное условие к уравнениям движения вязкой жидкости состоит в требовании обращения в нуль скорости жидкости на неподвижных твердых поверхностях [9, с. 75]:
v„
z=Ъ
= 0 - на дне,
= 0, V
= 0 - на стенках.
Г =Г2
(15)
На свободной поверхности сила вязкого трения на единицу площади должна равняться нулю, поэтому, исходя из выражения для силы Ньютона [12, с. 124], будем иметь:
dVy
dz
= 0-
(16)
z=0
Заметим, что поскольку реально мы имеем дело не со свободной поверхностью, а с границей электролит-воздух, то при использовании условия (16) также допускается определенная погрешность.
7. Таким образом, рассматриваемая задача свелась к решению дифференциального уравнения (14) с граничными условиями смешанного типа (15) и (16). Используя метод разделения переменных, опуская подробности весьма громоздкой процедуры его реализации, запишем сразу окончательное выражение:
( ) k 16Ъ2 V (-1)"
У
G Л
Fr + — v r
- CJM„r) - C2nKMnr)
cos(Änz),
(17)
где
i
K& Л)
Cm =
Fr1 +
G
Л
- KAnl)
'1 J
Fr2 +
G
'2 J
№ r) K(\пГ ) - /1(V2) K1(X пГ1)
(18)
IA пГ )
C2n =■
G
Fr + —
f
- W r)
'1 j
G
Fr + —
Л
V
'2 J
nr2)Ki(Xr) -ЦХr)Ki(Xnr2) В этих формулах Ij и K1 - модифицированные функции Бесселя первого порядка
[13, с. 245], а л = JL (2n +1).
2b
8. Расчеты и построения сечений графика решения (17) проводились в приложении PTC MathCad и показаны на рисунках 5 и 6.
1x10" 2x10" ЗхЮ' 4*10
,-3
/
у
х-
-----
8x10"
Рис. 5. Зависимость V^ (r,0)
0 2x10 34хЮ 3бхШ 38хЮ 3 Рис. 6. Зависимость V^ (rs,z)
Заметим, что максимальная скорость достигается не при среднем радиусе, а меньшем, но вычислять данную величину весьма проблематично.
V
V
В таблице 3 приведены результаты эксперимента и расчетов при разной высоте жидкости. Видим, что расчетные величины во всех случаях завышены на 50^100%. Однако такие результаты следует признать весьма удовлетворительными вследствие ряда причин, указанных выше в тексте публикации.
Таблица 3
Экспериментальные и теоретические значения скорости
Эксперимент Расчет
Скорость по средней линии, Скорость при b=5 мм, V5 Скорость при b=4 мм, V4
vs, м/с v5, м/с Vs v4, м/с Vs
1 0,003938 0,00732 1,86 0,00675 1,72
2 0,012945 0,02114 1,63 0,01951 1,51
3 0,018892 0,03090 1,64 0,02851 1,51
4 0,021844 0,04424 2,03 0,04082 1,87
5 0,025418 0,05367 2,11 0,04952 1,95
Примечания:
1. Лекционные демонстрации по физике / под ред. В .И. Ивероновой. М.: Наука, 1972. 572 с.
2. Практикум по школьному физическому эксперименту: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. 3-е изд., перераб. и доп. / А. А. Марго-лис [и др.]. М.: Просвещение, 1977. 304 с.
3. Михаил Фарадей. Экспериментальные исследования по электричеству: в 3 т. М.: Изд-во АН СССР, 1947-1959.
4. Вращение электролита вокруг магнита. URL: https://www.youtube.com/watch?v=W7UkDdxrlIk
5. Движение заряженных частиц в магнитном поле. URL: https://www.youtube.com/watch?v=BlmxwT7ncl4
6. [Электронный ресурс]. URL: http://tsput.ru/res/fizika/VIDEQ_1/e_3_05.htm
7. Бочарова Т.А., Романов Р.В. Демонстрация движения заряженных частиц в магнитном поле // Новации и традиции в преподавании физики: от школы до ВУЗа: тез. докладов V Междунар. науч.-практ. конф. Тула, 5-6 ноября 2015 г. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2015. С. 37-39.
8. Бобылев Ю.В., Грибков А.И., Романов Р.В. Демонстрация и моделирование движения заряженных частиц в магнитном и электрическом полях // Информационно-коммуникационные технологии преподавателя физики и преподавателя технологии: сб. материалов Десятой Всерос. науч.-практ. конф. Коломна: Гос. соц.-гуманит. ун-т, 2017. С. 11-14.
9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учеб. пособие для вузов: в 10 т. Т. VI. Гидродинамика. 5-е изд., стер. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 736 с.
10. Umetsu Y., Qing-quan Su, Tozawa K. Density and Viscosity Coefficients of Acidic Copper Sulfate Solutions Containing Added Impurities // Shigen-to-Sozai. 1989. Vol. 105, Iss. 9. P. 693-699. URL: https://doi.org/10.2473/shigentosozai.105.693
11. Таблицы физических величин: cправочник / под ред. И.К. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976. 1008 с.
12. Слезкин Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1955. 521 с.
12. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции: формулы, графики, таблицы. М.: Наука, 1977. 342 с.
References:
1. Lecture demonstrations in Physics / ed. by V.I. Iveronova. M.: Nauka, 1972. 572 pp.
2. Practical work on the school physics experiment: a manual for students of the department of physics and mathematics of ped. institutes. 3rd ed., revised. and enlarged / A.A. Margolis [et al.]. M.: Prosveshchenie, 1977. 304 pp.
3. Michael Faraday. Experimental research on electricity: in 3 vol. M.: the USSR AS Publishing House, 19471959.
4. Rotation of the electrolyte around the magnet. URL: https://www.youtube.com/watch?v=W7UkDdxrlIk
5. Motion of charged particles in a magnetic field. URL: https://www.youtube.com/watch?v=BlmxwT7ncl4
6. [Electronic resource]. URL: http://tsput.ru/res/fizika/VIDEO_1/e_3_05.htm
7. Bocharova T.A., Romanov R.V. Demonstration of the motion of charged particles in a magnetic field // Innovations and traditions in the teaching of physics: from school to university: theses of reports of the V Intern. scient. and pract. conf. Tula, November 5-6, 2015. Tula: Publishing House of TSPU of L.N. Tolstoy, 2015. P. 37-39.
8. Bobylev Yu.V., Gribkov A.I., Romanov R.V. Demonstration and modeling of motion of charged particles in magnetic and electric fields // Information and communication technologies of the teacher of physics and the teacher of technology: coll. of materials of the Tenth Russian scient. and pract. conf. Kolomna: The State Social and Humanit. University, No. 2017. P. 11-14.
9. Landau L.D., Lifshitz E.M. Theoretical Physics: a manual for higher schools: in 10 vol. Vol. VI. Hydrodynamics. 5th ed., ster. M.: FIZMATLIT, 2001. 736 pp.
10. Umetsu Y., Qing-quan Su, Tozawa K. Density and Viscosity Coefficients of Acidic Copper Sulfate Solutions Containing Added Impurities // Shigen-to-Sozai. 1989. Vol. 105, Iss. 9. P. 693-699. URL: https://doi.org/10.2473/shigentosozai.105.693
11. Tables of physical quantities: a reference book / ed. by I.K. Kikoin. M.: Atomizdat, 1976. 1008 pp.
12. Slezkin N.A. Dynamics of a viscous incompressible fluid. M.: State Publishing House of Technical and Theoretical Lit., 1955. 521 pp.
13. Yanke E., Emde F., Lesh F. Special functions: formulas, graphs, tables. M.: Nauka, 1977. 342 pp.
