НАСЛЕДОВАНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ВЕКТОРОВ ПРИ ПОПОЛНЕНИИ МАТРИЦЫ СТОЛБЦОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.643.5 ГРНТИ 27.17.29

НАСЛЕДОВАНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ВЕКТОРОВ ПРИ ПОПОЛНЕНИИ МАТРИЦЫ СТОЛБЦОМ

DOI: 10.31618/ESU.2413-9335.2020.6.81.1173 Кутрунов Владимир Николаевич

доктор физ. -мат. наук, профессор Тюменского государственного университета Латфуллин Тагир Гумерович доктор физ. -мат. наук, доцент, г. Тюмень, Россия

АННОТАЦИЯ

Пусть матрица A1 получена из матрицы A, добавлением к ней столбца справа. Исследуется возможность наследования сингулярных чисел и соответствующих сингулярных векторов при переходе от матрицы A к матрице A1. Сингулярные разложения матрицы A опираются на скалярные и векторные свойства квадратных симметричных матриц ATA и AAT. В статье рассматривается сингулярное разложение матрицы A, у которой строк больше, чем столбцов, а разложение опирается на анализ матрицы ATA.

ANNOTATION

Let the matrix A1 be obtained from the matrix A by adding a column to it on the right. The possibility of inheritance of singular numbers and the corresponding singular vectors when passing from matrix A to matrix A1 is investigated. The singular value decompositions of the matrix A are based on the scalar and vector properties of the square symmetric matrices ATA andAAT. The article deals with the singular value decomposition of the matrix A, which has more rows than columns, and the decomposition is based on the analysis of the ATA matrix.

Ключевые слова: Сингулярное разложение матриц, пополненная матрица, спектр матрицы, собственные числа, собственные векторы.

Key words: Singular value decomposition of matrices, augmented matrix, spectrum of a matrix, eigenvalues, eigenvectors.

Введение.

Первый автор статьи Владимир Николаевич Кутрунов погиб в результате автомобильной катастрофы 1 августа 2020 года. Идея и все доказательства принадлежат ему. Подготовить рукопись к публикации Владимир Николаевич не успел. Эту работу сделал второй автор, поэтому все замечания следует адресовать Т.Г. Латфуллину.

Для любой тхп-матрицы А (т строк, п столбцов) с элементами из Rn возможно сингулярное разложение: А=иБУ, где и -ортогональная тхт-матрица, £ - диагональная тхп-матрица, V - ортогональная пхп-матрица [1, с. 74].

Добавив, справа к матрице А столбец Ъ, получим пополненную матрицу А1. Пусть -диагональная тх(п+1)-матрица, участвующая в сингулярном разложении матрицы А1.

Зададимся вопросами, какие свойства матрицы А обеспечивают совпадение элементов на главных диагоналях матриц £ и £1 и совпадение первых п координат соответствующих сингулярных векторов?

Ответы на эти вопросы содержатся в статье.

Поставленные вопросы могут иметь практический смысл при решении задач обработки информации. Предположим, данные собранные в матрице А, оказались недостаточными. Если получены новые сведения, то возникает возможность пополнить выборку новыми элементами, то есть, пополнить матрицу А новыми столбцами. В обработке матриц участвуют много полезных инструментов и приемов матричной

алгебры, надеемся, результаты статьи будут полезны.

Применяемый в статье термин «пополнение» больше согласуется с практической потребностью, «физическим» смыслом, чем используемые в математической литературе более широкие термины «возмущения», или «одноранговые возмущения» [1], «одноранговые модификации» [2], [3] «одноранговая коррекция» [4].

Основные понятия и обозначения. (См., например, [1], [5], [6])

Пусть А - матрица. Транспонированная матрица обозначается Ат.

Если матрица А имеет т строк и п столбцов, то пишут, что А является тхп -матрицей. R

Матрица А={ау} (необязательно квадратная), называется диагональной, если все ее элементы, не стоящие на главной диагонали равны нулю, то есть, ар=0, если Щ.

Векторами пространства будем называть матрицы-столбцы из п чисел.

Пусть

xL е

Rn

(Xl,X2,...,Xn),

|х|=(х!2+х22+.. .+Хп2)1/2 - норма вектора х.

Векторы а и Ъ называются ортогональными, если аТЬ=0.

Пусть х - вектор из Я", у е Я. Вектор (XI ,хг,... ,хп)т е Я" будем обозначать .

о(А) - спектр матрицы А, то есть, множество ее собственных чисел.

Если Я е о(А), то ЦА, Л)={хе ГЯП: Ах=Лх} -собственное подпространство матрицы А, соответствующее собственному числу Л. Все

T -

x

векторы из L(A, Л), кроме нулевого вектора, являются собственными, соответствующими Л.

L*(A, Л) = L(A, Л)\0, - подмножество собственного подпространства, состоящее из собственных, то есть, отличных от нуля векторов.

dim(X) - размерность конечномерного векторного пространства X.

Сингулярное разложение матриц.

Лемма 1. Собственные числа матрицы ATA неотрицательны.

Доказательство. Пусть Л - собственное число матрицы ATA, x и ATAx = Лх. Положим y =Ax, тогда yT =xtAt_r

0 < yTy = xTATAx = ЛxTx = Л \x\2.

Следовательно, Л > 0.

Алгоритм сингулярного разложения матрицы

Теорема 1. [5, с. 171 ], [1, с. 74 ] Для любой mxn-матрицы A существуют две ортогональные матрицы U и V размеров mxm и, соответственно, nxn, такие, что mxn-матрица S = UTAVдиагональна. Тогда

A = USVT

(1)

Представление (1) называется сингулярным разложением матрицы А.

Схема построения разбиения. АТА

симметричная матрица, размеров пхп. Спектр о(АтА)={Л1, Л2, ..., Лп} упорядочен по убыванию: Л1 > Л2 > ... > Лп.

Существует ортонормированный базис х ={х1, х2, ..., хп} пространства Яп из собственных векторов матрицы АТА, соответствующих спектру:

А А.х, Л,х, . Эти собственные векторы являются столбцами матрицы V. Матрица V ортогональная.

Предположим, что собственные числа Л1 > Л2> ... > Лг положительны, а остальные равны нулю. Для 1 < , < п положим /¡=(Л,)112, а для 1 < , < г положим у, = Ах, / Система У(г)= {у1, у2, ..., уг} ортонормированная в пространстве Ят, её можно дополнить до ортонормированной системы У(г)= {у1, у2, ..., ут}. Векторы у, образуют столбцы матрицы П.

Матрица = UTAV диагональная, на ее главной диагонали стоят числа /1, /2,..., /т. Тогда А = Ш^".

Определение 1. Числа называются

сингулярными числами матрицы А, векторы х, -сингулярными векторами матрицы А.

Алгоритм получения сингулярного разложения показывает, что для любого заключения о поведении сингулярных чисел и сингулярных векторов матрицы А достаточно исследовать матрицу АТА. В оставшейся части статьи будем использовать это замечание.

Отношение наследования.

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения:

А - тх п-матрица, т > п,

Р= АТА,

Ь - вектор в Ят, Ьт= (р1, Ь2, ..., Ьт).

А1 - матрица А, пополненная столбцом Ь,

А1Т =(А1)Т, <<=А1Т А1,

с = АТ Ь - вектор в Яп, ст= (с1, с2, ..., сп), с = ЬТЬ = \Ь\2.

Выясним, как устроена матрица <=А1Т А1. Воспользуемся блочным представлением матриц

Определение 2. Пусть Лео(Р)(^о(0), хеЬ(Р, Л) - собственный вектор. Если вектор

г = 6 Ь^,Л), то скажем, что собственный

вектор ге Яп+1 является наследником вектора хе Яп и, что собственный вектор х имеет наследника.

Теорема 2. Необходимым и достаточным условием того, что собственный вектор хеЬ(Р, Л) имеет наследника является равенство стх = 0.

Доказательство. Необходимость. Пусть

Лео(Р)п,о(0), х Ф 0, хеЬ(Р, Л) и вектор г = 6

является наследником вектора х.

Так как хеЬ(Р, Л),

Кх\ / Рх + ус ч / Ах + ус ч У) (стх + с*у) \стх + c'y]

(2)

Так как z - наследник вектора x, (Х\ (Лх\

Q

(3)

Из (2) и (3) получаем систему уравнений

( Лх + ус = Лх \стх + c'y = Лу '

которая эквивалентна системе

I

ус = 0 Стх + с* у = Лу

(4)

Заметим, что вектор г = является

решением системы (4) тогда и только тогда, когда г - наследник вектора х.

Возможны три варианта выполнения условия ус=0:

1) у = 0, с Ф 0, 2) у = 0, с = 0, 3) у Ф 0, с = 0.

с

с

Во всех трех случаях условие cTx = 0 выполнено.

Достаточность. Пусть x Ф 0, x e L(P, Л), и cTx = 0. Покажем, что вектор z = является

наследником вектора x. Согласно (2) Q =

следовательно, z e L(Q, Л) и является наследником вектора x.

Следствие. (Как устроены векторы-наследники).

Пусть x e L*(P, Л) имеет наследника.

1) Вектор z = (q) 6 Ди+1является

наследником вектора x. Множество наследников вектора x состоит только из одного вектора z в случаях, когда Лфс* или c ф0.

2) Если Л = с* и c = 0, то для любого ye R

вектор (у) 6 Rn+1 является наследником вектора x.

В этом случае множество наследников вектора x является одномерным аффинным

подпространством пространства Rn+1 и если dim L(P, c*) = к, то dim L(Q, c*) = k +1.

Доказательство. Напомним, что согласно теореме 2 наличие наследника влечет равенство cTx = 0. Используем систему (4), дающую описание отношения наследования, учитывая, при этом, условие cTx = 0

( ус = 0 (с*у = Ху

(5)

1) Найдем всех наследников вектора х при условии Л # с* . Второе уравнение системы (5) эквивалентно уравнению (с*-Л)у =0. Так как с*-Л # 0, находим, что у =0. Наследник единственный.

Теперь найдем всех наследников вектора х при условии с #0. Из первого уравнения ус = 0 следует равенство у = 0. Наследник единственный.

2) Пусть Л = c*, c = 0. В этом случае система удовлетворяется при любом ye R. Любой вектор

вида (у) является наследником вектора x.

Если dim L(P, c*) = к, то из L(Q,c*) = {(у):Рх = с*х; х 6 L(P,c*),y 6 Rn}

следует, что dim L(Q,c*) = k+1, а множество наследников фиксированного вектора x есть одномерное аффинное подпространство пространства L(Q, c*).

Замечание. Если собственный вектор x e L(P, Л) имеет наследника, то этот наследник единственный, за исключением случая, когда Л = c*, c = 0.

Определение 3. Пусть X - к-мерное подпространство в Rn, a e X. Положим a±( X) = { x e X: aTx =0} -подпространство векторов, ортогональных вектору a.

Если, a Ф 0, то множество a±( X) называется гиперплоскостью в X, его размерность равна к-1.

Если, a = 0, то aL( X) = X.

Теорема 3. (Геометрическая интерпретация теоремы 2). Пусть Лeo(P), L(P^) - собственное подпространство матрицы P, соответствующее собственному числу Л.

Вектор x e L*(P,Л) имеет наследника тогда и только тогда, когда x e L*(P,Л)n c^( Rn).

Обозначения. Пусть Лeo(P). Множество тех отличных от нуля векторов собственного пространства L(P,X), которые имеют наследников обозначим М\Р,Л), тогда Щ1'.Л)= М\Р,Л)^0 является векторным подпространством пространства L(P,Л), здесь 0 - ноль пространства L(P,Л).

Множество векторов собственного

пространства L(Q,Л) вида которые являются

наследниками вектора х е Ь*(Р,Л), обозначим М*(бД), тогда M(0,/l)=J M*(0,/l)uO является векторным подпространством пространства L(Q^), здесь 0 - ноль пространства L(Q,X).

Следствие 1.

М(Р,Л) = Ь(Р,Л)п &( Rn), М*(Р,Л)= 1*(Р,Л)п С-( Rn).

Следствие 2. Пусть Лe o(Q) и с = 0.

1) Если Лф с или с Ф 0, то

M(Q,A) = {Q:X6L(P,A)},

при этом dim M(Q^) =dim M( Р,Л).

2) Если с = 0 и Лф с* то

M(Q,A) = {Q: x6L(P,X),y6R\

при этом, векторы (0) 6 L(Q,A), y Ф 0 не являются

наследниками собственных векторов матрицы P и dim M(Q^) = dim M(P,Л)+1.

О размерности пространств М(Р,Л) Лемма 2. Пусть X - векторное подпространство размерности к пространства Rn, a е Rn, a Ф 0, Z= a^(Rn) - гиперплоскость в Rn. Тогда XnZ является векторным подпространством, чья размерность либо k, либо k-1.

Доказательство. Пусть e = {e,}, 1 < i < n -такой базис Rn, в котором a= en . Если (u^u2,.. .,un) -представление вектора ие Rn в базисе e, то ие Z тогда и только тогда, когда un = 0. Так как dim X=k, существует линейно независимая система векторов a=(a1, a2,..., ak) из Rn такая, что уеХтогда и только тогда, когда v = Y.%1 Vjaj, Vj ER.

Векторы системы а в базисе e имеют представления a =(a\, a2,..., an), тогда

п /к

=Z v^=Z mZ a^=Z [Z ч

1=1

1=1

v^ij \et

=1 =1

Если vеXnZ, то в базисе e его координата с номером п равна нулю:

vjanj = 0.

(6)

В случае, когда все числа anj = 0, X с Z и dim

XnZ = k.

Если некоторые из anj- отличны от нуля, то (6) является уравнением гиперплоскости в X, a dim XnZ = k-l.

Теорема 4. Пусть Л - собственное число матрицы P, кратность Л равна k, L(P,1) -соответствующее собственное подпространство, его размерность также равна k.

Если L(P,1) содержится в с1( Rn), то M(P,1)=L(P,1).

Если L(P,1) не содержится в с1( Rn), то dim M(P,1)= k-l, при k=l множество M*(P,X) пусто.

Доказательство. Напомним, что M(P,1) это подпространство собственного пространства L(P,1), состоящее из собственных векторов, имеющих наследников и нуля.

По следствию к теореме 3 M(P,1) = L(P,1) n c1(Rn). Согласно лемме 2

к-1< dim М(РЛ) < к.

Следствие. Если кратность собственного числа Ле o(P) не меньше 2, то собственное пространство L(P,1) содержит векторы, имеющие наследников.

Если кратность собственного числа равна l, то L(P,1) может не содержать векторов, имеющих наследников.

Лемма 3. Вектор (у) Е L(Q,A) является

наследником вектора x Ф 0 тогда и только тогда, когда yc = 0.

Доказательство. Необходимость. Пусть

(у) Е L(Q,A), это значит, что система уравнений:

Рх + ус = Ах стх + с* у = Ау

имеет ненулевое решение.

Если (у) Ф 0 является наследником вектора

хе Ь*(Р,Х), то по теореме 2, стх = 0. Подставим в первое равенство системы, получим ус = 0.

Достаточность. Пусть ус = 0 и х Ф 0. Тогда первое равенство системы примет вид Рх=Лх, следовательно, хе Ь(Р,Х).

Теорема 5. Пусть Л е а (0 - собственное число кратности к > 2. Тогда Леа (Р) и

подпространство M(Q,1) собственных векторов, которые являются наследниками собственных векторов матрицы P, имеет размерность k или k-l.

Доказательство. Обозначим

Y0 = {(X) Е Rn+1: х Е R»}. Пространство Yo является гиперплоскостью в Rn+l. Лемма 3 указывает на то, что M(Q,1) = L(Q,1) n Y0, а так как размерность собственного пространства L(Q,1) равна k, по лемме 2 получаем, что dim M(Q,1) = k либо dim M(Q,1) = k-l.

Обозначение. Пусть B квадратная матрица и Лео (B). Кратность собственного числа Л обозначим т(Л, B).

Если число Л не принадлежит спектру матрицы В, положим т(А, В)=0.

Следствие. Для любого А е Rl__I

|т(Л, Q) - т(Л, P)| < 2 .

Доказательство. Пусть Л не принадлежит ни o (P), ни o (Q), тогда

|т (1Q) - т(Л, P)|=0.

Пусть Л е o(P) и Л g o(Q) . Тогда т(Л,Р) = l, t(1,Q) = 0, следовательно T(!Q) - т(Л, Р)| = l.

Подобным образом доказывается это равенство, когда Л g о(Р) и Ле o(Q).

Пусть т(Л, Р) = k > 2 или т(Л, Q) = k > 2 .

Если c Ф 0 или Л Ф с*, согласно следствию 2 к теореме 3

dim М(РЛ) = dim M(Q!) = к.

Следовательно, dim L(P,X) = k или dim

L(P,Л) = k+l и dim L(Q,X) = k или dim L(Q,X) = k+l, поэтому

1т(Л,д) - т(Л, P)| = l или Т(Л,д) - т(Л, P)| = o.

Если c = 0 и Л = c*, то t(!Q) = t(a,P) + l. Тогда

0 < dim L(Q,X) - dim L(P,X) < 2, следовательно It(xQ) - T(XP) I < 2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир; l999. - 548 с.

2. Икрамов Х. Д. Пересчет нормальных псевдорешений при одноранговых модификациях матрицы // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. Т. 43. № 4. С. 493 - 505.

3. Икрамов Х.Д. Одноранговые модификации и пересчет псевдообратных матриц // Вестник МГУ. Серия l5: Вычислительная математика и кибернетика. 2002. № 4. С. l2-l7.

к

к

п

V

=1

1

4. Ерохин В. И. Свойства оптимальной одноранговой коррекции матриц коэффициентов несовместных неоднородных линейных моделей// Дискретный анализ и исследование операций. 2002. Серия 2. Т. 9. № 1. С. 33-60.

5. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения // М.: Мир; 1980. - 454 с.

6. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение // М.: Мир; 2001. - 575 с.

ОБ УПРАВЛЕНИИ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ КОНВЕКЦИИ _ХИМИЧЕСКИ РЕАГИРУЮЩЕГО ГАЗА_

DOI: 10.31618/ESU.2413-9335.2020.6.81.1174 Палымский Игорь Борисович

Докт. физ. -мат. наук, профессор кафедры физики,

г. Новосибирск Фомин Павел Аркадьевич Канд. физ.-мат. наук, ст. научный сотрудник Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,

г. Новосибирск

Трилис Артем Валерьевич Канд. физ. -мат. наук, мл. научный сотрудник Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,

г. Новосибирск

АННОТАЦИЯ

Выполнен анализ устойчивости статического режима конвекции Рэлея-Бенара в химически реагирующей равновесной водородо-кислородной газовой смеси с добавленными химически инертными микрочастицами оксида алюминия. В приближении Буссинеска показано, что подходящим выбором температуры можно интенсифицировать конвекцию, а добавлением химически инертных микрочастиц подавить конвективное движение. Расчетами по полной нелинейной системе уравнений газовой динамики установлено, что при высоте области меньше критического значения режим конвекции изобарный, а при превышении высотой области этого критического значения - сверхадиабатический. При конвекции в сверхадиабатическом режиме наблюдается ее адиабатическое подавление. В рамках изобарного режима конвекции определены границы применимости приближения Буссинеска.

ABSTRACT

A linear analysis of the stability of Rayleigh-Benard static regime convection is performed in a chemically reacting equilibrium hydrogen-oxygen gas mixture with added chemically inert microparticles of aluminum oxide. It is shown in the Boussinesq approach that a suitable choice of temperature can intensify convection and adding chemically inert microparticles can suppress convective motion. It is established that the isobaric convection regime is realized when the height of the region is less than the critical value, and when the height of the region exceeds this critical value, the convection regime is superadiabatic. During convection in the superadiabatic regime, its adiabatic suppression is observed. Within the framework of the isobaric convection regime, the limits of applicability of the Boussinesq approach are determined.

Ключевые слова: конвекция, химическое равновесие, газовая смесь, число Рэлея.

Keywords: convection, chemical equilibrium, gas mixture, Rayleigh number.

Введение

Конвекция Релея-Бенара - классическая область науки, в рамках которой для инертной и несжимаемой среды разработана основанная на приближении Буссинеска математическая модель и соответствующие численные методы [1,2]. Однако, при конвекции газа приближение Буссинеска может быть использовано только в лабораторных условиях, в областях достаточно малого размера с относительно небольшим изменением

гидростатического давления, а расчет течений в областях высотой несколько десятков сантиметров и более требует учета сжимаемости газа на основе полных уравнений газовой динамики из-за относительно большого изменения

гидростатического давления и связанного с ним эффекта адиабатического подавления конвекции [3]. Однако, конвекция газа на основе полных нелинейных уравнений газовой динамики исследована слабо [4].

Некоторым компромиссом являются упрощенные модели конвекции газа. Полученные из уравнений газовой динамики в предположении малости числа Маха и параметра гидростатической сжимаемости, соответствующие системы уравнений описывают среду, в которой звуковые возмущения распространяются с бесконечно большой скоростью. С математической точки зрения структура полученных систем в определенном смысле аналогична структуре уравнений вязкой несжимаемой жидкости [5] и, как следствие, эти модели могут быть с успехом использованы при расчетах конвекции в областях малой высоты с большими вариациями температуры и плотности [6], однако, расчеты конвективных течений в областях большой высоты, где в полной мере проявляется эффект адиабатического подавления конвекции, необходимо проводить по полным нелинейным уравнениям газовой динамики.